ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSADENGAN RESPON FUNGSIONALMICHAELIS-MENTEN

olehASTRID CANDRASARINIM. M0102 015SKRIPSIditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratanmemperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS SEBELAS MARETSURAKARTA2007i

SKRIPSIANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGANRESPON FUNGSIONAL MICHAELIS-MENTENyang disiapkan dan disusun olehASTRID CANDRASARINIM. M0102 015dibimbing olehPembimbing I, Pembimbing II,Drs. Sutrima, M.Si Umi Salamah, M.KomNIP. 132 046 018 NIP. 132 162 555telah dipertahankan di depan Dewan Pengujipada hari Jumat, tanggal 26 Januari 2007dan dinyatakan telah memenuhi syaratAnggota Tim Penguji Tanda Tangan1. Dr. Sutanto 1. ....................NIP. 132 149 0792. Hasih Pratiwi, M. Si 2. ....................NIP. 132 143 8173. Dra. Purnami Widyaningsih 3. ....................NIP. 131 695 204Disahkan olehFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamDekan, Ketua Jurusan Matematika,Drs. Marsusi, M.S Drs. Kartiko, M.SiNIP. 130 906 776 NIP. 131 569 203ii

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk:~ Papa dan mami-ku tersayang,~ Kakak-kakakku: Mbak Lia, Mas Ronny, Mas Suryo,Mbak Sopik, Mas Ari, dan Mas Rio,~ Sahabat-sahabat terbaikku: Nia, Yuyun, Yonda, Rahma dan Ratna,~ Bapak-bapak dan ibu-ibu dosen-ku yang aku banggakan.

iii

ABSTRAKAstrid Candrasari, 2007. ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PE-MANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONAL MICHAELIS-MENTEN. Fa-kultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.Model mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mihaelis-Menten men-jelaskan suatu ekosistem yang terdiri dari tiga komponen yaitu tanaman, ma-malia keil dan karnivora pemakan mamalia keil. Keseimbangan ekosistem inidapat dikontrol jika persediaan tanaman memadai. Kestabilan global di dalamsistem mangsa-pemangsa menjadi masalah matematis yang menarik. Jika dalamsistem tersebut terapai kestabilan, kelangsungan hidup mangsa dan pemangsadapat dipertahankan. Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan syarat ukupkestabilan global beserta interpretasi biologinya.Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah teoritis-simulasi. Untukmenjelaskan kestabilan digunakan metode linearisasi yang menghasilkan kestabil-an lokal dan Teorema Poinar�e-Bendixon yang menghasilkan kestabilan global.Hasil pembahasan menunjukkan bahwa kestabilan global diapai di titikkesetimbangan nontrivial (a) E2 = (A; 0) dengan interval 0 < A < hb� yaitudengan ketidakhadiran pemangsa, dan (b) E3 = (m�; v�) dengan m� = hb� danv� = bhr�A(b�)�h�A�(b�)2 dengan interval hb� < A < � untuk suatu � yaitu dengankehadiran mangsa dan pemangsa pada ekosistem. Kestabilan global memberikaninterpretasi bahwa kehidupan ekosistem dalam keadaan terkendali seara luasdalam waktu yang tak terbatas.

iv

ABSTRACTAstrid Candrasari, 2007. GLOBAL ANALYSIS OF PREDATOR-PREYSYSTEM WITH MICHAELIS-MENTEN FUNCTIONAL RESPONSE. Faultyof Mathematis and Natural Sienes, Sebelas Maret University.Predator-prey model with funtional response Mihaelis-Menten explaineda simple eosystem onsist of a plant, small mammal whih eats the plant and ar-nivorous predator whih eats the mammal. The equilibrium of eosystem ouldbe ontrolled if populations of plant were available. Global stability for thiseosystem beomes an interesting mathematial problem. If the system reah-es stability, the populations of predator and prey will be in healthy numbers.The aim of this paper is �nding suÆient onditions for global analysis with thebiologial interpretation.The methods used in this thesis are theoretial-simulations whih lineariza-tion method for explaining loal stability and Poinar�e-Bendixon Theorem forglobal stability.As the results, global stability is reahed at nontrivial equilibrium points(a) E2 = (A; 0) on interval 0 < A < hb� , with the absene of predator, and (b)E3 = (m�; v�) with m� = hb� and v� = bhr�A(b�)�h�A�(b�)2 on interval hb� < A < �for any �, both of predator and prey present in eosystem. The interpretation ofglobal stability is that the eosystem in a stable onditions or healthy numberswith unlimited time.

v

KATA PENGANTARPuji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena atas berkah, rah-mat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir.Dalam penyusunan skripsi ini penulis menguapkan terimakasih kepada:1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si., Dosen Pembimbing I dan Ibu Umi Salamah,M.Kom., Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan pe-ngarahan dalam penyusunan skripsi.2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si, Pembimbing Akademik yang telah banyakmemberikan semangat dan bimbingan.3. Keluarga besar H. Bambang Soebekti, S.Ip yang telah memberikan dukung-an moral dan material.4. Semua pihak yang telah membantu dalam kelanaran penyusunan skripsi.Akhir kata, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaa sekalian.

Surakarta, Januari 2007Penulisvi

DAFTAR ISIJUDUL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iPENGESAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiPERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ivABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vKATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viDAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiDAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixDAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xDAFTAR NOTASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiI PENDAHULUAN 11.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II LANDASAN TEORI 42.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.1 Sistem Autonomous dan Bidang Fase . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Titik Kesetimbangan dan Teori Kestabilan . . . . . . . . . 42.1.3 Metode Linearisasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.4 Limit Cyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.5 Respon Fungsional Mihaelis-Menten . . . . . . . . . . . . 10vii

2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10IIIMETODE PENELITIAN 12IVHASIL DAN PEMBAHASAN 134.1 Konstruksi Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.1.1 Respon Fungsional Mihaelis-Menten . . . . . . . . . . . . 134.1.2 Laju Populasi Mangsa dan Pemangsa . . . . . . . . . . . . 144.2 Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Analisis Kestabilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3.1 Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E2 . . . . . . . . 174.3.2 Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E3 . . . . . . . . 184.4 Analisis Kestabilan Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4.1 Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E2 . . . . . . . 224.4.2 Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E3 . . . . . . . 224.5 Simulasi Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24V KESIMPULAN DAN SARAN 315.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31DAFTAR PUSTAKA 32

viii

DAFTAR TABEL2.1 Tipe Kestabilan dari Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . 74.1 Kemungkinan Nilai A1 < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Kemungkinan Nilai A2 > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Periode dan Populasi Spesies pada Limit Cyle . . . . . . . . . . 28

ix

DAFTAR GAMBAR2.1 Tipe Kestabilan Titik Kesetimbangan . . . . . . . . . . . . . . . . 84.1 Gra�k Laju Murat dan Vekton pada Interval 0 < A < h(b+)b� . . . 244.2 Bidang Fase pada E2 dengan A = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.3 Bidang Fase pada E31 dengan A = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Bidang Fase pada E32 dengan A = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . 274.5 Bidang Fase pada E32 dengan A = 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 274.6 Limit Cyle dengan Carrying Capaity yang Ditentukan . . . . . 294.7 Limit Cyle dengan Arah Trayektori . . . . . . . . . . . . . . . . 30

