Model Barisan Menunggu

Model Barisan Menunggu• Struktur Sistem Barisan Menunggu• Sistem Menunggu• Ciri-ciri Input Sistem Menunggu• Ciri-ciri Operasi Barisan Menunggu• Formula Analitikal• Model Barisan Menunggu Saluran-Tunggal dengan

Masa Ketibaan Poissom dan Masa Perkhidmatan Eksponen

• Model Barisan Menunggu Berbilang-Saluran dengan Masa Ketibaan Poissom dan Masa Perkhidmatan Eksponen

• Analisis Ekonomi Barisan Menunggu

Struktur Sistem Barisan Menunggu

• Teori menunggu adalah kajian terhadap barisan menunggu.

• Empat ciri sistem menunggu adalah: system are: – Cara dimana ketibaan pelanggan– Masa diperlukan untuk perkhidmatan– Keutamaan menentukan susunan perkhidmatan– Bilangan dan konfigurasi pelayan didalam

perkhidmatan.

Struktur Sistem Barisan Menunggu

• Taburan Ketibaan– Secara amnya, ketibaan pelanggan kedalam sistem

adalah peristiwa rawak. – Kerapkali corak ketibaan adalah dimodelkan sebagai

proses Poisson.

• Taburan Masa Perkhidmatan– Masa perkhidmatan juga biasanya adalah angkubah

rawak. – Taburan yang diasa digunakan untuk menerangkan

masa perkhidmatan adalah taburan eksponen.

Struktur Sistem Barisan Menunggu

– Disiplin menunggu yang biasa adalah masuk dulu, layan dulu (first come, first served (FCFS)).

– Elevator adalah contoh disiplin menunggu lewat masuk, layan dulu (last come, first served (LCFS))

– Lain-lain disiplin adalah memberi keutamaan kepada unit menunggu dan kemudian melayan unit tersebut dengan memberi keutamaan tertinggi dahulut.

•Disiplin Menunggu

Barisan Menunggu Satu-Saluran

Trak Meninggalkan Sistem Selepas Pengisian atau Pemunggahan

Ketibaan Trak

Barisan Menunggu atau Penggiliran

Dok Trak

Pengisian dan Pemunggahan

Aliran Sistem Dua-Saluran Barisan Menunggu

Ketibaan Trak

Trak Dok A dan Krew A

Trak Dok B dan Krew B

Trak Pergi ke Dok Terbuka Berikutnya

Trak Meninggalkan Dok Selepas

Pengisian atau Pemunggahan

Sistem Menunggu

• Tiga bahagian kod dalam bentuk A/B/k adalah digunakan untuk menerangkan berbagai sistem menunggu.

A - taburan ketibaanB - taburan perkhidmatank - bilangan saluran bagi sistem.

• Simbol-simbol yang digunakan untuk proses ketibaan dan perkhidmatan adalah:M - Markov distributions (Poisson/exponential)D - Deterministic (constant) and G – Taburan am (dengan min dan varian diketahui).

• Sebagai contoh, M/M/K merujuk kepada sistem dimana ketibaan berlaku mengikut taburan Poisson, masa perkhidmatan menurut taburan eksponen dan k pelayan berkerja dengan kadar perkhidmatan yang identikal

Ciri-ciri Penting Sistem

1. Taburan ketibaan bagi trak 2. Taburan masa perkhidmatan untuk operasi

pengisian dan penurunan; dan 3. Barisan menunggu atau disiplin giliran bagi

trak.

Formula Analitikal

• Apabila disiplin menunggu adalah FCPS, formula analitikal yang diterbitkan dari model barisan menunggu yang berbeza termasuklah yang berikut:– M/M/1– M/M/k– M/G/1– M/G/k with blocked customers cleared– M/M/1 with a finite calling population

• Tidak ada formula analitikan bagi semua kemungkinan sistem barisan menunggu. Dalam hal imi, ia mungkin diperolehi dari sistem simulasi.

