TEKNIK RISET OPERASIONALLecture Note

Ricky Agus T.

UNIVERSITAS GUNADARMA

BAB IRISET OPERASIONAL

Riset operasional

Pendekatan ilmiah dalam pengambilan keputusan yang melibatkan

operasi-operasi dalam sistem organisasi.

Riset operasional diterapkan pada masalah tentang bagaimana memperlakukan

dan mengkoordinasikan operasi / kegiatan dalam suatu organisasi.

Misalnya: pada bidang bisnis, industri,militer,agen pemerintah, jasa dll

Pendekatan yang digunakan dengan metode ilmiah

Misalnya: - observasi dan formulasi masalah

- permodelan

- mencari solusi optimal

Perkembangan Riset Operasi tergantung pada ilmu computer dan

perkembangan kompuer yang berskala besar dengan perhitungan yang berulang

– ulang.

BAB IIPERMODELAN

Permodelan

Suatu hal yang sangat penting dan banyak memberikan bantuan dalam

bidang riset operasional.

Model

Suatu penyajian sederhana dari suatu keadaan nyata .

Ex: grafik, rumus, bagan dan gambar.

Bentuk Model

▪ IKONIK

Bentuk dan penampakan yang sama dengan system yang sebenarnya,

tetapi biasanya dalam ukuran yang berbeda ( bentuk pilot plan dari suatu

pabrik).

▪ ANALOG

Tidak harus sama system yang disajikan (histogram).

▪ SIMBOLIK

Menggunakan huruf, angka, dan symbol lain (paling abstrak).

MODEL MATEMATIS

Melibatkan symbol berupa huruf, angka dan operasi matematis (+, /, ≥, ≤ )

Contoh : F = M*A

- Model matematis deskriptif

Mendeskripsikan beberapa aspek, misal: dt = a + bt

- Model matematis normative

Model dengan masalah pengambilan keputusan, missal :

(bentuk dasr)

Maksimumkan (minimumkan) F(x)

Dengan kendala : q1 (x) ≤ b1

q2 (x) ≤ b2

q3 (x) ≤ bm

Dimana :

X: vector peubah keputusan (x1, x2, …..xn)

F(x) : criteria yang harus dioptimisasikan

qi (x) ≤ bi : kendala ke i

FORMULASI MODEL

1. Menentukan jenis model yang akan digunakan

2. 2. Menentukan nilai parameter mode

- nilai konstanta dalam model matematis deskriptif

- bentuk numeric

Contoh kasus

Seorang petani memelihara Babi untuk dijual dipasar dan dia ingin

menentukan jumlah kebutuhan pakan dari berbagi jenis yang tersedia untuk

diberikan ke babi – babinya agar kebutuhan nutrisi terpenuhi dengan biaya

seminimal mungkin. Kandungan nutrisi dari tiap jenis pakan tersebut ( /kg) dapat

dilihat pada table berikut, termasuk harganya.

Kandungan jagung tankage alfalfa kebutmin

Nutrisi per - hari

Karbohidrat 90 20 40 200

Protein 30 80 60 180

Vitamin 10 20 60 150

Harga ($) 42 36 30

Formulasikan model matematisnya!

Formulasi model

Mis: X1 = Karbohidrat 1

X2 = Protein 2

X3 = Vitamin 3

Memaksimalkan Z = 200 x1 + 180 x2 + 150 x3

Dengan kendala 90 x1 + 20x2 + 40x3 ≤ 42

30x1 + 80x2 + 60x3 ≤ 36

10x1 + 20x2 + 60 ≤ 30

Dan semua var tidak negative

BAB IIIPEMROGRAMAN LINIER

Pemrograman linier :

Suatu teknik perencanaan yang bersifat analitis yang analisis-analisisnya

memakai model matematika, dengan tujuan untuk menemukan beberapa

kombinasi alternatif pemecahan masalah, lalu dipilih yang terbaik dalam rangka

menyusun strategi dan alokasi sumber daya dan dana untuk mencapai tujuan

dan sasaran yang diinginkan secara optimal.

