te 226 - sistem linier · sebagai contoh, pada rangkaian rc, ... sinyal waktu-diskrit x[n]...

TE 226 - Sistem Linier

Jimmy Hasugian

Electrical Engineering - Maranatha Christian University

[email protected] - http://wp.me/p4sCVe-g

KLASIFIKASI SINYAL - SISTEM

Jimmy Hasugian (MCU) Klasifikasi Sinyal 1 / 50

Pokok Bahasan

1 Klasifikasi SinyalSinyal Waktu-Kontinu, Sinyal Waktu-DiskritSinyal Genap, Sinyal GanjilSinyal Periodik, Sinyal Non-periodikSinyal Deterministik, Sinyal AcakSinyal Energi, Sinyal Daya

2 Operasi Dasar SinyalOperasi pada Variabel Tak-bebasOperasi pada Variabel BebasBeberapa Sinyal Dasar

3 Sifat-sifat SistemStabilityMemoryCausality & InvertibilityTime InvarianceLinearity


Klasifikasi Sinyal

Klasifikasi Sinyal

Sinyal didefinisikan sebagai sebuah besaran fisik (physical quantity) yangberubah terhadap waktu, ruang, atau variabel bebas lainnya. Besaran fisiktersebut biasanya berisi informasi tentang perilaku sebuah fenomena.Sebagai contoh, pada rangkaian RC, sinyal dapat saja menyatakanbesarnya tegangan yang ada pada kapasitor ataupun arus yang melaluiresistor.

Dalam slide ini dipaparkan 5 (lima) metode dalam mengklasifikasikansinyal berdasarkan beberapa fitur:


Klasifikasi Sinyal Sinyal Waktu-Kontinu, Sinyal Waktu-Diskrit

Sinyal Waktu-Kontinu, Sinyal Waktu-Diskrit

Salah cara dalam mengklasifikasikan sinyal adalah dengan memperhatikanbagaimana sinyal didefinisikan dalam fungsi waktu. Dalam hal ini sinyaldibagi menjadi sinyal waktu-kontinu dan sinyal waktu-diskrit. Sinyal x(t)dikatakan sinyal waktu-kontinu jika x(t) terdefinisi (memiliki nilai) untuksemua waktu t. Sinyal waktu-diskrit adalah sinyal yang memiliki nilaiterhadap waktu secara diskrit. Agar lebih jelas, kedua jenis sinyal dapatdilihat pada gambar berikut ini.

Sinyal x(t) menyatakan sinyal waktu-kontinu dan x [n] menyatakan sinyalwaktu-diskrit.


Klasifikasi Sinyal Sinyal Genap, Sinyal Ganjil

Sinyal Genap, Sinyal Ganjil

Sinyal x(t) atau x [n] dinyatakan sebagai sinyal genap (even signal) jikadan hanya jika:

x(−t) = x(t) (1)

x [−n] = x [n]

Sinyal x(t) atau x [n] dinyatakan sebagai sinyal ganjil (odd signal) jika danhanya jika:

x(−t) = −x(t) (2)

x [−n] = −x [n]




Contoh sinyal genap dapat dilihat pada gambar berikut ini:

Contoh sinyal ganjil dapat dilihat pada gambar berikut ini:




Sinyal x(t) atau x [n] dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari 2 buahsinyal, yaitu sinyal genap dan sinyap ganjil, seperti diekspresikan melaluirumus berikut:

x(t) = xe(t) + xo(t) (3)

x [n] = xe [n] + xo [n]

Dapat pula dibuktikan, sehingga

xe(t) =1

2

[x(t) + x(−t)

](4)

xo(t) =1

2

[x(t)− x(−t)

]Demikian pula untuk sinyal waktu-diskrit




Carilah komponen genap dan ganjil untuk tiap sinyal berikut ini

1 x(t) = cos(t) + sin(t) + sin(t) cos(t)

2 x(t) = 1 + t + 3t2 + 5t3 + 9t4

3 x(t) = 1 + t cos(t) + t2 sin(t) + t3 sin(t) cos(t)

