04/19/23 1

BAB 6.Dinamika Partikel

04/19/23 2

Dinamika (cabang mekanika), mempelajari menga-pa benda menjadi bergerak (diam) dan jika ber-gerak bagaimana lintasan gerak benda tersebut.

Dinamika, membicarakan mengapa benda di sekitar permukaan bumi selalu jatuh menuju bumi, benda bergerak lurus, melingkar dan lain sebagainya. Di alam benda selalu berinteraksi dengan benda la-in.

Hasil interaksi, menyebabkan benda bergerak dan pada umumnya lintasannya lengkung.

Pendahuluan.

04/19/23 3

Konsep interaksi antar benda memunculkan kon-sep gaya (notasi F).

F inilah yang menjadi dasar pembicaraan dalam di-namika.

Gerakan benda-benda langit, akibat interaksi antar benda langit yang satu dengan yang lain, hasil ge-rakannya berupa garis lengkung.

Bumi mengelilingi matahari dengan lintasan elips (lengkung tertutup).

Bumi mengelilingi matahari merupakan hasil inter- aksi antara bumi-matahari.

Lanjutan.

04/19/23 4

Sir Isaac Newton (1642 - 1727) ilmuwan ber-

kebangsaan Inggris, banyak jasanya dalam

mengembangkan mekanika.

reaksi) - (aksi III,

) ( II,

n)(kelembama I,

gerak) (tentangNewton Hukum

m aF

Lanjutan.

04/19/23 5

04/19/23 6

Partikel bebas (partikel yang berdiri sendiri, kon-sep ideal) dianggap partikel yang tidak melaku-kan (tidak memiliki) interaksi dengan partikel lain.

Hukum Pertama Newton.

Benda bebas dibuat dengan cara benda/partikel dilindungi agar tidak melakukan interaksi dengan benda lain (kita mengabaikan interaksinya).

Hal tersebut sebenarnya sulit diperoleh, karena bagaimanapun partikel di alam pasti melakukan interaksi dengan partikel-partikel lain.

04/19/23 7

Sir Isaac Newton mendefinisikan hukum pertama

dengan pernyataan partikel (zarah) bebas selalu

mempertahankan keberadaannya.

Sehingga, jika diam (v = 0) akan tetap diam dan

jika bergerak (v ≠ 0) akan bergerak lurus dengan

kecepatan tetap (atau a = 0).

Hukum pertama Newton disebut juga hukum kelem-

baman (hukum inersial).

Lanjutan.

zz

yy

xx

mvp

mvp

mvp

kartesian)koordinat (dalam komponen pp

04/19/23 8

Momentum (= p) besaran vektor.

Momentum p.

Benda yang bergerak selalu memiliki p.

Benda massa m bergerak dengan kecepatan (v)

memiliki p yang didefinisikan, sebagai,

p = m v

04/19/23 9

Satuan p, kg m s-1 dan dimensinya [MLT-1].

Besaran mv disebut p linier partikel untuk (mem-

bedakan dengan p anguler).

p dihubungkan dengan hukum inersial, parti-

kel bebas selalu bergerak dengan p tetap.

p menyatakan kualitas gerak benda dalam sis-tem.

p, sebuah partikel dapat dipandang sebagai ukur-

an kesulitan untuk mendiamkan benda.

Lanjutan.

04/19/23 10

Benda m = 4 kg, memiliki v = 50 i m s-1. Berapa-

kah p-nya juga besar p benda tersebut ?

Contoh.

p = m v

= (4 kg)( 50 i m s-1) = 200 i kg m s-1

Penyelesaian.

Besar momentumnya, p = 200 kg m s-1

dt

dm

dt

dm

dt

md

dt

dv

vvpF

)(

04/19/23 11

Seandainya benda, memiliki p berubah, benda akan memiliki a (percepatan penyebab perubah-an v).

Hukum Kedua Newton.

Perubahan momentum (p) tiap satuan waktu (t) disebut F.

Pernyataan F (besaran vektor) dimunculkan oleh Newton sebagai hukum kedua.

Satuan (F), kg m s-2 atau newton (N) dimensi [M L T-

2].

2

2

1 t

mt

tm

oo

o

FvRR

Fvv

04/19/23 12

Sistem klasik (m tetap), dm/dt = 0 dan dv/dt = a, sehingga

F = m a

Persm (F = m a), dikenal sebagai hukum Newton kedua.

