SUB POKOK BAHASAN

• Definisi Vektor

• Penjumlahan vektor

• Vektor Satuan

• Penjumlahan vektor secara analitis

• Perkalian Skalar

• Perkalian Vektor

Sasaran Pembelajaran

• Mahasiswa mampu mencari besar vektor,menentukan vektor satuan

• Mahasiswa mampu menyelesaikan operasi-operasi vektor

Syarat Kelulusan

Definisi Vektor

A

9/26/2012 Fisika I 5

a

b

R

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal

(misal A) atau diberi tanda panah di atas huruf (misal ) Dalam

handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang

dicetak tebal.

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu

besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah

perpindahan.

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor Syang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yangmenyatakan perpindahan a ke c.

Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujungvektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Makaresultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektorpertama dan ujung vektor kedua.

9/26/2012 Fisika I 6

b

ca

RS

T

T = R + S

BESAR VEKTOR RESULTAN

Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besar vektor S dinyatakanoleh S, maka besar vektor T sama dengan :

θcos2RSSRT 22

9/26/2012 Fisika I 7

Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan

vektor S

RS

T

T = R + S

θ

(1.1)

PENGURANGAN VEKTOR

Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalahsebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnyaberlawanan.

9/26/2012 Fisika I 8

AB

-B

DD = A – B

CONTOH

9/26/2012 Fisika I 9

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km

kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km

Selanjutnya bergerak ke Selatan sejauh 10 km.

Tentukan besar perpindahan mobil tersebut !

N

E

U

20 k

m

40 kmB

S10 k

m

CONTOH

m17101040 22

9/26/2012 Fisika I 10

Jawab :

40 km

10 km

20 km

10 km

40 km

A

B

C

Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A,

perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan

perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka

perpindahan total dinyatakan vektor D.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang

vektor D adalah :

VEKTOR SATUAN

R

Rr

9/26/2012 Fisika I 11

Vektor satuan didefenisikan sebagai :

Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah

satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor

dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor

satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R.

Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di

mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam

vektor satuan.

•Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif

•Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif

•Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif

(1.2)

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

2

z

2

y

2

x RRRR

9/26/2012 Fisika I 12

Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk

Besar vektor R adalah :

R

R

y

R

z

R

x

Vektor dalam 2 Dimensi

Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan

dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing

sumbu koordinat.

CONTOH

9/26/2012 Fisika I 13

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan :

a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis

b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X

c. Panjang vektor

Jawab :

(2,2)

(-2,5)

x

y

Vektor perpindahan :

R = (xujung – xpangkal)i + (yujung – ypangkal)j

R = (-2 – 2)i + (5 – 2)j = -4i + 3j

pangkal

ujung

Rx

Ry

a.

CONTOH

9/26/2012 Fisika I 14

o1

x

y1 374

3tan

R

Rtan

(2,2)

(-2,5)

x

y

pangkal

ujung

Rx

Ry

b.

Besar vektor R = 543RR 222y

2x c. satuan

Sudut yang dibentuk :

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

9/26/2012 Fisika I 15

Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi +

yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j.

Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku :

R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j

xAxB

yA

yB

A

B

xA + xB

A

B

yA + yB

(1.3)

CONTOH

29)2(5 22

9/26/2012 Fisika I 16

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 2j

B = 2i 4j

Tentukan :

a. A + B dan A + B

b. A B dan A B

Jawab :

a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j

= 5i 2j

A + B =

b. A B = 3i + 2j (2i 4j) = i + 6j

A B = 3761 22

A

B

-B

A B

SOAL

9/26/2012 Fisika I 17

1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan

arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan

vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan :

a. Vektor perpindahan benda tersebut

b. Jarak perpindahan

c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh

vektor satuannya

3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga

berlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui A = 2i + 4j, B = -7i, dan C = 8j. Tentukan :

a. A + B - C

b. A + B + C

SOLUSI

3

9/26/2012 Fisika I 18

R = Rxi + Ryj

Diketahui :

Rx = R cos = 4 cos 60o = 2 satuan

Ry = R sin = 4 sin 60o = 2 satuan

Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan

Vektor satuan :

r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j

60o

X

Y

R

3

1.

