Fungsi Invers

Invers fungsi

Proses yang menghasilkan output padafungsi dianggap reversibel sehingga

apa yang telah dikonstruksi dapat pula didekonstruksi

Aturan yang menguraikan prosesterbalik ini disebut invers fungsi yang

dilabeli dengan:

1 or f arcf

1f (x) x 5 f 1

3

tentukan :

a.f(x) 6x

b.f(x) x

xc.f(x)

2

1. Definisi

Merumuskan fungsi invers

1. y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaannya:

y = f (x)

2. Kalau f-1 adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari y oleh fungsi f-1 sehingga diperoleh persamaan:

x = f-1 (y)

3. Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y diganti dengan x.

Fungsi invers dari fungsi linear

Fungsi invers dari fungsi rasional

Fungsi invers dari fungsi rasional

Contoh soal

Latihan soal

Latihan soal

Fungsi invers dari fungsi kuadrat

lanjutan

lanjutan

Invers fungsi akan merupakan fungsi jika dipenuhi syarat-syarat sebagai fungsi

lanjutan

Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi :

1. f(x) = x2 – 6

2. f(x) = (x – 3)2

3. f(x) = (x – 3)2 _ 7

4. f(x) = x2 – 4x + 4

5. f(x) = x2 + 2x – 3

6. f(x) = 4x2 - 16x + 25

Fungsi invers dari fungsi dalam bentuk akar

lanjutan

Tentukan rumus fungsi invers dari :

2

invers dari :

1. y = 2x

2. y = x

Jika diketahui f(x)= nilai dari f

Carilah invers dari : f x x 4x 4 !

7.Tentukan nilai inver

2

3

1

tentukan

3

1

4x 33.f(x)

2x 18x 3

4.f(x)2 4x

x 25. .Hitunglah (1)!

5 3x

6. –

  24s dari f(x)= x -5 !

Latihan soal

Grafik fs invers

Diagram invers suatu fungsi dapatdilukis dengan membalik aliran

informasi dan ini sama dengan salingmempertukarkan isi setiap pasanganteratur (ordered pair) yang dihasilkan

oleh fungsi tersebut

Akibatnya, apabila pasangan teraturyang dihasilkan oleh invers suatu

fungsi diplot, grafiknya akanmengambil bentuk fungsi aslinyatetapi cermin terhadap garis y = x

Grafik y = x3

Grafik fs invers

Grafik fs invers

Grafik y = x1/3

Grafik y = x3 dan y = x1/3 yang diplot sekaligus

Grafik fs invers

Gambarkan grafik fungsi

a. f(x) = x2 – 4

b. f-1(x) dari x2 - 4

Latihan soal

Komposisi Fungsi

1. Komposisi Fungsi

Penggabungan operasi dua fungsisecara berurutan akan menghasilkansebuah fungsi baru.

Penggabungan tersebut disebutkomposisi fungsi dan hasilnya disebutfungsi komposisi.

Prinsip

Diberikan dua fungsi f dan g, fungsikomposisi dituliskan sebagai f o g (dibaca f komposisi g) didefinisikan sebagai :

(f g)(x) f(g(x))

Komposisi f dan g dapat digambarkan :

Sebagai contoh: Misalkan f(x) = 4 + 3x2, g(x)=x-4. Tentukanlah:

a. (f og) (x) b. (g o f) (x)

Penyelesaian:

a. (f o g) (x) = f (g(x)) = f(x-4) = 4 + 3(x-4)2

= 4 + 3(x2-8x+16)

= 3x2 – 24x +52

b. (g o f) (x) = g (f(x)) = g (4+3x2)

= 4 + 3x2 - 4 = 3x2

2. Sifat Komposisi Fungsi

=> Tidak komutatif: f o g ≠ g o f

Contoh Soal

3.

2.

3. Daerah Asal dan HasilFungsi Komposisi

Daerah asal fungsi komposit f o g adalah bagian dari daerahasal g dan nilai g(x) yang dapat diterima sebagai masukan f.Perhatikan gambar ini:

Daerah domain (asal) fungsi f adalah daerah hasilpadanan/pemetaan fungsi g terhadap x.

x

g g(x)f

f o g

f(g(x))

Contoh

Misalkan

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari:

a. f o g (x)

Penyelesaian:

3f(x) x 2

2g(x)

(x 7)

3

3 2

2 2f g(x) f(g(x)) f 2

(x 7) x 7

82

x 21x 147x 343

Contoh Permasalahan

a. Daerah asal g(x) = x = 2 >> { x : x € R, x ≠ 7)

(x-7)

b. Daerah asal f(g(x)) = g(x) = y >> {y : y € R, y ≠ 0}

Pastikan daerah hasil g(x) sesuai untuk daerah asal f o g (x)

Sehingga daerah asalnya merupakan gabungan dari dua fungsi tersebut yaitu:

{x : x € R, x ≠ 0, x ≠ 7}

x

g g(x)f

f o g

f(g(x))

Contoh

c. Daerah hasilnya adalah pemetaan dari semua bilangan fungsi tersebut, dengan pengecualian yang sama dengan daerah asalnya:

maka daerah hasil {x : x € R, x ≠ 0, x ≠ 7} dipetakan terhadap

daerah hasilnya

3

3 2

2 2f g(x) f(g(x)) f 2

(x 7) x 7

82

x 21x 147x 343

8(x 0) f(g(x)) 2

343

(x 7) f(g(x)) 2

8sehingga y : y R, y 2, y 2

343

Latihan soal

Misalkan

Tentukan daerah asal dan hasil dari (f o g) (x) dan (g o f)(x)!

2f(x) 9 x

1g(x)

2x

4. Menentukan suatu fungsi dari fungsi komposisi yang diketahui

Diketahui f(x) = 3x – 1

dan (f o g)(x) = x2 + 5

Tentukan g(x).

Jawabf(x) = 3x – 1 dan (f o g)(x) = x2 + 5

fg(x)] = x2 + 5

3.g(x) – 1 = x2 + 5

3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6

Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)

Fungsi komposisi daninvers

Fungsi komposisiFungsi invers

Jalurnya berkebalikan dari komposisi

Ada dua cara perumusan fungsi

Contoh soal

Contoh soal

Contoh soal

Contoh soal

TASK

1. jika f(x) = 2x - 1 dan g(x)= , carilah domain

dan range untuk (fog)(x)!

2. jika f(x)= dan (fog)(x) = 2x - 1, carilah nilai g(x)!

3. jika f(x) = , x - , carilah nilai f (1)!

4. j

1

4

x 2

4

x 22x 5 1

3x 1 3

ika f(x) = 2x+1, g(x) = , tentukan (fog) (x)!

5. jika f(x) = dan g(x) = 2x - 1, tentukan (gof) (x)!

1

1

3x 5

x 4x 4

x 6