BARISAN TAK HINGGA

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan

terurut dari bilangan-bilangan real:

𝑢1, 𝑢2, 𝑢3, …

Barisan tak hingga merupakan suatu fungsi dengan domain berupa

himpunan bilangan bulat positif dan range berupa himpunan

bilangan real.

Barisan tak hingga juga dapat dituliskan dalam bentuk 𝑢𝑛 𝑛=1+∞

atau cukup dengan menuliskan 𝑢𝑛

Representasi dari suatu barisan dapat disajikan sebagai fungsi eksplisit

Perhatikan barisan bilangan ganjil berikut:

1, 3, 5, 7, … , 2𝑛 − 1,…

Doman dari fungsi tersebut adalah bilangan bulat positif, sehingga suatu

barisan dapat dipandang sebagai suatu daftar dari nilai-nilai fungsi

𝒇 𝟏 , 𝒇 𝟐 , 𝒇 𝟑 ,… , 𝒇 𝒏 ,…

Pandang barisan Fibonacci berikut ini:

1, 1, 2, 3, 5, 8,…

Barisan di atas dapat dinyatakan secara rekursif dengan,

𝑢1 = 1, 𝑢2= 1

𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛−2, 𝑛 > 2

Tuliskan 5 suku pertama dari barisan berikut:

a)𝑢𝑛 = 3𝑛

b)𝑢1 = 3, 𝑢𝑘+1= 3(𝑢𝑘 − 1)

Contoh 1

Penyelesaian:

a) Substitusi 𝑛 = 1, 2, 3, 4, 5 ke dalam rumus 3𝑛 menghasilkan barisan berikut

ini,

31, 32, 33, 34, 35

Atau ekivalen dengan

3, 9, 27, 81, 243

𝑘 = 1, 𝑢2 = 3 𝑢1 − 1 = 3 3 − 1 = 6

𝑘 = 2, 𝑢3 = 3 𝑢2 − 1 = 3 6 − 1 = 15

𝑘 = 3, 𝑢4 = 3 𝑢3 − 1 = 3 15 − 1 = 42

𝑘 = 4, 𝑢5 = 3 𝑢4 − 1 = 3 42 − 1 = 123

Penyelesaian:

b) Diketahui nilai awal yaitu 𝑢1 = 3, disubstitusikan )𝑢𝑘+1= 3(𝑢𝑘 − 1

Jadi, didapatkan barisan 5 suku pertama yaitu:

3,6, 15, 42, 123

Nyatakan barisan berikut ini ke dalam bentuk notasi kurung.

a)1

3,1

9,1

27,1

81, …

b)1

2,2

3,3

4,4

5, …

Contoh 2

c) 1,1

2,1

4,1

8, …

d) 2, 4, 6, 8,…

e) -1, 2, -3, 4, …

Penyelesaian:

Konvergensi Barisan

Jika 𝑛 semakin bertambah besar, maka masing-masing barisan tersebut akan menuju ke suatu nilai

tertentu atau berosilasi di sekitar nilai tertentu.

𝑛 + 1 𝑛=1+∞

1

𝑛 𝑛=1

+∞

−1 𝑛+1𝑛=1+∞ 𝑛

𝑛 + 1 𝑛=1

+∞

a)b)

c)d)

1 + −1

2

𝑛

𝑛=1

+∞

e)

Definisi 1 Konvergensi Barisan

Suatu barisan 𝑢𝑛 dikatakan konvergen ke limit 𝑳, ditulis sebagai

lim𝑛→+∞

𝑢𝑛 = 𝐿

jika dan hanya jika untuk sebarang 𝜀 > 0, terdapat suatu bilangan bulat positif 𝑁sedemikian hingga

𝑢𝑛 − 𝐿 < 𝜀 untuk 𝑛 ≥ 𝑁.

Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu limit berhingga disebut barisan divergen.