Sistem Menunggu M/M/1

• Saluran tunggal• Taburan kadar ketibaan Poisson• Taburan masa perkhidmatan Exponen• Panjang giliran maksimum tidak terhad• Populasi infiniti• Contoh:

– Kaunter jualan tikit wayang satu saluran– Stesen keselamatan pengimbas tunggal di lapangan

terbang

Taburan Ketibaan

... 0,1,2, untuk x x!

e P(x)

-x

dimana, didalam penggunaan baris menunggu,x = bilangan ketibaan didalam tempoh masa tertentu = purata atau bilangan ketibaan terjangka untuk tempoh masa tertentue = 2.71828

Taburan kebarangkalian Poisson didefinasikan sebagai:

Contoh

Ketibaan terjadi pada kadar purata 24 truk setiap 8-jam sehari, atau 3 trak sejam, ( = 3), kita boleh menggunakan taburan Poisson untuk mengira kebarangkalian x trak yang sampai dalam sejam, maka:

x!

e3 P(x)

3-x

Kebarangkalian untuk 0,1, dan 2 trak yang sampai dalam masa sejam adalah:

0.2241 2

9e

2!

e3 P(2)

0.1494 3e 1!

e3 P(1)

0.0498 e 0!

e3 P(0)

3-3-2

3-3-1

3-3-0

Taburan Poisson bagi Ketibaan Trak

Kebarangkalian Trak Schip Akan Dilayan Didalam Masa t Jam

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50

Masa Perkhidmatan (Jam)

0.00

0.50

1.00

Keb

aran

gkal

ian

Per

khid

mat

an D

isia

pkan

Model Barisan Menunggu Satu-Saluran dengan Ketibaan Poisson dan Masa Perkhidmatan

Exponen

• Barisan menunggu satu saluran• Taburan Poisson bagi ketibaan• Taburan exponen bagi masa perkhidmatan• Disiplin giliran masuk-dulu-keluar-dulu

(MDKD)

Model barisan menunggu berikut boleh digunakan untuk keadaan berikut ujud:

Methodologi Kuantitatif

= bilangan kedatangan terjangka setiap tempoh masa (kadar purata ketibaan) = kemungkinan bilangan pekhidmatan terjangka setiap tempohmasa (kadar purata perkhidmatan)

Bagi masalah Schips kita dapati: = 3 dan = 4

1. Kebarangkalian kemudahan perkhidmatan adalah terbiar (iaitu kebarangkalian 0 unit didalam sistem)

2. Kebarangkalian n unit didalam sistem:

1 P P n

o

n

n

0.25 4

3 1 1 Po

3. Purata bilangan unit didalam sistem:

4. Purata masa seunit yang diuntukkan didalam sistem (masa menunggu tambah masa perkhidmatan):

L

-

1 W

trak3 3 - 4

3

- L

per trak jam 1 3

3

L W

5. Purata bilangan unit didalam giliran menunggu bagi perkhidmatan:

- L

- L 2q

6. Purata masa seunit yang diambil didalam barisan menunggu bagi perkhidmatan:

1

- W L

-

W qq

trak2.25 4

3 - 3 - L Lq

per trak jam 0.75 4

1 - 1

1 - W Wq

7. Kebarangkalian unit ketibaan yang perlu menunggu untuk perkhidmatan

P w

Jika = 3 trak sejam dan = 4 trak sejam, dan / = 3/4,maka ciri-ciri operasi bagi dok pengisian, adalah:

0.75 4

3 Pw

0.75 4

3 PenggunaanFaktor

0.25 4

3 1 1 Po

trak3 3 - 4

3

- L

per trak jam 1 3

3

L W

trak2.25 4

3 - 3 - L Lq

per trak jam 0.75 4

1 - 1

1 - W Wq

0.75 4

3 Pw

Trak menunggu secara purata 0.75 jam atau 45 minit sebelum diisi atau diturunkan adalah tidak diperlukan.

Purata barisan menunggu adalah 2.25 trak dan 75% trak yang tiba, perlu menunggu untuk perkhidmatan merupakan petunjuk beberapa perkara perlu dilakukan untuk memperbaiki kecekapan operasi dok pengisian.

Untuk memperbaiki operasi dok pengisian, pengurus cawangan perlu mempertimbangkan untuk menggunakan sistem conveyer untuk mempercepatkan proses pengisian/pemunggahan.

