Salam sejahtera semua. Hari ini kita akan bincang tentang satu lagi tajuk yang berkait sangat rapat dengan gerakan bendalir. Tajuk ini penting kerana, semua masalah berkaitan dengan gerakan bendalir tidak mempunyai jawapan yang tepat sebagaimana yang berlaku dalam bendalir static. Misalnya, friction factor, f, yang baru kita buat sebelum ini. Untuk memastikan nilai f ini, kita memerlukan sekurang-kurangnya dua perkara. Ingat tak? Apa dua perkara itu? Kalau tak ingat, memang lah awak ni. Pergi study tu dulu!!! Dua perkara yang dikaitkan dengan f ialah Re dan epselon over D. Betul tak? Dalam kata lain, nilai friction factor f bergantung kepada (depend on) Re dan epselon over D. Kita juga tahu bawa Re pula bergantung kepada rho, V, D dan miu atau nu. Relatif roughness pula bergantung kepada type of pipe dan juga diameter of pipe. Maka boleh diringkaskan bahawa satu nilai f bergantung kepada rho, velocity, pipe diameter, miu, nu, dan epselon (type of pipe). Oleh itu, kita tidak dapat jawapan yang tepat untuk f untuk satu-satu keadaan. Jawapan bergantung kepada semua parameter atau variables tadi. Itu satu contoh mudah bagaimana dalam kes fluid flow, jawapannya tidak ada yang tepat. Jika kita nak jawapannya, kita perlu membuat ujikaji yang banyak. Apabila bercakap pasal ujikaji, tentu hal ini melibatkan masa dan kos. Dalam hal ini, jika kita hendak mendapatkan nilai f, maknanya kita terpaksa mengubah satu nilai variables, sementara variables yang lain constant. Contohnya, kita boleh buat D berubah, sementara, rho, velocity, miu, nu dan epsilon constant. Kita buat ujikaji sekurangnya lim kali untuk satu keadaan ini. Kemudian kita ubah velocity dan kekalkan yang lain termasuk D. Buat lagi lima kali ujikaji. Demikianlah seturusnya. Kalau ini keadaannya, tentu mengambil masa dan menelan belanja yang banyak. Kalau boleh elok jika variables yang ada ni dikumpulkan menjadi satu kumpulan tanpa dimensi (dimensionless group) yang ada kaitan rapat dengan f. Dimensionless group ini dapat kita peroleh menggunakan beberapa kaedah dimensional analysis. Tetapi dalam kelas kita ini, kita hanya menggunakan kaedah Buckingham Pi ( bunyi pai). Kalau dalam kes yang sedang kita bincangkan ini, dimensionless group yang dapat dibina ialah RE dan epsilon over D!!! Oleh itu, kalau kita hendak mencari nilai f, apa yang kita perlu buat sekarang ialah kita ubah nilai Re dan kekalkan epsilon over D. Kemudian kita kekalkan Re dan ubah epsilon over D. Kan pendek sudah kerja kita. Betul tak? Betul tak? Kalau tak juga faham, baca semula. Apa la awak ni.. Tapi masalahnya sekarang ialah, bagaimana kita nak bina kumpulan tanpa dimensi tu? Betul tak? Ok, lepas ni kita akan lihat secara terperinci bagaimana perkara itu 1

boleh dilaksanakan. Sebelum itu mari kita lihat dulu asas kepada dimensional analysis ni. BASIC DIMENSIONAL ANALYSIS Semua variables yang ada didunia ini berasaskan kepada three basic dimension. Tahu tak variables tu apa bendanya? Tahu tak? Kalau tak tahu cakap tak tahu, jangan bila dah jumpa soalan baru nak tanya: Variables tu apa ye cik? (suara halus). Baik ajer bunyinya. Saya takkan jawab masa tu. Padan muka. Ha, tahu ke tahu apa itu variables atau dalam bahasa Melayunya pemboleh ubah? Variables tu contohnya ialah velocity, gravity, miu, nu, gamma dan lain-lain. Semua variables ini bergantung kepada basic dimension. Apa bendanya lak basic dimension tu? Basic dimension ialah dimension paling asas yang tidak ada dimension less than that. Dalam kes kita, basic dimension yang ada hanya ada tiga sahaja itu: MLT, iaitu Mass, Length, Time. Ada juga yang menggunakan MLF, atau mass, length, force. Kita tak pakai force sebagai basic dimension. Jadi kita pakai apa? MLT. Apabila kita kata MLT sebagai our basic dimension, ini bermakna semua variables yang ada dalam dunia ini mempunyai dimension ini. Misalnya: Velocity: simbol V, unit m/s:

