INVERS DAN MATRIKSI. Pendahuluan

Pokok Bahasan

Invers

Matriks

Tujuan

Mengetahui bentuk fungsi invers dan matriks dalam kalkulus.

Mengetahui dan memahami bentuk fungsi invers dan matriks dalam operasi

perhitungan.

Memahami serta mengaplikasikan bentuk fungsi invers dan matriks dalam

operasi perhitungan menggunakan program Mapel.

Menentukan nilai dan menggambar grafis fungsi invers serta matriks dengan

menggunakan Program Maple.

II. Landasan Teori

1. Fungsi InversDefinisi :

Misal dua fungsi f dan g berlaku komposisi berikut :

f ( g ( x ) )=x , untuk setiap x∈Dg .

g (f ( y ) )= y , untuk setiap y∈D y .

Maka f disebut invers dari g (notasi f =g−1atau g disebut invers dari f =( g=f −1) .

Sehingga diperoleh hubungan,

f ∘ f−1=f −1∘ f =1

I merupakan fungsi identitas, yaitu fungsi yang memetakan ke dirinya sendiri. Berikut

merupakan contoh fungsi dan inversnya. Fungsi f ( x )=1+x mempunyai invers

f−1 ( x )=x−1 , sebab ( f−1∘f ) ( x )=f ( f−1 ( x ))=f (x−1 )=1+( x−1 )=x=I ( x ) . Satu hal

yang menarik bagi kita, apakah setiap fungsi punya invers ? Bagaimana cara mendapatkan

invers dari suatu fungsi ? Beberapa sifat berikut dapat digunakan untuk menjawab

pertanyaan ini.

Sifat-sifat :

1. Sifat antara fungsi dan inversnya.

(i) Grafik fungsi f dan f−1

simetri terhadap garis y=x .

(ii) Domain f sama dengan rangef−1 atau range f sama dengan domain f

−1 .

2. Sifat Keberadaan fungsi invers

(i) Fungsi f ( x ) punya invers bila dan hanya bila tidak ada garis mendatar yang

memotong grafik f ( x ) lebih dari satu titik.

(ii) Fungsi f ( x ) punya invers bila dan hanya bila f ( x ) berkorespondensi satu-satu

[ yaitu bila f ( x1 )≠f (x2) maka x1≠x2 ].

(iii) Misal interval I merupakan domain f ( x ) danf ( x ) naik atau f ( x ) turun pada I.

Maka f ( x ) punya invers pada I.

Misal y=f −1 ( x ) . Maka didapatkan x=f ( y ) . Hal ini memotivasi kepada kita

suatu cara untuk menentukan invers dari fungsi y=f ( x ) . Untuk menentukan invers dari

suatu fungsi y=f ( x ) dilakukan dengan cara mensubstitusikan peubah y ke dalam x,

sehingga fungsi dinyatakan secara eksplisit dalam peubah y. Tuliskan f ( y )=x dan

nyatakan fungsi yang diperoleh tersebut menjadi fungsi eksplisit dalam peubah x. Hasil

terakhir merupakan invers dari y=f ( x ) .

Contoh :

Tentukan invers dari fungsi f ( x )= x−1

x+2

Jawab :

f ( y )= y−1y+2

⇒ x= y−1y+2

⇒ y=−2 x−1x−1

⇒ f−1 ( x )=−2 x−1x−1

1.1 Invers Fungsi Trigonometri

Kita ingat kembali bahwa syarat agar fungsi f mempunyai invers adalah satu-satu,

yaitu memenuhi syarat f(u) = f(v) u = y untuk setiap u, v Df.. invers dari fungsi f : Df

Rf adalah fungsi f-1 : Rf Df yang memenuhi relasi y = f(x) x = f -1(y), dengan x Df

dan y Rf. fungsi trigonometri semuanya periodik, sehingga tidak satu-satu. Tetapi,

daerah asal fungsinya dapat dibatasi pada selang tertentu agar mempunyai invers.

Pemilihan selang daerah asal fungsinya dibuat agar antara invers trigonometri dapat

dikaitkan dan rumus kalkulus diferensialnya dapat dikonstruksi.

Invers Fungsi Sinus Dan Fungsi Kosinus invers fungsi sinus, ditulis y = sin-1x, atau y =

arc sin x, adalah fungsi yang memenuhi

y=sin−1 x⇔ x=sin y ,|x|≤1 dan |y|≤ 12

π

invers fungsi kosinus, ditulis y=cos−1 x= arc cos x, adalah fungsi yang memenuhi

y=cos−1 x⇔ x=cos y ,|x|≤1 dan 0≤ y≤πKaitan antara invers fungsi sinus dan fungsi kosinus diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 1. cos−1 x+sin−1 x= 12 π ,|x|≤1 .