x

GAMBAR

xi

DAFTAR NOTASIdmdt : laju populasi mangsadvdt : laju populasi pemangsam : populasi mangsav : populasi pemangsaA : kemampuan populasi maksimum mangsa tanpa adanya pemangsa� : laju penangkapanb : angka pertumbuhan maksimum pemangsa : angka kematian pemangsah : konstanta setengah jenuhr : angka pertumbuhan intrinsik mangsaV : keepatan reaksi antara enzim dan substrat oleh Mihaelis-MentenVmax : laju pembentukan produk maksimumK : konstanta Mihaelis[S℄ : konsentrasi substratma : jumlah mangsa yang dikonsumsi pemangsa per satuan waktup : laju konsumsi maksimum pemangsaEi : titik kesetimbangan ke-iJ(Ei) : matriks Jaobian di titik kesetimbangan ke-i� : nilai eigenOf : gradien f

xi

BAB IPENDAHULUAN1.1 Latar Belakang MasalahMatematika adalah ilmu yang sangat universal. Salah satu dasar ilmupengetahuan ini dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena-fenomena yangterjadi di alam semesta. Matematika merupakan salah satu alat kuantitatifmaupun kualitatif yang dapat menjelaskan dinamika populasi. Salah satunyaadalah mengenai interaksi makhluk hidup, yang dapat digunakan untuk melakukankontrol terhadap alam tersebut.Sebagaimana telah dikemukakan oleh Campbell, et al. [3℄ populasi dide�-nisikan sebagai suatu kelompok individu dari suatu spesies yang sama dan hidupdalam daerah geogra�s tertentu. Populasi ini selalu mengalami dinamika per-tumbuhan sejalan dengan perubahan-perubahan yang ada di alam. Murray [10℄menyatakan bahwa setiap populasi tumbuh seara eksponensial di mana pertum-buhan ini selalu naik dengan sumber yang tak terbatas. Akan tetapi karenaadanya keterbatasan sumber daya di alam ini, misalnya keterbatasan nutrisi,menyebabkan populasi ini tumbuh seara logistik yang pada suatu saat tertentupertumbuhannya menjadi lambat dan akhirnya akan terhenti. Interaksi antarpopulasi akan menyebabkan pertumbuhan seara logistik ini berubah.Menurut Murray [10℄ ada tiga tipe interaksi antar populasi yaitu (a) tipemangsa-pemangsa, di mana naiknya laju pertumbuhan suatu populasi mengham-bat pertumbuhan populasi lainnya, (b) kompetisi, di mana laju pertumbuhanmasing-masing populasi turun, serta () simbiosis atau mutualisme, yang masing-masing populasi terus meningkat pertumbuhannya.Pada tahun 1959, Holling telah mengklasi�kasikan hubungan antara mangsa-pemangsa ke dalam tiga tipe berdasarkan laju konsumsi pemangsa, sebagaimanayang telah dikemukakan oleh Hsu [9℄, salah satu di antaranya adalah model1

mangsa-pemangsa tipe Lotka-Volterra dengan respon fungsional Mihaelis-Men-ten. Model ini menjelaskan sistem ekologi yang terdiri dari tiga komponen yaitutanaman, mamalia keil pemakan tanaman sebagai mangsa dan karnivora pe-makan mamalia keil sebagai pemangsa. Keseimbangan ekosistem ini dapatdikontrol jika persediaan populasi tanaman memadai. Misalkan m menyatakanpopulasi mangsa dan v menyatakan populasi pemangsa. Sistem ini dapat dije-laskan sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear yaitudmdt = mr�1� mA�� �mvh +mdvdt = bmvh+m � v (1.1)m(0) > 0; v(0) > 0A; �; b; ; h; r > 0dengan A adalah kemampuan populasi maksimum mangsa tanpa adanya pe-mangsa (arrying apaity), � adalah laju penangkapan (apturing rate), b adalahangka pertumbuhan maksimum pemangsa, adalah angka kematian pemangsa,h adalah konstanta setengah jenuh (half saturation onstant), dan r adalah angkapertumbuhan intrinsik mangsa.Sistem persamaan diferensial nonlinear (1.1) dapat diari titik kesetim-bangannya. Titik kesetimbangan berhubungan erat dengan kestabilan suatu sis-tem. Kestabilan di dalam sistem mangsa-pemangsa menjadi masalah matematisyang menarik. Hal ini menjadi penting, karena jika dalam sistem tersebut tera-pai kestabilan, kelangsungan hidup mangsa dan pemangsa dapat dipertahankan.Jika titik kesetimbangan stabil untuk setiap kondisi awal yang ditentukan, makamenurut Bellomo dan Preziosi [1℄ sistem tersebut stabil seara global.Fakta-fakta di atas menyarankan pentingnya penelitian tentang syarat ukuptentang kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa dengan respon fungsionalMihaelis-Menten. Lebih lanjut interpretasi kestabilan dari sistem tersebut jugapenting untuk dijelaskan.2

1.2 Perumusan MasalahSejalan dengan fakta-fakta yang diungkapkan pada latar belakang di atas,permasalahan utama dalam penelitian ini adalah1. apa syarat ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa (1.1)2. bagaimana interpretasi kestabilan global sistem mangsa-pemangsa (1.1).1.3 Batasan MasalahPermasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah1. sistem mangsa-pemangsa (1.1) mengasumsikan bahwa mangsa tumbuh se-ara logistik tanpa adanya pemangsa2. adanya pemangsa menyebabkan laju populasi mangsa dipengaruhi oleh re-spon fungsional Mihaelis-Menten.1.4 TujuanSeara eksplisit terdapat dua tujuan utama yang ingin diapai dari peneli-tian ini, yaitu1. dapat menentukan syarat ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pe-mangsa (1.1)2. dapat menginterpretasikan kestabilan global sistemmangsa-pemangsa (1.1).1.5 ManfaatManfaat yang ingin diapai dari penelitian ini adalah dapat mengetahuisyarat ukup kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa dengan respon fung-sional Mihaelis-Menten.3

