ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MICHAELIS-

MENTEN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI

MANGSA

HANDANU DWARADI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

ABSTRAK

HANDANU DWARADI. Analisis Model Mangsa-Pemangsa Michaelis-Menten dengan

Pemanenan pada Populasi Mangsa. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan ALI KUSNANTO.

Dalam tulisan ini telah dipelajari Model mangsa-pemangsa Michaelis-Menten dengan

pemanenan pada populasi mangsa. Dari analisis yang dilakukan didapat empat titik tetap dengan

sifat stabil, sadel, takstabil bergantung dari parameter yang diberikan. Simulasi komputer juga

dilakukan untuk menunjukkan dinamika dengan memvariasikan nilai parameternya.

Agar populasi mangsa dan pemangsa tidak mengalami kepunahan, tingkat pemanenan harus

lebih rendah dari batas maksimum pemanenan. Batas maksimum tingkat pemanenan adalah

seperempat dari populasi mangsa. Jika tingkat pemanenan melebihi seperempat populasi mangsa,

maka sistem tidak memiliki titik tetap dan kedua spesies akan mengalami kepunahan.

ABSTRACT

HANDANU DWARADI. Prey-Predator Model Analysis of Michaelis-Menten with harvesting on

prey population. Supervised by PAIAN SIANTURI and ALI KUSNANTO.

In this manuscript has studied the prey-predator model of Michaelis-Menten with harvesting on

prey populations. Based on the analysis conducted, it was obtained four steady states with

characteristics stable, saddle, unstable depending on the value of parameters used. A computer

simulation was also carried out to show its dynamics by varying the parameter values.

In order to prevent the extinction of the prey and predator, the harvesting level should be lower

than maximum limit. The maximum limit of the harvesting level is a quarter of the prey

population. If the harvesting level exceeds a quarter of the prey population, then the system has no

steady state and both species will be extinct.

ANALISIS MODEL MANGSA-PEMANGSA MICHAELIS-

MENTEN DENGAN PEMANENAN PADA POPULASI

MANGSA

HANDANU DWARADI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPERTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

Judul : Analisis Model Mangsa-Pemangsa Michaelis-Menten dengan

Pemanenan pada Populasi Mangsa

Nama : Handanu Dwaradi

NRP : G54051107

Menyetujui

Pembimbing I,

Dr. Paian Sianturi NIP. 19620212 199011 1 001

Pembimbing II,

Drs. Ali Kusnanto, M.Si. NIP. 19650820 199003 1 001

Mengetahui :

Ketua Departemen,

Dr. Berlian Setiawaty, MS.

NIP. 19650505 198903 2 004

Tanggal Lulus :

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya

sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Karya ilmiah ini berjudul Analisis Model Mangsa-

Pemangsa Michaelis-Menten dengan Pemanenan Pada Populasi Mangsa. Penyusunan skripsi ini

juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang

sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak dan Ibu tersayang, terima kasih atas didikan, kasih sayang, nasihat, semangat,

serta do’a yang tiada henti-hentinya. Do’a yang selalu menjadi penerang jalan penulis.

2. Dr. Paian Sianturi dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si sebagai pembimbing I dan II yang telah

membimbing, memberikan banyak saran, meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga

hingga karya ilmiah ini selesai. Semua ilmu yang Pak Paian dan Pak Ali berikan sangat

bermanfaat bagi penulis. Terima kasih.

3. Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. selaku dosen penguji. Terima kasih atas waktu dan ilmu

yang sangat bermanfaat bagi penulis.

4. Mas ada, mba ina, uti, dan cita yang sudah mendoakan dan memberi semangat

5. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas ilmu dan nasehatnya selama

ini. Terima kasih banyak.

6. Bu Susi, bu Ade, mas Bono, pak Yono, mas Heri dan seluruh staf pegawai Departemen

Matematika, terima kasih atas bantuannya selama ini.

7. Keluarga condet, Mbah Mar, bule Entri, bule Ida, Bule Eni, om Tio, om Pras, om Tri

terima kasih atas doa dan nasehatnya.

8. Suwarno, Irsyad, Apri, dan Iko terima kasih atas bantuannya selama ini

9. Nisa dan Vido terima kasih atas doa dan dukungannya yang tiada hentinya, terima kasih

atas waktu dan kebersamaannya selama ini. Terima kasih.

