sistem persamaan linier dua variabel dan tiga variabel

KELOMPOK 2

1. Gigih Ridho R (17)2. Imam Sukri N (21)3. Nur Indah Sari (25)4. Tyasha Adikarini F (32)

XII MIA 4

MATRIKS

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Matriks

A. Penerapan matriks dalam mencari penyelesaian SPL

1. Mencari SPL Menggunakan Invers Matriks2. Mencari Penyelesaian SPL Menggunakan Det

erminan Matriks

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah

ax + by = p ............................................................................ (1)cx + dy = q ............................................................................. (2)

Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.

Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.

asalkan ad – bc ≠ 0.

Contoh Soal

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks.2x + y = 7x + 3y = 7

Jawab :Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks sebagai berikut.

Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di atas, diperoleh sebagai berikut.

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.

Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A-1 B

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.

2x + y – z = 1x + y + z = 6x – 2y + z = 0

Jawab :Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.Misalkan A = , X = , dan B =

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

det A =

det A = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9

Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

Dengan demikian, diperoleh :kof(A) =

Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A))T.Adj(A) =

Jadi, X =

Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.

Mencari Penyelesaian SPL Menggunakan Determinan Matriks

Penyelesaian SPLDVax + by = pcx + dy = qUntuk lebuh jelas perhatikan contoh soal dibawah

ini :

Tentukan x1,x2,x3 dari matriks dibawah iniA1= A2= A3=

Jawab :

det(A) =

= 1[4(3)-6(-2)] – 0[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(-2)-4(-1)]

= 24 – 0 – 20

= 44

det(A1) =

= 6[4(3)-6(-2)] – 0[30(3)-6(8)] + 2[30(-2)-4(8)]

= 144 – 0 – 184

= -40

det(A2) =

= 1[30(3)-6(8)] – 6[-3(3)-6(-1)] + 2[-3(8)-30(-1)]

= 42 + 18 + 12

= 72

det(A3) =

= 1[4(8)-30(-2)] – 0[-3(8)-30(-1)] + 6[-3(-2)-4(-1)]= 92 – 0 + 60= 152 Berdasarkan Teorema diatas, maka diperoleh :x1 = = x2 = =

x3 = =

B. Penerapan Matriks dalam Transformasi Geometri

1. Matriks Transformasi Invers dan Transformasi Invers

2. Transformasi Titik oleh Matriks3. Transformasi Kurva oleh Matriks4. Transformasi Bangun Datar Segi-n oleh

Matriks

Matriks Transformasi Invers dan Transformasi Invers

Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M-1 (yaitu jika M-1 ada).

Transformasi Titik oleh Matriks

Misalkan suatu titik A(x,y) ditransformasi oleh matriks M = menghasilkan bayangan A’(x’,y’). Hubungan antara A(x,y) dan A’(x’,y’) dapat dituliskan sbb :

=

Contoh soal :Tentukan bayangan titik A (2,-1) jika

ditransformasi oleh matriks M =

Jawab

= =

Jadi bayangan titik A (2,-1) = A’ (4,-3)

Transformasi Kurva oleh Matriks

Untuk lebih memahami konsep transformasi kurva oleh matriks, perhatikan contoh soal dibawah ini :

Contoh soal :

Disediakan suatu persamaan garis lurusY = 3x + 5Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1)

Jawab :

Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah:x’ = x + 2 → x = x’ – 2 y’ = y + 1 → y = y’ – 1

Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5(y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5

Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi:y – 1 = 3x – 6 + 5y = 3x – 6 + 5 + 1y = 3x

Transformasi Bangun Datar Segi-n oleh Matriks

Segitiga ABCLuas bayangan : L A’B’C’ = 3LABC = |det M1|.Labc

Persegi panjang PQRSLuas bayangan : LP’Q’R’S’ = 4LPQRS = |det M2|.Lpqrs

Belah ketupat KLMNLuas bayangan : L K’L’M’N’ = 2LKLMN = |det M3|. Lklmn

Layang layang VWXYLuas bayangan : Lv’w’x’y’ = 3LVWXY = |det M4| . Lvwxy

Contoh soal

Diketahui : A = -8 , B = 4 , C = -5, M = L’ = .... ?

a2 = (1/2.A)2 = (1/2.-8) 2 = 16b2= (1/2.B)2 = (1/2.4) )2 = 4r = = L = r2 =( )2= 45 |det M|= |-6-2| = 8L’ = |det M| . L = 8 . 45 = 360 satuan luas

CONTOH SOAL UN

a.1 d.11b.6 e.12c.9

Jawaban : DDari AC = B maka |A|.|C| = |B|(1.3 – 1.2).|C| = (4.3 – 1.1)

|C| = 11

Maka : C5y = – 15 y = – 33x + 2y = 03x – 6 = 0 x = 2Nilai 2x + y = 4 – 3 = 1

2.

3. Jika matriks A diketahui seperti di bawah ini, maka determinan A adalah...

A. (a + b)(4a - b)B. (4a + 4b)(a -b)C. (4a + 2b)(4a + b)D. (4a + 4b)(4a - 2b)E. (4a + b)(4a - 4b)

Jawaban : Bdet A = 4a2 - 4b2 = 4 (a2 - b2)det A = 4 {(a + b)(a - b)}det A = (4a + 4b)(a - b)

4. Matriks P dan Q adalah matriks ordo 2x2 seperti di bawah. Agar determinan matriks P sama dengan dua kali determinan Q, maka nilai x yang memenuhi adalah...

A. x = -6 atau x = -2B. x = 6 atau x = -2C. x = -6 atau x = 2D. x = 3 atau x = 4E. x = -3 atau x = -4

Jawaban :det P = 2 det Q2x2 - 6 = 2 (4x - (-9))2x2 - 6 = 8x + 182x2 - 8x - 24 = 0x2 - 4x - 12 = 0(x - 6)(x + 2) = 0x = 6 atau x = -2

5. Nilai z yang memenuhi persamaan di bawah ini adalah...

A. 2B. -2C. 4D. 3E. -3

Jawaban : B2z2 - (-6) = 8 - (-z(z-1))2z2  + 6 = 8 - (-z2 + z)2z2  + 6 = 8 + z2 - zz2  + z - 2 = 0(z + 2)(z - 1) = 0z = -2 atau z = 1

CONTO SOAL SBMPTN

CONTOH SOAL SBMPTN

1.

2.

3.

Jika

maka x + y =....A. − 15/4B. − 9/4C. 9/4D. 15/4E. 21/4

4.

Jawaban :

3x − 2 = 73x = 7 + 23x = 9x = 3

4x + 2y = 822(x + 2y) = 23

22x + 4y = 23

2x + 4y = 32(3) + 4y = 34y = 3 − 64y = − 3y = − 3/4

Sehingga:x + y = 3 + (− 3/4) = 2 1/4 = 9/4

a. 8b. 10c. 6d. -6e. -8

5.

Jawaban : D