Untuk merumuskan suatu masalah kedalam bentuk model pemrograman linier,

harus dipenuhi syarat-syarat berikut :

1. Tujuan masalah harus jelas

2. Harus ada sesuatu atau beberapa alternatif yang ingin

dibandingkan

3. Adanya sumber daya yang terbatas

4. Bisa dilakukan perumusan kuantitatif

5. Adanya keterkaitan peubah (variabel)

Untuk membentuk model pemrograman linier diterapkan asumsi berikut :

1. Linearity

Fungsi obyektif dan kendalanya merupakan fungsi linier dari variabel

keputusan, dan bersifat proporsional dan additif

2. Divisibility

Nilai variabel dapat berupa bilangan pecahan

3. Non Negativity

Nilai variable keputusan harus tidak negatif ( ≥ 0 )

4. Certainty

Semua konstanta mempunyai nilai yang pasti

METODE GRAFIKMasalah disajikan dalam bentuk grafik dan diinterpretasikan

solusinya.

Tahapan metode grafik :

1. Identifikasi variabel keputusan

2. Identifikasi fungsi obyektif

3. Identifikasi kendala-kendala

4. Menggambarkan bentuk grafik dari semua kendala

5. Identifikasi daerah solusi yang layak

6. Menggambarkan bentuk grafik dari fungsi obyektif dan menentukan

titik yang memberikan nilai obyektif optimal pada daerah solusi

yang layak

7. Mengartikan solusi yang diperoleh

METODE SIMPLEKSDigunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier yang

mempunyai 2 variabel atau lebih.

Diperkenalkan oleh George B. Dantzig.

Didasarkan pada proses iterasi, dimana diawali dengan penentuan solusi

awal.

Tahapan :

Masalah Pemrograman Linier

Formulasi Model Pemrograman Linier

(Pada umumnya berbentuk maksimisasi)

Bentuk Baku Pemrograman Linier

Prosedur Algoritma Simpleks

Pengubahan kedalam bentuk baku

♣ Pengubahan kendala

1. Bentuk ≤

Diubah menjadikan = dengan menambahkan var. slack (var. kurang)

2. Bentuk =

Ditambah car. Artificial (var. buatan)

Var. ini tidak boleh ≠ 0 harus = 0, jika ≠ 0 solusi tidak layak

3. Bentuk ≥

Diubah menjadi = dengan menambahkan var. surplus dan var. artivicial

4. Merupakan nilai kanan negative diubah dengan mengalikan dengan -1

♣ Pengubahan Var

Var. tidak terbatas diubah menjadi var. non negative

X1 var. tak terbatas

X1 = X2 – X3

Dengan X2, X3 Var. non – negative

- maksimumkan Z = x1 + x2

syarat :

X1 + 5X2 ≤ 5

2X1 + X2 ≤ 4

- maksimumkan Z = 80 X1 + 60 X2

dengan kendala :

0,20 X1 + 0,32 X2 ≤ 0,25

X1+ X2 = 1

Dan X1 dan X2 tak – negatif

- maksimumkan Z = 5X1 + 2X2

dengan kendala :

6X1 + X2 ≥ 6

4X1 + 3X2 ≥ 12

X1 + 2X2 ≥ 4

Dan X1 dan X2 tak - negatif

ALGORITMA SIMPLEKS1. Menentukan kolom kerja

2. Membuat nilai perbandingan antara NK dengan nilai kolom kerja untuk

setiap baris, kecuali baris fungsi obyektif

3. Merubah nilai pada baris pivot

4. Merubah var. dasar

5. Merubah semua nilai pada baris, selain baris pivot

6. Memeriksa apakah masih terdapat nilai negatif pada baris fungsi obyektif

Contoh kasus

Sebuah perusahaan Bakery memproduksi 2 jenis roti yaitu Roti A dan B.

Bahan baku utama kedua Roti sama yaitu tepung terigu, gula, dan mentega. Roti

A membutuhkan 50 gr tepung terigu, 25 gr gula dan 10 gr mentega untuk setiap

potongnya. Sedangkan roti B membutuhkan 60 gr tepung terigu, 20 gr gula dan

12 gr mentega. Diasumsikan permintaan konsumen sesuai dengan jumlah

produksi, tentukan jumlah Roti A dan Roti B yang harus diproduksi untuk

mendapatkan keuntungan yang maksimal, bila :

- Harga jual Roti A Rp 700 / potong

- Harga jual Roti B Rp 600 / potong

- Tepung terigu yang tersedia 10 kg

- Gula pasir yang tersedia 4 kg

- Mentega yang tersedia 2 kg

Jawab :

Formulasi model

Mis : X1 = ∑ Roti A

X2 = ∑ Roti B

Memaksimumkan Z = 700X1 + 600 X2

Dengan kendala 50 X1 + 60X2 ≤ 10000

25 X1 + 20X2 ≤ 4000

10 X1 + 12X2 ≤ 2000

dan semua var. tidak negatif

Diubah menjadi bentuk baku

Memaksimalkan Z = 700x1 + 600x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5