Ciri-ciri Sistem Barisan Menunggu Bagi Masalah Dok Trak Schip

Purata Kadar Perkhidmatan , Trak Sejam 4 6 8 10

Faktor penggunaan 0.75 0.50 0.375 0.300

Kebarangkalian masa terbuang kakitangan, Po 0.95 0.50 0.625 0.700

Purata bilangan trak didalam sistem, L 3.00 1.00 0.600 0.429

Purata masa diperuntukan didalam sistem, W, jam 1.00 0.33 0.200 0.143

Purata bilangan trak didalam giliran, Lq 2.25 0.50 0.225 0.129

Purata peruntukan masa trak didalam giliran, Wq, Jam 0.75 0.167 0.075 0.043

Kebarangkalian ketibaan unit perlu menunggu untuk perkhidmatan, Pw

0.75 0.50 0.375 0.300

Model Barisan Menunggu Berbilang-Saluran dengan Ketibaan Poisson dan

Masa Perkhidmatan Exponen

Aliran Sistem Dua-Saluran Barisan Menunggu

Ketibaan Trak

Trak Dok A dan Krew A

Trak Dok B dan Krew B

Trak Pergi ke Dok Terbuka Berikutnya

Trak Meninggalkan Dok Selepas

Pengisian atau Pemunggahan

Contoh

Menggunakan = 3 trak sejam dan = 4 trak sejam bagi setiap kakitangan dengan dua saluran , keadaan operasi adalah seperti

berikut:

1. Kebarangkalian dimana semua k=2 saluran perkhidmatan adalah terbiar (iaitu kebarangkalian 0 unit didalam sistem):

kuntuk

- kk

k!1

n!1

1 P

n1-kn

0n

o

0.4545

5

8

4

3

2!

1

4

3 1

1

3 - (4)2

)4(2

4

3

2!

1

4

3

n!

1

1 P

2

2n1

0n

o

2. Kebarangkalian n unit didalam sistem:

k n untuk Pk k!

1 P o

n

k-nn

k n untuk P n!

1 P o

n

n

3. Purata bilangan unit didalam sistem:

P- k1)! - k(

/ L o2

k

trak0.873 4

3 (0.4545)

3 - 8)!1(

4/3)4(3 L

2

2

4. Purata masa unit yang diambil didalam sistem (masa menunggu)

L

1 P

) - (k1)! - k(

/ W o2

2

jam .2910 3

0.873 W

- L L q

5. Purata bilangan unit giiliran menunggu untuk perkhidmatan:

trak0.123 4

3 - 0.873 Lq

6. Purata unit masa diambil didalam giliran menunggu untuk perkhidmatan:

L

1

- W W qq

jam .0410 4

1 - 0.291 Wq

7. Kebarangkalian dimana unit ketibaan yang menunggu untuk dilayan:

P - k

k

k!

1 P o

k

w

0.2045

)4545.0(3) - (2(4)

)4(2

4

3

2!

1 Pw

2

Kebaikan Dua Saluran

1. Purata masa trak menunggu untuk diturunkan atau diisi dikurangkan daripada 45 minit kepada 0.041 jam, atau 2.46 minit.

2. Purata panjang barisan menunggu dikurangkan daripada 2.25 trak kepada 0.123 trak.

3. Purata trak perlu menunggu untuk dilayan dikurangkan daripada 75 kepada 20.45%.

4. Purata masa trak pada dok pengisian (masa menunggu tambah masa mengisi/memunggah) dikurangkan aripada 1 jam kepada 0.291 jam atau 17.46 minit.

Analisis Ekonomi Barisan Menunggu

Biarkan

c1 = kos trak sejam

L = purata bilangan trak didalam sistemck = kos kakitangan sejam

k = bilangan saluran (juga bilangan kakitangan dok)

Jumlah kos sejam bagi trak menunggu dan akan diisi/dipunggah

= c1L

Jumlah kos sejam bagi kakitangan dok = c2k

Jumlah kos operasi sejam = c1L + c2k

Ringkasan Jumlah Kos Sejam Sistem Purata

Bilangan Trak

dalam Sistem

Kos Trak/Jam

Bilangan Krew

Jumlah Kos

Krew/Jam

Jumlah Kos/Jam

Satu-saluran

3.00 3.00($25)

=$75.00

1($30)

=$30.00

$105.00

Dua-saluran

0.873 0.873($25)=$21.83

2($30)

=$60

$81.83