bab v homomorpisme gel

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

1/26

Bab V

BAB V

Homomorpisme Gelanggang

A. Konsep Homomorpisme Gelanggang

Homomorpisme gelanggang merupakan perluasan konsep darihomomorpisme grup. Dalam grup hanya melibatkan satu operasi

biner, sedangkan dalam gelanggang melibatkan dua operasi biner,

maka homomorpisme gelanggang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 5.1:

MisalkanRdanR adalah dua gelanggang. Pemetaanf :RRdisebut homomorpisme, apabila a, b Rberlaku

f(a+ b) =f(a) +f(b) dan f(ab) =f(a)f(b).

Jika pemetaan f tersebut surjektif (onto), maka f disebut

epimorpismedan dikatakan bahwa Rhomomorpikdengan Ryang

ditulisR R, sertaRdisebut peta homomorpik dariR. Jika pemetaanf tersebut injektif (1 1), maka f disebut monomorpisme. Jikapemetaan tersebut surjektif (onto) dan injektif (1 - 1), makafdisebut

isomorpisme dari R ke R. Apabila ada suatu isomorpisme dari

gelanggang Rke gelanggang R, maka dikatakan bahwa R isomorpik

denganRdan ditulisR R. Homomorpisme dari suatu gelanggang kedirinya sendiri disebut endomorpisme. Endomorpisme yang bijektif

disebut automorpisme.

Contoh 5.1:

1. Misalkan R dan R adalah dua gelanggang. Pemetaan f : R Rdidefinisikan olehf(x) = z, untuk setiapx Rdanzadalah elemennol dariR. Maka dapat ditunjukkan bahwafsuatu homomorpisme.

Homomorpisme ini trivial dan disebut homomorpisme nol.

2. Misalkan R suatu gelanggang. Pemetaan g : RRdidefinisikanoleh g(x) = x, x R. Maka dapat ditunjukkan bahwa g suatuautomorpisme.

3. B adalah gelanggang bilangan-bilangan bulat terhadap

penjumlahan dan perkalian aritmetik. B5 adalah gelanggang dari

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

2/26

Homomorpisme Gelanggang

kelas-kelas bilangan bulat modulo 5 dengan penjumlahan modulo 5

dan perkalian modulo 5. Pemetaan f : B B5 didefinisikan olehf(x) = x, untuk setiap x B. Akan ditunjukkan bahwa f suatuhomomorpisme dari Bonto B5,sehingga B B5. Homomorpismeseperti ini disebut homomorpisme natural.

Ambil sebarangx, y B, makaf(x) =x, f(y) =y, sehinggaf(x+y) =x+y=x+y=f(x) + f(y) dan

f(xy) =xy=xy=f(x)f(y).

Jadifsuatu homomorpisme.

Ambil sebarang a B5, maka ada a Bsedemikian hinggaf(a) = a.Jadif suatu pemetaan surjektif.

Sehingga f suatu homomorpisme dariBontoB5 atau B B5.

4. B adalah gelanggang bilangan-bilangan bulat terhadap

penjumlahan dan perkalian aritmetik. Misalkan n suatu bilangan

bulat positif yang lebih dari 1 dan N adalah himpunan semua

bilangan bulat kelipatan n. N adalah suatu ideal dari B, sehingga

B/N, yaitu himpunan semua koset kanan dari N dalam B adalahsuatu gelanggang faktor dari Boleh N. Bnadalah gelanggang dari

semua kelas bilangan bulat modulo n, dengan penjumlahan dan

perkalian modulo n. Didefinisikan pemetaan

g:B/N Bnolehg(N+ a) = a, (N+a) B/N.

Akan ditunjukkan bahwa g suatu isomorpisme dariB/NkeBn, atau

B/N Bn.Diambil sebarang (N+a), (N+b) B/N, maka g(N+ a) = adan

g(N+ b) = b, sehingga

g((N+ a) + (N+ b)) =g(N+(a+ b))

= a+ b=g(N+a) +g(N+b), dan

g((N+ a)(N+ b)) =g(N+(ab))

= ab

=g(N+a)g(N+b).