Dengan kendala 50X1 + 60X2 +X3 = 10000

25X1 + 20X2 + X4 = 4000

10X1 + 12X2 + X5 = 2000

Tabel 1 (simplek awal)

Var dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 -700 -600 0 0 0 0

X3 0 50 60 1 0 0 10000

X4 0 25 20 0 1 0 4000

X5 0 10 12 0 0 1 2000

10000 = 200 4000 = 160 2000 = 200

50 25 10

Var. dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 0 -40 0 28 0 112.000

X3 0 0 20 1 -2 0 2000

X1 0 1 0,8 0 0,04 0 160

X5 0 0 4 0 -0,04 1 400

2000 = 100 160 = 200 400 = 100

20 0,8 4

Var dasar Z X1 X2 X3 X4 X5 NK

Z 1 0 0 0 24 10 116000

X3 0 0 0 1 0 -5 0

X1 0 1 0 0 0,12 -0,2 80

X2 0 0 1 0 -0,1 0,25 100

X1 = 80 X2= 100 X3= 0 X4= 0 X5= 0

Z = 116.000

Penggunaan BIG M

▪ Dipergunakan bila pada kendala ditemui penggunaan var. artificial

≥, =

▪ Konstanta M berarti bil. Yang sangat besar

Rumus

Cj = V. Vj – Cj

Dimana :

C”j : koefisien baru untuk var. j pada fungsi tujuan

V : vector baris koefisien var basis pada fungsi tujuan

Vj : vector kolom koefisien var j pada kendala

Cj : koefisien var j pada fungsi tujuan

Contoh: menggunakan bentuk baku

C’X1 = [ 0 M M ] 1 - (-3) = -6M +3

-4

-2

C’X2 = [0 M M ] -2 - 1 = M -1

1

0

C’X4 = [ 0 M M ] 1 - 0 = 0

0

0

C’X5 = [ 0 M M ] 0 - 0 = -M

-1

0

C’X6 = [ O M M ] 0 - M = 0

1

0

C’X7 = [ 0 M M ] 0 - M = 0

0

1

C’NK = [ O M M ] 11 - 0 = 4M

3

1

Sehingga table simpleks awal sbb :

Var Z X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 NK

Dsr

Z 1 -6M +3 M-1 3M-1 0 -M 0 0 4M

X4 0 1 -2 1 1 0 0 0 11

X6 0 -4 1 2 0 -1 1 0 3

X7 0 -2 0 1 0 0 0 1 1

Minimisasi

● Dasar perhitungan untuk menyelesaikan masalah minimisasi sama dengan

masalah maksimisasi, tetapi untuk pemilihan kolom kerja dipilih kolom nilai positif

terbesar.

● Cara lain : kalikan fungsi obyektif dengan -1

Sehingga minimisasi menjadi masalah maksimisasi.

Lat :

Min Z = X1 + 2X2

Kendala 2X1 + 3X2 ≥ 12

3X1 + 7X2 ≥ 21

X1, X2 ≥ 0

Max Z = 2X1 + 4X2

Kendala X1 + 3X2 ≤ 12

5X1 + 6X2 ≥ 30

X1, X2 ≥ 0

BAB IVDUALITAS

Dualitas

Masalah dual menggunakan parameter yang sama dengan bentuk primal

Property hub. Primal – dual.

♦ weak duality property

CX ≤ Yb

♦ strong duality property

CX* = Y *b

♦ complementary solution property

cX= Yb

♦ complementary optimal solution property

CX* = Y*B

Yi adalahshadow price bagi masalah primal

♦ Symmetry property

Masalah primal dan bentuk dual, hubungannya harus simetris,karena

bentuk dual dari masalah dual adalah masalah primalnya.

Lat

Maks Z = 2X1 + 7X2 + 4X3

Kendala X1 + 2X2 + X3 ≤ 10

3X1 + 3X2 2X3 ≤ 10

X1, X2 , X3 ≥ 0

Maks Z = 3X1 + 5X2 + - 8X3

Kendala X1 + X2 + 2X3 ≤ 1

2X1 - X3 ≤ 1

X1,X2,X3 ≥ 0

Min Z = 3X1 + 5X2 – 8X3

Kendala X1 – 2X2 + 3X3 ≤ 1

X2 + 3X2 – X3 ≥ 7

X1, X2 ≥ 0, X3 tidak terbatas

BAB VMASALAH TRANSPORTASI

Masalah Taransportasi

Merupakan masalah pemrograman linier khususnya yang dikatakan paling

penting.

