i

ANALISIS PENGARUH PENCILAN PADA DATA

DERET WAKTU DOMAIN FREKUENSI

SKRIPSI

ST. SURYA RAHMI

H 121 13 013

PROGRAM STUDI STATISTIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

ii

“ANALISIS PENGARUH PENCILAN PADA DATA DERET

WAKTU DOMAIN FREKUENSI”

SKRIPSI

Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada

Program Studi Statistika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar

ST. SURYA RAHMI

H121 13 013

PROGRAM STUDI STATISTIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

MAKASSAR

2017

iii

LEMBAR PERNYATAAN KEOTENTIKAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sungguh-sungguh bahwa

skripsi yang saya buat dengan judul:

Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi

adalah benar hasil kerja saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah

dipublikasikan dalam bentuk apapun.

Makassar, 15 Agustus 2017

ST. SURYA RAHMI

NIM. H121 13 013

iv

ANALISIS PENGARUH PENCILAN PADA DATA

DERET WAKTU DOMAIN FREKUENSI

Disetujui oleh :

Pada tanggal : 15 Agustus 2017

v

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi ini diajukan oleh:

Nama : ST. SURYA RAHMI

NIM : H121 13 013

Program Studi : STATISTIKA

Judul Skripsi : Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu

Domain Frekuensi.

Telah berhasil dipertahankan dihadapan dewan penguji dan diterima sebagai

bagian persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Hasanuddin.

Ditetapkan di : Makassar

Tanggal : 15 Agustus 2017

vi

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan kepada Allah SWT Tuhan semesta

alam dan shalawat serta salam penulis curahkan kepada Nabi yang paling dimuliakan,

Nabi Muhammad SAW. Alhamdulillah, berkat rahmat, karunia serta hidayah yang

diberikan oleh Allah akhirnya skripsi dengan judul “Analisis Pengaruh Pencilan

Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi” yang disusun sebagai salah satu syarat

akademik untuk meraih gelar sarjana pada Program Studi Statistika Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin ini dapat

dirampungkan. Penulis berharap skripsi ini bisa memberikan tambahan pengetahuan

bagi pembelajar statistika.

Pertama-tama, ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya

penulis haturkan kepada yang teristimewa Ibunda dan Ayahanda tercinta Ibu Hj.

Ilahang dan Bapak H. Muh. Ridwan yang tak henti-hentinya memberi semangat

motivasi, dan do’a hingga penulis bisa sampai pada tahap ini. Kepada saudara-

saudariku tersayang kak Mukhlis, kak Sarlina, kak Arafah, kak Musafir, kak

Surianti, Syukur, Akbar dan Raodah terima kasih banyak atas segala dukungan dan

kasih sayang yang telah diberikan kepada penulis.

Tak lupa pula penulis mengucapkan banyak-banyak terima kasih kepada

seluruh pihak yang senantiasa membantu baik berupa materi, tenaga dan dukungan

moral selama proses penyelesaian tulisan ini :

1. Ibu Prof. Dr. Dwia Aries Tina Pulubuhu, M.A. selaku Rektor Universitas

Hasanuddin.

2. Bapak Dr. Eng. Amiruddin, selaku pelaksana tugas Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

3. Bapak Prof. Amir Kamal Amir, M.Sc., selaku Ketua Jurusan Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

4. Bapak Dr. Amran, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing utama dan Bapak Dr.

Eng. Mawardi, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing pertama yang telah bersedia

vii

meluangkan begitu banyak waktunya dan senantiasa memberikan masukan dalam

penulisan skripsi ini.

5. Ibu Dr. Nurtiti Sunusi, S.Si., M.Si. selaku ketua penguji dan Bapak Drs. M. Saleh

AF, M.Si. selaku sekretaris penguji. Terima kasih telah memberikan kritikan yang

membangun dalam penyempurnaan penyusunan tugas akhir ini serta waktu yang

telah diberikan kepada penulis.

6. Bapak Andi Galsan Mahie, S.Si., M.Si., selaku Penasehat Akademik sekaligus

sebagai Anggota Tim Penguji dalam penulisan tugas akhir ini. Terima kasih atas

segala masukan bantuan, nasehat serta motivasi yang diberikan kepada penulis

selama menjalani pendidikan di Jurusan Matematika.

7. Sahabat-sahabatku Kikoy, Indah dan Amel yang selama beberapa tahun terakhir

menjadi teman jalan, teman nongkrong, serta menjadi teman disaat susah dan

senang.