BAB IILANDASAN TEORI2.1 Tinjauan Pustaka2.1.1 Sistem Autonomous dan Bidang FaseSuatu sistem persamaan diferensial nonlinear seara umum dapat ditulisdx1dt = f1(x1; x2; : : : ; xn; t)dx2dt = f2(x1; x2; : : : ; xn; t)...dxndt = fn(x1; x2; : : : ; xn; t) (2.1)dengan fi adalah fungsi kontinu pada i = 1; 2; : : : ; n, serta derivatif parsial perta-manya kontinu. Farlow [5℄ menyatakan bahwa sistem persamaan diferensial (2.1)dengan fi tidak tergantung seara eksplisit terhadap t disebut sistem autonomous.Dalam sistem ini, (x1; x2; : : : ; xn) disebut fase, sedangkan bidang x1; x2; : : : ; xndisebut bidang fase. Nilai x1 = x1(t); x2 = x2(t); : : : ; xn = xn(t) yang menyatakansuatu titik (x1; x2; : : : ; xn) pada bidang fase disebut vektor keadaan. Karenavariabel bebas t berubah, vektor keadaan bergerak pada bidang fase. Penyele-saian aljabar yang berhubungan dengan variabel tak bebas x1; x2; : : : ; xn menya-takan suatu trayektori atau orbit pada bidang fase.2.1.2 Titik Kesetimbangan dan Teori KestabilanKestabilan sistem mangsa-pemangsa sangat erat berkaitan dengan titik ke-setimbangan sistem tersebut. Farlow [5℄ menyatakan bahwa titik kesetimbanganmerupakan titik dengan gerak vektor keadaan konstan. Umumnya sistem per-samaan diferensial nonlinear memiliki lebih dari satu titik kesetimbangan sehing-4

ga memungkinkan sistem konvergen ke satu atau beberapa titik kesetimbangantergantung pada kondisi awal yang diambil.Sistem (2.1) seara umum dapat dituliskan dalam bentuk_x = f(x)dengan x = (x1; x2; : : : ; xn), _x = (dx1dt ; dx2dt ; : : : ; dxndt ), dan f = (f1; f2; : : : ; fn). Su-atu titik �x disebut titik kesetimbangan dari sistem (2.1), jika f(�x) = 0. Jika titik�x adalah titik kesetimbangan maka fungsi konstan x(t) = �x untuk semua t adalahmerupakan penyelesaian. Hal ini sesuai dengan de�nisi titik kesetimbangan yangtelah dikemukakan oleh Hale dan Ko�ak [8℄.De�nisi 2.1.1. Titik �x 2 R2 disebut titik kesetimbangan dari _x = f(x) jikaf(�x) = 0, �x = ( �x1; �x2). Dengan kata lain f1( �x1; �x2) = 0 dan f2( �x1; �x2) = 0.Finizio dan Ladas [6℄ mengemukakan bahwa suatu titik kesetimbangan dika-takan stabil jika perubahan keil dalam kondisi awal hanya menyebabkan pe-ngaruh keil pada penyelesaian. Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotikjika pengaruh dari suatu perubahan keil enderung menghilang sama sekali.Titik kesetimbangan dikatakan tak stabil jika perubahan keil dalam kondisi awalmempunyai pengaruh yang besar pada penyelesaian.Jika persekitaran titik kesetimbangan stabil asimtotik yang memuat kondisiawal meliputi daerah lokal, maka kestabilannya disebut kestabilan lokal. Jikakondisi awal meliputi seluruh bidang atau memuat semua kondisi awal makakestabilannya disebut kestabilan global. De�nisi 2.1.2 berkaitan dengan kestabil-an sebagaimana telah dikemukakan oleh Bellomo dan Preziosi [1℄.De�nisi 2.1.2. Suatu keadaan setimbang �x disebut stabil jika untuk sembarang� > 0 maka terdapat Æ(�) > 0, sedemikian hingga untuk sembarang kondisi awalx(0) dengan k x(0)� �x k< Æ(�);penyelesaiannya memenuhi k x(t)� �x k< �; 8t � 0:5

Pada sistem persamaan diferensial nonlinear, penyelesaian seara eksak sa-ngat sulit ditemukan mengingat begitu banyaknya variasi persamaan diferensialnonlinear. Oleh karena itu digunakan metode linearisasi dan Teorema Poinar�e-Bendixson untuk membuktikan kestabilan titik kesetimbangan sistem (2.1).2.1.3 Metode LinearisasiMetode linearisasi digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan dife-rensial nonlinear karena penyelesaian seara eksak dari sistem sulit ditemukan.Melalui metode linearisasi, sistem persamaan diferensial nonlinear dapat didekatidengan sistem persamaan diferensial linear yang sesuai. Menurut Hale dan Ko�ak[8℄, tipe kestabilan dari titik-titik kesetimbangan pada sistem linear dapat diten-tukan dengan menari nilai eigen dari matriks koe�siennya. Weisstein [11℄ meny-atakan bahwa nilai eigen adalah nilai skalar yang berhubungan dengan sistempersamaan linear, dikenal sebagai akar karakteristik. Pada sistem autonomousnonlinear, misal �x adalah titik kesetimbangan, f=(f1; f2; : : : ; fn) 2 C1 adalahfungsi turunan parsial pertama kontinu pada C1 dan matriks variasional (Jao-bian) dari titik f di titik x dinotasikan sebagaiJ(x) = 0BBBBBB� �f1�x1 (x) �f1�x2 (x) : : : �f1�xn (x)�f2�x1 (x) �f2�x2 (x) : : : �f2�xn (x)... ... . . . ...�fn�x1 (x) �fn�x2 (x) : : : �fn�xn (x)

1CCCCCCA ;maka J(x) digunakan untuk menganalisis kestabilan dari sistem persamaan dife-rensial nonlinear, sesuai dengan de�nisi yang telah dikemukakan oleh Hale danKo�ak [8℄.De�nisi 2.1.3. Jika �x adalah titik kesetimbangan dari _x = f(x) maka sistempersamaan diferensial linear _x = J(�x)(x)disebut sistem persamaan variasional linear atau linearisasi dari f di titik kese-timbangan �x. 6

Kestabilan sistem dipengaruhi oleh nilai eigen dari J(x). Kemungkinan darinilai eigen dapat dijelaskan dengan Teorema 2.1.1, Teorema 2.1.2, dan Teorema2.1.3.Teorema 2.1.1 (Hale dan Ko�ak [8℄). Misal f adalah fungsi C1. Jika semuanilai eigen pada matriks Jaobian J(�x) mempunyai bagian real negatif maka titikkesetimbangan �x dari sistem persamaan _x = f(x) adalah stabil asimtotik.Teorema 2.1.2 (Hale dan Ko�ak [8℄). Misal f adalah fungsi C1. Jika sekurang-kurangnya satu dari nilai eigen pada matriks Jaobian J(�x) mempunyai bagianreal positif maka titik kesetimbangan �x dari sistem persamaan _x = f(x) adalahtidak stabil.Teorema 2.1.3 (Bellomo dan Preziosi [1℄). Misal fi diferensiabel kontinutingkat dua, �i merupakan nilai eigen dari matriks Jaobian yang dievaluasi padatitik kesetimbangan, dan

Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan dari Tabel 2.1 dapat dilihat pada Gam-bar 2.1.y

(a) Node Stabil

x

y

x

(b) Node Tak stabil(a) Node Stabil (b) Node Tak Stabil�1; �2 < 0 �1; �2 > 0y

x

(c) Titik Sadel

y

x

(d) Titik Pusat() Titik Sadel (d) Titik Pusat�1 < 0 < �2 atau �2 < 0 < �1 �1; �2 kompleks,