Maka dimension untuk velocity ialah: LT-1. Mana saya dapat tu? m dalam unit velocity itu ialah ukuran jarak, iaitu Length (L). Sementara s ialah ukuran masa atau Time (T). Maka kita dapati dimension untuk velocity ialah LT-1. Faham tak tu? Cuba kita lihat dimension untuk daya atau force pulak: Unit untuk force apa? Newton (N) betul tak? Newton tu pula apa maksudnya? kgm/s, betul tak? Kg tu ukuran jisim atau Mass (M), m ukuran Length (L), dan s ukuran Time (T). Maka dimension untuk force ialah apa? MLT-1 Faham tak ni? Kalau tak juga faham, awak kena buat apa? Apa lagi, baca balik semula la ha ha ha kan senang ajer tu

2

Dalam dimensional analysis, semua analisis kita menggunakan dimension yang saya sebutkan tadi. Kita tidak guna unit lagi. Unit tidak memainkan peranan lagi. Maksud saya kita tak kisah lagi sama ada unitnya dalam SI atau bukan SI. Yang penting ialah dimensionnya sahaja. Apa moralnya? Awak kena tahu semua dimension untuk semua variables yang ada kena mengena dengan fluid mechanics. Misalnya Acceleration Flow rate Pressure Viscosity Kinematic viscosity Speed Gravity force Compressibility Angular speed Dan lain-lain lagi. Sekarang mari kita lihat bagaimana caranya kita nak buat dimensional analysis ni. Tadi saya ada cakap bahawa kita hanya akan guna kaedah Buckingham Pi sahaja. Saya juga kata bahawa kita akan guna basic dimension MLT sahaja. Sekarang mari kita lihat apa itu Buckingham Pi Kalau awak baca halaman 349, ada dinyatakan bahawa

Apa makna pernyataan ini? Maksudnya, kalau kita ada sejumlah k pemboleh ubah yang secara dimensinya homogenos, keseluruhan pemboleh ubah ini boleh dikumpulkan dalam kumpulan tanpa dimensi dengan jumlahnya ialah k r. Dalam hal ini r ialah jumlah minimum dimensi yang diperlukan untuk memperihalkan semua pemboleh ubah tersebut. Faham tak tu?

3

Maksudnya macam ni lah. Katalah kita ada 7 variables dalam hal aliran yang sedang kita kaji. Maka k dalam kes ini ialah 7. Kemudian, apabila kita periksa dimensi yang digunakan untuk memperihalkan (menceritakan) tentang ke tujuh-tujuh variables ini kita dapati ialah 3 (ingat, maksimum dimensi asas ialah 3 sahaja..apa dia? MLT), maka kesemua variables ni tadi boleh kita kumpulkan menjadi kumpulan-kumpulan tanpa dimensi (dimensionless groups) berjumlah 7 3, iaitu 4 kumpulan. HA itu lah maksud teorem Buckingham Pi. Bagaimana pula kita nak menentukan 4 kumpulan tu? Hal ini diterangkan dalam buku halaman 350-352 (sila baca dan jangan tak baca): Tapi tak apalah, biar saya tunjukkan satu-satu. Kalau suruh awak baca, harus lah dunia dah kiamat baru nak baca kut. Kalau baca pun mungkin macam tak baca agaknyaya tak? Kutuk kat depan tak apa, mengumpat yang tak boleh, betul tak? Ha ha ha. Ok, mari kita lihat satu persatu prosedur menggunakan Buckingham Pi theorem dalam dimensional analysis ni: Example: A thin rectangular plate having a width w and height h is located so that it is normal to moving stream of fluid. Assume the drag FD, that the fluid exerts on the plate is a function of w and h, the fluid viscosity and density, and , respectively , and the velocity, V, of the fluid approaching the plate. Determine a suitable set of pi terms to study this problem experimentally.

Step 1:

List all the variables that are involved in the problem.

Dalam kes ini kita hendak mencari hubungan antara drag FD dengan semua variables yang lain. Hubungan ini kita boleh tulis sebagai FD = f(w, h, , , V) Maksud persamaan atau hubungan ini ialah: Drag force bergantung kepada (f), w,h, , , V. Jadi itulah bunyi persamaan tersebut. Ingat ya, f itu ialah function of.