Pendekatan ini pertama kali di cetus kan oleh Hitch Cock dan dijelaskan lebih

menditail oleh Koopmans.

Contoh soal

Perusahaan P dan T adalah pengalengan buah pir dilakukan di 3 pabrik

pengalengan, kemudian dikirimkan dengan menggunakan truk ke empat gudang

distribusi. Disebabkan oleh membengkaknya biaya pengiriman pihak manajemen

memulai sesuatu studi untuk menurunkan biaya pengiriman untuk musim yang

akan datang. Suatu prakiraan tentang out put dari tiap pabrik telah dibuat, juga

dengan perkiraan tentang jumlah yang akan dialokasikan ditiap gudang distribusi

informasi tersebut, berikut dengan biaya pengiriman permuatan truk untuk tiap

kombinasi pabrik – gudang daapat dilihat pada table berikut.

Sumber \ tujuan 1 2 3 4 out put

1 464 513 654 867 75

Pabrik 2 352 416 690 791 125

3 995 682 388 685 100

Alokasi 80 65 70 85

Jadi totalnya ada 300 muatan truk yang akan dikirimkan masalahnya adalah

menentukan penugasan pengiriman pada berbagai kombinasi pabrik gudang

yang akan meminimunkan total biaya pengiriman

Minimumkan Z = 464x11 + 513X12 + 654X13 +867X14

352X12 +416X22 + 690X23 + 791X24

995X31 + 682X32 +388X33 + 685X34

Dengan kendala

X11 + X12 + X13 + X14 = 75

X21 + X22 +X23 +X24 = 125

X31 + X32 + X33 +X34 = 100

X11 + X21 + X31 = 80

X12+ X22 + X32 = 65

X13 + X23 + X33 = 70

X14 + X24 + X34 = 85

Xij ≥ 0 (Ci = 1,2,3 j = 1,2,3,4)

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12

464 513 654 867 352 416 690 791 995 682 388 685

1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

FORMULASI TRANSPORTASI

CONTOH :

Andaikan inggris, prancis dan spanyol memproduksi kebutuhan akan

gandum, barley dan oat. Untuk memproduksi barley dibutuhkan lahan seluas 60

juta hektar dan prod.oat 75 juta hekta. Luas lahan yang dapat digunakan untuk

memproduksi 3 jenis tanaman pangan adalah 70 juta hektar, 110 juta hektar dan

80 juta hektar. Jumlah jam kerja 1 hektar lahan gandum berturut – turut 18,13

dan 16, sedangkan parley 15,12,dan 12 jam kerja dan oat 12,10.dan 16 jam

kerja.upah kerja per jam untuk setiap Negara $3,00, $2,40 dan $3,30, untuk

lahan barley $2,70, $3,00 dan $2,80 per jam dan oat $2,30, $2,50 dan $2,10 per

jam.bagaiman mengalokasikan penggunaan lahan ditiap Negara untuk

memenuhi kebutuhan dunia dan untuk meminimumkan upah kerja total yang

dibayarkan.

Jawab :

Dari\ke gandum barley oat

Inggris 18 x 3,00 15 x 2,70 12 x 2,30 70

Perancis 13 x 2,40 12 x 3,00 10 x 2,50 110

Spanyol 16 x 3,30 12 x 2,80 16 x 2,10 80

125 60 75

Dari \ ke gandum barley oat supply

Inggris 54,0 40,5 27,6 70

Perancis 31,2 36,0 25,0 110

Spanyol 52,8 33,6 33,6 80

Demand 125 60 75

Prosedur dalam metode transportasi

Russel

Tentukan biaya terbesar dalam tiap daris dan kolom.