2.1.4 Limit CyleKestabilan yang dihasilkan pada metode linearisasi, hanya mampu men-jelaskan kestabilan lokal suatu sistem. Sedangkan kestabilan global dapat diin-vestigasi dengan menggunakan titik kesetimbangan yang stabil lokal, sehinggauntuk membuktikan sistem tersebut stabil global, harus dibuktikan dengan adaatau tidak adanya limit yle.Adanya limit yle pada suatu sistem menandakan adanya kestabilan lokal.Artinya jika sistem persamaan diferensial mempunyai limit yle pada suatu do-main D di persekitaran titik kesetimbangan yang stabil asimtotik maka titiktersebut adalah stabil asimtotik lokal. Sebaliknya jika tidak ditemukan limit yledi persekitaran titik stabil asimtotik maka titik tersebut adalah stabil asimtotikglobal. De�nisi 2.1.4 menurut Bellomo dan Preziosi [1℄ menjelaskan tentang limityle.De�nisi 2.1.4. Suatu orbit x(t) yang enderung menuju ke kurva tertutup dino-tasikan dengan � disebut limit yle jika terdapat periode T > 0 sedemikianhingga barisan titik x(t+ nT ), n 2 N enderung ke �.Sementara untuk menyelidiki ada tidaknya limit yle, digunakan Teorema2.1.4 (Teorema Poinar�e-Bendixson) yang menjelaskan perubahan tanda padagradien suatu sistem.Teorema 2.1.4 (Bellomo dan Preziosi [1℄). Diperhatikan sistem autonomous_x(t) = f(x)dan domain D dalam bidang (x1; x2).Jika Of = �f1�x1 + �f2�x2adalah kontinu dan tidak berubah tanda dalam D, maka sistem tersebut tidakmempunyai limit yle dalam D.9

2.1.5 Respon Fungsional Mihaelis-MentenLarry [7℄ mengilustrasikan reaksi antara enzim dan substrat sebagaiEnzim + Substrat ! Enzim Substrat Kompleks �! Enzim + Produkk1 k3

E + S ES E + Pk2maka V adalah keepatan reaksi antara enzim dan substrat oleh Mihaelis Mentenyang diformulasikan dalam bentukV = Vmaks[S℄K + [S℄ ; (2.2)dengan Vmaks adalah laju pembentukan produk (enzim dan substrat) maksimum,[S℄ adalah konsentrasi substrat, K = k2+k3k1 adalah konstanta Mihaelis yangdiartikan sebagai konsentrasi substrat dimana laju pembentukan produk sete-ngah maksimum. Oleh karena itu, persamaan (2.2) disebut dengan persamaanMihaelis-Menten. 2.2 Kerangka PemikiranDari landasan teori yang telah dijelaskan sebelumnya, suatu sistem per-samaan diferensial nonlinear dapat diari titik kesetimbangannya (De�nisi 2.1.1).Titik kesetimbangan berhubungan erat dengan kestabilan suatu sistem. Meng-ingat sistem persamaan diferensial nonlinear merupakan sistem yang sulit dite-mukan penyelesaian seara eksaknya, maka diperlukan suatu metode untuk men-ari kestabilan sistem. Melalui metode linearisasi, sistem persamaan diferen-sial nonlinear dapat didekati dengan sistem persamaan diferensial linear yangsesuai (De�nisi 2.1.3). Hasil yang dapat diperoleh dari metode ini adalah lokalkhusus untuk sistem yang determinan matriks variasionalnya tidak sama dengan0. Kestabilan lokal pada suatu sistem ditandai dengan adanya limit yle artinyajika sistem mempunyai limit yle pada suatu domain D di persekitaran titikkesetimbangan yang stabil maka titik tersebut adalah stabil lokal.10

Titik kesetimbangan yang stabil lokal dapat diinvestigasi untuk menarikestabilan global di titik tersebut. Jika tidak ditemukan limit yle pada suatudomain D di persekitaran titik kesetimbangan yang stabil maka titik tersebutadalah stabil global. Sementara untuk menyelidiki ada tidaknya limit yle, di-gunakan Teorema Poinar�e-Bendixson (Teorema 2.1.4).Dari fakta-fakta di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dapat disusunsyarat ukup untuk kestabilan global dari berbagai jenis model sistem persamaandiferensial nonlinear. Dengan demikian layak untuk diari syarat ukup darikestabilan sistem mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mihaelis-Mentenbeserta simulasi dari hasil analisis dan interpretasinya seara biologi. Bebera-pa kondisi diperlukan pada sistem mangsa-pemangsa (1.1) agar sistem ini ber-ada pada keadaan stabil global, yaitu memilih dan mengkondisikan parameter-parameter yang mempengaruhi sistem agar memenuhi syarat kestabilan globalmelalui metode-metode yang telah disebutkan.

11

BAB IIIMETODE PENELITIANMetode penelitian yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah meto-de literatur yaitu dengan ara mempelajari karya-karya ilmiah yang telah dihim-pun, dengan pengamatan dan hasil studi. Hasil penelitian dituangkan dan di-jabarkan seara benar dan rini yang disajikan dalam bentuk de�nisi maupunteorema, kemudian disimulasikan dengan menggunakan software Mathematia5.0. Langkah-langkah penelitian dituliskan sebagai berikut.1. Menginvestigasi titik kesetimbangan dari model mangsa-pemangsa (1.1).2. Menentukan kestabilan titik kesetimbangan dengan metode linearisasi.3. Menentukan syarat ukup kestabilan global sistem (1.1) dengan menggu-nakan Teorema Poinar�e-Bendixson.4. Simulasi kasus untuk analisis kestabilan global dari sistem mangsa-pemangsa(1.1).5. Menginterpretasikan seara biologi dari kestabilan global yang diperoleh.

12

BAB IVHASIL DAN PEMBAHASAN4.1 Konstruksi ModelPada bagian ini dikonstruksikan ulang sistem (1.1). Model mangsa-pemang-sa tipe Lotka-Volterra dengan respon fungsional Mihaelis-Menten menjelaskansuatu ekosistem yang terdiri dari tiga komponen yaitu tanaman, mamalia ke-il dan karnivora pemakan mamalia keil. Keseimbangan ekosistem ini dapatdikontrol apabila persediaan tanaman memadai.4.1.1 Respon Fungsional Mihaelis-MentenSebagaimana telah dituliskan dalam [2℄, Holling mengklasi�kasikan 3 je-nis respon fungsional, salah satunya adalah respon fungsional Mihaelis-Menten.Respon fungsional Mihaelis-Menten menjelaskan tentang respon fungsional de-ngan peningkatan laju penangkapan mangsa oleh pemangsa disertai penurunanlaju kepadatan mangsa sampai kondisi pemangsa menjadi konstan atau mengala-mi kejenuhan.Persamaan (2.2) yang diperoleh pada landasan teori merumuskan persamaanrespon fungsional Mihaelis-Menten. Persamaan tersebut dapat dituliskan kem-bali sebagai ma = pmh+m;dengan ma adalah jumlah mangsa yang dikonsumsi pemangsa per satuan wak-tu (= V ), p adalah laju konsumsi maksimum pemangsa (= Vmaks), h adalahkonstanta setengah jenuh (= K), dan m adalah populasi mangsa(= [S℄). Kon-stanta setengah jenuh h diartikan sebagai laju konsumsi maksimum pemangsasampai pemangsa tersebut mengalami kejenuhan atau berhenti menari mangsa.13

