bab v ellips
Post on 09-Jan-2016
27 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Bab III : Lingkaran| 70
5.1. DEFINISI
Ellips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya.
F (titiknya tetap) merupakan berkas garis yang disebut direkstriks ,
c
disebut eksentrisitas (e).
a
F1(-c,0)F2(c,0)e =c1
a
AB = 2a
F1 + F2 P = 2c
AB = sumbu panjang (mayor)
CD = sumbu panjang (minor)
5.2. PERSAMAAN ELLIPS
F F2cyang berarti F1(-c, 0) dan F2(c, 0), b2 =a2 c2 atau
Misalkan :
1 2
a2= b2+c2dan p (x,y) terletak ada elips
AB2a
CD
2b
F1P +F2P = 2a
F1P ( x ( c)) 2 ( y 0) 2
(x c)) 2 y 2
F1P + F2P = 2a
(x c))2 y2 + (x c))2y22a
( x c))2y22ax2
2
c Y
(x + c)2 + y2 = 4a2 4a
+ (x - c2 + y2)
(x c))2 y2
x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 4a
+ x2 2cx + c2 + y2
(x c))2 y2
4cx = 4a2
(x c))2 y2
cx a 2
a (x c))2y 2
c2 x2 2a2cx a4a2 x 0 2 y2
By : TurmudiE-mail : toermoedy@yahoo.co.idblog: www.toermoedy.wordpress.com71 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
c2 x2 2a2 cx a4 a2 x2 2cx c2 y 2
c2 x2 2a2 cx a4 a2 x2 2a2 cx a2 c2 a2 y2
c2 x2 a2 x2 a2 y 2 a4
a2 c20
a2 x2 c2 x2a2 y 2a4 a2 c2
a2 x2 x2
a2 y2a2 a2 c2
b2 x2 a2 y2a2b2
: a2b2
x2y2
1Persamaan umum ellips dengan pusat (0, 0)
a2
b2
5.3. PERSAMAAN UMUM ELLIPS DENGAN PUSAT (,
2a terletak dan sumbu pendek (sumbu minor) sumbu x dan sumbu y dengan analog jika pusat
ellips adalah ( , ) simetrinya tetap sejajar dengan sumbu x dan sumbu y pusatnya adalah ( , )
maka persamaan ellips tersebut adalah
(x )2
(y )21
a2
b2
A a,
B a ,
C x,b
F1 b(a. )
F2 c(a.
Direktris dan eksentrisitas
f xa2g xa 2
c
c
Bab III : Lingkaran| 72
p2 q2 = (x + c)2 +y2 (x c)2 + y2
= x2 + 2cx + c2 + y2 (x2 2cx +c2 + y2)
= x2 x2 + 2cx + 2cx + c2 c2 + y2 y2
p2 q2 = 4cx
(p + q) (p q) = 4cxIngat : p + q = 2a2a (p - q) = 4cx
4cxp q =2a
2cxp q =a
p q 2a
2p = 2a +
2cx
a
p =cxa
a
p =
c
(x
a2)
a
c
q =c
(x
a2
)
a
c
c
a2
q =
x
a
c
h x = - a2
c
g x = a2
c
a2persamaan garis g1 x = -c
a2g2 x =c
By : TurmudiE-mail : toermoedy@yahoo.co.idblog: www.toermoedy.wordpress.com73 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Artinya :
a2
a2
p :x p jarak dari titik P ke garis f x
c
c
2
a2
a
q :
x
c
c
Contoh 17 :
12Jika eksentrisitas (e) suatu ellipsc a jarak antara dua fokus adalah 36. tentukan persamaan ellips.13
Penyelesaian :
12e =13
2c = 36 c = 1812
c12e =
13
a13
1812
a13
12a = 243
243a 19,5 12
b2 a2 c2
2243218 12
= 380,25 324
= 56,25
b = 7,5
persamaan ellipsx2
y 2
x2
y2
a2
b2
2
2
19,5
7,5
Bab III : Lingkaran| 74
Hubungan Garis dengan Ellips..