4 (1 + t3) cos3(10t)


Klasifikasi Sinyal Sinyal Periodik, Sinyal Non-periodik

Sinyal Periodik, Sinyal Non-periodik

Sinyal waktu-kontinu x(t) disebut sinyal periodik dengan periode T jikaterdapat nilai positif-tak-nol T sehingga

x(t + T ) = x(t) untuk semua t (5)

Sinyal waktu-diskrit x [n] disebut sinyal periodik dengan periode N jikaterdapat bilangan bulat-positif N sehingga

x [n + N] = x [n] untuk semua bilangan bulat n (6)

Nilai T terkecil (kontinu) atau nilai N terkecil (diskrit) yang memenuhipersamaan di atas, disebut sebagai periode utama (fundamental period)

Semua sinyal yang tidak memenuhi kedua persamaan di atas dinyatakansebagai sinyal non-periodik.


Klasifikasi Sinyal Sinyal Periodik, Sinyal Non-periodik

Sinyal Periodik, Sinyal Non-periodik

Untuk sinyal berikut ini, tentukanlah apakah periodik atau bukan, dan jikaperiodik tentukan periode utama-nya

1 x(t) = cos2(2πt)

2 x(t) = sin3(2t)

3 x(t) = e−2t cos(2πt)

4 x [n] = (−1)n

5 x [n] = (−1)n2

6 x [n] = cos(2n)

7 x [n] = cos(2πn)


Klasifikasi Sinyal Sinyal Deterministik, Sinyal Acak

Sinyal Deterministik, Sinyal Acak

Sebuah sinyal dikatakan deterministik jika dapat direpresentasikan olehsuatu fungsi (persamaan) yang diketahui. Dengan kata lain, sinyaldeterministik dideskripsikan sepenuhnya melalui fungsi yang telahditentukan sehingga nilai dari sinyal dapat diprediksi melalui fungsitersebut. Dengan demikian, tidak ada ketidakpastian untuk menentukannilai sinyal tersebut pada sebarang waktu.

Sebaliknya, sinyal acak adalah sinyal yang terdapat ketidakpastian sebelumterjadi. Dengan kata lain, nilai dari sinyal tidak dapat diprediksi.


Klasifikasi Sinyal Sinyal Energi, Sinyal Daya

Sinyal Energi, Sinyal Daya

Jika diketahui sebuah sinyal x(t), maka daya sesaat (instanteneous power)p(t) dinyatakan sebagai

p(t) = x2(t) (7)

Dan didefiniskan energi total dari sinyal waktu-kontinu x(t) adalah

E = limT→∞

∫ T2

−T2

x2(t)dt (8)

=

∫ ∞−∞

x2(t)dt




Daya rata-rata (average power) didefinisikan

P = limT→∞

1

T

∫ T2

−T2

x2(t)dt (9)

Dan daya rata-rata dari suatu sinyal periodik x(t) dengan periode utamaT dihitung dengan

P =1

T

∫ T2

−T2

x2(t)dt (10)




Untuk sinyal waktu-diskrit x [n], maka energi total dihitung dengan

E =∞∑

n=−∞x2[n] (11)

Daya rata-rata:

P = limN→∞

1

2N

N∑n=−N

x2[n] (12)

Dan daya rata-rata dari suatu sinyal periodik x [n] dengan periode utamaN dihitung dengan

P =1

N

N−1∑n=0

x2[n] (13)




Sebuah sinyal dapat dinyatakan sebagai sinyal energi jika dan hanya jikaenergi total dari sinyal memenuhi kondisi

0 < E <∞ (14)

Sebuah sinyal dapat dinyatakan sebagai sinyal daya jika dan hanya jikadaya rata-rata dari sinyal tersebut memenuhi kondisi

0 < P <∞ (15)

Sinyal energi dan sinyal daya bersifat saling eksklusif (mutually exclusive).

