BAB 8 : TABURAN KEBARANGKALIAN

Sesi 1

Taburan Binomial

A. Pembolehubah rawak diskret

Contoh

Jika X ialah satu pembolehubah rawak diskret yang mewakili bilangan hari hujan dalam

seminggu, senaraikan semua nilai yang mungkin bagi X.

Penyelesaian

𝑋 = {0,1,2,3,4,5,6,7}

B. Kebarangkalian suatu peristiwa dalam taburan binomial

1. Satu eksperimen yang mempunyai dua kesudahan sahaja iaitu kejayaan atau kegagalan.

2. Kebarangkalian untuk memperolehi r kali kejayaan dalam taburan binomial diberi oleh

P(X = 𝑟) = ⁿC𝑟p𝑟qn−r

dengan

Contoh 1

Jika sekeping duit syiling dilambung 8 kali, cari kebarangkalian bahawa angka muncul sebanyak

5 kali.

Penyelesaian

n = 8

𝑟 = 5

p =1

2 , q =

1

2

P(X = 5) = ⁸C5 (1

2)

5

(1

2)

3

= 0.2188

n = bilangan percubaan

p = kebarangkalian kejayaan

q = kebarangkalian kegagalan (dengan p+q=1)

Contoh 2

Syafikah membeli 10 biji oren. Kebarangkalian sebiji oren yang dibeli masam ialah 0.2. Carikan

kebarangkalian bahawa oren itu

(a) tepat sebiji masam,

(b) tidak lebih daripada sebiji oren masam,

(c) sekurang-kurangnya dua biji oren masam.

Penyelesaian

n = 10

p = 0.2 , q = 0.8

(a) P(X = 1) = ¹⁰C1(0.2)1(0.8)9

= 0.2684

(b) P(X = 0) + P(X = 1)

= ¹⁰C0(0.2)0(0.8)10 + 0.2684

= 0.3758

(c) P(X = 2) + P(X = 3)+. . . . +P(X = 10)

= 1 − [P(X = 0) + P(X = 1)]

= 1 − 0.3758

= 0.6242

Graf Taburan Binomial

Contoh

Sebuah keluarga mempunyai tiga orang anak. Jika X mewakili bilangan anak lelaki,

(a) senaraikan elemen pembolehubah rawak diskret binomial X,

(b) hitungkan kebarangkalian untuk setiap elemen X,

(c) plotkan graf untuk mewakili taburan binomial X.

Penyelesaian

(a) 𝑋 = {0,1,2,3}

(b) P(X = 0) = ³C0 (1

2)

0

(1

2)

3

=1

8

P(X = 1) = ³C1 (1

2)

1

(1

2)

2

=3

8

P(X = 2) = ³C2 (1

2)

2

(1

2)

1

=3

8

P(X = 3) = ³C3 (1

2)

3

(1

2)

0

=1

8

(c)

Sesi 2

Min, varians dan sisihan piawai bagi taburan binomial

Min, μ = 𝑛𝑝

Varians, 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞

Sisihan piawai, σ = √𝑛𝑝𝑞

𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)

Contoh 1

X ialah pembolehubah rawak diskret dengan 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝). Jika min dan sisihan piawai X masing-

masing ialah 9.6 dan 2.4, carikan nilai n.

1

8

2

8

3

8

𝑃(𝑋 = 𝑟)

0 1 2 3

𝑋 = 𝑟

Penyelesaian

𝜇 = 𝑛𝑝 = 9.6

𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = 2.4

⟹ √9.6𝑞 = 2.4

9.6𝑞 = 5.76

𝑞 =5.76

9.6

= 0.6

⟹ 𝑝 = 1 − 𝑞

= 1 − 0.6

= 0.4

𝑛𝑝 = 9.6

⟹ 𝑛(0.4) = 9.6

∴ 𝑛 =9.6

0.4

= 24

Contoh 2

Dalam satu peperiksaan percubaan SPM di sekolah, 2 daripada 5 orang pelajar gagal dalam

Bahasa Inggeris.

(a) Jika 6 orang dipilih secara rawak, carikan kebarangkalian tidak lebih daripada 2 orang pelajar

gagal Bahasa Inggeris.

(b) Jika terdapat 200 orang pelajar tingkatan 5 di sekolah itu, carikan min dan sisihan piawai

bilangan pelajar yang gagal Bahasa Inggeris.

Penyelesaian

𝑝 =2

5 , 𝑞 =

3

5

(a) 𝑛 = 6

P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

= ⁶C0 (2

5)

0

(3

5)

6

+ ⁶C1 (2

5)

1

(3

5)

5

+ ⁶C2 (2

5)

2

(3

5)

4

= 0.5443

(b) 𝑛 = 200

Min, μ = np

= 200 (2

5)

= 80

𝜎 = √𝑛𝑝𝑞

= √200 ×2

5×

3

5

= 6.928

Contoh 3

Dalam satu kaji selidik, 60% daripada pesakit yang menghidap penyakit tertentu dipulihkan

dengan ubat Y. Jika seorang doktor ingin memberi rawatan kepada 7 orang pesakit yang dipilih

secara rawak dengan ubat Y, apakah kebarangkalian

(a) 4 orang pesakit akan pulih?