Bukti y=cos−1 x⇔ x=cos y=sin ( 12 π− y)⇔ 1

2 π− y=sin−1 x

⇔ y+sin−1 x=12 π⇔ cos−1 x+sin−1 x= 1

2 π

Karena 0≤ y≤π ⇔−12 π≤ 1

2 π− y≤ 12 π⇔|1

2 π− y| 12 π

Berdasarkan sifat fungsi invers, grafik y=sin−1 x diperoleh dengan mencerminkan grafik

y=sin x , x∈ [− 12 π , 1

2 π ] terhadap garis y = x. demikian juga grafik y = cos-1x, yang

diperoleh dengan mencerminkan grafik y = cos x, x [0,] terhadap garis y = x. grafik

invers fungsi sinus dan kosinus diperlihatkan pada gambar dibawah ini.

Grafik Fungsi Sinus Dan Invers Grafik Fungsi Cosinus Dan Invers

Invers Fungsi Tangen Dan Fungsi Kotangen Invers fungsi tangen, ditulis

y= tan−1 x ,atau y = arc tan x, adalah fungsi yang memenuhi

y= tan−1 x⇔ x=tan y , x∈R dan |y|< 12 π

Invers fungsi kotangen, ditulis y=cot−1 x=arc cot x , adalah fungsi yang memenuhi

y=cot−1 x⇔ x=cot y , x∈ R dan 0< y<π .

1.2 Mencari Fungsi Invers Dengan Maple

Secara teori dikatakan bahwa misalkan f ( x ) adalah fungsi satu-satu dan f ( x )

adalah fungsi invers dari f ( x ) , maka akan berlaku ( f ∘g ) ( x )=x . Dalam Maple tidak ada

perintah khusus untuk mencari invers fungsi. Oleh karena itu untuk mencari fungsi invers

digunakan konsep teori tersebut yaitu dengan mencari g ( x ) sebagai penyelesaian dari

persamaan ( f ∘g ) ( x )=x . Untuk mempermudah pemahaman, sebaiknya kita ambil sebuah

contoh: Diberikan sebuah fungsi f ( x )= 3 x+2

2 x−1 . Tentukan fungsi invers f ( x ) dengan

menggunakan Maple. Berpegang pada teori, maka untuk mencari fungsi invers f ( x ) , kita

harus menyelesaikan persamaan ( f ∘g ) ( x )=x , dengang ( x ) adalah fungsi invers yang

akan kita cari. Untuk menyelesaiakan persamaan dengan Maple, kita gunakan perintah

solve().

> f := x - > (3*x + 2)/(2*x - 1);> finv := x -> solve((f @ g)(x) = x, g(x));> finv(x);

Perintah solve( ( f @ g ) ( x )=x , g ( x ) ) digunakan untuk mencari g ( x ) sedemikian

hingga memenuhi persamaan ( f ∘g ) ( x )=x . Penyelesaian dari persamaan ini didefinisikan

sebagai fungsi finv ( x ) atau fungsi invers f ( x ) . Kita tidak harus menggunakan nama

fungsi finv( ) tapi boleh nama yang lain sesuai dengan keinginan kita. Sedangkan perintah

ke tiga untuk menampilkan fungsi inversnya. Hasil fungsi inversnya akan diperoleh

finv ( x )= 2+x−3+x .

1.3 Menggambar Grafis Fungsi Invers Dengan MapleDalam Maple telah tersedia perintah khusus untuk menggambar grafik invers dari

suatu fungsi. Perintah ini terdapat dalam Calculus1 Student Package. Berikut ini adalah

sintaks perintahnya.> with(Student[Calculus1]):

> InversePlot(f(x),x=a..b, option);

Perintah with(Student[Calculus1]) digunakan untuk mengaktifkan paket Calculus1

Student Package. Tanpa pengaktifan paket ini, perintah untuk membuat grafik invers

fungsi tidak bisa dijalankan. Perintah yang telah dituliskan di atas akan menampilkan

grafik fungsi f(x) pada selang [a, b] dan juga inversnya. Berikut ini beberapa option yang

dapat diberikan pada perintah InversePlot:

showfunction = true|false

Option ini digunakan untuk menentukan tampil atau tidaknya grafik f(x). Default

dari option ini adalah bernilai true (grafik f(x) ditampilkan)

showinverse = true|false

Option ini digunakan untuk menentukan tampil atau tidaknya grafik invers f(x).

Default dari option ini adalah bernilai true (grafik invers f(x) ditampilkan)

showline = true|false

Apabila showline=true, maka akan tampil garis y=x berupa titik-titik pada grafik output

yang merupakan pemisah antara grafik f(x) dengan inversnya. Secara default, option ini

adalah true.