Umumnya respon fungsional Mihaelis-Menten bekerja pada ekosistem terisolasi,misalnya ekosistem laut dan danau.4.1.2 Laju Populasi Mangsa dan PemangsaMangsa pada sistem (1.1) disebut dengan murat dan pemangsa disebutdengan vekton. Laju populasi murat dengan ketiadaan vekton tumbuh searaeksponensial dan tak terbatas dalam bentukdmdt = mr;dengan r adalah angka pertumbuhan intrinsik mangsa. Laju populasimurat men-jadi fungsi logistik karena sumber daya alam yang terbatas, dan dapat dituliskansebagai dmdt = mr(1� mA );dengan A adalah arrying apaity. Carrying apaity berhubungan denganketersediaan tanaman sebagai konsumsi murat. Di pihak lain, laju populasi mu-rat dengan adanya vekton dipengaruhi oleh respon fungsional Mihaelis-Mentendirumuskan sebagai dmdt = � �mvh +m:dengan � adalah laju penangkapan mangsa oleh pemangsa. Dari uraian di atas,dapat dirumuskan model laju populasi murat yaitudmdt = mr�1� mA�� �mvh +m;A; �; h; r > 0:Respon fungsional Mihaelis-Menten pada persamaan di atas berpengaruh untukmemperkeil laju populasi murat dengan adanya vekton, sehingga pada laju po-pulasi murat seara keseluruhan, respon ini akan menaikkan laju populasi murat.Vekton tumbuh dengan kontribusi dari murat dan dipengaruhi oleh responfungsional Mihaelis-Menten yang dituliskan sebagaidvdt = bmvh +m;14

dengan b adalah angka pertumbuhan maksimum pemangsa. Laju populasi inijuga dipengaruhi oleh kematian vekton tanpa hadirnyamurat, dirumuskan sebagaidvdt = �v;dengan adalah angka kematian pemangsa. Sehingga laju populasi vekton dapatdituliskan sebagai dvdt = bmvh+m � v;b; ; h > 0:Pada persamaan laju populasi vekton, pengaruh respon fungsional Mihaelis-Menten adalah memperkeil laju populasi vekton yang tumbuh dengan kontribusidari murat tanpa dipengaruhi laju kematiannya. Oleh karena itu, respon ini akanberpengaruh memperkeil laju populasi vekton seara keseluruhan.Dari uraian laju populasi mangsa dan pemangsa, dapat dide�nisikan kem-bali model mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mihaelis-Menten sesuaidengan persamaan (1.1).Lemma berikut menjelaskan perilaku penyelesaian sistem mangsa pemangsadengan respon fungsional Mihaelis-Menten.Lemma 4.1.1. Penyelesaian dari sistem (1.1) adalah positif.Bukti: Dari persamaan laju populasi murat diperolehdmm = �r�1� mA �� �vm + h�dtZ t0 dmm = Z t0 �r�1� m(t)A �� �v(t)h +m(t)�dsln m(t)� ln m(0) = exp"Z t0 �r�1� m(t)A �� �v(t)h+m(t)�ds#m(t) = m(0)eh; h = Z t0 �r�1� m(t)A �� �v(t)h +m(t)�ds:Karena m(0) > 0 dan ep > 0 untuk semua p 2 R, maka m(t) > 0 untuk setiap15

t � 0. Di pihak lain, dari persamaan laju populasi vekton diperolehdvv = � bmh+m � �dtZ t0 dvv = Z t0 � bm(t)h+m(t) � �dsln v(t)� ln v(0) = exp"Z t0 � bm(t)h+m(t) � �ds#v(t) = v(0)ei; i = Z t0 � bm(t)h+m(t) � �ds:Karena v(0) > 0 maka v(t) adalah positif untuk setiap t � 0. Jadi terbukti bahwapenyelesaian sistem (1.1) adalah positif. �4.2 Titik KesetimbanganTitik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1) adalah titik di manalaju mangsa dan pemangsa adalah nol, sehingga populasi mangsa dan pemangsadalam titik tersebut adalah konstan. Sistem persamaan di�erensial nonlinear(1.1) dapat dituliskan sebagai dmdt = f1(m; v)dvdt = f2(m; v);dengan f1(m; v) = mr�1� mA�� �mvh+m dan f2(m; v) = bmvh+m � v.Berdasarkan De�nisi 2.1.1, titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa(1.1) diapai apabila f1(m; v) = 0f2(m; v) = 0: (4.1)Titik kesetimbangan dari persamaan (1.1) dan (4.1) adalah1. E1 = (0; 0)ketidakhadiran kedua spesies dalam ekosistem dinyatakan oleh titik kese-timbanganE1. Karena ketidakhadiran tersebut, maka tidak perlu dilakukananalisis di titik E1. 16

2. E2 = (A; 0)titik kesetimbangan E2 menyatakan murat hidup bebas pada arrying a-paity A, dan ketidakhadiran vekton dalam ekosistem.3. E3 = (m�; v�) dengan m� = hb� dan v� = bhr�A(b�)�h�A�(b�)2 , b > .kedua spesies hadir dalam ekosistem dengan jumlah tertentu yaitu E3.Pada pembahasan selanjutnya laju pertumbuhan maksimum pemangsa b selaludiasumsikan lebih besar dari laju kematian pemangsa .4.3 Analisis KestabilanMetode linearisasi digunakan untuk analisis kestabilan sistem mangsa-pemangsa (1.1). Metode ini hanya mampu menjelaskan kestabilan sistem searalokal. Berdasarkan De�nisi 2.1.3 diperoleh matriks variasional dari sistemmangsa-pemangsa (1.1) yaitu: J = 0�J11 J12J21 J221A (4.2)dengan J11 = r(1� 2mA )� �hv(h+m)2 , J12 = � �mh+m , J21 = bhv(h+m)2 , dan J22 = bmh+m � .Dengan metode linearisasi yang mengau pada matriks variasional (4.2),kestabilan dari titik-titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1) diten-tukan oleh nilai eigen dari matriks variasional yang dievaluasi di titik tersebut.Tipe kestabilan dari titik kesetimbangan telah dijelaskan pada Tabel 2.1 dengan�1 dan �2 adalah nilai eigen dari sistem (1.1).4.3.1 Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E2Sebelum dilakukan analisis titik kesetimbangan E2, akan dilakukan analisisdi titik E1. Jika matriks variasional (4.2) dievaluasi di titik E1 = (0; 0) diperolehJ(E1) = 0�r 00 �1A :17