8. Teman-teman tercinta terkhusus Tina, Leha dan Hikmah yang banyak memberi

bantuan dan masukan selama penyusunan skripsi ini, Nuni, Nirma, Puji,

Kharisma, Mentari, Arwan, Jum, Yumi yang setia menemani keseharian

penulis. Jum, Rere, Riska, Ulfa, Ayu, Eka, dan Iin teman seperjuangan penulis

serta teman-teman Statistika 2013 lainnya yang tidak sempat penulis sebutkan satu

per satu. Semoga Allah membalas kebaikan-kebaikan kalian dengan yang lebih

baik.

9. Teman-teman seperjuangan Matematika 2013 dan BINOMIAL 2013. Terima

kasih atas pertolongan kalian kepada penulis.

10. Teman-teman MIPA 2013, Keluarga besar HIMATIKA FMIPA UNHAS, dan

keluarga besar BEM FMIPA Unhas. Orang-orang yang begitu luar biasa.

11. Teman-teman Belawers, mahasiswa KKN Unhas Gel.93 Kec. Belawa Kel. Belawa

Aik, Unhy1, Unhy2, Aswin, Akram, Hanif dan Ardi yang telah menjadi teman

serta keluarga baru dan semoga ke depannya silaturahmi yang telah dibangun

bersama tetap terjalin dengan baik.

viii

12. Semua pihak yang telah banyak berpartisipasi, baik secara langsung maupun tidak

langsung, dalam penyusunan skripsi ini yang tak sempat penulis sebutkan satu

persatu.

Semoga segala bantuan dan partisipasinya bernilai ibadah dan mendapat pahala yang

setimpal di sisi Allah SWT.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih jauh dari

kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat

membangun demi skripsi yang lebih baik lagi. Semoga skripsi ini dapat memberikan

manfaat bagi semua pihak.

Makassar, 15 Agustus 2017

Penulis

ix

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebagai sivitas akademik Universitas Hasanuddin, saya yang bertanda tangan di bawah

ini: Nama : St. Surya Rahmi

NIM : H121 13 013

Program Studi : Statistika

Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis karya : Skripsi

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Hasanuddin Hak Prediktor Royalti Noneksklusif (Non-exclusive

Royalty-Free Right) atas tugas akhir saya yang berjudul:

“Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data Deret Waktu Domain Frekuensi”

Beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Terkait dengan hal di atas, maka pihak

universitas berhak menyimpan, mengalih-media/format-kan, mengelola dalam bentuk

pangkalan data (database), merawat, dan memublikasikan tugas akhir saya selama

tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak

Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Makassar pada tanggal, 15 Agustus 2017 Yang menyatakan

(St. Surya Rahmi)

x

ABSTRAK

Deteksi pencilan adalah suatu tahapan penting dalam analisis deret waktu.

Deteksi pencilan dapat dilakukan pada deret waktu domain waktu dan domain

frekuensi. Deteksi pencilan pada domain frekuensi dapat dilakukan dengan

menggunakan metode spektral. Pencilan data deret waktu diasumsikan berbentuk aditif

maupun multiplikatif. Parameter dari model yang diberi pencilan ditaksir dengan

menggunakan metode ordinary least square. Tujuan penaksiran parameter ini adalah

untuk memperoleh koefisien Fourier �̂�0, �̂�𝑘, dan �̂�𝑘. Selanjutnya dianalisis pengaruh

pencilan aditif dan multiplikatif pada koefisien Fourier �̂�0, �̂�𝑘, dan �̂�𝑘. Data yang

digunakan adalah data simulasi. Koefisien-koefisien �̂�0 untuk model aditif dan model

multiplikatif diperoleh dengan cara menghitung rata-rata penjumlahan dan perkalian

antara data simulasi dengan magnitude dan indikator waktu secara kumulatif. Pengaruh

pencilan terhadap model aditif adalah ketika data diberi magnitude positif, plot

koefisien-koefisien �̂�0𝑎 monoton naik dan ketika data diberi magnitude negatif plot

koefisien-koefisien �̂�0𝑎

monoton turun. Untuk model multiplikatif, plot koefisien-

koefisien �̂�0𝑚

dari data yang diberi magnitude positif membentuk grafik parabola

terbuka ke atas. Plot koefisien-koefisien �̂�0𝑚

dari data yang diberi magnitude negatif

membentuk grafik parabola terbuka ke bawah.