Berarti halnya pada ligkaran dan parabola, kedududkan garis terhadap ellips maka ada tiga kemungkinan :
1. Tidak memotong: D 0
Memotong : D 0
3. Menyinggung: D = 0
Persamaan Garis Singgung
Persamaan garis singgung pada ellips (0,0)
Misalkan : persamaan garis y mx n .......................................................... (i)
Persamaan ellips :x2
y 21..........................................................(ii)
a2
b2
Persamaan (ii) dirubah menjadi b2 x2 a2 y 2 a2b2
Persamaan (i) dimasukan ke dalam persamaan (ii)
b2 x2 a 2 mx n 2 a2 b2
b2 x2 a2 m2 x2 2mnx n2 a2b2
b2 x2 a2 m2 x2 2a2 mnx a2 n2 a2b2 0
b2 x2 a2 m2 x2 2a2 mnx a2 n2 a2b2 0
By : TurmudiE-mail : toermoedy@yahoo.co.idblog: www.toermoedy.wordpress.com75 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
D = 0
b2 4ac 0
2a2 mn 2 4 b2 a2 m2 a2 n2 a2b2 0
4a4 m2 n2 4a4 m2 n2 4a4b2 m2 4a4b2 n2 4a2b4 0
4a4 b2 m2 4a2b2 n2 4a2b2 0 : 4a2b2
a2 m2 n2 b2 0
n2 a2 m2 b2
n2 a2 m2 b2
y mx n
y mx a2 m2 b2 Persamaan garis singung ellips dengan gradien m
2
2
2
Analog : untuk ellipsx
y
1
a2
b2
Persamaan garis singgung dengan koefisien m yang berpusat , .
ym x a2 m2 b2
Contoh 18 :
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips x2 2 y 2 8 yang tegak lurus garis x 2 y 9
Penyelsaian :
x2 2y2 8 : 8
x2
y 2
1
8
4
Berarti : a2 8
b2 4
x 2 y 9
a m1 bBab III : Lingkaran| 76
1
2
mS .m1 1 mS 2
y mx a 2 m2 b2
2x 8.4 4
2x 6
Garis Singgung di Titik P(x1,y1) Pada Ellips
Sb. Y
P x , y
pada
x2
y 21
a2
b2
P(x1,y1)
11
x2
y 2
1...................... (1)
a2
b2
Sb. X
x2
y 2
x
, y
pada
1
a2
b2
2
2
Q(x2,y2)
x22
y22
1c ................... (2)
a2
b2
x22x2
y 2y2
(2) (1)
1
2
1
0
a2
b2
y22y2=
x
x x2x
1
2
1
1
a 2
b2
y
y
b2
xx
21
2
1
x
x
b2
yy2
21
2
Persamaan Garis Lurus di Titik P(x1,y1)
y y1 y2 y1 x x1 x2 x1
Persamaan Garis Lurus di Titik Q(x2,y2)
By : TurmudiE-mail : toermoedy@yahoo.co.idblog: www.toermoedy.wordpress.com
x1 , y177 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
y y
yy1x x
2
1
x2x12
Q mendekati P (berimpit)
y y
b2
xxx x
21
a2
yy
1
2
21
a2 yy y yb2x x22x
21
1
1
a2 2y1 y y1 b2 x x1 2x1 a2 2 y1 y 2y12 b2 2x1 x 2x12 a2 2y1 y 2 y12 b2 2x1 x 2x12 2a2 y1 y 2a2 y12 2b2 x1 x 2b2 x12
2a2 y1 y 2b2 x1 x 2b2 x12 2ay12 : 1
2a2 y y 2b2 x x 2a2 y 2 2b2 x 2
1
1
1
1
b2 x x a2 y y b2 x 2b2 y2
1
11
1
b2 x x a2 y y a2b2: a2b2
1
1
x x y y1 persamaan garis singgung di titik R x1, y1
x2
y 21
1
1
pada ellips
a2
b2
a2
b2
Contoh 19 :
Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 2x2 4 y216 di 6,1
Penyelesaian :
2x2 4y 2
16
:16
x2
y 2
1
x1 xy1 y
8
4
a2
b21
a2
8
6x
y
b2
4
1
8
4
5.6. Titik dan Garis Polar
Sb. Y
Q(x2,y2)P(x1,y1)
Sb. XAF1F2R(x3,y3) Jika sebuah titik Pdiluar suatu ellips
ditarik dua buah garis singgung (PQ dan PR) maka garis penghubung antara kedua titik singungnya (garis PQ) disebut garis polar.
Titik P disebut titik polar.