Jadigadalah suatu homomorpisme.

Ambil sebarang a Bn, maka ada (N + a) B/N, sedemikianhingga f(N+a) = a, makagadalah suatu pemetaan surjektif.

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

3/26

Bab V

Ambil sebarang (N+ a), (N+ b) B/N, sedemikian hinggag(N+a) =g(N+b),

a= b,

ab(modN)

(a b) N,N+ a=N+ b.

Hal ini berartigsuatu pemetaaan injektif

Jadi g adalah suatu isomorpisme dariB/NkeBn, yaituB/N Bn.

5. M = , bilangan real0

a ba b

a

dengan penjumlahan dan

perkalian matriks adalah suatu gelanggang. R adalah gelanggang

semua bilangan real dengan penjumlahan dan perkalian aritmetik.

Pemetaanf:MRdidefinisikan olehf(0

a b

a

) = a, 0

a b

a

M. Akan ditunjukkan bahwa f suatu homomorpisme dari MontoR.

Misalkan0

a b

a

,0

c d

c

M, maka f(0

a b

a

) = a dan f(

0

c d

c

) = c, sehingga

f(0

a b

a

+0

c d

c

) = f(0

a c b d

a c

)

= a + c

= f(0

a b

a ) + f(

0

c d

c )

f(0

a b

a

0

c d

c

) = f(0

ac ad bc

ac

)

= ac

=f(0

a b

a

) f(0

c d

c

).

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

4/26

Homomorpisme Gelanggang

Jadif suatu homomorpisme.

Ambil a R, maka ada0

a b

a

M, sedemikian hinggaf(0

a b

a

) = a. Ini berarti fsuatu pemetaan surjektif (onto)

6. MisalkanKadalah gelanggang bilangan-bilangan kompleks danM

adalah gelanggang matriks-matriks persegi berordo 2 yang elemen-

elemennya bilangan real.

Pemetaanf:KMdidefinisikan oleh

f(a+ bi) = , ( )a b

a bi K b a

.

Akan ditunjukkan bahwafsuatu isomorpisme.

Ambil sebarangx, y Kdenganx= a+ bidany = c+ di, maka

f(x) =f( a+bi) =a b

b a

dan f(y) =f(c+ di) =

c d

d c

,

maka (x+y) Kdanxy K, sehingga

f(x+y) =f((a+ bi) + (c+ di)) =f((a+ c) + (b+ d)i)

=a c b d

b d a c

=a b

b a

+c d

d c

=f(x) +f(y)

dan f(xy) =f((a+ bi)(c+ di)) =f((ac- bd) + ( ad+ bc)i)

=ac bd ad bc

ad bc ac bd

=a b

b a

c d

d c

=f(x)f(y).

Jadifsuatu homomorpisme.

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

5/26

Bab V

Pemetaanfadalah 1-1, sebab jikax, y K denganx= a+ bidany= c+ di sedemikian sehinggaf(x) =f(y) maka

f(a+ bi) =f(c+ di)

a b

b a

=

c d

d c

a = c dan b = d

a+ bi= c+ di

x =y.

Selanjutnyaf surjektif, sebab jikaa b

b a

M, maka ada

bilangan kompleks a+bi sedemikian sehingga

f(a+ bi) =a b

b a

.

Jadifsuatu isomorpisme dariKkeMdan ditulisK M.

7. B4danB10berturut-turut adalah gelanggang kelas-kelas bilangan

bulat mod 4 dan mod 10. Dibentuk pemetaanf :B4B10yang

didefinisikan olehf(x) = 5x, x B4. Akan ditunjukkan bahwafsuatu homomorpisme.

Pertama ditunjukkan bahwafsuatu pemetaan yang terdefinisi

dengan baik. Misalkanx, y B4danx=y, yaituxy= 4k, untuksuatu bilangan bulat k, maka 5x 5y= 20katau 5x= 5y, yaituf(x)

=f(y). Jadi f terdefinisi dengan baik.