Nilai eigen dari matriks J(E1) adalah �1 = r dan �2 = �. Karena �2 < 0 < �1,maka titik kesetimbangan E1 merupakan titik sadel dan menurut Teorema 2.1.2,maka E1 tidak stabil.Sedangkan di titik kesetimbangan E2 diperoleh matriks variasionalJ(E2) = 0��r � A�A+h0 AbA+h � 1A :J(E2) memberikan nilai eigen �1 = �r dan �2 = AbA+h � . Agar E2 merupakantitik kesetimbangan yang stabil asimtotik jika nilai eigen �2 < 0 yaituA < hb� :Dalam hal ini titik kesetimbangan E2 adalah node dan akibatnya menurut Teo-rema 2.1.1 titik E2 adalah stabil asimtotik.4.3.2 Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E3Jika matriks variasional (4.2) dievaluasi di titik E3, maka diperolehJ(E3) = 0� rb � hr(b+)Ab(b�) ��br(b�)� � hrA� 0 1A :Nilai eigen � memenuhi persamaan karakteristik�2 � ��rb � hr(b+ )Ab(b� ) �+rb �(b� )� hA �= 0�2 � a1�+ a2 = 0; (4.3)dengan a1 = rb � hr(b+)Ab(b�) dan a2 = rb �(b� )� hA �.Agar E3 merupakan titik kesetimbangan yang stabil asimtotik maka nilai eigendari matriks variasional tersebut harus memenuhi syarat �1+�2 < 0 dan �1�2 > 0.Dari syarat pertama diperoleh A < h(b + )b� ;sedangkan dari syarat kedua diperolehA > hb� :18

Kedua syarat yang diperoleh merupakan batas interval untuk A, yaituhb� < A < h(b + )b� : (4.4)Di pihak lain dari (4.3) diperoleh nilai eigen �1 dan �2 yaitu�1 = r2b�1� h(b + )A(b� ) �pa3��2 = r2b�1� h(b + )A(b� ) +pa3� (4.5)dengan a3 = �1� h(b+)A(b�)�2�4br�b� � hA �.Dari (4.5) terdapat dua kemungkinan kasus yaitu �1 dan �2 bilangan kompleksdan �1 dan �2 bilangan real.Kasus 1: �1 dan �2 adalah bilangan kompleks apabila a3 < 0. Oleh karena itudari (4.5) diperoleh �1 � �2 = 0:Dari fakta di atas dan de�nisi a3 maka diperoleh�1� h(b+ )A(b� )�2�4bh�b� � hA �= 0:Persamaan terakhir akan menghasilkan nilai A yaituA1 = h(a4 + a5)a6 dan A2 = h(a4 � a5)a6 ;dengan a4 = r(b + )� 2b(b � ), a5 = 2bq�(b� )2 + r(b2 � 2)�, dan a6 =(b� )��4b(b � ) + r�.Lemma 4.3.1. Bilangan A1 menyebabkan sistem (1.1) tidak bermakna searabiologi, sedangkan bilangan A2 memberikan makna seara biologi.Bukti: Untuk membuktikan A1 tidak bermakna seara biologi, ukup ditun-jukkan bahwa A1 < 0. Kemungkinan A1 < 0 dengan memperhatikan nilai a4; a5;dan a6 ditunjukkan oleh Tabel 4.1.19

Tabel 4.1. Kemungkinan Nilai A1 < 0a4 a5 a6 Syarat1. positif positif negatif2r(b+ ) > 4b(b� ) r < 4b(b� )2. negatif positif positif a4 > a52r(b+ ) < 4b(b� ) r > 4b(b� ) r > 4b(b� )3. negatif positif negatif a4 < a52r(b+ ) < 4b(b� ) r < 4b(b� ) r < 4b(b� )Penyelesaian A1 < 0 dari Tabel 4.1 memberikan kemungkinan interval1. r < 4b(b� ) < 2r(b+ )2. 2r(b+ ) < 4b(b� ) < r3. r < 2r(b+ ) < 4b(b� ).Syarat (2) tidak berlaku karena b; ; r > 0, sehingga hasil A1 < 0 diperoleh padakemungkinan interval (1) dan (3). Jadi terbukti bahwa nilai A1 tidak bermaknaseara biologi.Untuk membuktikan A2 bermakna seara biologi, ukup ditunjukkan bahwaA2 > 0. Dengan memperhatikan nilai a4; a5; dan a6 maka dapat ditunjukkankemungkinan A2 > 0 oleh Tabel 4.2.Tabel 4.2. Kemungkinan Nilai A2 > 0a4 a5 a6 Syarat1. positif positif positif a4 > a52r(b+ ) > 4b(b� ) r > 4b(b� ) r > 4b(b� )2. positif positif negatif a4 < a52r(b+ ) > 4b(b� ) r < 4b(b� ) r < 4b(b� )3. negatif positif negatif2r(b+ ) < 4b(b� ) r < 4b(b� )20

Interval yang diperoleh dari kemungkinan penyelesaian A2 > 0 adalah1. 4b(b� ) < r < 2r(b+ )2. r < 4b(b� ) < 2r(b+ )3. r < 2r(b+ ) < 4b(b� )dengan b; ; r > 0, interval di atas memberikan hasil A2 > 0. Jadi terbukti bahwanilai A2 bermakna seara biologi. �Dari (4.4) nilai A2 terletak pada interval hb� < A2 < h(b+)b� .Kasus 2: �1 dan �2 adalah bilangan real apabila a3 > 0. Dengan demikian dari(4.5) diperoleh �1 + �2 = 0:Dengan memperhatikan (4.5) dan persamaan di atas, akan diperoleh nilai A3A3 = h(b + )b� :Sehingga sesuai dengan syarat interval yang diperoleh pada (4.4), maka A3 tidakdapat digunakan dalam sistem (1.1).Analisis dapat dilakukan di titik kesetimbangan E3 menggunakan (4.4) de-ngan dua interval yang berbeda yaitu E31 dan E32. Titik E31 merupakan titikE3 dengan interval hb� < A < A2 dan E32 merupakan titik E3 dengan intervalhb� < A < A2. Di titik E31 menghasilkan nilai �1 < 0 dan �2 < 0, sehinggatitik kesetimbangan E31 adalah node dan menurut Teorema 2.1.1 titik tersebutadalah stabil asimtotik. Sedangkan di titik E32, �1 dan �2 yang dihasilkan adalahkompleks serta