Theorem

Suatu sinyal energi akan memiliki daya rata-rata sama dengan nol;sementara sinyal daya akan memiliki energi tak-terhingga. Sebuah catatan:sinyal periodik dan sinyal acak, dapat dipandang sebagai sinyal daya;sementara sinyal non-periodik dan sinyal deterministik dapat dipandangsebagai sinyal energi




Tentukanlah apakah sinyal berikut sinyal energi atau sinyal daya; carilahenergi total ataupun daya rata-rata

1 x(t) =

t, 0 ≤ t ≤ 1

2− t, 1 ≤ t ≤ 2

0, lainnya

2 x [n] =

n, 0 ≤ n < 5

10− n, 5 ≤ n ≤ 10

0, lainnya

3 x(t) = 5 cos(πt) + sin(5πt), −∞ < t <∞

4 x [n] =

{cos(πn), −4 ≤ n ≤ 4

0, lainnya

5 x [n] =

{cos(πn), n ≥ 0

0, lainnya


Operasi Dasar Sinyal

Operasi Dasar Sinyal

Salah satu isu yang penting dalam bidang sinyal dan sistem adalahpenggunaan sistem untuk memproses atau memanipulasi sinyal. Hal inidapat dilakukan dengan melibatkan kombinasi dari beberapa operasi dasar.Operasi dasar ini dapat dikategorikan ke dalam dua kelompok:

1 Operasi pada variabel tak-bebas (dependent variable)

2 Operasi pada variabel bebas (independent variable)


Operasi Dasar Sinyal Operasi pada Variabel Tak-bebas

Operasi pada Variabel Tak-bebas

Amplitude scaling

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) yang merupakanhasil amplitude scaling dari sinyal x(t) didefinisikan sebagai:

y(t) = c x(t) (16)

dengan c adalah faktor skala.

Salah satu contoh fisik penerapan hal ini adalah dalam peralatanelektronik amplifier.

Operasi ini berlaku juga untuk sistem waktu-diskrit yang dinyatakanmelalui persamaan berikut:

y [n] = c x [n]




Addition

Misalkan x1(t) dan x2(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) yangmerupakan hasil penjumlahan (addition) didefinisikan sebagai:

y(t) = x1(t) + x2(t) (17)

Salah satu contoh fisik penerapan hal ini adalah dalam peralatan audiomixer yang menggabungkan musik dan sinyal suara

Operasi ini berlaku juga untuk sistem waktu-diskrit yang dinyatakanmelalui persamaan berikut:

y [n] = x1[n] + x2[n]




Multiplication

Misalkan x1(t) dan x2(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) yangmerupakan hasil perkalian (multiplication) didefinisikan sebagai:

y(t) = x1(t)x2(t) (18)

Salah satu contoh fisik dari y(t) adalah sinyal radio AM, yaitu x1(t) terdiridari sinyal audio dan komponen DC, serta x2(t) terdiri dari sinyalsinusional yang disebut juga sebagai gelombang pembawa (carrier wave).

Operasi ini berlaku juga untuk sinyal waktu-diskrit yang dinyatakanmelalui persamaan berikut:

y [n] = x1[n]x2[n]




Differentiation

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Turunan dari x(t) terhadapwaktu t didefinisikan sebagai:

y(t) =d

dtx(t) (19)

Sebagai contoh, induktor menunjukkan operasi turunan. Misalkan arusi(t) yang mengalir melalui sebuah induktor L, maka tegangan v(t) yangmuncul di induktor adalah

v(t) = Ld

dti(t)




Integration

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Integrasi dari x(t) terhadapwaktu t didefinisikan sebagai:

y(t) =

∫ t

−∞x(τ)dτ (20)

Kapasitor menunjukkan operasi integrasi. Misalkan arus i(t) mengalirmelalui kapasitor C , maka tegangan v(t)

v(t) =1

C

∫ t

−∞i(τ)dτ

dengan τ adalah variabelintegrasi.