(b) lebih daripada 5 orang pesakit akan pulih?

Penyelesaian

𝑝 = 0.6 , 𝑞 = 0.4 , 𝑛 = 7

(a) P(X = 4) = ⁷𝐶4(0.6)4(0.4)3

= 0.2903

(b) P(X = 6) + P(X = 7)

= [⁷𝐶6(0.6)6(0.4)1] + [⁷𝐶7(0.6)7(0.4)0]

= 0.1306 + 0.02799

= 0.1586

Contoh 4

Sebuah kilang menghasilkan komponen elektronik. 10% daripada komponen tersebut adalah

rosak.

(a) Jika seorang juruteknik memilih 100 komponen itu secara rawak untuk diuju, carikan min

dan sisihan piawai bagi komponen yang rosak.

(b) Carikan bilangan komponen yang minimum supaya kebarangkalian memperoleh sekurang-

kurangnya satu komponen rosak melebihi 0.8.

Penyelesaian

𝑝 = 0.1 , 𝑞 = 0.9

(a) 𝑛 = 100

Min, μ = np

= 100(0.1)

= 10

Sisihan piawai, 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞

= √10(0.9)

= √9

= 3

(b) P(X ≥ 1) > 0.8

⟹ 1 − P(X = 0) > 0.8

1 − ⁿC0(0.1)0(0.9)n > 0.8

ⁿC0(0.1)0(0.9)n < 0.2

0.9n < 0.2

nlog10(0.9) < log100.2

n >log100.2

log100.9

n > 15.28

⟹ n = 16

Sesi 3

Taburan Normal Piawai

Kebarangkalian skor-z.

Contoh

Cari nilai bagi setiap yang berikut :

(a) P(Z > 1.92)

(b) P(Z < −1.925)

(c) P(Z ≤ 1.925)

(d) P(Z > −2.3)

(e) P(1.0 < Z < 2.0)

(f) P(−2.5 < Z < −1.3)

(g) P(−2.15 ≤ Z ≤ 0.5)

Penyelesaian

(a)

P(Z > 1.92) = 0.0274

(b)

P(Z < −1.925)

= P(Z > 1.925)

= 0.0271

(c)

𝑓(𝑧)

1.92 𝑧

𝑓(𝑧)

1.925 𝑧

−1.925

𝑓(𝑧)

1.925 𝑧

P(Z ≤ 1.925)

= 1 − P(Z > 1.925)

= 1 − 0.0271

= 0.9729

(d)

P(Z > −2.3)

= 1 − P(Z < −2.3)

= 1 − P(Z > 2.3)

= 1 − 0.0107

= 0.9893

(e)

P(1.0 < Z < 2.0)

= P(Z > 1.0) − P(Z > 2.0)

= 0.1587 − 0.0228

= 0.1359

𝑓(𝑧)

−2.3 𝑧

𝑓(𝑧)

2.0 𝑧

1.0

(f)

P(−2.5 < Z < −1.3)

= P(1.3 < Z < 2.5)

= P(Z > 1.3) − P(Z > 2.5)

= 0.0968 − 0.00621

= 0.09059

(g)

P(−2.15 ≤ Z ≤ 0.5)

= 1 − P(Z < −2.15) − P(Z > 0.5)

= 1 − P(Z > 2.15) − P(Z > 0.5)

= 1 − 0.0158 − 0.3085

= 0.6757

#NOTA

1. P(|𝑍| < 𝑎)

= P(−a < Z < a)

2. P(|𝑍| > 𝑎)

= P(Z > a) + P(Z < −a)

𝑓(𝑧)

2.5 𝑧

1.3 −2.5 −1.3

𝑓(𝑧)

𝑧 0.5 −2.15

Sesi 4

Contoh 2

Carikan skor-z bagi setiap yang berikut :

(a) P(Z > z) = 0.3974

(b) P(Z < z) = 0.0202

(c) P(Z ≤ z) = 0.7

(d) P(Z > z) = 0.9247

(e) P(−1.2 ≤ Z ≤ 𝑧) = 0.237

Penyelesaian

(a)

P(Z > z) = 0.3974

𝑧 = 0.26

(b)

P(Z < z) = 0.0202

P(Z > −z) = 0.0202

−z = 2.05

∴ z = −2.05

𝑓(𝑧)

𝑧 𝑧

0.3974

𝑓(𝑧)

𝑧 𝑧

0.0202

(c)

P(Z ≤ z) = 0.7

1 − P(Z > z) = 0.7

P(Z > z) = 0.3

z = 0.524

(d)