Jika pada benda bekerja banyak F, (F lebih dari satu tetapi setitik tangkap) sehingga formulasi hu-kum Newton kedua menjadi, F = m a.

Lanjutan.

2

1

2

1

a

a

m

m

04/19/23 13

Massa memperlihatkan karakteristik sifat benda pada suatu F.

Bila F, bekerja pada benda m1 memperoleh per-cepatan a1, maka F tersebut dikerjakan pada benda m2 memperoleh percepatan a2. Sehingga diperoleh persm F = m1 a1 = m2 a2 atau,

Massa benda dapat didefinisikan dengan menerap-kan F (sama) yang bekerja pada masing-masing benda dan membandingkan a-nya.

Perbandingan tersebut tidak tergantung pada jenis

Lanjutan.

04/19/23 14

F yang digunakan (misal gaya pegas, atraksi gravitasi, atraksi listrik atau magnet dan lain sebagainya)

1

2

s m 5,12

)s 5(s m 5,2 0,Kecepatan

tm

Fvv o

2s m 5,2kg 2

5,Percepatan

N

m

Fa

04/19/23 15

Benda m = 2 kg dikenai F = 5 N. Hitunglah besar a yang dihasilkan oleh F tersebut ? Jika pada mulanya benda diam pada sistem kerangka acuan tertentu. Hitunglah perpindahan dan v yang di-peroleh saat t = 5 detik !

Contoh.

Penyelesaian.

m 25,31)s 5(kg 2

5

2

1)s 5( 00

2

1,nPerpindaha

2

2

N

tm

Ftvrr oo

04/19/23 16

Johannes Kepler

1571 - 1630

2-s m ) 5,2 5,1 (

kg 4,0

N ) 6,0 (

ji

jiFa

m

04/19/23 17

Contoh.

Sebuah partikel m = 0,4 kg dikenai dua F yaitu F1 = (2 i - 4 j) N dan F2 = (- 2,6 i + 5 j) N. Jika partikel mulai dari keadaan diam (t = 0) berada di titik asal, tentukan posisi dan v-nya pada t = 1,6 detik.

Gaya total (jumlahan dua F) akan menjadi, F = F1 + F2 = (2 i - 4 j) N + (- 2,6 i + 5 j) N = (- 0,6 i + j) N.

Penyelesaian.

a partikel,

04/19/23 18

Komponen percepatan,

ax = - 1,5 m s-2 dan

ay = 2,5 m s-2. Partikel saat t = 0, mula-mula diam, di titik asal koordinat (x, y) setelah t = 1,6 detik menjadi,

x = ½ ax t2 = ½ (- 1,5 m s-2)(1,6 s)2 = - 1,92 m,

y = ½ ay t2 = ½ (2,5 m s-2)(1,6 s)2

= 3,20 m

Posisi partikel setelah 1,6 detik (- 1,92 ; 3,20) m.

Kecepatan (v = a t) partikel setelah 1,6 detik,

04/19/23 19

Komponen vx = ax t = (-1,5 m s-2)(1,6 s)

= - 2,40 m s-1 dan

vy = ay t = (2,5 m s-2)(1,6 s) = 4,0 ms-1.

Dengan notasi vektor r dan v ber-persm:

Posisi, r = (- 1,92 i + 3,20 j) m

Kecepatan, v = (- 2,40 i + 4,00 j) m s-1.

Lanjutan.

04/19/23 20

Nama Gaya

Jenis nama a memberikan bermacam jenis nama F.

Benda melakukan gerak melingkar padanya akan

bekerja dua gaya yaitu,

Contoh.

Gaya sentripetal (FN = m aN karena percepatan sentripetal)

Gaya tangensial (FT = m aT karena percepatan tangensial).

04/19/23 21

Gaya Sistem Koordinat.

Kartesian, F = m (ax + ay + az)

Kutub, F = m (ar + aθ)

Ada dua jenis percepatan yaitu : ar dan aθ.

Ada tiga jenis percepatan yaitu: ax , ay , az.

dt

rd

dt

drr

dt

rd

dt

d

dt

dr

dt

dr

dt

d

dt

dr

rdt

dr

dt

dr

dt

d

ˆˆ

ˆ ˆˆ

ˆ ˆ

2

2

2

2

a

04/19/23 22

Contoh.

Partikel ditarik menuju pusat sistem koordinat oleh F radial. Tunjukkan ω berbanding terbalik dengan jarak kuadrat !