Berdasarkan Definisi 1 di atas, dapat ditunjukkan bahwa

lim𝑛→+∞

1

𝑛 𝑛=1

+∞= 0 dan lim

𝑛→+∞

𝑛

𝑛+1 𝑛=1

+∞= 1

a) lim𝑛→+∞

𝑐 = 𝑐

b) lim𝑛→+∞

𝑐 𝑢𝑛 = 𝑐 lim𝑛→+∞

𝑢𝑛 = 𝑐 𝐿1

c) lim𝑛→+∞

𝑢𝑛 ± 𝑦𝑛 = lim𝑛→+∞

𝑢𝑛 ± lim𝑛→+∞

𝑦𝑛 = 𝐿1 ± 𝐿2

d) lim𝑛→+∞

𝑢𝑛 𝑦𝑛 = lim𝑛→+∞

𝑢𝑛 . lim𝑛→+∞

𝑦𝑛 = 𝐿1𝐿2

e) lim𝑛→+∞

𝑢𝑛

𝑦𝑛=

lim𝑛→+∞

𝑢𝑛

lim𝑛→+∞

𝑦𝑛=

𝐿1

𝐿2, jika 𝐿2 ≠ 0

Teorema 1

Jika diberikan barisan 𝑢𝑛 dan 𝑦𝑛 masing-masing konvergen ke L1 dan L2, dan 𝑐

adalah suatu konstanta, maka berlaku:

Contoh 3

Tentukan apakah barisan-barisan berikut ini konvergen atau divergen. Jika konvergen,

dapatkan limitnya.

a) (−1)𝑛+1𝑛

3𝑛+1 𝑛=1

+∞

b) 1 +1

𝑛

𝑛

𝑛=1

+∞

c)𝑛

𝑒𝑛 𝑛=1

+∞

d) 𝑛 𝑛 𝑛=1+∞

e)𝑛2

2𝑛−1 𝑛=1

+∞

Penyelesaian:

a) −1 𝑛+1𝑛

3𝑛 + 1 𝑛=1

+∞

−1 𝑛+1 −1, 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝1, 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙

lim𝑛→+∞

𝑛

3𝑛 + 1= lim

𝑛→+∞

𝑛 𝑛

3 𝑛 𝑛 + 1 𝑛= lim

𝑛→+∞

1

3 +1𝑛

=lim

𝑛→+∞1

lim𝑛→+∞

3 +1𝑛

=Lim𝑛→+∞

1

lim𝑛→+∞

3 + lim𝑛→+∞

1𝑛

=1

3 + 0=

1

3

suku-suku bernomor ganjil pada barisan ini dekat ke1

3

suku-suku bernomor genap dekat ke −1

3

barisan ini tidak mempunyai nilai limit, sehingga dapat disimpulkan bahwa barisan

ini divergen

Penyelesaian:

b) 1 +1

𝑛

𝑛

𝑛=1

+∞

Definisi dari bilangan 𝑒 adalah 𝑒 = lim𝑥→+∞

1 +1

𝑥

𝑥

Sehingga, dapat disimpulkan bahwa untuk 𝑥 bilangan bulat positif, 𝑥 = 𝑛,

diperoleh

lim𝑛→+∞

1 +1

𝑛

𝑛

= 𝑒

Jadi,barisan tersebut konvergen ke 𝑒

Penyelesaian:

c) 𝑛

𝑒𝑛 𝑛=1

+∞

lim𝑛→+∞

𝑛

𝑒𝑛mempunyai bentuk tak tentu bertipe

∞

∞.

aturan L’Hôpital

lim𝑥→+∞

𝑥

𝑒𝑥= lim

𝑥→+∞

1

𝑒𝑥= 0

maka lim𝑛→+∞

𝑛

𝑒𝑛= 0

Jadi, barisan𝑛

𝑒𝑛 𝑛=1

+∞konvergen ke 0

Penyelesaian:

d) 𝑛 𝑛 𝑛=1+∞

Dengan menerapkan aturan L’Hopital, diperoleh

lim𝑛→+∞

𝑛 𝑛 = lim𝑛→+∞

𝑛1/𝑛 = lim𝑛→+∞

𝑒1𝑛 ln 𝑛

= 𝑒0 = 1

Dengan demikian, barisan 𝑛 𝑛 𝑛=1+∞ kovergen ke 1.

e)𝑛2

2𝑛 − 1𝑛=1

+∞Dengan menggunakan aturan L’Hopital, diperoleh

lim𝑥→+∞

𝑛2

2𝑛 − 1= lim

𝑥→+∞

2𝑛

(ln 2)2𝑛= lim

𝑥→+∞

2

(ln 2)22𝑛= 0

Jadi, barisan tersebut konvergen ke 0.