Garis polarBab III : Lingkaran| 78
Persamaan garis singgung di titik Qx2 x
y2 y1................(1)
a2
b2
Persamaan garis singgung di titik R
x3 x
y3 y1................(2)
a2
b2
Karena titik P terletak pada persamaan (1), maka:
x1 x2
y1 y21......................(3)
a2
b2
Karena titik P x1 , y1 terletak pada persamaan (2) maka :
x1 x3
y1 y31..................... (4)
a2
b2
Berhubung persamaan (2) dan persamaan (4) titik Q dan R terletak
x1 x
y1 y
1
a2
b2
Berarti persamaan (5) ditentukan oleh titik Px1 , y1 terhadap ellips
x2
y 21 adalah :x x
y y1
1
1
a2
b2
a2
b2
5.7. Garis Tengah Sekawan pada Ellips
k1Sb. Y
k3k4
k2k5k6
Sb. XOT1
By :blog: www.toermoedy.wordpress.com79 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
Deffinisi : dua garis tengah sekawan pada ellips adalah titik-titik tengah dari tli busur yang sejajar.
Misalkan : garis k mx n .......................................................................................(1)
Persamaan ellipsx2
y 21
a2
b2
b2 x2a2 y 2 a2b2 .........................................................(2)
Persamaan (1) subsitusikan ke persamaan (2) :
b2 x2 a2 mx n 2 a2b2
b2 x2 a2 m2 x2 2mnx n2 a2b2
b2 x2 a2 m2 x2 2m2 nx a2 n2 a2 b2 0 b2 a2 m2 x2 2m2 nx a2 n2 a2b2 0
T x1 x2 , y1 y2 1 2 2
bx1 x22a
1x x
2a2 mn
212
2
22
2 bam
xT
a2 mn
(3)
................................................................................................
b2a2 m2
yTmxTn
yT
a2 m2 n
n .........................................................................................(4)
b2a 2 m2
a2 mnMelihat kembali xTb2 a2 m2
maka : a2 mn xT b2 a2 m2nxTb2a 2 m2
(5).................................................................................
a2 mn
Subsitusikan persamaan (5) ke persamaan (4)Bab III : Lingkaran| 80
yTm
a2 mn
x b2a2 m2
T
b2 a2 m2
a2 m
b2
a 2 m2
y
mx
x
x
a2 m
T
T
a2 mT
T
b2mxTa2 m xT mxT
b2 a2 m xT
b2Secara umum, karena T berjalan : y x a2 m
Catatan :
Hubungan antara koefisien-koefisien arah kedua garis sekawan tadi dapat ditentukan sebagai berikut :
- Jika gradien garis 1 = m ; dan garien garis k
m1 mk m m
b2 m a2 mb2
a2
Garis singgung titik potong garis k dengan ellips ditentukanlah sejajr dengan garis 1 dan sebaliknya.
Keempat garis singgung pada tiap-tiap titik potong garis tengah sekawan dengan ellips membentuk suatu jajaran genjang sehingga disebut jajaran genjang padadua garis tengah sekawan .
Misalkan : kedua garis sekawan PR , QS dan P x1 , y1 , terletak pada ellips
maka : b2 x 2a2 y 2a2b2 ..............................................................(5)11
koefisien arah QS
y
1
sedangkan
x1
koefisien arah PR
y
1
sedangkan
x1
koefisien arah QSb2x1 y1
a2
By : TurmudiE-mail : toermoedy@yahoo.co.idblog: www.toermoedy.wordpress.com81 | Geometri Analitik Datar dan Ruang
persamaan garis PQ menjadi
b2 x
y
1x
a2 y
1
Persamaan garis itu menghasilkan : a2 y2b2 x 2x2a4 y2
11
1
Dimana melalui titik P : a2b2 x2 a4 y2
x2
y 2
atau
1
1
a2
b2
Dari persamaan diatas terakhir menghasilkan koordinat titik Q dan S berturut-turut dngan tanda dan
Diperoleh x di titik S yS y1 a b
Sehingga didapat yS x1 a b
Titiknya x1 , y1
Untuk yQy1
ab
yQ x1 a b
Sehingga didapat titik Q dan S
Contoh 20 :
x2
y 2
1. Tentukan persaman, tali busur suatu ellips
1 sehingga titik (2,3) merupakan titik
3224
tengah tali busur itu.
Penyelesaian :
Diketahui : a232
b2 24
T 2,3xT2, yT 3
Misalkan tali busur y = mx + n
b2 y x a2 m
24 3 .232mBab III : Lingkaran| 82
96.m 48
1
m
2
n xTb2 a2 m2
a 2 m
24 32 1 2. 41616
8 2
n 2
1Persamaan tali busur ellips tersebut adalah y x 2 2
By : TurmudiE-mail : toermoedy@yahoo.co.idblog: www.toermoedy.wordpress.com
top related