Step 2: Express each of the variables in terms of basic dimensionsApa yang kita perlu buat dalam step ini ialah menyatakan dimensi setiap variables yang ada dalam masalah ini, iaitu:

4

FD w h V

N atau kg.m/s m m N.s/m2 atau kgm.s/s2.m2 kg/m3

dimension

MLT-1 L L ML-1T-1 ML-3 LT-1

Step ini antara yang penting dalam teorem ini kerana kalau kita salah dimension, maka salahlah semua analisis kita. Hal ini terjadi kerana, analisis yang kita lakukan bersandar sepenuhnya kepada dimensi.

Step 3:

Determine the required number of pi terms

Bagi menentukan jumlah kumpulan pi yang dimaksudkan, kita guna persamaan yang diberi, iaitu k r. Dalam kes ini k ialah jumlah variables yang ada. Ada berapa variables dalam kes ini? Cuba kira. Berapa? Dalam kes ini kita ada 6 variables, betul tak? Variables tersebut ialah: FD, w, h, , , V

Maka, k kita ialah 6. Sementara r ialah jumlah dimensi asas yang digunakan. Ingat, maksimum basic dimension ialah 3, iaitu MLT. Cuba perhatikan dalam step 2, ada berapa basic dimension yang diperlukan? Berapa? Ada 3 bukan? Iaitu M ada , L ada , dan T pun ada. Dimaksudkan 3 itu bukan bermakna bahawa ada variables yang ada ketiga-tiga basic dimensioan dalam dimensionnya. Tiga dalam kes ini ialah wujudnya M L dan T dalam dimension variables. Misalnya begini, katalah (Katakan lah , katakana lah lagu .. he hehe).. Misalnya begini (ingat , ini hanya contoh sahaja): FD h V M L L L T

5

Dalam kes ini ada berapa r (basic dimension)? Jawapannya ialah 3, iaitu MLT. Faham tak ni? Contoh ini menunjukkan bahawa jumlah r bukan kita mesti ada variables yang dimensionnya terdiri daripada MLT. Sebaliknya cukup seperti yang dinyatakan di atas (contoh yang baru kita lihat tadi) untuk menentukan berapa r yang digunakan untuk semua variables. Dengan kenyataan ini bermakna kita ada pi dimensionless group = k r = 6 3 = 3 kumpulan. Soalannya sekarang apa kumpulan pi tu? Bagaimana nak bina kumpulan pi tu? Untuk tujuan itu kita pergi ke step ke- 4

Step 4:

Select Repeating Variables

Memilih repeating variables ini adalah satu lagi langkah penting dalam dimensional analysis. Dalam hal ini elok kalau saya mulakan dengan analogi dulu supaya dengan analogi ini awak senang faham apa yang dimaksudkan dengan repeating variables. Kita mulakan dengan perkataan pi itu sendiri. Dalam kes ini, manusia yang menemui atau mengilhamkan kaedah menyelesaikan masalah dimensional analysis ini ialah Buckingham. Pi (bunyi pai atau dieja pie) itu ialah pie. Pie yang awak selalu beli kat McDonald tu. Pernah pergi McD tak ni? Kalau tak pernah pergi dan tak pernah makan pie, susah sikitlah nak cerita. Kalau kita perhatikan pie McD itu terdiri daripada pie epal, strawberry, pisang, dan nenas (kalau tak silap saya lah. Dah lama tak beli pie McD). Betul tak apa yang saya cakap ni? Kalau awak tak pernah makan pie, apa kata kita lihat kuih yang lebih dekat dengan kita, iaitu Karipap (patutnya curry puff tapi sampai kat Tanah Melayu masa tu dah jadi karipap he he he). Cuba beri tahu saya jenis karipap yang selalu awak jumpa atau makan. Mestilah karipap kentang, daging, ayam, sardin, keledek dan lain-lain. Kalau karipap pun tak pernah makan, cuba pula tengok kueh pau. Kan ada macammacam jenis pau, iaitu pau kaya, kacang merah, daging, ayam dan lain-lain. Kalau pau pun tak pernah makan, awak drop ajerlah daripada belajar fluid mechanics ni ha ha ha. Berbalik kepada karipap dan pie yang saya ceritakan tadi, cuba awak fikirkan alasan apa yang membezakan antara satu karipap dengan karipap lain. Bayangkan karipap tersebut dihasilkan oleh pembuat kueh yang sama. Apa yang membezakannya? Tentulah intinya sahaja. Betul tak? Karipap itu akan rasa sama jika kita makan kulitnya sahaja. Maksud saya, kalau saya buang inti sardin, daging, ayam dan