Δij = Cij – ui – vj

U1 = 54,0 v1 = 54,0

U2 = 36,0 v2 = 40,5

U3 = 52,8 v3 = 33,6

Δ11 = 54,0 – 54,0 – 5,40 = -54,0

Δ12 = 40,5 – 54,0 – 40,5 = -54,0

Δ13 = 27,6 – 54,0 – 33,6 = -60,0

Δ21 = 31,2 – 36,0 – 54,0 = -58,8

Δ22 = 36,0 – 36,0 – 46,0 = -40,5

Δ23 = 25,0 - 36,0 – 33,6 = - -44,6

Δ31 = 52,8 – 52,8 – 54,0 = -54,0

Δ32 = 33,6 – 52,8 – 40,5 = -59,7

Δ33 = 33,6 – 52,8 – 33,6 = -52,8

U2 = 36,0 v1 = 52,8

U3 = 52,8 v2 = 36,0

V3 = 33,6

Δ21 = 31,2 – 36,0 – 52,8 = -57,60

Δ22 = 36,0 – 36,0 – 36,0 = -36,0

Δ23 = 25,0 – 36,0 – 33,6 = -44,6

Δ31 = 52,8 – 52,8 – 36,0 = -52,8

Δ32 = 33,6 – 52,8 – 36,0 = -55,2

Δ33 = 33,6 – 52,8 – 33,6 = -52,8

METODANorthwest corner Least cost

70 70

55 55 35 75

5 75 20 60

Vogel russela. 15 55 70

110 110

5 75 15 60 5

b. 70

110

15 60 5

Solusi optimal

Dari\ke gandum barley oat supply

Inggris 54.0 40,5 27,6 70

Perancis 31,2 36,0 25,0 110

Spanyol 52,8 33,6 33,6 80

Demand 125 60 75

Metode modi

● menentukan nilai Uj untuk setiap baris

Vj untuk setiap kolom

Dengan rumus Cj = Ui + Vj

Contoh: Alokasi BIAYA

N. W. C 70 U1 54,0 40,5 27,6

55 55 U2 31,2 36,0 25,0

5 75 U3 52,8 33,6 33,6

V1 V2 V3

● Dibawah ini dengan memilih baris / kolom yang telah terisi terbanyak

Mialnya baris 2 U2 = 0

C31 = U2 +V1 V1 = C21 – U2 = 31,2 – 0 = 31,2

C22 = U2 + V2 V2 = C22 – U2 = 36,0 – 0 =31,2

C32 = U3 +V2 U3 = C32 – V2 = 33,6 – 33,6 = -2,4

C33 = U3 +V3 V3 = C33 – U3 = 33,6 – (-2,4) = 36,0

C11 = U1 +V1 U1 = C11 – V1 = 54,0 – 31,2 = 22,8

● MENENTUKAN KOTAK KOSONG DENGAN RUMUS

Cij – Ui – Vj

Jadi 70 18,3 -31,2

55 55 -11

24,0 5 75

Belum optimal

BAB VI PENEMPATAN KARYAWAN

Contoh kasus

Sebuah perusahaan restoran swalayan (fast food) ingin membangun

empat buah took di daerah perkotaan bandung. Dimasa lalu, perusahaan ini

telah menggunakan enam perusahaan bangunan yang berbeda dan merasa

puas dengan hasil kerja masing – masing perusahaan ini. Karena itu ia

menawarkan mereka tiap – tiap pekerjaan ini. Tawaran terakhir (dalam ribuan

dolar ) tersaji dalam table berikut.

1 2 3 4 5 6

Toko 1 85,3 88 87,5 82,4 89,1 86,7

Toko 2 78,9 77,4 77,4 76,5 79,3 78,3

Toko 3 82 81,3 82,4 80,6 83,5 81,7

Toko 4 84,3 84,6 86,2 83,3 84,4 85,5

Karena peruahaan fast food ini ingin keempat buah toko ini siap secepat

mungkin,maka ia akan menghadiahkan paling tinggi satu pekerjaan bagi satu

perusahaan bangunan. Penetapan yang manakah yang akan menghasilkan

biaya total minimum bagi fast food ini?

BAB VIIGAME THEORY

♠ Pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik

antara berbagai kepentingan.

♠ Melibatkan 2 / lebih pengambilan keputusan

♠ Kasus didentifikasi berdasarkan :

- Jumlah pemain

- Jumlah keuntungan dan kerugian

- Jenis strategi yang digunakan.

Saddle point dan titik keseimbangan antara nilai pemain kedua

pemain

Contoh

Matriks pa – off

Pemain II

1 2 3 strategi pemain II

Pemain 1 -3 -2 6

I 2 2 0 2

3 5 -2 -4

Strategi pemain

Nilai angka + menunjukkan untuk pemain bagian 1 dan pemain ke 2

pemain kolom

Pemain menggunakan :

▪ Maximin (pemain I ) ▪Minimaks (pemain II)

Baris 1 = -3 kolom 1 = 5

Baris 2 = 0 kolom 2 = 0

Baris 3 = -4 kolom 3 = 6

Maks = 0 min = 0

Jika max = min maka terdapat saddle poin, hasil optimal dengan pure

strategy

Jika tidak terdapat saddle point dengan menggunakan mixed strategy

Metode yang dapat digunakan pada mixed strategy

- Metode analisis

- Metode grafik

- Metode aljabar matriks

- Metode pemrograman linier