3

SOLUSI

m5224RR 222y

2x

jiR

r5

5

5

52

R

9/26/2012 Fisika I 19

X

Y

R

1 5

2

a. R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan

titik akhir (x2,y2) = (5,0).

Dengan demikian vektor R = 4 i – 2 j.

b. R =

c.

2.

SOLUSI

22 43

9/26/2012 Fisika I 20

4. a. A + B – C = 2i + 4j - 7i - 8j = -5i - 4j

b. A + B + C = 2i + 4j - 7i + 8j = -5i + 12j

-5i + 12j = = 13 satuan

3. Besar vektor A = = 5 satuan

Dengan demikian nilai c = 2 satuan

22 125

PERKALIAN SKALAR

9/26/2012 Fisika I 21

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua

buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A . B = AB cos (1.4)

Jika diketahui A = ax i + ay j + az k dan B = bx i + by j + bz k,

maka :

A . B = axbx + ayby + azbz (1.5)

Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial,

fluks magnet, dan lain-lain.

A

B

PERKALIAN SKALAR

9/26/2012 Fisika I 22

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = k . i = 0

Perhatikan animasi di

samping ini !

CONTOH

ABcos

B.A

543 22

9/26/2012 Fisika I 23

Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j. Tentukan

sudut antara vektor A dan B !

Jawab :

A

B

Untuk menentukan sudut antara

vektor A dan B dapat menggunakan

persamaan (1.4).

A . B = (3i + 4j) . (4i 2j) = 3.4 +

4.(-2) = 4

Besar vektor A =

Besar vektor B = 20)2(4 22

4 4 2cos

5 20 10 5 125AB

A.BDengan demikian = 79,7o

AB

PERKALIAN VEKTOR

9/26/2012 Fisika I 24

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor

menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

A B = C (1.6)

Besar vektor C adalah :

C = AB sin (1.7)

Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk

oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C

dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A

B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil

perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

B

B

A

A

C = A B

C’ = B A

C = -C’

PERKALIAN VEKTOR

9/26/2012 Fisika I 25

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i i = j j = k k = 0

i j = k ; j k = i; k i = j

j i = -k ; k j = -i; i k = -j

Perhatikan animasi di

samping ini !

PERKALIAN VEKTOR

9/26/2012 Fisika I 26

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah

vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan

perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari

menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B.

Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.

Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini :

CONTOH

9/26/2012 Fisika I 27

Diketahui dua buah vektor.

A = 3i + 4j B = 4i 2j + k

Tentukan : a. A B

b. Buktikan A B = -B A

Jawab :

A B = (3i + 4j) (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) +

4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0

+ 4i = 4i – 3j – 22k

a.

B A = (4i 2j + k) (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-

2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-

k) – 8.0 + 3j + 4(-i) = -4i + 3j + 22k = - A B

terbukti

b.

SOAL

9/26/2012 Fisika I 28

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan

vektor B = 3 i – 4 k !

2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap

arah vektor B = i + 3 j – 4 k !

3. Diberikan tiga buah vektor :

A = 1 i + 2 j – k

B = 4 i + 2 j + 3 k

C = 2 j – 3 k

Tentukan :

a. A . (B C)

b. A . (B + C)

c. A (B + C)

4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k adalah

tegak lurus !

SOLUSI

61)(21A 222

26

14

)4(31

)4).(1(3.21.4

B cosAA

222B

A.B

9/26/2012 Fisika I 29

Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar

vektor A :

54)(3B 22

1.

Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh :65

7

ABcos

B.A

Dengan demikian = 55,1o

Besar vektor B :

2. A

BAB

Panjang AB menyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang

besarnya :

SOLUSI

9/26/2012 Fisika I 30

B C = (4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i j) – 12(i k) – 6(j

k) + 6(k j) = 8k + 12j 12i

A . (B C) = (i + 2j – k).(-12i + 12j + 8k) = -12 + 24 – 8 = 4

3. a.

