126732991 taburan normal

Bab 7 : Taburan Normal7.1Pengenalan7.2Taburan Normal Piawai7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z7.2.2 Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalian7.3Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal7.4Mendapatkan nilai bagi taburan normal7.5Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan binomial

Bab 7 - Taburan Normal

7.1PengenalanDefinisi:Jika satu pembolehubah rawak selanjar mempunyai taburan di mana graf adalah simetri dan berbentuk loceng, kita katakan ia tertabur normal atau mempunyai taburan normal.Min =


7.1PengenalanParameter bagi lengkung normal >> min, dan sisihan piawai, Lengkung normal simetri sekitar minSerakan taburan normal bergantung kepada sisihan piawai

Semakin besar >> lengkung menjadi semakin mendatar


7.1Pengenalan

Rajah 2


7.1PengenalanSatu lengkung normal akan mempunyai ciri-ciri berikut:Berbentuk locengSimetri sekitar minMenghampiri paksi melintang tetapi tidak akan menyentuh apabila di luar julat -3 hingga +3


7.1Pengenalan

Rajah 3


7.2 Taburan normal piawai

Taburan normal piawai adalah taburan kebarangkalian normal yang mempunyai min, = 0 dan sisihan piawai, = 1


7.2 Taburan normal piawai

Dengan = 0 dan = 1, mudahkan utk mengira kawasan dibawah lengkung. Luas kawasan di bawah lengkung = 1Rajah 4


7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zDaripada rajah 4, kawasan di bawah lengkung adalah 0.3413Untuk mengetahui kawasan tersebut (juga dirujuk sebagai kebarangkalian), rujuk kepada jadual taburan normal piawai.


7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zPanduan jadual taburan normal piawai:Jadual ini hanya boleh digunakan untuk taburan normal piawai yang mempunyai = 0 dan = 1.Nilai2 yg terdapat dalam jadual menunjuk kpd kawasan di bawah lengkung. Ada bny jenis jadual.Skor z = jarak pada skala melintang bagi taburan normal piawai; rujuk di sebelah kiri dan atas jadual.Kawasan = luas dibawah lengkung; nilai di dalam ruang tengah jadual.


7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor z


Contoh 1:Sykt Precision Scientific Instrument mengeluarkan termometer yg memberi bacaan 0C pada tahap beku air. Ujian yg dijlankan ke atas satu sampel termometer tersebut mendapati sesetengah termometer memberi bacaan di bawah 0C pada tahap beku air manakala sebahagian memberi bacaan di atas 0C. Andaikan min bacaan adalah 0C dan sisihan piawai adalah 1.00C serta bacaan suhu adalah bertaburan normal. Jika satu termometer dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian bahawa pada tahap beku air bacaan adalah 0C dan 1.58C.


Contoh 1: PenyelesaianDapatkan kawasan di antara 0 dan z. z = 1.58


Contoh 2:Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara 2.43C dan 0C pada tahap beku air.


Contoh 3:Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan lebih daripada 1.27C pada tahap beku air.


Contoh 4:Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalian bagi satu termometer yg dipilih secara rawak memberi bacaan di antara 1.27C dan 2.30C pada tahap beku air.


7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zKebarangkalian juga boleh menggunakan notasi-notasi seperti berikut:

P(a < z < b)Kb bagi skor z berada di antara a dan bP(z > a)Kb bagi skor z lebih besar daripada aP(z < a)Kb bagi skor z lebih kecil daripada aBagi cth 4, dgn menggunakan notasiP(1.27< z

7.2.1Mendapatkan kebarangkalian apabila diberi skor zBagi taburan kebarangkalian selanjar seperti taburan normal, kebarangkalian untuk mendpat nilai yg tepat adalah 0, iaitu P(z = a)= 0.Misalnya, kebarangkalian mendpt seseorg secara rawak yg mempunyai ketinggian tepat 165.79 cm adalah 0.



Lebih daripada xBesar daripada xTidak kurang daripada xSekurang-kurangnya x



Kurang daripada xTidak lebih daripada x



Di antara x1 dan x2


7.2.2Mendapatkan skor z apabila diberi kebarangkalianContoh 5:Guna cth yg sama, dapatkan suhu yang berkaitan dengan P95, persentil ke 95.Dari itu z = 1.645


Contoh 6:Guna contoh yg sama, dapatkan P10, persentil ke-10Dari itu z = -1.28


7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal

Satu pembolehubah yg tertabur normaldengan min, = 0 dan sisihan piawai, = 1dikatakan mempunyai taburan normalpiawai.Dari segi praktikal tidak dapatmin, = 0 dan sisihan piawai, = 1, tapi perolehi taburan normal am.



Tukar taburan normal am kepada taburan normal piawai menggunakan rumusz = x -



Apabila diberi taburan normal, anda boleh menggunakan jadual taburan normal piawaiuntuk mendapatkan kebarangkalian atauskor z seperti sub topik sebelum ini dengansyarat nilai ditukar kpd skor z dahulu.



Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak dengan taburan normal.Lakarkan lengkung normal, labelkan min dan nilai x.Lorekkan kawasan yg dikehendaki.Utk nilai x iaitu sempadan kawasan yg berlorek

gunakan formula z = x - utk menukarkan nilai kpd skor z.4.Rujuk jadual utk mendptkan kebarangkalian


Contoh 7:Dlm merekabentuk semula tempat duduk jet utk disesuaikan dgn juruterbang wanita, didapati berat wanita adalah bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Jika seorg wanita dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian dia mempunyai berat di antara 143 lb dan 201 lb.Lakar lengkung normal dan lorek kawasan yg dikehendaki.


Contoh 7: (Samb)

Katakan X : berat ~ N(143, 292)Tukarkan nilai kepada skor z, Z~N(0,1)Dari itu P(143 < x

Contoh 8:Katakan rekabentuk tempat duduk jet yg asal boleh menampung berat lelaki di antara 140 lb dan 211 lb. Berapa peratuskah wanita yg mempunyai berat yg sama seperti selang tersebut?


Contoh 8:Kawasan yang dikehendaki adalah A + BDari itu P(140 < x

Fikir dan buat 1Ketinggian ketika duduk di dalam kereta merupakan kriteria penting dalam merekabentuk model kereta yang baru. Golongan lelaki mempunyai ketinggian ketika duduk yang bertaburan normal dengan min 36 inci dan sisihan piawai 1.4 inci. Jurutera-jurutera di sebuah kilang pemasangan kereta telah mengemukakan perancangan pembuatan yang boleh memberikan ketinggian ketika duduk sehingga 38.8 inci. Walau bagaimanapun ia tidak dapat memberikan keselesaan kepada lelaki yang mempunyai ketinggian lebih daripada itu. Jika seorang lelaki dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian dia mempunyai ketinggian ketika duduk yang kurang daripada 38.8 inci. Berdasarkan keputusan tersebut, adakah rekabentuk yang baru ini sesuai?


7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal

Berikut merupakan prosidur utk mendapatkan nilai.1.Lakarkan lengkung normal.2.Lorekkan kawasan yg dikehendaki melaluikebarangkalian atau peratusan yg diberi.Guna jadual utk dapatkan skor z yg berkaitan dgn

kawasan yg dikehendaki disempadani oleh nilai x.a) drp jadual, dapatkan nilai yg hampirb) tentukan skor z.Masukkan ke dalam formula, utk dapatkan x.

x = + (z )


Contoh 9:Dengan menggunakan peristiwa berat wanita yg bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Dapatkan nilai P10.


Contoh 9:Dengan itu,z = -1.28 = 143 = 29


Contoh 10:Andaikan suhu badan bagi org dewasa yg sihat adalah bertaburan normal dgn min 98.20F dan sisihan piawai 0.62F. Jika seorg penyelidik ingin membuat kajian ke atas org dewasa 2.5% di bawah dan org dewasa 2.5% di atas, dptkan suhu yg dimaksudkan.


Contoh 10:Dengan itu,z = 1.96 = 98.2 = 0.62dan,z = -1.96 = 98.2 = 0.62


Fikir dan buat 2Pada lazimnya purata jangkamasa ujian pencapaian ialah 70 minit, dengan sisihan piawai 12 minit. Berapakah jangkamasa yang harus diberikan agar 90% daripada pelajar akan dapat siap peperiksaan tersebut.


Fikir dan buat 3X~N(0,1). Dapatkan kuartil ke-3 dan pertama bagi taburan X.


7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepada taburan binomial

Kaedah ini digunakan untuk mendapatkankebarangkalian binomial.Kaedah penghampiran normal dalam menyelesaikan masalah kebarangkalian binomial selalunya digunakan setelah prosidur lain tidak boleh digunakan atau memakan masa yang lama.Lazimnya digunakan apabila n bagi taburan binomial terlalu besar. Apabila n terlalu besar sukar buat pengiraan.



Misalnya satu soal selidik dijalankan ke atas 500pelajar sekolah menengah untuk mengetahui samadamereka berminat di dalam matapelajaran matematik.Tiap-tiap pelajar dikehendaki menjawab ya atautidak. Katakan kb seseorang meminati matematikialah 0.5.Ini ujikaji binomial, X~b(x;500,0.5)Katakan kita hendak P(X280) = f(0)+f(1)++f(280)Maka pengiraan menjadi rumit, apabila n besar.ATAUn tiada dlm jadual, p terlalu kecil.



Jika np 5 dan nq 5, maka pembolehubah rawak binomial adalah hampir tertabur dengan min dan sisihan piawai seperti berikut


Langkah-langkah utk melakukan penghampiran

MulaSelesaikan masalah kebarangkalianbinomial menggunakanFormulaJadual

Adakah np 5 dan nq 5 adalah benarLakarkan lengkung normal dan kawasan yg dikehendaki. Buatpembetulan keselanjaran.Kira z = x - Rujuk jadual


Prosidur menggunakan taburan normal sebagai penghampiran kepada taburan normalSemak samada np 5 dan nq 5. Jika tidak jangan lakukan penghampiran.Dapatkan nilai bagi parameter dan menggunakan formula dan

Kenalpasti nilai diskrit x. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd nilai selang drp x - 0.5 atau x + 0.5. Lakarkan lengkung normal dan masukkan nilai.Dapatkan kawasan yg dikehendaki.