Dalam koordinat kutub terdapat dua a (dua jenis F yaitu radial (Fr) dan tangensial (FT) dinyatakan seba-gai,

Penyelesaian.

22

22

2

tetapan

01

0 2

r

c

dt

d

dt

dr

dt

dr

dt

d

rdt

d r

dt

d

dt

dr

ˆ ˆˆ ˆˆ 2

2

2

2

dt

d

dt

drr

dt

rdr

dt

d

dt

dθrr

dt

d

dt

d

dt

dr

rdt

dr

dt

rd

dt

d r

dt

d

dt

drr ˆ dan ˆ 2

22

2

2

FF

04/19/23 23

Jika hanya F radial yang bekerja (diketahui) pada

benda berarti Fθ = 0, maka artinya memberlakukan

Lanjutan.

04/19/23 24

0rang berada dalam lift berdiri di atas neraca pe-gas terbaca 120 N. Lift yang dinaiki tersebut ber-gerak (dapat naik maupun turun) dengan perce-patan ¼ g. Berapakah w orang tersebut (yang ter-baca oleh skala neraca saat lift naik maupun tu-run) ?

Contoh.

m g + m Ao = m a! atau g + Ao = a!

Penyelesaian.

Saat lift naik.

Diketahui percepatan Ao = ¼ g, atau a! = 1,25 g.

Berat orang saat naik, (120 N)(1,25) = 150 N

04/19/23 25

m g – m Ao = m a! atau g - Ao = a!

Saat lift turun.

Sehingga, a! = 0,75 g.

Berat orang saat turun, (120 N)(0,75) = 90 N

Lanjutan.

04/19/23 26

Contoh.

Dua buah benda massa m dan M, (m < M) di-hubungkan dengan tali dilewatkan pada piringan. Piringan dapat berputar pada sumbunya segala se-suatu yang berhubungan dengan piringan diabai-kan. Hitunglah a kedua benda tersebut, dan berapa besar tegangan talinya !

Penyelesaian.

Benda M bergerak turun (m naik), dengan perce-patan sama (a). Hukum Newton yang digunakan Fi = m! a . Fi dalam hal ini diwakili oleh M g – m g dan m! dalam hal ini diwakili oleh M + m sehingga berlaku,

(M - m) g = (M + m) a

gmM

mMa

gmM

mMa

gmM

mMg

mM

mMmmgT

2

2

04/19/23 27

Percepatan,

Cara lain.

M

m

M g

m g

T1

T2

Benda M turun berlaku M g - T1 = M a dan m naik berlaku T2 - m g = m a (dalam hal ini T1 = T2) Kedua persm dijumlahkan dihasilkan,

Benda m naik dengan percepatan a berlaku T2 – m g = m a sehingga

gmM

mMg

mM

mMMgMT

2

1

04/19/23 28

Benda M turun dengan percepatan a berlaku, M g – T1 = M a sehingga menghasilkan,

Leonardo da Vinci1452 - 1519

) (-g )(2

21

2

1 amaMmMTamgmT

aMTgM

04/19/23 29

Contoh.

Perhatikan gambar di samping. Batang bermassa M dan bola m, (M > m). Pada awalnya bola berada pada ujung bawah batang. Setelah t detik, bola sejajar ujung atas batang. Bila panjang batang L tentukan tegangan tali (ideal).

Penyelesaian.

L

M

m

T

Percepatan relatif m, terhadap M,

A = a1 + a2 = 2 a, (a1 = a2 = a).

gmM

mMa

)(

2

)(

2

)( 2)( 2

2

22

mMt

L M mT

amM

mM

mM

amM

mM

amMT

04/19/23 30

Panjang batang ditempuh oleh m, dengan waktu t sehingga,

L = ½ A t2 = a t2.

Lanjutan.

gw

fa

m

wfa

1

04/19/23 31

Contoh.

Sebuah batu berat w dilemparkan vertikal ke atas di udara dari lantai dengan kecepatan awal v0. Jika, ada gaya konstan f akibat gesekan/hambatan udara selama melayang dan asumsikan percepatan gra-vitasi bumi (g) konstan, maka tentukan :a). tinggi maksimum yang dicapai (nyatakan dalam: vo, g, f dan w )b). laju batu saat menyentuh lantai kembali (nyata- kan dalam: vo, f dan w)

Penyelesaian:

a). Batu ke atas, a (berupa perlambatan): Σ F = m a

a

vh o

2

2

a

vt o

12

2

w

fg

vh o

m

04/19/23 32

v

v0

hmax

v= 0

fw

wf

Tinggi maksm dicapai batu:

h = vo t – ½ a t2 ,

dengan, sehingga,

b. Gerak batu ke bawah, percepatan: gw

fwa

Kecepatan saat menyentuh lantai :

w

fwg

vg

w

fwvahv

222

2022

Lanjutan.

fw

fwvv

fw

fwvv o

022

04/19/23 33

Lanjutan.