Teorema 2

Jika 𝑢𝑛 dan 𝑧𝑛 masing-masing konvergen ke L, dan 𝑢𝑛 ≤ 𝑦𝑛 ≤ 𝑧𝑛

untuk 𝑛 ≥ 𝐾, dengan 𝐾 adalah suatu bilangan bulat tertentu, maka 𝑦𝑛

juga konvergen ke 𝐿.

Tunjukkan bahwa lim𝑛→∞

sin3 𝑛

𝑛= 0.

Penyelesaian:

Untuk n ≥ 1,−1

𝑛≤

sin3 𝑛

𝑛≤

1

𝑛. Karena lim

𝑛→∞−

1

𝑛= 0 dan lim

𝑛→∞

1

𝑛= 0, maka

menurut Teorema 2 lim𝑛→∞

sin3 𝑛

𝑛= 0.

Contoh 4

Definisi 2

Suatu barisan 𝑢𝑛 dikatakan

𝒏𝒂𝒊𝒌 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 < 𝑢2 < 𝑢3 < ⋯ < 𝑢𝑛 < ⋯

𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒕𝒖𝒓𝒖𝒏 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 ≤ 𝑢2 ≤ 𝑢3 ≤ ⋯ ≤ 𝑢𝑛 ≤ ⋯

𝒕𝒖𝒓𝒖𝒏 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 > 𝑢2 > 𝑢3 > ⋯ > 𝑢𝑛 > ⋯

𝒕𝒊𝒅𝒂𝒌 𝒏𝒂𝒊𝒌 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑢1 ≥ 𝑢2 ≥ 𝑢3 ≥ ⋯ ≥ 𝑢𝑛 ≥ ⋯

a)1

3,1

9,1

27,1

81, … ,

1

3𝑛, … adalah barisan turun.

b)1

2,2

3,3

4,4

5, … ,

𝑛

𝑛+1, … adalah barisan naik.

Contoh 5

Barisan Monoton

c) 1,1,1

2,1

2,1

3,1

3, … adalah barisan tidak naik.

d) 1, 1, 2, 2, 3, 3, … adlah barisan tidak turun.

e) 1,−1

2,1

3, −

1

4, … , −1 𝑛+1 1

𝑛, … adalah barisan yang tidak naik dan

tidak turun

Uji Kemonotonan

Klasifikasi Barisan Selisih Dua Suku Berurutan

Naik 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 > 0

Turun 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 < 0

Tidak Turun 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≥ 0

Tidak Naik 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≤ 0

Tunjukkan bahwa barisan1

2,2

3,3

4,4

5, … ,

𝑛

𝑛+1, … adalah barisan naik.

Penyelesaian:

Contoh 6

dengan mengganti 𝑛 dengan 𝑛 + 1, diperoleh

Dengan demikian, untuk 𝑛 ≥ 1

𝑢𝑛+1 =(𝑛 + 1)

(𝑛 + 1) + 1=

𝑛 + 1

𝑛 + 2

𝑢𝑛 =𝑛

𝑛 + 1

𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 =𝑛 + 1

𝑛 + 2−

𝑛

𝑛 + 1=

(𝑛 + 1)2−𝑛(𝑛 + 2)

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

=𝑛2 + 2𝑛 + 1 − 𝑛2 − 2𝑛

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)=

1

(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)> 0

Karena 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 > 0, maka terbukti bahwa barisan tersebut naik