Operasi Dasar Sinyal Operasi pada Variabel Bebas

Operasi pada Variabel Bebas

Time scaling

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) diperoleh denganpen-skalaan variabel bebas t sebesar faktor a:

y(t) = x(at) (21)

Jika a > 1 sinyal y(t) merupakan kompresi, jika 0 < a, 1, sinyal y(t)merupakan ekspansi.

Operasi ini berlaku juga untuk sinyal waktu-diskrit yang dinyatakan:

y [n] = x [kn], k > 0




Reflection

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu. Sinyal y(t) adalahpencerminan (reflection) dari sinyal x(t) pada garis t = 0 denganmengubah t menjadi −t:

y(t) = x(−t) (22)

Operasi ini berlaku juga untuk sinyal waktu-diskrit yang dinyatakan:

y [n] = x [−n]




1 Sebuah sinyal waktu-diskrit

x [n] =

1, n = 1

−1, n = −1

0, n = 0 dan |n| > 1

tentukanlah y [n] = x [n] + x [−n]

2 Diketahui

x [n] =

{1, n = −1 dan n = 1

0, n = 0 dan |n| > 1

tentukanlah y [n] = x [−n]




Time shifting

Misalkan x(t) adalah sinyal waktu-kontinu, maka time shifting dari sinyalx(t) adalah:

y(t) = x(t − t0) (23)

dengan t0 adalah faktor geser. Jika t0 > 0 maka y(t) diperoleh denganmenggeser x(t) ke kanan, sedangkan jika t0 < 0 berarti x(t) digeser ke kiri.

Untuk sinyal waktu-diskrit:

y [n] = x [n −m]




1 Sebuah sinyal waktu-diskrit

x [n] =

1, n = 1, 2

−1, n = −1,−2

0, n = 0 dan |n| > 2

tentukanlah y [n] = x [n + 3]

2 Diketahui

x [n] =

{1, n = −1 dan n = 1

0, n = 0 dan |n| > 1

tentukanlah y [n] = x [n − 2]




Time Scaling Vs Time ShiftingDalam operasi dasar pada sinyal, kadang kala kedua operasi ini munculbersamaan. Namun sangat penting untuk mengetahui operasi mana yanglebih dulu dilakukan. Misalkan diketahui sinyal waktu-kontinu x(t).Tentukanlah seperti apa sinyal y(t) yang diperoleh dari hubungan:

y(t) = x(at − b)

Untuk mendapatkan y(t) dari x(t) maka operasi time scaling dan timeshifting harus dilakukan dengan urutan yang benar.

Time scaling : t −→ at (notasi t diubah menjadi at)Time shifting : t −→ (t − b) (notasi t diubah menjadi t − b)




Diketahui sebuah sinyal pulsa

Sketsalah sinyal berikut ini

1 x(3t)

2 x(3t + 2)

3 x(−2t − 1)

4 x(2(t + 2))


Operasi Dasar Sinyal Beberapa Sinyal Dasar

Beberapa Sinyal Dasar

Fungsi Step

Sinyal waktu-kontinu

u(t) =

{1, t > 0

0, t < 0(24)

Sinyal waktu-diskrit

u[n] =

{1, n ≥ 0

0, n < 0(25)

Gunakan fungsi step, untuk menyatakan sinyal berikut ini

x [n] =

{1, 0 ≤ n ≤ 9

0, lainnyaJimmy Hasugian (MCU) Klasifikasi Sinyal 30 / 50



Fungsi Impuls


δ(t) = 0; untuk t 6= 0 (26)∫ ∞−∞

δ(t)dt = 1 (27)

Kadang sinyal impuls dapat jugadirepresentasikan melalui gambarberikut:




Fungsi Impuls


δ[n] =

{1, n = 0

0, n 6= 0(28)




Fungsi Step Vs Fungsi ImpulsFungsi step u(t) dan fungsi impuls δ(t) saling berkaitan satu sama lain;sehingga jika salah satu diketahui maka dapat ditentukan yang lainnya.