Jika terdapat limit yle, maka kestabilan yang diperoleh adalah lokal. Akantetapi jika tidak terdapat limit yle, maka kestabilan yang diapai adalah global.Dari Teorema Poinar�e-Bendixson serta f1 dan f2 yang telah dide�nisikanpada awal pembahasan, diperoleh gradien seagai berikutOf = �f1�m + �f2�vOf = r�1� 2mA �� �hv(h +m)2 + bmh+m � : (4.6)Analisis kestabilan global untuk E2 dan E3 dapat diinvestigasi dengan menggu-nakan persamaan (4.6).4.4.1 Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E2Gradien pada persamaan (4.6) dievaluasi di titik kesetimbangan E2 dengansyarat A < hb� akan menghasilkanOf = r�1� 2AA �� 0(A + h)2 + AbA+ h � < �r + b( hb�)( hb�) � < �r + � < �r:Tampak bahwa nilai m; v > 0, maka Of tidak akan berubah tanda. Akibatnyatitik kesetimbangan E2 tidak mempunyai limit yle. Dengan demikian menurutTeorema Poinar�e-Bendixson di titik kesetimbangan E2 = (A; 0) adalah stabilglobal. Akan tetapi kondisi stabil global yang diperoleh, kurang diharapkan de-ngan ketidakhadiran vekton dalam ekosistem.4.4.2 Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E3Jika gradien dievaluasi di titik kesetimbangan E3,Of = r�1� 2mA �� �mv(h +m)2 + bmm+ h � = r�1� 2hA(b� )��r�A(b� )� h�Ab(b� )= ra7 22

dengan a7 = �1 � 2hA(b�)�� �A(b�)�h�Ab(b�) . Kestabilan global dapat diinvestigasipada titik E3 dengan interval A yang berbeda.Di titik E31 dengan syarat hb� < A < A2, maka E31 tidak memuat limityle. Untuk menjelaskan hal ini ukup ditunjukkan Of tidak berubah tandapada interval A. Dari syarat ini diperoleh�r < Of < ra7:Untuk membuktikan Of tidak berubah tanda pada interval A, maka ukup di-tunjukkan a7 < 0, yaitu jika 1� 2hA2(b� ) < 0;dan �A2(b� )� h�A2b(b� ) > 0:Dari kedua syarat a7 < 0 akan diperoleh pertidaksamaan dalam A yaituhb� < A < 2hb� :Interval untuk A pada pertidaksamaan di atas akan memberikan arti bahwa Ofbernilai negatif untuk ruas kanan dan kiri, sehingga Of tidak akan berubah tandauntuk nilai m; v > 0. Akibatnya titik kesetimbangan E31 tidak mempunyai limityle. Dengan tidak adanya limit yle pada titik kesetimbangan E31, maka titiktersebut stabil global.Di titik E32 dengan syarat A2 < A < h(b+)b� , diperoleh batas Of adalahra7 < Of < r(b� 2)b + :Untuk membuktikan Of = r(b�2)b+ berubah tanda pada interval A, akan diambilsembarang nilai b; > 0 dengan b > . Untuk b� 2 < 0 akan diperolehOf < r(b� 2)b + < 0dengan b; ; r adalah konstanta-konstanta positif, diperoleh Of bernilai negatif.Sedangkan untuk b� 2 > 0 akan diperolehOf > r(b� 2)b + > 023

sehingga Of bernilai positif untuk setiap b; ; r > 0.Untuk nilaim; v > 0, Of akan berubah tanda, sehingga titik kesetimbanganE32 stabil lokal. 4.5 Simulasi KasusHasil analisis dari sistem murat dan vekton (1.1) akan disimulasikan de-ngan nilai-nilai parameter yang telah ditentukan dengan menggunakan softwareMathematia 5.0. Pengambilan nilai-nilai � = 20 juta per tahun, b = 4 juta pertahun, = 85 juta per tahun, r = 12 juta per tahun, dan h = 4 juta, ditentukanoleh Clark [4℄ dengan nilai A yang sesuai.Gambar 4.1 menunjukkan laju populasi murat dan vekton dalam fungsi A,pada interval 0 sampai dengan h(b+)b� = 9:33.

2 4 6 8

0.5

1

1.5

2

2.5

POPULASI

A

M(garis) dan V(titik)

murat

vekton

LAJU

Gambar 4.1. Gra�k Laju Murat dan Vekton pada Interval 0 < A < h(b+)b�Awalnya, populasi murat berkembang tanpa adanya vekton. Pada titikA = hb� = 2:67, vekton mulai berkembang, namun populasi murat masih lebihbanyak. Pada titik A = h(b+)b� = 9:33, populasi vekton akan mulai berkembanglebih pesat walaupun banyak murat yang terlahir, namun semakin banyak pulayang dimangsa oleh vekton. Dengan pertambahan nilai A, vekton akan lebihbanyak berkembang.Interval untuk A disimulasikan pada 0 < A < hb� dan hb� < A < h(b+)b� .1. Interval 0 < A < hb� . Dengan mengambil interval 0 < A < hb� atau24

0 < A < 2:67, kestabilan global sistem (1.1) akan terapai. Model yang diperolehdengan mengambil A = 2 adalahdmdt = 12m�1� m2 �� 20mv4 +mdvdt = 4mvm + 4 � 85v:Program DynPa dalam Mathematia 5.0 yang diperkenalkan oleh Clark [4℄, di-gunakan untuk menggambarkan bidang fase. Gambar 4.2 menunjukkan bidangfase pada E2 dengan mengambil A = 2.

Gambar 4.2. Bidang Fase pada E2 dengan A = 2Pada Gambar 4.2 terlihat bahwa trayektori berbentuk node dan arahnya menujuke titik kesetimbangan (2; 0), maka titik kesetimbangan E2 dengan interval 0

diperoleh adalah dmdt = 12m�1� m4 �� 20mv4 +mdvdt = 4mv4 +m � 85v:Bidang Fase pada E31 dengan mengambil A = 4 ditunjukkan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Bidang Fase pada E31 dengan A = 4Gambar 4.3 menjelaskan bahwa trayektori berbentuk node dan menuju ke titikkesetimbangan (2:67; 1:33), sehingga titik kesetimbangan E31 dengan intervalhb� < A < A2 adalah stabil. Kestabilan global juga dipenuhi karena tidakdidapatkan limit yle pada Gambar 4.3.Pada kasus ini, populasi dikatakan setimbang dan stabil jika murat danvekton bersama-sama hadir dalam ekosistem dengan arrying apaity yang telahditentukan sebelumnya. Kestabilan global yang dihasilkan pada kasus ini akanmenyebabkan ekosistem dapat dikontrol seara luas, artinya ekosistem dalamkeadaan yang terkendali untuk waktu yang sangat lama atau t!1.Interval A2 < A < h(b+)b� atau 4:80 < A < 9:33 diambil sehingga kestabilanlokal sistem (1.1) akan terapai. Model yang diperoleh dengan mengambil A = 6adalah dmdt = 12m�1� m6 �� 20mv4 +mdvdt = 4mv4 +m � 85v:Gambar 4.4 menunjukkan bidang Fase pada E32 dengan mengambil A = 6.Gambar tersebut memperlihatkan bahwa trayektori berbentuk spiral dan arah-nya menuju ke titik kesetimbangan (2:67; 2:22), namun limit yle belum dapat26

Gambar 4.4. Bidang Fase pada E32 dengan A = 6terlihat pada interval A2 < A < h(b+)b� . Akan diambil nilai A yang dapat mem-perlihatkan adanya limit yle, yaitu di persekitaran batas atas dari interval A,A = 9. Model yang diperoleh untuk A = 9 adalahdmdt = 12m�1� m9 �� 20mv4 +mdvdt = 4mv4 +m � 85v:Gambar 4.5 menunjukkan trayektori model mangsa-pemangsa untuk A = 9.