Kata Kunci : pencilan, domain frekuensi, ordinary least square, aditif, multiplikatif.

xi

ABSTRACT

Outlier detection is an important step in time series analysis. Outlier detection

can be done on time domain and frequency domain time series. Detection of outlier in

frequency domain can be done by using the spectral method. Time series data is

assumed to be either additive or multiplicative. Parameters of the model that given

outliers estimated using by ordinary least square method. The objective of this

parameter estimation is to obtain the Fourier coefficients �̂�0, �̂�𝑘, dan �̂�𝑘. Then we

analyzed the effect of additive and multiplicative on Fourier coefficients �̂�0, �̂�𝑘, dan

�̂�𝑘. The data used is the simulation data. The �̂�0 coefficients for the additive model

and the multiplicative model is obtained by calculating the average of summation and

multiplication between simulation data with magnitude and time indicator

cumulatively. The effect of outliers on additive model is when the data is given positive

magnitude, the plot of �̂�0𝑎

coefficients is increasing monotone and when the data is

given negative magnitude the plot of �̂�0𝑎

coefficients is decreasing monotone. For the

multiplicative model, �̂�0𝑚

coefficients plot of the data that given the positive magnitude

is forming an open up parabola graph. The plot of �̂�0𝑚

coefficients from data that given

a negative magnitude is forming an open downward parabola graph.

Keywords : outlier, frequency domain, ordinary least square, additive, multiplicative

xii

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL

HALAMAN JUDUL ..................................................................................... ii

HALAMAN PERNYATAAN KEOTENTIKAN ....................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN PEMBIMBING ........................................... iv

HALAMAN PENGESAHAN PENGUJI .................................................... v

KATA PENGANTAR ................................................................................... vi

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ........................................ ix

ABSTRAK ..................................................................................................... x

DAFTAR ISI .................................................................................................. xii

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. xv

BAB I PENDAHULUAN .............................................................................. 1

1.1 Latar Belakang ............................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................................ 2

1.3 Batasan Masalah ........................................................................... 2

1.4 Tujuan Penulisan .......................................................................... 3

1.5 Manfaat Penulisan ........................................................................ 3

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ................................................................... 4

2.1 Pencilan ......................................................................................... 4

2.2 Analisis Deret Waktu .................................................................... 4

2.3 Estimasi Parameter Model Deret Waktu Domain Frekuensi

Menggunakan Metode Ordinary Least Square.... ......................... 5

2.4 Notasi Euler ................................................................................... 7

2.5 Ordinary Least Square (OLS) ....................................................... 7

2.6 Model Aditif dan Multiplikatif ..................................................... 9

2.7 Turunan Matriks ........................................................................... 10

BAB III METODE PENELITIAN .............................................................. 13

3.1 Jenis Data ..................................................................................... 13

xiii

3.2 Variabel Penelitian ........................................................................ 13

3.3 Metode Analisis ............................................................................ 13

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ..................................................... 15

4.1 Estimasi Parameter Model Deret Waktu Domain Frekuensi

Yang Mengandung Pencilan ......................................................... 15

4.1.1 Model Aditif ........................................................................... 15

4.1.2 Model Multiplikatif ................................................................ 23

4.2 Simulasi Data Deret Waktu yang Mengandung Pencilan ............... 26

4.2.1 Simulasi Model Aditif......................................... ................... 27

4.2.2 Simulasi Model Multiplikatif ................................................. 28

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ........................................................ 31

5.1 Kesimpulan ................................................................................... 31

5.2 Saran ............................................................................................. 32

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 33

LAMPIRAN ................................................................................................... 34

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1 Plot Koefisien-koefisien �̂�0 Model Aditif dengan 𝐷 Positif ....... 27

Gambar 4.2 Plot Koefisien-koefisien �̂�0 Model Aditif dengan 𝐷 Negatif ...... 28

Gambar 4.3 Plot Koefisien-koefisien �̂�0 Model Multiplikatif

dengan 𝐷 Positif .......................................................................... 29

Gambar 4.4 Plot Koefisien-koefisien �̂�0 Model Multiplikatif

dengan 𝐷 Negatif ......................................................................... 30

xv

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Koefisien �̂�0 Untuk Model Aditif dengan 𝐷 Positif .................. 34

Lampiran 2 Koefisien �̂�0 Untuk Model Aditif dengan 𝐷 Negatif ................. 37

Lampiran 3 Koefisien �̂�0 Untuk Model Multiplikatif dengan 𝐷 Positif ....... 40

Lampiran 4 Koefisien �̂�0 Untuk Model Multiplikatif dengan 𝐷 Negatif....... 43

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu langkah untuk mendapatkan analisis yang baik adalah deteksi

pencilan pada pengamatan. Pencilan merupakan hasil dari pengamatan yang

menyimpang jauh dari pengamatan lain dan menimbulkan kecurigaan bahwa

pengamatan tersebut dihasilkan oleh mekanisme yang berbeda (Hawkins, 1980).