Selanjutnya, misalkan x +y= 4t +sdanxy= 4q + rdengan

0 s, r< 4, maka

f(x+y) =f(s) = 5s= 5x + 5y 20t= 5x+ 5y=f(x) +f(y)f(xy) =f(r) = 5r= 5xy 20q= 5 . 5xy= 5x. 5y=f(x)f(y)

Jadifsuatu homomorpisme.

Berikut ini suatu teorema yang telah dinyatakan sebagai suatu

teorema homomorpisme pada suatu grup aditif.

Teorema 5.1:

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

6/26

Homomorpisme Gelanggang

Jikafsuatu homomorpisme dari gelanggangR ke gelanggang

R, maka (i). f(z) = z dengan z dan z berturut-turut elemen-

elemen nol dariRdanR. (ii).f(-a) = -f(a), a R.

Bukti :

(i). Ambil a Rmaka a+z= a, sehinggaf( a +z) =f(a)f(a) +f(z) =f(a)f(a) +f(z) =f(a) +z

f(z) =z

(ii). Ambila Rmaka a+ (-a) = (-a) + a=za+ (-a) =z dan (-a) + a=z

f(a+ (-a)) =f(z) dan f((-a) + a) =f(z)

f(a) +f((-a)) =z dan f(-a) +f(a) =z

Dari dua kesamaan terakhir ini disimpulkan f(-a) = -f(a).

Teorema 5.2:

Apabila fsuatu homomorpisme dari gelanggangRke gelanggang

R, maka f(R) adalah anak gelanggang dariR.

Bukti :

Ambil a, bf(R) sedemikian sehingga a=f(a) dan b=f(b) untuksuatu a, b R. Karena a, b R danRsuatu gelanggang, maka a- b

R, sehinggaf(a- b) f(R) danf( a- b) =f(a) +f(-b)

=f(a) -f(b)

= a- b

Jadi a- bf(R).Demikian pula karena a, b RdanRsuatu gelanggang, maka ab Rsehinggaf(ab) f(R) danf(ab) =f(a)f(b) = ab f(R).Selanjutnya mengingatf(z) =zf(R), makaf(R) danf(R) R,sehinggaf(R) adalah anak gelanggang dariR.

Teorema 5.3:

Setiap peta homomorpik dari suatu gelanggang komutatif adalah

gelanggang komutatif.

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

7/26

Bab V

Bukti :

MisalkanRsuatu gelanggang komutatif danRsuatu gelanggang serta

f suatu homomorpisme dari R onto R. Ambil a , bR, karena fsuatu pemetaan yang onto, maka ada a, b Rsedemikian sehinggaf(a)= a danf(b) = b. Selanjutnya akan ditunjukkan ab= ba.

ab=f(a)f(b)

=f(ab) , sebabfsuatu homomorpisme

=f(ba) , sebab a, b RdanRgelanggang komutatif=f(b)f(a) , sebabf suatu homomorpisme

= ba.

JadiRadalah suatu gelanggang komutatif.

Pada teorema tersebut, apabilaRsuatu gelanggang dengan elemen

kesatuan u, maka

f(u) a=f(u)f(a) dan af(u) =f(a)f(u)

=f(ua) =f(au)

=f(a) =f(a)= a = a.

Sehinggaf(u) = uadalah elemen kesatuan pada gelanggangR.

Hal ini secara formal dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema 5.4:

Apabila R dan R adalah gelanggang-gelanggang dengan elemen

kesatuan dan f suatu homomorpisme dari R onto R, maka peta

elemen kesatuan dariRadalah elemen kesatuan dariR.

Definisi kernel dari homomorpisme gelanggang berikut ini mirip

dengan definisi kernel dari homomorpisme grup yang telah dipelajari

sebelumnya.

Definisi 5.2:

Apabilaf suatu homomorpisme dari gelanggang Rke gelanggang

R, maka himpunan semua elemen Ryang petanya adalah elemen

7/25/2019 Bab v Homomorpisme Gel

8/26

Homomorpisme Gelanggang

nol dari R disebut kernel dari homomorpisme f dan dinyatakan

denganKf atau ditulis sebagai

Kf= {x Rf(x) =z},zadalah elemen nol dariR

Pa