invers matrik

INVERS MATRIK

TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012

BY NURUL SAILA

BY NURUL SAILA

1. Invers Matrik2. Menentukan Invers Matrik dengan definisi3. Menentukan invers matrik dengan

kofaktor4. Menentukan invers matrik dengan OBE5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

dg perkalian matrik

Sub Pokok Bahasan:

Definisi:Jika A adalah sebarang matriks kuadrat dan jika dapat dicari sebuah matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A (B = A-1).

Contoh:

A adalah invers dari B karena AB = I dan BA = I.

“Invers Matrik”

A = ቂ3 51 2ቃ dan B = ቂ2 −5−1 3 ቃ

Teorema:1. Jika B dan C kedua-duanya adalah invers

dari matriks A maka B = C.

2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama maka:

AB dapat dibalik (AB)-1 = B-1 A-1

Buktikan!

Definisi: Jika A adalah matriks kuadrat dan n adalah

sebuah bilangan bulat positif maka kita mendefinisikan:A0 = I

Jika A dapat dibalik maka kita mendefinisikan:

An = 𝐴.𝐴.𝐴.𝐴…𝐴ᇣᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇥ𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

A-n = (A-1)n = 𝐴−1𝐴−1𝐴−1 ⋯𝐴−1ᇣᇧᇧᇧᇧᇧᇤᇧᇧᇧᇧᇧᇥ𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Teorema:3. Jika A adalah sebarang matriks yang dapat

dibalik maka:a. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = Ab. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n , untuk

n = 0, 1, 2, … c. Untuk setiap scalar k yang tak sama

dengan 0 maka kA dapat dibalik dan (kA)-1 = 1/k A-1.

BY NURUL SAILA

Definisi:Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Cij adalah kofaktor aij maka matriks:

Dinamakan matriks kofaktor dari A.

Transposisi matriks ini dinamakan adjoint dari A dan dinyatakan dengan adj (A).

“Menentukan Invers Matrik dg Kofaktor”

൦

𝐶11 𝐶12𝐶21 𝐶22 ⋯ 𝐶1𝑛⋯ 𝐶2𝑛⋮ ⋮𝐶𝑛1 𝐶𝑛2 ⋮⋯ 𝐶𝑛𝑛൪

BY NURUL SAILA

Teorema:Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik maka:

Contoh:Tentukan A-1 menggunakan kofaktor, jika:

A-1 = 1detሺ𝐴ሻ𝑎𝑑𝑗(𝐴)

A = 3 1 −42 5 61 4 8 ൩

OBEOperasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada baris suatu matriks, yaitu:

1. Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0.

2. Pertukarkan sebarang dua baris.3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd

baris yang lain.

“Menentukan Invers Matrik dengan OBE”

OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B1) OBE 2: Pertukarkan B1 dengan B2 (B1 B2) OBE 3: Tambahkan 3B1 kepada B2 (B2 + 3B1)

Contoh:

𝐴= 1 2 3−2 3 13 −2 1−12−3൩

Matrik Elementer (E)Definisi:Sebuah matrik nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan nxn yakni In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.

Contoh:

ቂ1 00 −3ቃ

1 0 00 0 00 0 10100 1 0 0 1 0 30 1 00 0 1൩

Teorema: Jika matriks elementer E dihasilkan dari

melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada Im dan jika A adalah matrik mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A.

Contoh:

Contoh:

EA = …B3+3B1 …

E = ൭1 0 00 1 03 0 1൱ dan A =൭

1 0 2 32 − 1 3 61 4 4 0൱

Operasi Invers Jika sebuah OBE dikenakan pada sebuah matriks

satuan I untuk menghasilkan sebuah matriks elementer E maka ada OBE kedua yg apabila dikenakan pada E akan menghasilkan kembali I. OBE kedua ini disebut operasi invers.

OBE pd I Operasi InversKalikan baris ke i dengan c ≠ 0 Kalikan baris ke I dengan 1/cPertukarkan baris ke i dengan baris ke j

Pertukarkan baris ke j dengan baris ke i

Tambahkan c kali baris ke i ke baris ke j

Tambahkan –c kali baris ke I ke baris ke j

Tiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya adalah juga sebuah matriks elementerBuktikan!

Teorema:

Definisi:Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan serangkaian OBE maka A dpt diperoleh dari B dengan serangkaian OBE inversnya. B dikatakan ekuivalen baris dengan A dan sebaliknya.

Contoh:

Matrik-matrik yg Ekuivalen Baris

A = ൭1 0 2 32 − 1 3 61 4 4 0൱ , B = ൭

3 − 1 5 92 − 1 3 61 4 4 0൱

Jika A adalah sebuah matrik nxn maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni semuanya benar dan semuanya palsu.

1. A dapat dibalik2. AX = 0 hanya mempunyai satu

pemecahan trivial3. A ekuivalen baris kepada In.Buktikan!

Teorema:

“ Urutan operasi baris yang mereduksi matriks A menjadi In akan mereduksi In kepada A-1 “.

Contoh:

Tentukan A-1 dengan Operasi Baris Elementer.

A = 1 2 32 5 31 0 8൩

Menyelesaikan system persamaan linier dengan ‘Perkalian Matrik’ adalah:

1. Mengubah system persamaan menjadi bentuk perkalian matriks

2. Menyelesaikan perkalian matriks dengan menentukan invers matriks koefisien system persamaan

“Menyelesaikan SPL dg Perkalian Matrik”

Contoh:Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan perkalian matrik.

൝2𝑥− 3𝑦+ 𝑧= 16−4𝑥+ 2𝑦− 3𝑧= −633𝑥− 𝑦+ 5𝑧= 80

BY NURUL SAILA

Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan perkalian matrik.

e. >>>

Tugas:

a. ൜𝑥+ 2𝑦= 72𝑥+ 5𝑦= −3 c. ൜

3𝑥− 6𝑦= 82𝑥+ 5𝑦= 1

b. ൝𝑥+ 2𝑦+ 2𝑧= −1𝑥+ 3𝑦+ 𝑧= 4𝑥+ 3𝑦+ 2𝑧= 3 d. ൝

2𝑥+ 𝑦+ 𝑧= 73𝑥+ 2𝑦+ 𝑧= −3𝑦+ 𝑧= 5

BY NURUL SAILA

e.

CCە۔����

ۓ������������������

15𝑥+ 15𝑦+ 15𝑧= 115𝑥+ 15𝑦− 45𝑧= 2−25𝑥+ 110 𝑦+ 110 𝑧= 0 f. ൞

3𝑤+ 𝑥+ 7𝑦+ 9𝑧= 4𝑤+ 𝑥+ 4𝑦+ 4𝑧= 7−𝑤− 2𝑦− 3𝑧= 0−2𝑤− 𝑥− 4𝑦− 6𝑧= 6