Barnet dan Lewis (1994) menyatakan bahwa pengamatan terpencil (pencilan) adalah

suatu pengamatan yang tampaknya menyimpang dari anggota lain pada sampel.

Pencilan sering dianggap sebagai penyimpangan, tetapi pencilan dapat

membawa informasi yang penting. Misalnya, jika menganalisa data produksi susu sapi

dan ada sapi yang menghasilkan susu sapi yang jauh melebihi sapi-sapi lainnya. Data

ini merupakan pencilan yang apabila diabaikan atau membuang informasi seperti ini

berarti membuang sapi unggul.

Salah satu jenis data yang sering mengandung pencilan adalah data deret waktu.

Data deret waktu merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan

indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu yang tetap. Data deret waktu

terbagi menjadi dua domain yaitu domain waktu dan domain frekuensi. Domain waktu

menggunakan fungsi autokorelasi dan fungsi autokorelasi parsial dalam mempelajari

perubahan data deret waktu dengan model parametrik. Sementara untuk domain

frekuensi, deret waktu dianggap sebagai akibat dari adanya komponen siklus pada

frekuensi berbeda yang sulit diperoleh dalam domain waktu.

Penelitan tentang deteksi pencilan pada deret waktu domain waktu telah dikaji

oleh Aris (2008) yang menerapkan prosedur iteratif untuk mendeteksi dan

memodifikasi Additive Outlier (AO) dan Innovative Outlier (IO) untuk model ARIMA.

Hasil yang diperoleh adalah pemodelan ARIMA pada data ekspor minyak mentah

dengan mereduksi efek pencilan memiliki hasil yang lebih baik daripada model

ARIMA tanpa modifikasi, hal ini dapat dilihat dari nilai ramalannya yang memiliki

nilai MAPE yang kurang dari nilai MAPE model ARIMA tanpa modifikasi.

2

Shittu & Shangodoyin (2008) menggunakan metode Spektral untuk

mengidentifikasi dan mendeteksi pencilan dalam domain frekuensi. Dengan

mengasumsikan kedua efek aditif dan multiplikatif dari pencilan, parameter dari model

tersebut kemudian ditaksir menggunakan metode maksimum likelihood dan diperoleh

hasil bahwa deteksi pencilan pada deret waktu domain frekuensi lebih jelas

dibandingkan pada deret waktu domain waktu.

Penelitian ini mengusulkan pendekatan analisis deret waktu domain frekuensi

untuk mendeteksi pencilan pada data deret waktu. Analisis deret waktu ini merupakan

suatu pendekatan yang menganalisis deret waktu dalam domain frekuensi. Penaksiran

parameter dilakukan pada model yang memuat pencilan dengan asumsi memiliki efek

aditif dan multiplikatif. Adapun metode yang digunakan untuk menaksir parameter

tersebut adalah ordinary least square.

Berdasarkan hal tersebut, dalam penelitian ini dibahas pendeteksian pencilan

dalam domain frekuensi yang berjudul “Analisis Pengaruh Pencilan Pada Data

Deret Waktu Domain Frekuensi”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan dari uraian pada latar belakang di atas, maka rumusan masalah dari

penulisan Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana estimasi parameter model deret Fourier yang mengandung pencilan

menggunakan metode Ordinary Least Square ?

2. Bagaimana pengaruh adanya pencilan terhadap pola deret Fourier ?

1.3 Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada estimasi parameter model deret waktu domain

frekuensi dengan mengasumsikan efek aditif dan multiplikatif pada model. Estimasi

parameter model digunakan metode Ordinary Least Square. Adapun data yang

digunakan merupakan data simulasi hasil bangkitan distribusi normal.

3

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah :

1. Mendapatkan estimasi parameter model deret Fourier yang mengandung

pencilan menggunakan metode Ordinary Least Square.

2. Mengetahui pengaruh adanya pencilan terhadap pola deret Fourier.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah mengembangkan konsep estimasi parameter

model deret waktu domain frekuensi yang diberi efek aditif dan multiplikatif

menggunakan metode Ordinary Least Square.