6

sebagainya itu dan kemudian makan kulitnya ajer (orang tak berap siuman ni!) tentulah rasanya sama ajer, betul tak? Apa yang dimaksudkan dengan rasanya sama sahaja? Kalau sama sahaja, bermakna bahawa tentulah semua kulit itu dibuat dengan adunan yang sama. Maksudnya kita guna jumlah tepung, garam , air dan sebagainya dengan jumlah yang sama. Begitu juga dengan pie kat McD tu. Kisahnya sama sahaja. Kisah ini berlanjutan masuk ke dalam Fluid Mechanics dalam kes pi dalam Buckingham Pi Theorem. Yang dikatakan repeating variables itu ialah kulit pie. Kulit pie ini akan diulangulang penggunaannya untuk semua kumpulan pi tanpa dimensi (dimensionless group). Yang kita ubah ialah intinya. Kan senang ajer tu. Macam mana nak pilih. Syarat pentingnya ada dalam buku. Tapi di sini saya akan ringkaskan di mana nak pilih. Kita mula dengan mengapa kita guna dimensional analysis. Puncanya kerana kita nak buat ujikaji terhadap masalah dinamik bendalir. Bila sebut dinamik, ada tiga perkara penting perlu ada, iaitu jasad (Body), bendalir (Fluid), dan gerakan (Kinematic). Contohnya kalau kita nak uji model kapal terbang dalam wind tunnel:

Fluid Kinematics

Body

Apabila saya kata tentang tiga perkara ini, iaitu Fluid, Kinematic, dan Body, saya maksudkan ialah properties of fluid, fluid kimenatics, dan dimension of the body: FLUID , , , ,

7

KINEMATIC- V, a, , N BODY- l (length), w (width), D (diameter), A (area), (volume)

Apa gunanya benda ni semua? Ingat tak pasal karipap dan pie tadi? Kan kita nak buat kulit karipap dan pie? Kulit pie tu hendaklah kita ambil satu daripada FLUID, satu daripada KINEMATIC, dan satu daripada BODY. Yang mana satu nak pilih? Ada banyak tu. Kita pilih yang paling independent (bebas) atau yang paling penting. Contohnya: Antara dengan yang mana lebih penting atau lebih bebas? Tentulah lebih penting kerana ialah properties yang paling utama tentang fluid. Lagi pun lebih independent (bebas) daripada kerana bergantung kepada dan g. Betul tak? Begitu juga antara V dan a tentu kita ambil V kerana a bergantung kepada V. Begitu juga antara l dengan A, tentulah l kerana A ialah hasil darab l dengan l. Jadi lazimnya repeating variables ialah , V dan l. Dalam kes kita ini kita ada variables berikut: FD, w, h, , , V FD kerana itu ialah variables yang hendak kita cari. w, h, , , V. , dan .

Kita tidak boleh guna Maka yang tinggal ialah

Bagi saya variables yang dikaitkan dengan FLUID. Ada dua kan? Antara dua ni, mana lebih bebas atau lebih penting? Tentulah . Maka kita pilih mewakili FLUID.

Bagaimana pula dengan KINEMATIC. Kita cuma ada V sahaja. Maka kita pilih V sebagai wakil kinematic. Cuba tengok untuk BODY pula. Ada dua, iaiatu w, dan h. Dalam kes ini, w memainkan peranan lebih penting daripada h, maka kita pilih w mewakili BODY. Oleh itu, repeating variables untuk kes ini ialah , V, w Ingat, setiap kali ingin memilih repeating variables, awak hendaklah pilih satu daripada FLUID, satu daripada KINEMTIC dan satu daripada BODY.

8

Step 5:

Form a pi term

Tadi kita ada 3 kumpulan pi. Betul tak? Mana dapat? Sekarang mari kita bina tiga kumpulan ini. Caranya ialah setiap kumpulan pi itu mesti ada kulitnya (repeating variables) dan satu inti. Dalam kes ini kita ada kumpulan pi pertama sebagai: = Vw dan inti pertama ialah variables yang nak kita cari iaitu FD atau kita tulis sebagai 1 = VwFD1

Sementara pi two ialah2 = Vw dengan variables lain yang bukan kulit. Dalam kes ini ialah h. Maka pi two ialah

2

= Vwh

Begitu juga dengan pi three sebagai1

= Vw

Step 6:

