BAB IPENDAHULUAN1.1 Latar BelakangDalam mata kuliah analisis riil I, mata kuliah yang mempelajari dan mengasah intelektual mahasiswa matematika, terdapat sub bab yang bertemakan Barisan monoton dan Sub Barisan. Apa itu Barisan monoton dan Sub Barisan, apa saja yang dipelajari dalam bab ini, akan menjadi topik pembahasan yang akan kita angkat. 1.2 Pembatasan MasalahDari sekian permasalahan yang ada tidak mungkin penulis dapat membahasnya secara keseluruhan, karena mengingat kemampuan yang ada baik intelektual, biaya dan waktu yang dimiliki penulis sangat terbatas. Maka penulis perlu memberikan batasan-batasan masalah. Pembatasan masalah diperlukan untuk memperjelas permasalahan yang ingin dipecahkan. Oleh karena itu, penulis memberikan batasan sebagai berikut :1. Apa pengertian barisan Monoton ?2. Apa pengertian Sub Barisan?1.3 PERUMUSAN MASALAHPerumusan masalah yang akan dijabarkan adalah sebagai berikut :1. barisan Monoton (definisi dan contoh soal)2. Sub Barisan (definisi dan contoh soal)1.4 TUJUAN PENULISAN1. Penulisan bertujuan untuk lebih mengerti sub bab tentang barisan monoton dan sub barisan.2. Dan tujuan lainnya adalah agar mahasiswa lainnya yang membutuhkan data tentang materi ini dapat terbantu.1.5 MANFAAT PENULISANSemoga penulisan makalah yang bertemakan barisan monoton ini dapat membantu dan bermanfaat bagi teman-teman mahasiswa, dan yang lainnya.BAB IIPEMBAHASAN2.1. Barisan MonotonBerikut ini diberikan pengertian mengenai barisan naik dan turun monoton. Definisi 2.1.1. Diberikan barisan bilangan real X = (xn)(i) Barisan X dikatakan naik (increasing) jika xn xn+1, untuk semua n (ii) Barisan X dikatakan naik tegas (strictly increasing) jika xn xn+1 , untuk semua n (iii) Barisan X dikatakan turun (decreasing) jika xn xn+1 , untuk semua n (iv) Barisan X dikatakan turun tegas (strictly decreasing) jika xn xn+1 , untuk semua nDefinisi 2.1.2. Barisan dikatakan monoton jika berlaku salah satu X naik atau X turun.Contoh 2.1.2.a. Barisan berikut ini naik (monoton).

b. Barisan berikut ini turun (monoton).

c. Barisan berikut ini tidak monoton.

Definisi 2.1.3. Teorema Konvergensi Monotona. Jika X = (xn) naik (monoton) dan terbatas ke atas, maka X =(xn) konvergen dengan

b. Jika X = () Turun (monoton) dan terbatas ke bawah, maka X =(xn) konvergen dengan

Bukti.a) Karena X = () terbatas ke atas, maka terdapat sedemikian hingga untuk semua . Namakan A =, makaR, terbatas ke atas dan tidak kosong. Menurut Sifat Lengkap maka supremum A ada, namakan x = sup A. Diambil , maka terdapat sedemikian hingga . Karena X naik monoton, maka untuk berlaku

atau

Jadi, terbukti bahwa X = () konvergen ke x = lim() = b) Gunakan cara yang hampir sama dengan pembuktian (a).Contoh 2.1.3 Diketahui barisan dengan dan Apakahkonvergen? Jika ya, tentukan limJawab. Akan ditunjukkan menggunakan induksi bahwa naik monoton. Untuk n 1, diperoleh (benar). Misalkan benar untuk n k , yaitu , akan dibuktikan benar untuk n k 1, yaitu

Berarti benar untuk n k 1. Jadi, menurut induksi naik monoton. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa terbatas ke atas (oleh 3), yaitu untuk semua . Untuk n 1 benar, sebab 13. Misalkan benar untuk n k , yaitu Maka yang berarti benar untuk n k 1. Jadi, menurut induksi terbukti bahwa , untuk semua . Karena naik monoton dan terbatas ke atas, maka menurut Teorema 2.3.4 barisan konvergen. Misalkan , maka diperoleh

Diperoleh y 2 atau y 1. Untuk y 1 jelas tidak mungkin, sebab untuk semua . Jadi, terbukti bahwa konvergen dan lim 2

2.2. Barisan BagianPada bagian ini akan diberikan konsep barisan bagian (subsequences) dari suatu barisan bilangan real.Definisi 2.2.1. Diberikan barisan bilangan real X = () dan bilangan asli naik tegas n1< n2