4

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pencilan

Barnet dan Lewis pada tahun 1994 mendefinisikan pencilan sebagai suatu data

yang muncul dan menyimpang secara jelas dari gugus data keseluruhan. Definisi lain

dari pencilan diutarakan oleh Liu et al. (2004), yaitu suatu pengamatan yang

menyimpang secara nyata dari sebagian besar pengamatan. Sementara itu menurut

Beckman dan Cook (1983), istilah pencilan dapat digantikan dengan “discordant

observation”, “contaminants”, atau “dirty data”.

Kemunculan dari pencilan menurut Adya et al. (2001) dapat ditunjukkan karena

kejadian tidak biasa, kejadian yang mengubah kenampakan umum, atau karena adanya

kesalahan dalam transkripsi data. Chen dan Liu (1993) menyatakan bahwa isu penting

yang terkait dengan pencilan adalah :

1. Keberadaan pencilan menyebabkan pemodelan yang tidak tepat.

2. Jika model yang tepat dapat ditetapkan, pencilan masih berpengaruh melalui

bias dalam pendugaan parameter dan dapat mempengaruhi efisiensi dalam

deteksi pencilan. Kesulitan yang umumnya dihadapi dalam pencilan adalah

perubahan tipe dan lokasi pencilan dari perbedaan jumlah iterasi.

3. Beberapa pencilan mungkin tidak teridentifikasi karena masalah dampak

tutupan (masking effect).

2.2 Analisis Deret Waktu

Analisis deret waktu diperkenalkan pada tahun 1970 oleh George E.P.Box dan

Gwilym M.Jenkins melalui bukunya yang berjudul Time Series Analysis: Forecasting

and Control. Sejak saat itu, deret waktu mulai banyak dikembangkan. Deret waktu

(time series) merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks

waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap. Analisis deret waktu adalah salah

satu prosedur statistika yang diterapkan untuk meramalkan struktur probabilistik

5

keadaan mendatang dalam rangka pengambilan keputusan. Suatu urutan pengamatan

memiliki model deret waktu jika memenuhi dua hal berikut (Aswi & Sukarna, 2006) :

1. Interval waktu antar indeks waktu t dapat dinyatakan dalam satuan waktu yang

sama (identik).

2. Adanya ketergantungan antara pengamatan 𝑦𝑡 (deret waktu ke-t) dengan 𝑦𝑡+𝑘

(deret waktu ke-𝑡 + 𝑘) yang dipisahkan oleh jarak dan waktu berupa kelipatan ∆𝑡

sebanyak 𝑘 kali (dinyatakan sebagai lag 𝑘).

Tujuan analisis deret waktu antara lain untuk :

1. Meramalkan kondisi di masa mendatang.

2. Mengetahui hubungan antar peubah.

3. Kepentingan kontrol (untuk mengetahui apakah proses terkendali atau tidak).

2.3 Estimasi Parameter Model Deret Waktu Domain Frekuensi Menggunakan

Metode Ordinary Least Square

Diberikan data deret waktu dengan 𝑛 pengamatan dalam bentuk polinomial

trigonometrik:

𝑦𝑡 = ∑ (𝑎𝑘 cos𝜔𝑘𝑡 + 𝑏𝑘 sin𝜔𝑘𝑡) + 𝑒𝑡

[𝑛/2]

𝑘=0

(2.1)

𝑦𝑡 = 𝑎0 cos𝜔0𝑡 + 𝑏0 sin𝜔0𝑡 + 𝑎1 cos𝜔1𝑡 + 𝑏1 sin𝜔1𝑡 + ⋯+ 𝑎𝑘 cos𝜔𝑘𝑡

+ 𝑏𝑘 sin𝜔𝑘𝑡 + 𝑒𝑡.

dimana 𝜔𝑘 =2𝜋𝑘

𝑛, 𝑘 = 0,1, … , [𝑛/2] adalah frekuensi Fourier. Selanjutnya 𝑎𝑘 dan 𝑏𝑘

merupakan koefisien Fourier yang dapat diperoleh dengan menggunakan metode OLS.

Penggambaran Fourier pada Persamaan (2.3) dapat dipandang sebagai model regresi

sederhana sebagai berikut (Shittu & Shangodoyin,2008):

𝑦𝑡 = 𝑥𝑡𝛽 + 𝑒𝑡 (2.2)

Dimana 𝒙𝒕 = [cos𝜔0𝑡 sin𝜔0𝑡 cos𝜔1𝑡 sin𝜔1𝑡 … cos𝜔𝑘𝑡 sin𝜔𝑘𝑡], dan

6

𝛽 =

[ 𝑎0

𝑏0𝑎1

𝑏1

⋮𝑎𝑘

𝑏𝑘]

,

serta 𝑒𝑡~𝑁(0, 𝜎2).

