stat prob10 distribution_normal

DISTRIBUSI PROBABILITAS :Distribusi Normal

ARIF RAHMAN

1

Sekilas Distribusi Normal atau GaussianDistribusi Normal atau Gaussian termasuk

distribusi variabel kontinyu.Kurva distribusi berbentuk lonceng (bell-

shaped distribution)Distribusi Normal dirumuskan bermula dari

observasi pada model sebaran error atau residual dalam pengukuran ilmiah yang mengikuti pola simetris dalam distribusi berbentuk lonceng.

2

Distribusi Normal3

Tokoh Statistik Terkait Distribusi NormalAbraham DeMoivre (1733)Laplace (1775)Legendre (1805)Karl Friedrich Gauss (1809)

4

Gauss 1777-1855

De Moivre 1667-1754

Laplace 1749-1827

Legendre 1752-1833

Sifat Penting Distribusi Normal1. Rentang variabel acak meliputi semua

bilangan nyata dari negatif tak hingga sampai positif tak hingga (- < x < )

2. Nilai fungsi probabilitas (pdf) bernilai positif untuk semua variabel acak (f(x) > 0)

3. Total probabilitas bernilai sebesar 1

4. ...

5

1)( dxxf

Sifat Penting Distribusi Normal3. ...4. Nilai mean, median dan mode berimpit.5. Kurva simetris dengan pembatas pada nilai

rata-rata atau mean sebagai axis vertikal.6. Titik belok atau perubahan fungsi kurva

(inflection points) di +, pada bagian tengah cembung (concave downward) dan pada sisi luar (tail) cekung (concave upward)

7. ...

6

Sifat Penting Distribusi Normal6. ...7. Nilai fungsi probabilitas simetris terhadap

mean.

8. Nilai fungsi probabilitas di kedua ujung (tail) distribusi mengecil.

7

0)(limdan 0)(lim

xfxfxx

)()( xfxf

Distribusi Normal8

Dua Bilangan Konstanta SpesialBilangan natural (e)

Bilangan phi ()

9

028759045235367182818284,2!3!2

11lim32

e

aaanae

na

n

264389793238461415926535,371

51

3114lim

n

The Law of Large NumberSemakin banyak data ditambahkan dalam

observasi atau eksperimen, maka selisih antara statistik rata-rata sampel (x) dengan parameter rata-rata populasi () adalah sangat kecil atau mendekati 0 (nol).

Data observasi atau eksperimen yang sangat banyak mempunyai statistik sampel (x dan s) sebagai pendekatan parameter populasi ( dan )

10

Central Limit TheoremJika sebuah variabel x adalah rata-rata

sederet variabel acak independent dengan ukuran sampel yang sangat besar, maka distribusi rata-rata sampel tersebut mendekati distribusi normal dengan pendekatan rata-rata dan simpangan baku

11

ns

Nx

nNx

x

x

x

)/(

12

13

14

15

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6

P(1)=P(6)=1/36P(2)=P(5)=3/36P(3)=P(4)=5/36

P(1)=P(6)= 1/216P(2)=P(5)=10/216P(3)=P(4)=25/216

P(1)=P(6)= 1/7776P(2)=P(5)=126/7776P(3)=P(4)=651/7776

Distribusi NormalDistribusi Normal menunjukkan sebaran

variabel acak yang membentuk pola simetris berbentuk lonceng dengan laju . Variabel acak meliputi semua bilangan nyata mulai dari negatif tak hingga (-) sampai tak hingga (), X{-<x<}.

16

Distribusi NormalPenerapan Distribusi Normal antara lain

untuk menunjukkan sebaran data hasil pengukuran ilmiah baik observasi ataupun eksperimen, sebaran kesalahan, sebaran rata-rata data subgrup, sebaran data yang sangat banyak (Law of Large Number dan Central Limit Theorem).

17

Distribusi Normal Parameter (mean) dan (standard deviation) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

18

2

)2/()(

.2)(

22

xexf

f(x)

F(x)

x

diifxF )()(

Distribusi NormalDinotasikan dengan N(x;,)Parameter dan Mean

Variance

19

22

Perbedaan Dua Distribusi Normal

20

21

21

21

21

21

21

Distribusi Standardized NormalDistribusi Standard (Standardized)

Normal adalah distribusi normal yang mempunyai parameter = 0 dan = 1

Distribusi Standard (Standardized) Normal juga disebut dengan Distribusi Z.

21

Distribusi Standardized Normal Parameter (mean) dan (standard deviation) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

22

2)(

2/2xexf

f(x)

F(x)

x

diifxF )()(

Distribusi Standardized NormalDinotasikan dengan Z(x)Parameter dan Mean

Variance

23

0

12

Distribusi Standardized NormalHubungan Distribusi Standard

(Standardized) Normal dengan Distribusi Normal Jika X adalah variabel acak independen

berdistribusi Normal (,), maka adalah variabel acak berdistribusi Standard Normal

24

XZ

Distribusi Standardized Normal

25

26

27

Distribusi Student’s tDistribusi Student’s t adalah sebaran

variabel acak yang merupakan model gabungan variabel acak X berdistribusi Standard Normal yang mempunyai parameter =0 dan =1 dengan variabel acak Y berdistribusi Chi square dengan derajat bebas sebesar yang mempunyai parameter =/2 dan =2.

28

Y

X

29

Distribusi Lognormal Parameter dan Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

30

other

xx

exf

x

0

0.2.)( 2

)2/())(ln( 22

f(x)

F(x)

0)(

00)(

0

xdiif

xxF

x

Distribusi LognormalParameter dan Mean

Variance

31

2/2 e

)1(2222 ee

Distribusi LognormalHubungan Distribusi Lognormal dengan

Distribusi Normal Jika X adalah variabel acak independen

berdistribusi Normal (,), maka eX adalah variabel acak berdistribusi Lognormal

32

Distribusi Chi-Square Parameter (degree of freedom) Probability Density Function, f(x)

Cummulative Distribution Function, F(x)

33

f(x)

F(x)

0)(

00)(

0

xdiif

xxF

x

other

xexxf

x

0

0)(

2)(

2

2/1)2/(2/

Distribusi Chi-SquareDinotasikan dengan CHISQR(x;) atau 2 Parameter (degree of freedom)Mean

Variance

34

22

Distribusi Chi-SquareHubungan Distribusi Chi Square dengan

Distribusi Normal Jika X adalah variabel acak independen

berdistribusi Normal (,) dengan derajat kebebasan sebesar , maka X2 adalah variabel acak berdistribusi Chi Square

35

Distribusi Chi-SquareHubungan Distribusi Chi Square dengan

Distribusi Gamma Jika X adalah variabel acak independen

berdistribusi Chi Square dengan parameter , maka akan ekuivalen dengan variabel acak berdistribusi Gamma (, ) dengan parameter =/2 dan =2

36

37

Distribusi FHubungan Distribusi F dengan Distribusi

Chi Square Jika X1 dan X2 adalah variabel acak independen

berdistribusi Chi-Square dengan derajat kebebasan sebesar 1 dan 2, maka rasio X1 dan X2 adalah variabel acak berdistribusi F

38

2

2

1

1

X

X

F

39

40

41

42

Terima kasih ...Terima kasih ...

... Ada pertanyaan ???... Ada pertanyaan ???