Secara khusus hubungannya adalah fungsi δ(t) adalah turunan dari fungsiu(t) terhadap waktu:

δ(t) =d

dtu(t) (29)

Atau dapat juga dikatakan bahwa fungsi step u(t) adalah integrasi darifungsi impuls δ(t):

u(t) =

∫ t

−∞δ(τ)dτ (30)




Fungsi Ramp


r(t) =

{t, t ≥ 0

0, t < 0(31)

r(t) = t.u(t) (32)


r [n] =

{n, n ≥ 0

0, n < 0(33)

r [n] = n.u[n] (34)

Jika fungsi δ(t) adalah turunan dari fungsi u(t), fungsi ramp r(t) adalahintegrasi dari fungsi u(t).


Sifat-sifat Sistem

Sifat-sifat Sistem

Secara formal sistem didefinisikan sebagai sebuah entitas yang dapatmemanipulasi satu atau lebih sinyal untuk menghasilkan suatu fungsi(yaitu sinyal baru).

Interaksi antara sinyal dan sistem diilustrasikan pada gambar berikut ini:

Secara matematika, sistem dapat juga dipandang sebagai operasi-operasiyang saling berkaitan (interconnections of operations) yang mengubahsinyal input menjadi sinyal output dengan sifat-sifat yang berbeda dengansinyal input.


Sifat-sifat Sistem

Sifat-sifat Sistem

Misalkan operator H menyatakan operasi di dalam sistem, sehingga sinyalwaktu-kontinu sebagai input pada sistem menghasilkan sinyal output

y(t) = H{x(t)} (35)

dan pada sinyal waktu-diskrit, dinyatakan:

y [n] = H{x [n]} (36)

Sinyal waktu-kontinu Sinyal waktu-diskrit


Sifat-sifat Sistem

Sifat-sifat Sistem

Pada sistem waktu-diskrit, diperkenalkan operator Sk untuk menggeser(shifts) sinyal input x [n] sebesar k menjadi x [n − k].

Perhatikan sistem di bawah ini:

y [n] = 13 (x [n] + x [n − 1] + x [n − 2])


Sifat-sifat Sistem

Sifat-sifat Sistem

Sistem yang sama dapat juga disusun dalam diagram di bawah ini juga:

y [n] = 13 (x [n] + x [n − 1] + x [n − 2])


Sifat-sifat Sistem Stability

Sifat-sifat Sistem

Berikut dibahas beberapa sifat-sifat sistem:

Stability

Sebuah sistem dikatakan bounded-input, bounded-output (BIBO) stablejika dan hanya jika untuk setiap input yang terbatas (bounded) akanmenghasilkan output yang juga terbatas (bounded). Dengan kata lainoperator H dikatakan BIBO stable jika sinyal output y(t) memenuhikondisi berikut

|y(t)| ≤ My <∞; untuk semua t (37)

jika sinyal input x(t) memenuhi kondisi

|x(t)| ≤ Mx <∞; untuk semua t (38)

dengan Mx dan My adalah bilangan positif terbatas.



Sifat-sifat Sistem

Periksalah apakah sistem y [n] = 13 (x [n] + x [n − 1] + x [n − 2]) stabil atau

tidak.

Input x [n]magnitude−−−−−−→ |x [n]| = Mx (terbatas)

Output y [n]magnitude−−−−−−→ |y [n]| = My = 1

3 |x [n] + x [n − 1] + x [n − 2]|13 |x [n] + x [n − 1] + x [n − 2]| ≤ 1

3{|x [n]|+ |x [n − 1]|+ |x [n − 2]|}

My ≤ 13{|x [n]|+ |x [n − 1]|+ |x [n − 2]|}

My ≤ 13{Mx + Mx + Mx}

My ≤ Mx

Dengan demikian, sistem tersebut stabil.