Dengan menggunakan metode OLS diperoleh nilai �̂� sebagai berikut :

𝑒𝑡2 = (𝑦𝑡 − 𝒙𝑡𝛽)2, untuk setiap 𝑡 ∈ 𝑅

= ∑𝑦𝑡2

𝑛

𝑡=1

− ∑𝑦𝑡𝒙𝑡𝛽

𝑛

𝑡=1

− ∑𝛽′𝒙𝑡′𝑦𝑡

𝑛

𝑡=1

+ ∑𝛽′𝒙𝑡′𝒙𝑡𝛽

𝑛

𝑡=1

= ∑𝑦𝑡2

𝑛

𝑡=1

− ∑2𝛽′𝒙𝑡′𝑦𝑡

𝑛

𝑡=1

+ ∑𝛽′𝒙𝑡′𝒙𝑡𝛽

𝑛

𝑡=1

Selanjutnya dicari nilai �̂� yang meminimumkan ∑ 𝑒𝑡2𝑛

𝑡=1 menggunakan Persamaan

𝜕(∑ 𝑒𝑡2𝑛

𝑡=1 )

𝜕𝛽= 0

�̂� = (∑𝒙𝑡′𝒙𝑡

𝑛

𝑡=1

)

−1

(∑𝒙𝑡′𝑌𝑡

𝑛

𝑡=1

). (2.3)

Hasil dari penyelesaian Persamaan 2.5 berupa estimator �̂�0, �̂�𝑘 dan �̂�𝑘 sebagai berikut

�̂�0 =1

𝑛 ∑𝑦𝑡

𝑛

𝑡=1

�̂�𝑘 =2

𝑛∑𝑦𝑡 cos𝜔𝑘𝑡

𝑛

𝑡=1

�̂�𝑘 =2

𝑛∑𝑦𝑡 sin𝜔𝑘𝑡

𝑛

𝑡=1

7

2.4 Notasi Euler

Bentuk umum notasi Euler dapat dituliskan :

𝑒𝑖𝜔 = cos𝜔 + 𝑖 sin𝜔, (2.4)

dan identitas notasi Euler diberikan (Wei,2006) :

sin𝜔 =𝑒𝑖𝜔 − 𝑒−𝑖𝜔

2𝑖=

1

2𝑒𝑖𝜔 −

1

2𝑒−𝑖𝜔 , (2.5)

cos𝜔 =𝑒𝑖𝜔 + 𝑒−𝑖𝜔

2=

1

2𝑒𝑖𝜔 +

1

2𝑒𝑖𝜔 .

2.5 Ordinary Least Square (OLS)

Misalkan model statistik linier

𝑦 = 𝛽1𝑋1 + 𝛽2𝑋2 + ⋯+ 𝛽𝑘𝑋𝑘 + 𝑒. (2.6)

Dengan sejumlah 𝑛 data observasi maka model linier ini dapat ditulis dalam

bentuk matriks sebagai :

[

𝑦1𝑦2

⋮𝑦𝑛

] = [

𝑥11𝑥12

⋮𝑥1𝑛

𝑥21𝑥22

⋮𝑥2𝑛

⋯⋯⋱⋯

𝑥𝑘1𝑥𝑘2

⋮𝑥𝑘𝑛

] [

𝛽1

𝛽2

⋮𝛽𝑘

] + [

𝑒1𝑒2

⋮𝑒𝑛

]. (2.7)

Sehingga model ini dapat disederhanakan sebagai

𝑦 = 𝑋𝛽 + 𝑒. (2.8)

Variabel 𝑒 sangat memegang peran dalam model ekonometrika, tetapi variabel

ini tidak dapat diteliti dan tidak pula tersedia informasi tentang bentuk distribusi

kemungkinannya. Disamping asumsi mengenai distribusi probabilitasnya, beberapa

asumsi lainnya khususnya tentang sifat statistiknya perlu dibuat dalam menerapkan

metode OLS.

8

Berkaitan dengan model regresi yang telah dikemukakan sebelumnya, Gauss

telah membuat asumsi mengenai variabel 𝑒 sebagai berikut :

1. Nilai rata-rata atau harapan variabel 𝑒 adalah sama dengan nol atau

𝐸(𝑒) = 0. (2.9)

Yang berarti nilai bersyarat 𝑒 yang diharapkan adalah sama dengan nol dimana

syaratnya yang dimaksud tergantung pada nilai 𝑥. Dengan demikian, untuk nilai

𝑥 tertentu mungkin saja nilai 𝑒 sama dengan nol, mungkin positif atau negatif,

tetapi untuk banyak nilai 𝑥 secara keseluruhan nilai rata-rata 𝑒 diharapkan sama

dengan nol.