Form a pi term as a dimensionless group

Apa perlu kita buat sekarang? Kita tulis kesemua kumpulan pi tadi dalam sebutan berikut1 2 3

= = =

aVb aVb aVb

wc FD wc h wc

Kita letakkan kuasa (exponent) kepada repeating variables untuk menjadikan repeating variables ini dimensionless. Dalam kes ini a untuk pi 1 tak sama dengan pi 2 dan pi 3 dan begitulah dengan b dan c. Maknanya kita kena cari nilai a, b, c untuk ketiga-tiga pi ini. Bagaiamana nak cari a, b , c ni? Mari kita mulakan dengan pi one dulu: Tulis

9

1

=

aVb

wc FD

Ingat 1 itu sendiri ialah kumpulan tanpa dimensi (dimensionless group). Maksudnya 1 ialah M0L0T0 kerana apabila constant ada power 0, jawapannya ialah 1 atau tanpa unit dimension dalam kes ini. Oleh itu kita boleh tulis, M0L0T0 =aVb

wc FD atau

M0L0T0 = (ML-3)a(LT-1)b(L)c (MLT-2) Mana dapat ni? Kita ganti dari step 2. Sekarang kerja kita ialah mencari nilai a, b, dan c. Caranya ialah dengan menyelesaikan persamaan serentak. Mari saya tunjukkan jalan yang lurus lagi benar ini. Kita mulakan dengan melihat dimension mass atau M. Tulis seperti berikut: M 0=a+1 Mengapa begitu? Di sebelah kiri kita ada M kuasa 0 dan di sebelah kanan kita ada M kuasa a dan kuasa 1. Betul tak? Kalau begitu kita ada a = -1 Lihat pula L L Dan T T 0 = -b 2 atau b = -2 0 = -3a + b + c + 1

Ini bermakna (dari L) 0 = -3(-1) 2 + c + 1, atau c = -2 Dengan data ini, kita boleh tulis kumpulan pi one sebagai: =-1V-2

1

w-2 FD atau

1

=

FD V 2 w2

Dari sini kita lihat pula pi two dengan cara yang sama:

10

2

=

aVb

wc h

M0L0T0 = (ML-3)a(LT-1)b(L)c (L) M L T 0=a 0 = -3a + b + c + 1 0 = -b

Atau c = - 1. Pi two ditulis = 0V0 w-1 h Maka:2

2

=

h w

Buat untuk pi three pulak:3

=

aVb

wc

dalam sebutan dimension: M0L0T0 = (ML-3)a(LT-1)b(L)c (ML-1T-1) M L T 0 = a + 1 atau a = -1 0 = -3a + b + c 1 0 = -b 1 atau b = -1

Maka c = -1 Atau3

=

-1V-1

w-1

ditulis sebagai:

11

3

=

Vw

Step 6: terms1

Express the final form as a relationship among the pi3)

= f( 2,FD=f

V w

2

2

h , w

Vw

Begitulah ceritanya tentang dimensional analysis. Berikut saya tuliskan cara menulis jawaban semasa menjawab soalan dimensional analysis. Kita guna contoh yang sama ikut step yang diterangkan di atas: FD = f(w, h, , , V) FD w h V Total variables, k = 6 Basic dimensions, r = 3 Pi groups = k r = 6 3 = 3 Repeating variables : , V, w Pi groups:1 2 3

N atau kg.m/s m m N.s/m2 atau kgm.s/s2.m2 kg/m3

dimension

MLT-1 L L ML-1T-1 ML-3 LT-1

= = =

aVb aVb aVb

wc FD wc h wc

12

1

=

aVb

wc FD

M0L0T0 = (ML-3)a(LT-1)b(L)c (MLT-2) M L T1

0=a+1 0 = -3a + b + c + 1 0 = -b 2 =-1V-2

a = -1 b = -2 and c = -2

w-2 FD

1

=

FD V 2 w2

2

=

aVb

wc h

M0L0T0 = (ML-3)a(LT-1)b(L)c (L) M L T 0=a 0 = -3a + b + c + 1 0 = -b

Atau c = - 1. =0V0

2

w-1 h =h w

2

3

=

aVb

wc

M0L0T0 = (ML-3)a(LT-1)b(L)c (ML-1T-1) M L T 0 = a + 1 atau a = -1 0 = -3a + b + c 1 0 = -b 1 atau b = -1

13

Maka c = -1 Atau3

=

-1V-1

w-1

ditulis sebagai:3

=

Vw

1

= f( 2,FD=f

3)

V w

2

2

h , w

Vw

14