Klasifikasi

Barisan

Selisih Dua Suku

Berurutan

Naik 𝑢𝑛+1𝑢𝑛

> 1

Turun 𝑢𝑛+1𝑢𝑛

< 1

Tidak Turun 𝑢𝑛+1𝑢𝑛

≥ 1

Tidak Naik 𝑢𝑛+1𝑢𝑛

≤ 1

Secara umum, barisan monoton dengan suku-suku positif dapat

diklasifikasikan sebagai berikut:

Penyelesaian:

𝑢𝑛+1𝑢𝑛

=(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

𝑛/(𝑛 + 1)=

𝑛 + 1

𝑛 + 2

𝑛 + 1

𝑛=

𝑛2 + 2𝑛 + 1

𝑛2 + 2𝑛

Terlihat bahwa 𝑛2 + 2𝑛 + 1 > 𝑛2 + 2𝑛, sehingga rasio dari𝑢𝑛+1

𝑢𝑛> 1, untuk

𝑛 ≥ 1, dengan demikian, terbukti bahwa 𝑢𝑛 merupakan barisan monoton

naik.

Contoh 7 𝑢𝑛 =𝑛

𝑛 + 1

Konvergensi Barisan Monoton

Teorema 3

Jika 𝑢1 ≤ 𝑢2 ≤ 𝑢3 ≤ ⋯ ≤ 𝑢𝑛 ≤ ⋯ suatu barisan tidak turun, maka terdapat

dua kemungkinan, antara lain:

a) Terdapat konstanta 𝑀 yang disebut batas atas barisan, sedemikian

hingga 𝑢𝑛 ≤ 𝑀 untuk semua 𝑛, dan dalam batas ini barisan tersebut

konvergen ke suatu limit 𝐿 ≤ 𝑀.

b) Tidak terdapat batas atas, dan dalam kasus ini lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = +∞.

Teorema 4

Jika 𝑦1 ≥ 𝑦2 ≥ 𝑦3 ≥ ⋯ ≥ 𝑦𝑛 ≥ ⋯ suatu barisan tidak naik, maka terdapat

dua kemungkinan, antara lain:

a) Terdapat konstanta 𝑀, yang disebut batas bawah barisan, sedemikian

hingga 𝑦𝑛 ≥ 𝑀 untuk semua 𝑛, dan dalam batas ini barisan tersebut

konvergen ke suatu limit 𝐿 ≥ 𝑀.

b) Tidak terdapat batas bawah, dan dalam kasus ini lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = −∞.

Latihan Soal

1. Nyatakan barisan-barisan berikut dengan menggunakan notasi 𝑢𝑛 𝑛=1+∞ .

Kemudian tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau tidak. Jika

konvergen, dapatkan limitnya.

a)2

3,4

6,6

9,8

12, …

b)1,1

4,1

16,1

64, …

c) ,1

53,1

54,1

55,1

56,1

57, …

d)4, −5, 6,−7, 8,−9,…

e) ln 1 , ln1

4, ln

1

9, ln

1

16, …

f)1

𝑒,4

𝑒2,9

𝑒3,16

𝑒4, …

2. Tuliskan 10 suku pertama dari masing-masing barisan berikut. Kemudian

tentukan apakah barisan tersebut konvergen atau tidak. Jika konvergen, dapatkan

limitnya.

a)(𝑛+1)2

3𝑛 𝑛=1

+∞

b)ln(𝑛+2)

2𝑛 𝑛=1

+∞

c)sin 𝜋/2𝑛

𝑛 𝑛=1

+∞

d) (−1)𝑛+1cos2

3𝑛 𝑛=1

+∞

e) 𝑥2𝑛 − 3𝑛 𝑛=1+∞

3. Gunakan Definisi 1 tentang konvergensi barisan untuk membuktikan bahwa:

1 + −1

2

𝑛konvergen ke 1.

4. Gunakan 𝑢𝑛+1/𝑢𝑛 untuk menunjukkan bahwa barisan berikut naik atau turun.

a) 1

2𝑛

b) 1 −1

2𝑛

c) 2𝑛

6𝑛−2

d) 𝑛 − 2𝑛