04/19/23 34

Contoh.

04/19/23 35

04/19/23 36

Sebuah sistem terdiri atas dua buah balok masing- masing bermassa m dan M (lihat gambar). Koefisien gesekan antara kedua balok µs dan balok M tidak ada gesekan dengan lantai. Tentukan besar gaya F yang harus diberikan pada balok m agar tidak turun ke bawah (nyatakan dalam : m, M, g dan µs)

Contoh.

Penyelesaian.

Teori yang mendasari hukum Newton tentang gerak

Tinjau benda massa m.

Arah mendatar, Σ Fx = m ax F – N = m ax

04/19/23 37

Arah vertikal,

Lanjutan.

M

m

f

F

NLicin

Σ Fy = 0

m g = f = μs N

.

s

gmN

Tinjau benda massa M.

Arah mendatar, Σ Fx = M ax N = M ax M

Nax

1

.

M

mgmF

sDari, F – N = m ax

04/19/23 38

04/19/23 39

Contoh.

Perhatikan sistem di bawah ini L

M

mFμ2

μ1

Ada dua balok, masing-masing bermassa m dan M. Koefisien ge-sekan antara balok M dengan lantai µ1, sedangkan koefisien gesekan antara balok m dengan balok M adalah μ2 .

Balok m diberi gaya mendatar F yang cukup besar sehingga balok m akan bergerak dipunggung balok M. Balok M juga bergerak akibat gaya F ini (asumsi µ2 cukup besar). Jika balok m berpindah sejauh L relatif terhadap balok M, maka berapa usaha yang dilakukan gaya F ? Untuk memudahkan hitungan anggap :

04/19/23 40

Lanjutan.

M = 2 m, F = λ m g = 5,6 m g, μ2 = 0,5 dan μ1 = 0,1

Teori yang mendasari: Hukum Newton tentang gerak,

GLBB, Usaha

mg

N2

Fm

f2

a2

N2 = gaya normal pada m karena M

balok m,

Σ Fy = 0 dan N2 = m g dan Σ Fx = m a2

m

mgFa 2

2

F – f2 = m a2 ; f2 = μ2 N2

F - μ2 m g = m a2 = μ2 m g

a2 percepatan m relatif terhadap lerangka lab.

g

M

Mmma

)(121

04/19/23 41

Lanjutan.

mg

M

N2!

N1a1

f1

f2

N2! = reaksi dari N2 = m g

Σ Fy = 0

N1 – N2! – M g = 0

N1 = (m + M) g

Σ Fx = M a1

f2 – f1 = M a1 , f2 = μ2 m g

μ2 m g – μ1 (m + M) g = M a1 , f1 = μ1 (m + M) g

)(2

)(2 12

2

2

2

12 MmmM

gtmgF

m

tSS

04/19/23 42

Lanjutan.

Total pergeseran massa M setelah selang waktu t,

212211

)(

2

1

2

1gt

M

MmmtaS

Total pergeseran massa m terhadap kerangka lab se-telah selang waktu t,

22222 2

1

2

1t

m

mgFtaS

Selisih jarak, s1 dan s2

04/19/23 43

Lanjutan.

M

m

mg

Fgt

M

m

M

m

mg

FgtSS

dan dimana , 2

2

1122

2

112

2

2

12

Setelah t = to, selisih jarak = L, L = s2 – s1

1122

20

1122

20

2

2

Lgt

gtL

Untuk waktu to ini, massa m telah berpindah sejauh :

04/19/23 44

Lanjutan.

1122

2

2

20

2

20

20

22022

2

2

2

1

2

1

L

gt

mg

Fgt

tm

mgFtaS

Usaha yang dilakukan oleh gaya F :

mgL

mgL

LmgSFWF

712,5

.

1122

2

1122

22

04/19/23 45

reaksi) - (aksi III,

) ( II,

n)(kelembama I,

gerak) (tentangNewton Hukum

m aF