P(Z > z) = 0.9247

1 − P(Z < z) = 0.9247

1 − P(Z > −z) = 0.9247

P(Z > −z) = 0.0753

−z = 1.438

z = −1.438

𝑓(𝑧)

𝑧 𝑧

0.7

𝑓(𝑧)

𝑧 𝑧

0.9247

(e)

P(−1.2 ≤ Z ≤ z) = 0.237

P(−z ≤ Z ≤ 1.2) = 0.237

P(Z > −z) − P(Z > 1.2) = 0.237

P(Z > −z) − 0.1151 = 0.237

P(Z > −z) = 0.3521

−z = 0.38

z = −0.38

Menukarkan pembolehubah rawak bagi taburan normal, X, kepada pembolehubah

piawai, Z

Z =𝑋 − 𝜇

𝜎

Contoh

Taburan normal X mempunyai min 15 dan varians 16. Cari skor-z apabila

(a) 𝑥 = 18

(b) 𝑥 = 15

(c) 𝑥 = 12.5

Penyelesaian

(a) Z =18−15

4

=0.75

(b) Z =15−15

4

= 0

(c) Z =12.5−15

4

= −0.625

𝑓(𝑧)

𝑧 𝑧

0.237

−1.2

Mewakilkan kebarangkalian sesuatu peristiwa dengan mengunakan tatatanda set

Contoh

Jisim buah jambu yang dipetik dari sebuah dusun mempunyai taburan nomal dengan min 250 g

dan sisihan piawai 20 g. Wakilkan kebarangkalian jisim buah jambu yang dipilih secara rawak

adalah lebih besar daripada 200 g tetapi kurang daripada 300 g dalam bentuk tatatanda set.

Penyelesaian

𝜇 = 250 g

𝜎 = 20 g

P(200 < X < 300)

= P (200 − 250

20< Z <

300 − 250

20)

= P(−2.5 < Z < 2.5)

Sesi 5

Menyelesaikan masalah yang melibatkan taburan normal

Contoh 1

Markah sekumpulan pelajar dalam ujian Matematik Tambahan bertabur secara normal dengan

min 55 dan varians 36. Jika seorang pelajar dipilih secara rawak, carikan kebarangkalian

(a) markahnya lebih daripada 75,

(b) markahnya diantara 50 dan 75.

Penyelesaian

𝜇 = 55

𝜎2 = 36, ⟹ 𝜎 = 6

(a) P(X > 75)

= P (Z >75 − 55

6)

= P (Z >10

3)

= 0.00043

(b) P(50 < X < 75)

= P (50 − 55

6< Z <

75 − 55

6)

= P(−0.833 < Z < 3.333)

= 1 − P(Z < −0.833) − P(Z > 3.333)

= 1 − P(Z > 0.833) − P(Z > 3.333)

= 1 − 0.2024 − 0.00043

= 0.79717

Contoh 2

Jisim sekeping biskut bertabur secara normal dengan min 7 g dan sisihan piawai 0.2 g.

(a) Carikan kebarangkalian biskut yang dipiih secara rawak mempunyai jisim lebih daripada

7.25 g.

(b) Jika 80% daripada biskut mempunyai jisim lebih daripada t g, carikan nilai t.

Penyelesaian

𝜇 = 7 g

𝜎 = 0.2 g

(a) P(X > 7.25)

= P (Z >7.25 − 7

0.2)

= P(Z > 1.25)

= 0.1056

(b) P(X > 𝑡) = 0.8

⟹ P (Z >𝑡 − 7

0.2) = 0.8

1 − P (Z <𝑡 − 7

0.2) = 0.8

1 − P (Z > − [𝑡 − 7

0.2]) = 0.8

P (Z > − [𝑡 − 7

0.2]) = 0.2

− [𝑡 − 7

0.2] = 0.842

𝑡 − 7

0.2= −0.842

∴ 𝑡 = 6.8316

Contoh 3

Tinggi sekumpulan ahli kadet yang mengambil bahagian dalam perbarisan Hari Kebangsaaan

bertabur secara normal dengan min 165 cm dan sisihan piawai 8 cm.

(a) Cari kebarangkalian seorang ahli kadet yang dipilih secara rawak mempunyai ketinggian

di antara 157 cm dan 177 cm.

(b) Carikan bilangan ahli kadet yang tinggi mereka di antara 157 cm dan 177 cm, diberi bahawa

terdapat sekumpulan 2000 orang ahli kadet.

Penyelesaian

𝜇 = 165, 𝜎 = 8

(a) P(157 < X < 177)

= P (157 − 165

8< Z <

177 − 165

8)

= P(−1 < Z < 1.5)

= 1 − P(Z < −1) − P(Z > 1.5)

= 1 − P(Z > 1) − P(Z > 1.5)

= 1 − 0.1587 − 0.0668

= 0.7745

(b) P(A) =n(A)

n(S)

0.7745 =n(A)

2000

∴ n(A) = 0.7745 × 2000

= 1549