B + C = 4i + 4j. Nilai A . (B + C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12b.

A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4kc.

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o.

Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :

R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0

R . S = RxSx + RySy + RzSz

Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S = 2 i + j + 2 k, maka :

R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0

4.

9/26/2012 Fisika I 31

BESARAN FISIS

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi

matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8)

S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan

variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya

interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar

muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12,

dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan

fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan

materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu

variabel saja.

BESARAN FISIS

9/26/2012 Fisika I 32

Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya

ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.

Dari grafik di samping

diketahui y1 = f(x1), y2 =

f(x2), y3 = f(x3), dan y4 =

y1.

Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat

digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

y

xx1 x2 x3 x4

y1

y2

y3

t (detik) x (meter)

0 9

1 4

2 1

3 0

4 1

5 4

6 9

7 16

8 25

9 36

9/26/2012 Fisika I 33

BESARAN FISIS

Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi

waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

t

x(t

)

x(t) = (t – 3)2

2r

qE k

r (m) E (N/C)

1 9

2 2,25

3 1

4 0,5625

5 0,36

6 0,25

7 0.1837

8 0,1406

9 0,1111

10 0,09

9/26/2012 Fisika I 34

BESARAN FISIS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r

E(r)

Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC.

CONTOH

9/26/2012 Fisika I 35

1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya

pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta

pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi

jarak x !

x

F

CONTOH

9/26/2012 Fisika I 36

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber

tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh

fungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)

dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap

t !

2.

t

Q = q(1 – e-At)

Q

q

h

)c(f)hc(flim m

0h

9/26/2012 Fisika I 38

DIFERENSIAL

Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan

garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas

sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.

Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk

menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari

persamaan posisi terhadap waktu.

f(x)

xc c+h

f(c+h)

f(c)

Lihat gambar di samping.

Gradien dari garis singgung

pada titik P dapat ditentukan

oleh persamaan :

P

(1.9)

DIFERENSIAL

x

)x(flim

x'x

)x(f)'x(flim m

x'xx'x

dx

dy

9/26/2012 Fisika I 39

Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :

(1.10)

Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan

oleh :f’(x) Dxy

Berlaku untuk turunan :

1. Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a)

2. Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b)

3. Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c)

4. Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d)

5. Dx(xn) = nXn-1 (1.11e)

DIFERENSIAL

dC

dBA

waktu

JaraktanKecepa

9/26/2012 Fisika I 40

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai

perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan

dalam bentuk :

Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan

fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

dt

dxv

waktu

UsahaDaya

dt

dWP

waktu

tanMuaArus

dt

dqI

CONTOH

AtAt qAe)e1(qdt

d

dt

dQI

9/26/2012 Fisika I 41

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan

DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi :

Q(t) = q(1 – e-At)

dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan :

a. Fungsi arus sebagai waktu

b. Besar arus saat t = 0

c. Gambarkan grafik I(t)

Jawab :

Besar arus I :a.

Pada saat t = 0 harga I adalah :

I = qAe-A.0 = qA

b.

qA

I(t)

t

c.

INTEGRAL

9/26/2012 Fisika I 42

Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva

fungsi f(x) dan sumbu x.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

x

y

x0

x

x1 x2 x3 x4 x5x6 x7

Sebagai contoh diketahui y

= f(x) = (x – 3)2 + 5 dan

luas yang ditentukan pada

batas dari x = 1 sampai

dengan x = 8.

INTEGRAL

7

0i

i x)x(f)7n(A

n

0i

8

1

inn

dx)x(fx)x(flim)n(AlimA

9/26/2012 Fisika I 43

Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan :

A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x +

f(7)x

Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi

dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70

satuan persegi.

Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya.

Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

INTEGRAL

dTSR

dAE

9/26/2012 Fisika I 44

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang

merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat

masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama

lain.

Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T,

maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :

Sebagai contoh :

Usaha = Gaya jarak

Fluks = Medan luas

dsFW

CONTOH

2

21 kxdxkxdxFW

9/26/2012 Fisika I 45

Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya

pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta

pegas dan x adalah jarak. Tentukan :

a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas

b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu

Jawab :

Usaha yang dilakukan :a.

W

x

b.

SOAL

9/26/2012 Fisika I 46

Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh

persamaan F(x) = Ax Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan

B = 5.103 N/m2. Tentukan :

a. Grafik F terhadap x

b. Perubahan Gaya F terhadap jarak

c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm

1.

Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.2.

x (m)10

8

4

V (volt) Tentukan :

a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x

b. Jika diketahui medan listrik E adalah

turunan pertama dari potensial listrik

V, tentukan fungsi E(x)

c. Gambarkan grafik E terhadap x

SOAL

9/26/2012 Fisika I 47

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s

bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan :

a. Gambarkan grafik v(t)

b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik

c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t)

d. Gambarkan grafik a(t)

e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu

f. Posisi saat kecepatan v = 0

3.

SOLUSI

dx

dF

9/26/2012 Fisika I 48

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

x (cm)

F (N)1. a.

Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

= A – 2Bx = 103 – 104x

1. b.

SOLUSI

2

2

2

2

10.9

10.3

3

312

21

10.9

10.3

2 xBxAdxBxAxdxFW

9/26/2012 Fisika I 49

Usaha yang dilakukan :

W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule

1. c.

2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi

linier yang menghubungkan titik (0,4)

dan titik (10,8). Dengan menggunakan

persamaan garis V = ax + b.

Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4

Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8

10

8

4

V (volt)

x (m)

Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5.

Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4

SOLUSI

dx

)x(dV

9/26/2012 Fisika I 50

Medan listrik E(x) =

Dengan demikian nilai E(x) konstan.

x (m)

E (V/m)

2,5

2. b.

2. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x (m)

v (m/s)

3. a.

= 2,5

SOLUSI

dt

)t(dv

9/26/2012 Fisika I 51

Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s.

Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32

= 12 m/s.

3. b.

Percepatan a(t) = = 10 – 4t3. c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

x (m)

a (m/s2)

3. d.

SOLUSI

3

3222 tt5dtt2t10dt)t(v

9/26/2012 Fisika I 52

Fungsi posisi x(t) = 3. e.

Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada

saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik

posisi x di :

323

322 41

3

12555.5

Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x =

41,67 m

3. f.

x(5) =

Colour scheme

BackgroundText &

LinesShadows

Title

Text

Fills AccentAccent &

Hyperlink

Followed

Hyperlink

Sample Graph (3 colours)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

1st Qtr 2nd Qtr 3rd Qtr 4th Qtr

East

West

North

Picture slide

• Bullet 1

• Bullet 2

Process Flow

• Bullet 1

• Bullet 2

• Bullet 3

• Bullet 1

• Bullet 2

• Bullet 3

• Bullet 1

• Bullet 2

• Bullet 3

• Bullet 1

• Bullet 2

• Bullet 3

• Bullet 1

• Bullet 2

• Bullet 3

PlanDesign Build Test Evaluate

Example of a table

Title Title

Data Data

Note: PowerPoint does not allow you to have nice

default tables - but you can cut and paste this one

Examples of default styles

• Text and lines are like this

• Hyperlinks like this

• Visited hyperlinks like this

Table

Text boxText box

With shadow

Use of templatesYou are free to use these templates for your personal

and business presentations.

Do Use these templates for your

presentations.

Display your presentation on a web

site provided that it is not for the

purpose of downloading the template.

If you like these templates, we would

always appreciate a link back to our

website. Many thanks.

Don’t Resell or distribute these templates.

Put these templates on a website for

download. This includes uploading

them onto file sharing networks like

Slideshare, Myspace, Facebook,

bit torrent etc.

Pass off any of our created

content as your own work.

You can find many more free PowerPoint templates on the Presentation Magazine website

www.presentationmagazine.com

We have put a lot of work into developing all these templates and retain the copyright

in them. You can use them freely providing that you do not redistribute or sell them.