Sifat-sifat Sistem

Jembatan Tacoma Narrows, di Washington, diresmikan pada tanggal 1Juli 1940



Sifat-sifat Sistem

Rubuh pada tanggal 7 November 1940, pukul 11.00 (waktu Pacific)


Sifat-sifat Sistem Memory

Sifat-sifat Sistem

Memory

Sebuah sistem dikatakan memiliki memori jika sinyal output bergantung(dipengaruhi) oleh nilai lampau (past) atau nilai masa depan (future) darisinyal input. Di sisi lain, sebuah sistem disebut tak punya memori(memoryless) jika nilai sinyal output hanya bergantung (dipengaruhi) olehnilai kekinian (present) dari sinyal input.

Contoh sistem y [n] = 13 (x [n] + x [n − 1] + x [n − 2]) adalah sistem yang

memiliki memori, karena sinyal output dipengaruhi oleh nilai sekarang dannilai lampau dari sinyal input x [n].

Sementara sistem y [n] = x2[n] adalah sistem yang memoryless, karenahanya bergantung pada nilai sekarang.


Sifat-sifat Sistem Causality & Invertibility

Sifat-sifat Sistem

Causality

Sebuah sistem dikatakan causal jika nilai sekarang dari sinyal outputhanya dipengaruhi oleh nilai sekarang atau lampau (past) dari sinyal input.Di sisi lain, sebuah sistem disebut noncausal jika nilai sinyal outputdipengaruhi oleh nilai masa depan (future) dari sinyal input.

Contoh sistem y [n] = 13 (x [n] + x [n − 1] + x [n − 2]) adalah sistem causal.

Sementara sistem y [n] = 13 (x [n + 1] + x [n] + x [n − 1]) adalah sistem yang

noncausal, karena berisi nilai masa depan dari sinyal input.


Sifat-sifat Sistem Causality & Invertibility

Sifat-sifat Sistem

Invertibility

Sebuah sistem dikatakan invertible jika input dari sistem dapat dipulihkan(recovered) dari output.

H inv{y(t)} = H inv{H{x(t)}}= H invH{x(t)}

dalam hal ini, syarat untuk invertible adalah:

H invH = I (39)

dengan I adalah sebuah operator identitas.


Sifat-sifat Sistem Time Invariance

Sifat-sifat Sistem

Time Invariance

Sebuah sistem dikatakan time invariant jika dengan adanya pemunduranwaktu (time delay) ataupun pemajuan waktu (time advance) dari sinyalinput akan memberikan hasil yang identik dengan adanya pergeseranwaktu (time shift) dari sinyal output.

y2(t) = H{x1(t − t0)}= H{S t0x1(t)}= HS t0{x1(t)}

y1(t − t0) = S t0{y1(t)}= S t0{H{x1(t)}}= S t0H{x1(t)}


Sifat-sifat Sistem Linearity

Sifat-sifat Sistem

Linearity

Sebuah sistem dikatakan linear jika sinyal input dan sinyal outputmemenuhi dua karakteristik berikut: superposition dan homogeneity .

Superposition Misalkan sistem diberi input x1(t) akan menghasilkanoutput y1(t), jika diberi input x2(t) akan menghasilkan output y2(t),maka jika diberi input x(t) = x1(t) + x2(t) akan memberikan outputy(t) = y1(t) + y2(t)Homogeneity Misalkan jika sistem diberi input x(t) akan menghasilkanoutput y(t), maka jika diberi input a.x(t) akan menghasilkan outputa.y(t)



Sifat-sifat Sistem

Secara matematis jika diberikan input

x(t) =N∑i=1

aixi (t) (40)

akan menghasilkan output

y(t) = H{x(t)}

= H

{N∑i=1

aixi (t)

}(41)

=N∑i=1

aiH{xi (t)}

=N∑i=1

aiyi (t) (42)



Sifat-sifat Sistem

Sifat linearity dapat direpresentasikan melalui diagram berikut ini:

y(t) = H

{N∑i=1

aixi (t)

} y(t) =N∑i=1

aiH{xi (t)}

=N∑i=1

aiyi (t)



Terimakasih


te 226 - sistem linier · sebagai contoh, pada rangkaian rc, ... sinyal waktu-diskrit x[n]...

Documents