10. Kakak kelas dan adik kelas terima kasih atas doa dan dukungannya.

11. Teman-teman matematika angkatan 42: Yudi, Kinun, Sapto, Dendi, Ardy, Septian, Awi,

Eko, Rendy, boy, Haryo, Arif, Ridwan, Yusep, Bima, Ilyas, iput, Facri, Bayu, Heri,

Acuy, Ryu, Ricken, Agnes, Hikmah, Dian, Titi, Mira, Octa, Rita, Vita, Vera, Gita, Luri,

Rima, Hesti, Ayu, Nyoman, Ida, Achi, dewi, Lisda, Erlin, eyyi, Hapsari, Jane, Lela,

Lina, Mega, Niken, Nola, Nopi, Oby, Ocoy, Pipit, Siti, Tia, Vino, Yuni, Ety, Zil

12. Teman satu bimbingan Gandi, Ache, dan Ridwan terima kasih atas doa, dukungan dan

kebersamaannya selama bimbingan.

13. Teman-teman nakama: Danu, Dera, Marta, Mochan, dan Steven terima kasih atas

dukungan, doa, dan nasehatnya selama ini.

Semoga karya ilmiah ini dapat menambah informasi di dunia keilmuan khususnya

matematikadan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.

Bogor, Maret 2011

Handanu Dwaradi

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ..................................................................................................................................... vii

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................................................... viii

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................. viii

I PENDAHULUAN .................................................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ................................................................................................................... 1

1.2 Tujuan ................................................................................................................................. 1

II LANDASAN TEORI ................................................................................................................. 1

2.1 Persamaan Differensial Biasa ............................................................................................ 1

2.2 Sistem Persamaan Differensial Linear .............................................................................. 1

2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................................................................ 2

2.4 Titik Tetap .......................................................................................................................... 2

2.5 Titik Tetap Hiperbolik ....................................................................................................... 2

2.6 Titik Tetap non-Hiperbolik ................................................................................................ 2

2.7 Titik Tetap Stabil ............................................................................................................... 2

2.8 Titik Tetap Tak Stabil ........................................................................................................ 2

2.9 Pelinearan ........................................................................................................................... 2

2.10 Analisis Kestabilan Titik Tetap ......................................................................................... 2

2.11 Diagram Fase ..................................................................................................................... 3

2.12 penondimensionalan .......................................................................................................... 3

III PEMODELAN ............................................................................................................................ 3

3.1 Model Mangsa-Pemangsa ................................................................................................... 3

3.2 Model Umum Pemanenan .................................................................................................. 4

3.3 Model Michaelis-Menten dengan Pemanenan Konstan pada Populasi Mangsa .............. 4

IV PEMBAHASAN DAN HASIL .................................................................................................. 5

4.1 Menentukan Nilai Pemanenan Maksimal untuk Nilai Pemangsa Nol ............................... 5

4.2 Penentuan Nilai Titik Tetap ................................................................................................ 7

4.3 Konstruksi Matriks Jacobi ................................................................................................. 7

4.4 Analisis Kestabilan Titik Tetap ......................................................................................... 8

4.4.1 Kestabilan Titik di Titik Tetap T1 .......................................................................... 8

4.4.2 Kestabilan Titik di Titik Tetap T2 ........................................................................... 8

4.4.3 Kestabilan Titik di Titik Tetap T3 .......................................................................... 8

4.4.4 Kestabilan Titik di Titik Tetap T4 .......................................................................... 9

4.5 Simulasi Analisis Kestabilan ............................................................................................ 11

4.5.1 Simulasi Analisis Kestabilan Pada Kasus 1 ......................................................... 11

4.5.2 Simulasi Analisis Kestabilan Pada Kasus 2 ......................................................... 11

4.5.3 Simulasi Analisis Kestabilan Pada Kasus 3 ......................................................... 12

4.5.4 Simulasi Analisis Kestabilan Pada Kasus 4 ......................................................... 12

4.5.5 Simulasi Analisis Kestabilan Pada Kasus 5 ......................................................... 13

4.5.6 Simulasi Analisis Kestabilan Pada Kasus 6 ......................................................... 13

4.5.7 Simulasi Analisis Kestabilan Pada Kasus 7 ......................................................... 14

V SIMPULAN .............................................................................................................................. 16

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................................... 16

LAMPIRAN ............................................................................................................................... 17

vii