2. Tidak terdapat korelasi serial atau korelasi antar variabel untuk setiap observasi.

Dengan demikian dianggap bahwa tidak terdapat hubungan yang positif atau

negatif antara 𝑒𝑖 dan 𝑒𝑗. Dan tidak terdapat heteroskedastisitas antar variabel 𝑒

untuk setiap observasi, atau dikatakan bahwa setiap variabel 𝑒 mempunyai

varian yang positif dan konstan yang nilainya 𝜎2, yaitu

𝑣𝑎𝑟 (𝑒𝑖, 𝑒𝑗) = {𝜎2, 𝑖 = 𝑗 0, 𝑖 ≠ 𝑗

(2.10)

3. Variabel 𝑥 dan variabel 𝑒 adalah saling tidak tergantung untuk setiap observasi

sehingga

𝐶𝑜𝑣(𝑥𝑖, 𝑒𝑖) = 0.

Dari ketiga asumsi ini diperoleh:

𝐸(𝑦) = 𝑋𝛽

𝐶𝑜𝑣(𝑦) = 𝜎2𝐼𝑛

Misalkan sampel untuk 𝑦 diberikan. Maka aturan yang memungkinkan

pemakaian sampel tadi untuk mendapatkan taksiran dari 𝛽 adalah dengan membuat

𝑒 = 𝑦 − 𝑋𝛽 sekecil mungkin. Dengan aturan ini, diharapkan akan menghasilkan

komponen sistematik yang lebih berperan daripada komponen stokastiknya. Karena

9

bila komponen stokastik yang lebih berperan artinya hanya diperoleh sedikit informasi

tentang 𝑦. Dengan kata lain, 𝑋 tidak mampu menjelaskan 𝑦.

Untuk tujuan ini maka perlu memilih parameter 𝛽 sehingga

𝑆 = 𝑒′𝑒 = (𝑦 − 𝑋𝛽)′(𝑦 − 𝑋𝛽) (2.11)

sekecil mungkin (minimal).

Persamaan (2.11) adalah skalar, sehingga komponen-komponennya juga skalar.

Dan akibatnya, transpose skalar tidak merubah nilai skalar tersebut. Sehingga 𝑆 dapat

ditulis sebagai

𝑆 = (𝑦 − 𝑋𝛽)′(𝑦 − 𝑋𝛽) = 𝑦′𝑦 − 2𝛽′𝑋′𝑦 + 𝛽′𝑋′𝑋𝛽. (2.12)

Untuk meminimumkannya dapat diperoleh dengan melakukan turunan parsial

pertama 𝑆 terhadap 𝛽.

𝑑𝑆

𝑑𝛽= −2𝑋′𝑦 + 2𝑋′𝑋𝛽. (2.13)

Dan menyamakannya dengan nol diperoleh

𝑋′𝑋𝛽 = 𝑋′𝑦. (2.14)

Yang dinamakan sebagai Persamaan normal, dan

�̂�𝑜𝑙𝑠 = (𝑋′𝑋)−1𝑋′𝑦. (2.15)

Yang dinamakan sebagai penaksir (estimator) parameter 𝛽 secara kuadrat terkecil

(Azis, 2007).

2.6 Model Aditif Outlier (AO) dan Multiplikatif Outlier (MO)

Model aditif diberikan sebagai berikut :

𝑦𝑡 = 𝑍𝑡 + 𝐷𝜉𝑡(𝑇)

. (2.16)

Misalkan pencilan memiliki efek multiplikatif pada himpunan data,

diasumsikan model bangkitan pencilan multiplikatif :

10

𝑦𝑡 = 𝑍𝑡𝐷𝜉𝑡(𝑇)

. (2.17)

Dimana 𝑦𝑡 adalah deret yang diamati dan 𝑍𝑡 adalah deret yang bebas dari

pencilan serta 𝐷 adalah magnitude dari pencilan. Dengan 𝜉𝑡(𝑇)

adalah indikator waktu

dari pencilan sedemikian sehingga (Shittu & Shangodoyin,2008)

𝜉𝑡(𝑇)

= {1, 𝑡 = 𝑇0, 𝑡 ≠ 𝑇

(2.18)

2.7 Turunan Matriks

Misalkan terdapat dua vektor A dan X, dengan

𝑨 =

[ 𝑎1

𝑎2𝑎3

⋮𝑎𝑛]