Pembetulan keselanjaran

Oleh kerana taburan binomial adalah berbentuk diskrit dan taburan normal berbentuk selanjar, apabila menggunakan penghampiran normal, kita perlu tukar nombor diskrit kepada nombor selanjar iaitu selang 0.5 di bawah nombor diskritdan 0.5 di atas nombor diskrit.


Prosidur membuat pembetulan keselanjaran.Apabila menggunakan taburan normal sebagai penghampiran kpd taburan binomial, hendaklah sentiasa buat pembetulan keselanjaran.Kenalpasti nombor diskrit x. drp cth 11, nombor diskrit x adalah x = 520.Lakarkan taburan normal dan tandakan x. tandakan disebelah kiri x sebagai x 0.5 dan di sebelah kanan x sebagai x + 0.5Kemudian kenalpasti apa yg dikehendaki oleh masalah; sekurang-kurangnya x atau lebih drp x atau kurang drp x atau tepat x. Kemudian lorek kawasan yg dikehendaki.


Contoh 11Pengetua disebuah kolej mendapati calon-calon yg ingin memasuki kolej telah dibahagi sama rata di antara lelaki dan perempuan. Beliau membuat kesimpulan pelajar yg berjaya adalah 50% lelaki dan 50% perempuan. Beliau menyemak data kemasukkan tahun lepas dan mendapati drp 1000 org pelajar, 520 org adalah pelajar lelaki. Dapatkan kebarangkalian memilih sekurang-kurangnya 520 org lelaki secara rawak. Berdasarkan kebarangkalian tersebut, adakah diskriminasi berlaku?


Contoh 11Maklumat:Bilangan ujikaji, n =10002 kategori (lelaki, perempuan) adalah kesudahan dgn kebarangkalin 0.5.Kalau guna jadual, n sampai 30 shjDari itu guna penghampiran normal.Semak np 5 dan nq 5. (ya)

Nilai diskrit x = 520. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd nilai selang 519.5 dan 520.5Dapatkan kawasan yg dikehendaki.


Contoh 11

Tukarkan nilai kepada skor z

Dari itu kawasan = 0.1093


Contoh : rujuk contoh 11

PernyataanKawasan1. Sekurang-kurangnya 520Ke kanan 519.52. Lebih drp 520Ke kanan 520.53. Tidak lebih drp 520Ke kiri 520.54. Kurang drp 520Ke kiri 519.55. Tepat 520Di antara 519.5 dan 520.5


15432


Contoh 12Menurut satu kajian yg lepas, kira-kira 4.4% kemalangan kereta adalah disebabkan tayar tidak sempurna. Jika satu kajian membuat pemilihan secara rawak terhadap 750 kes kemalangan, dapatkan kebarangkalian tepat 35 kemalangan disebabkan tayar tidak sempurna.


Contoh 12Taburan binomial, n = 750 p = 0.044 q = 0.956 x = 35X~b(x;750, 0,044)Semak np 5 dan nq 5. (ya)

X~N(33, 31.55)


Contoh 123. 4.


Fikir dan buat 4Di dalam sebuah kotak yang akan dihantar ke sebuah kedai komputer terdapat 100 unit tetikus. Dengan penghampiran Normal, hitung kebarangkalian bahawa,i.tidak lebih daripada 5 unit tetikus mengalami kerosakan.ii.4 hingga 7 unit tetikus mengalami kerosakan.iii.Di dapati 20% daripada tetikus yang dihantar lebih daripada k unit mengalami kerosakan. Cari nilai k.


Fikir dan buat 5A survey conducted by the Association of Executive Search Consultantsrevealed that 75% of all chief executive officers believe that corporationsshould have fast-track training programs installed to help developespecially talented employees. At the same time, the study found that only 47% of the companies actually have such programs operating at their companies. Average annual sales of the companies in the sample were $2.3 billion (Fortune, How to Tame the Fiercest Headhunter, July 20, 1998). Suppose you randomly selected 50 of the questionnaires returned by the collection of CEOs. Use the normal approximation to the binomial distribution to find the probability that from within your collection: i.More than 35 of the CEOs think that corporations should have a fast-track program installed. ii.Fewer that 25 of the companies have a fast-track program in operation. iii.Between 30 to 40 of the CEOs think that corporations should have a fast-track program installed. iv.Between 20 to 30 of the companies have a fast-track program in operation.


Fikir dan buat 6Berdasarkan pengalaman lepas 5% daripada tempahan tiket kapalterbang yang dibuat melalui telefon tidak dituntut. 20 tempahan tiket kapalterbang dipilih secara rawak. Hitungkan kebarangkalian bahawa5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.Kurang daripada 4 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.Tidak kurang daripada 3 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.Sekiranya sebuah agensi pelancongan menerima 300 tempahan, dengan menggunakan penghampiran normal, berapakah kebarangkalian bahawaSekurang-kurangnya 5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.3 hingga 8 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.


126732991 taburan normal

Documents