Contoh penggunaan:

Akan digambar grafik fungsi f(x) = sin(x) pada interval [0,2Pi] beserta inversnya. Perintah Maplenya adalah

> with(Student[Calculus1]):> f := x -> sin(x);> InversePlot(f(x), x=0..2*Pi);

atau

> InversePlot(f(x), x=0..2*Pi, showline=false);

Perintah di atas akan menghilangkan garis y=x.

2. Matriks

Aplikasi matriks banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, disadari atau tidak,

penggunaan aplikasi tersebut banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah

yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya pada aplikasi perbankan yang

senantiasa berkutak atik dengan angka-angka, dalam dunia olahraga penentuan klasemen

suatu pertandingan.

Matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-

bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks (Rorres, 2004: 28). Sementara itu

(Kartono, 2004: 37) mendefinisikan matriks sebagai obyek (bilangan riil atau kompleks),

variabel-variabel atau operator-operator dan sebagainya) yang disusunkan secara persegi

panjang (yang terdiri dari baris dan kolom) yang biasanya dibatasi dengan tanda kurung

siku atau biasa. Banyaknya baris dan banyaknya kolom menentukan ukuran (ordo) sebuah

matriks. Pandang matriks A=[aij ] , i=1,2,3 . .. . m dan j=1,2,3. . .n . Dan bentuk umumnya:

A=[a11 a12 . .. a1 n

a21 a22 . .. a2 n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮

]2.1 Operasi Matriks dan Aplikasi Maple

Suatu matriks dikatakan sama (setara) jika keduanya memiliki ukuran yang sama

dan entri-entrinya yang bersesuaian adalah sama (Rorres, 2004: 28). Dalam notasi matriks

dapat dinyatakan, jika A=[aij ]danB=[ bij ] memiliki ukuran yang sama, maka A=B jika

dan hanya jika atau untuk semua ( A )ij=( B )ij atau a ij=b ij untuk semua i dan j.

Contoh 1: Perhatikan Matriks-matriks

A=[2 13 x ]B=[2 1

3 5 ]C=[2 1 03 4 0 ]

Jika x = 5, maka A=B, tetapi untuk semua nilai x yang lain matriks A dan B

tidak setara, karena tidak semua entri keduanya yang bersesuaian adalah sama. Tidak ada

nilai untukxdi mana A = C, karenaAdan C memiliki ukuran yang berbeda.

Aplikasi 1Mengecek kesamaan matriks dengan maple:

2.2 Penjumlahan Matriks

Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan ukuran yang sama, maka jumlah (sum)

A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri pada B dengan

entri-entri yang bersesuaian pada A dan selisi (difference) A B adalah matriks yang

diperoleh dengan mengurangkan entri-entri yang bersesuaian pada B. Matriks

denganukuran yang berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Dalam notasi

A=[aij ]danB=[ bij ] memiliki ukuran yang sama, maka A+B dan ( A )ij+ (B )ij=a ij+bij

dan ( A )ij−( B )ij=aij−bij

Contoh 2: Perhatikan Matriks-matriks

A=[2 4 35 2 −1 ]B=[2 4 2

3 3 1 ]

Maka: A+B=[2 4 3

5 2 −1 ]+[2 4 23 3 1 ]=[4 8 5

8 5 0 ]

Aplikasi 2

Penjumlahan dan pengurangan matriks

2.3 Perkalian MatriksJika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n maka hasil kali (product)

AB adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: Untuk mencari

entri-entri pada baris ke I dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris I dari matriks A dan

kolom j dari matriks B. kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut

dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh.

Contoh 3: Perhatikan Matriks-matriks

A=[1 2 42 6 0 ]B=[1 3

2 24 4 ]

Maka :

A⋅B=[1 2 11 1 0 ]⋅[1 1

2 11 0 ]=[ 9 3

14 8 ]

Aplikasi 3

Penjumlahan dan pengurangan matriks

2.4 Determinan MatriksMisalkan A adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan (determinant

fuction) dinotasikan det dan kita mendefinisikan det(A) sebagai jumlah dari semua

hasilkali elementer bertanda dari A. Angka det(A) disebut determinan dari A (determinant

of A).

2. TeladanA. Inverse

B. Matrix

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. Fungsi Invers. http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor Pendamping/Praweda/Matematika/0375%20Mat%201-4e.htm

Anonim. Matriks. http://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)

Anonim. Invers dan Matriks. http://grid.ui.ac.id/files/manual-portal/node10.html

Anonim. Mencari Fungsi Invers dan Matriks dengan Maple. http://ns1.cic.ac.id/~ebook/ebook/adm/myebook/0011.pdf

Dale Varberg, Edwin J.Purcell, I Nyoman Susila ; 2001; Kalkulus jilid 1; Batam; Penerbit Interaksara.