, maka 𝑨′ = [𝑎1 𝑎2𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛] (2.19)

𝑿 =

[ 𝑥1

𝑥2𝑥3

⋮𝑥𝑛]

, maka 𝑿′ = [𝑥1 𝑥2𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛]

(2.20)

Dan 𝑿′𝑨 = 𝑨′𝑿, maka

𝜕(𝑿′𝑨)

𝜕𝑥=

𝜕(𝑨′𝑿)

𝜕𝑥= 𝑨 (2.21)

Bukti :

1. 𝜕(𝑿′𝑨)

𝜕𝑥=

𝜕(𝑥1𝑎1 + 𝑥2𝑎2 + 𝑥3𝑎3 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑎𝑛)

𝜕𝑥

11

=

[ 𝜕(𝑥1𝑎1 + 𝑥2𝑎2 + 𝑥3𝑎3 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑎𝑛)

𝜕𝑥1

𝜕(𝑥1𝑎1 + 𝑥2𝑎2 + 𝑥3𝑎3 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑎𝑛)

𝜕𝑥2

⋮𝜕(𝑥1𝑎1 + 𝑥2𝑎2 + 𝑥3𝑎3 + ⋯+ 𝑥𝑛𝑎𝑛)

𝜕𝑥𝑛 ]

=

[ 𝑎1

𝑎2𝑎3

⋮𝑎𝑛]

= 𝑨

2. 𝜕(𝑨′𝑿)

𝜕𝑥=

𝜕(𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛)

𝜕𝑥

=

[ 𝜕(𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛)

𝜕𝑥1

𝜕(𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛)

𝜕𝑥2

⋮𝜕(𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛)

𝜕𝑥𝑛 ]

=

[ 𝑎1

𝑎2𝑎3

⋮𝑎𝑛]

= 𝑨

Jadi, terbukti 𝜕(𝑿′𝑨)

𝜕𝑥=

𝜕(𝑨′𝑿)

𝜕𝑥= 𝑨

Misalkan fungsi linier 𝒀 = 𝑨𝑿

𝑨 = [

𝑎1

𝑎2

⋮𝑎𝑛

]

𝑦𝑡 = 𝑎𝑡𝑥

Dimana 𝑎𝑡 adalah elemen-elemen baris ke-𝑖 dari 𝑨, maka

[ 𝜕𝑦1

𝜕𝑥𝜕𝑦2

𝜕𝑥⋮

𝜕𝑦𝑛

𝜕𝑥 ]

= [

𝑎1

𝑎2

⋮𝑎𝑛

]

Sehingga 𝜕𝑨𝑿

𝜕𝑥= 𝑨.

Suatu persamaan

12

𝑿′𝑨𝑿 = [𝑥1 𝑥2𝑥3 ⋯ 𝑥𝑛] [

𝑎11

𝑎21

⋮𝑎𝑛1

𝑎12

𝑎22

⋮𝑎𝑛2

⋯⋯⋱⋯

𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑛𝑛

]

[ 𝑥1

𝑥2𝑥3

⋮𝑥𝑛]

(2.22)

= 𝑎11𝑥112 + 2𝑎12𝑥1𝑥2 + 2𝑎13𝑥1𝑥3 + ⋯+ 2𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛 + 𝑎22𝑥22

2 + 2𝑎23𝑥2𝑥3 + ⋯

+ 2𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛𝑛2

Jika diambil turunan parsial terhadap elemen-elemen 𝑿 akan diperoleh hasil sebagai

berikut :

𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥1= 2(𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 + 𝑎13𝑥3 + ⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛)

𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥2= 2(𝑎12𝑥1 + 𝑎22𝑥2 + 𝑎23𝑥3 + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛)

⋮𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥𝑛= 2(𝑎1𝑛𝑥1 + 𝑎2𝑛𝑥2 + 𝑎3𝑛𝑥3 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛)

(2.23)

Jika diperhatikan hasil persamaan (2.23), 𝑎1𝑛𝑥1 + 𝑎2𝑛𝑥2 + 𝑎3𝑛𝑥3 + ⋯+

𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛 merupakan elemen-elemen dari hasil matriks 𝑨 dan vektor 𝑿, yaitu 𝑨𝑿 dan

memberikan suatu vektor kolom dengan 𝑛 elemen. Jadi hasil di atas dapat diringkas

sebagai berikut:

𝜕(𝑿′𝑨𝑿)

𝜕𝑥= 2𝑨𝑿 (2.24)