Gambar 4.5. Bidang Fase pada E32 dengan A = 9Pada Gambar 4.5 terlihat bahwa trayektori berbentuk spiral dan arahnya menujuke titik kesetimbangan (2:67; 2:81), dan limit yle dapat terlihat pada intervalA2 < A < h(b+)b� . Oleh karena itu titik kesetimbangan E32 adalah stabil lokal.Populasi murat dan vekton bersama-sama hadir dalam ekosistem dengan27

arrying apaity yang telah ditentukan sebelumnya, namun pada kasus ini, kesta-bilan yang diperoleh adalah lokal, yang berarti ekosistem hanya dapat dikontrolpada waktu tertentu.Gambar 4.5 memperlihatkan adanya limit yle, sehingga dapat diteliti lebihlanjut apa yang terjadi pada kasus limit yle tersebut. Limit yle memberikanperiode waktu tertentu sesuai dengan parameter arrying apaity A. Periodeadalah waktu yang diperlukan limit yle untuk menempuh putaran tersebut.Periode ini dapat digunakan untuk menentukan waktu dan jumlah populasimuratdan vekton. Dengan menggunakan Program DynPa [4℄ akan diperoleh periodedan jumlah populasi yang disajikan pada Tabel 4.3.Tabel 4.3. Periode dan Populasi Spesies pada Limit CyleA Periode (tahun) Jumlah Murat(juta) Jumlah Vekton (juta)9 2:24 2:63 � 2:70 2:80 � 2:8310 2:28 1:17 � 5:05 2:16 � 3:5311 2:44 0:61 � 6:94 1:74 � 3:9712 2:60 0:33 � 8:52 1:44 � 4:3313 2:76 0:18 � 9:96 1:22 � 4:6814 2:90 0:10 � 11:29 1:05 � 5:0215 3:06 0:05 � 12:56 0:91 � 5:3620 3:82 0� 18:45 0:48 � 7:0530 5:30 0� 29:33 0:15 � 10:44Dari Tabel 4.3 terlihat bahwa semakin besar nilai A maka periode yangdibutuhkan semakin lama. Peningkatan nilai A juga menyebabkan interval pop-ulasi kedua spesies semakin membesar sampai salah satu populasi akan punah.Populasi kedua spesies pada Tabel 4.3 dapat digambarkan sebagai limityle yang semakin membesar. Pada Gambar 4.6 terlihat bahwa limit yle den-gan nilai arrying apaity A yang semakin membesar mengakibatkan intervalpopulasi murat dan vekton semakin membesar. Dengan membesarnya intervalpopulasi kedua spesies, maka pada suatu saat menyebabkan kepunahan terhadapspesies yang ada, dalam kasus ini murat mengalami kepunahan terlebih dahulu.Akibatnya, ekosistem dalam keadaan yang tidak sehat atau tidak stabil.28

Gambar 4.6. Limit Cyle dengan Carrying Capaity yang DitentukanKestabilan dari limit yle dapat pula dijelaskan dengan menggunakanMathematia 5.0 yaitu dengan menunjukkan arah trayektori pada limit yle.Interval untuk A diambil pada persekitaran batas atas di E32 yaitu h(b+)b� = 9:33untuk mengetahui kestabilan pada persekitaran tersebut. Jika arah trayektorimenjauhi titik E32 maka kondisi tidak stabil. Jika arah trayektori mendekatititik E32 maka kondisi dikatakan stabil.Arah trayektori untuk limit yle ditunjukkan pada Gambar 4.7. Pada saatnilai A = 9 arah trayektori menuju ke titik kesetimbangan sampai dengan A =9:3, berarti kondisi ekosistem masih stabil. Populasi kedua spesies dalam keadaanyang sehat, artinya ekosistem masih dapat berlangsung dengan baik. Namun29

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.1

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.2

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.3

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.4

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.5

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.6

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.7

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.8

1 2 3 4 5 6m

1

2

3

4

5

Mangsa- Pemangsa A = 9.9

Gambar 4.7. Limit Cyle dengan Arah Trayektorisetelah melewati A = 9:3, arah trayektori akan menjauhi titik kesetimbangan,kondisi mulai dikatakan tidak stabil artinya kondisi populasi murat dan vektontidak normal.

30

BAB VKESIMPULAN DAN SARAN5.1 KesimpulanBerdasarkan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa kestabilan glo-bal sistem mangsa-pemangsa dengan respon fungsional Mihaelis-Menten besertainterpretasinya yaitu1. kestabilan global diapai pada titik kesetimbangan E2 = (A; 0) untuk in-terval 0 < A < hb� dan titik kesetimbangan E3 = (m�; v�) untuk intervalhb� < A < A2, dengan b > 2. di titik kesetimbangan E2 akan memberikan interpretasi biologi yaitu ke-tiadaan pemangsa akan mengakibatkan ekosistem menjadi stabil. Di titikkesetimbangan E3 memberikan makna bahwa kehadiran mangsa dan pe-mangsa dengan syarat-syarat tertentu akan mengakibatkan kestabilan glo-bal terapai. Kestabilan global memberikan interpretasi bahwa kehidupanekosistem dalam keadaan terkendali seara luas dalam waktu yang tak ter-batas. 5.2 Sarandapat digunakan beberapa metode lain untuk menentukan syarat ukupkestabilan global dari titik kesetimbangan suatu sistem yaitu dengan menggu-nakan metode Liapunov dan Kriteria Dula. Namun terdapat kelemahan dalamkedua metode ini, yaitu tidak mudah menentukan fungsi Liapunov dan fungsiDula untuk sistem persamaan diferensial nonlinear.31

DAFTAR PUSTAKA[1℄ Bellomo, N and L. Preziosi, Modelling Mathematial Methods and Sienti�Computation, CRC Press, In.Florida, 1995.[2℄ Berryman, Alan A., Predator Satiation: Funtional Response,http://www.me.iteseer.ist.psu.edu, 1998.[3℄ Campbell, Neil A. , Jane B. Reee, and Lawrene G. Mithell, Biology, �fthed., California: Benjamin/Cummings, 1999.[4℄ Clark, Alfred Jr., A Dynamial Systems Pakage for Mathematia,http://www.me.rohester.edu/ lark/dynpa.html, 2003.[5℄ Farlow, S. J., An Introdution to Di�erential Equation and Their Applia-tions, New York: MGraw Hill In., 1994.[6℄ Finizio, N. and G. Ladas, Ordinary Di�erential Equations with Modern Ap-pliation, Wadsworth In., 1982.[7℄ Larry, G., More Mehanisms A Model of Enzyme Kinetis,http://www.physis.upenn.edu/ourses/gladney/mathphys/subsetion4.html,1995.[8℄ Hale, J. K. and H. Ko�ak, Dynamis and Bifurations, New York: Springer-Verlag, 1996.[9℄ Hsu, S. B., Global Stability for A Class of Predator-prey Systems, SIAMJournal App. Math 36 (1995), 763{783.[10℄ Murray, J. D., Mathematial Biology, New York: Springer-Verlag, 1998.32

[11℄ Weisstein, Eri W., Eigenvalue, http://mathworld.wolfram.om/Eigenvalue.html,2004.

33