bab v ellips

Bab III : Lingkaran| 70

5.1. DEFINISI

Ellips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya.

F (titiknya tetap) merupakan berkas garis yang disebut direkstriks ,

c

disebut eksentrisitas (e).

a

F1(-c,0)F2(c,0)e =c1

a

AB = 2a

F1 + F2 P = 2c

AB = sumbu panjang (mayor)

CD = sumbu panjang (minor)

5.2. PERSAMAAN ELLIPS

F F2cyang berarti F1(-c, 0) dan F2(c, 0), b2 =a2 c2 atau

Misalkan :

1 2

a2= b2+c2dan p (x,y) terletak ada elips

AB2a

CD

2b

F1P +F2P = 2a

F1P ( x ( c)) 2 ( y 0) 2

(x c)) 2 y 2

F1P + F2P = 2a

(x c))2 y2 + (x c))2y22a

( x c))2y22ax2

2

c Y

(x + c)2 + y2 = 4a2 4a

+ (x - c2 + y2)

(x c))2 y2

x2 + 2cx + c2 + y2 = 4a2 4a

+ x2 2cx + c2 + y2

(x c))2 y2

4cx = 4a2

(x c))2 y2

cx a 2

a (x c))2y 2

c2 x2 2a2cx a4a2 x 0 2 y2

By : TurmudiE-mail : [email protected]: www.toermoedy.wordpress.com71 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

c2 x2 2a2 cx a4 a2 x2 2cx c2 y 2

c2 x2 2a2 cx a4 a2 x2 2a2 cx a2 c2 a2 y2

c2 x2 a2 x2 a2 y 2 a4

a2 c20

a2 x2 c2 x2a2 y 2a4 a2 c2

a2 x2 x2

a2 y2a2 a2 c2

b2 x2 a2 y2a2b2

: a2b2

x2y2

1Persamaan umum ellips dengan pusat (0, 0)

a2

b2

5.3. PERSAMAAN UMUM ELLIPS DENGAN PUSAT (,

2a terletak dan sumbu pendek (sumbu minor) sumbu x dan sumbu y dengan analog jika pusat

ellips adalah ( , ) simetrinya tetap sejajar dengan sumbu x dan sumbu y pusatnya adalah ( , )

maka persamaan ellips tersebut adalah

(x )2

(y )21

a2

b2

A a,

B a ,

C x,b

F1 b(a. )

F2 c(a.

Direktris dan eksentrisitas

f xa2g xa 2

c

c


p2 q2 = (x + c)2 +y2 (x c)2 + y2

= x2 + 2cx + c2 + y2 (x2 2cx +c2 + y2)

= x2 x2 + 2cx + 2cx + c2 c2 + y2 y2

p2 q2 = 4cx

(p + q) (p q) = 4cxIngat : p + q = 2a2a (p - q) = 4cx

4cxp q =2a

2cxp q =a

p q 2a

2p = 2a +

2cx

a

p =cxa

a

p =

c

(x

a2)

a

c

q =c

(x

a2

)

a

c

c

a2

q =

x

a

c

h x = - a2

c

g x = a2

c

a2persamaan garis g1 x = -c

a2g2 x =c


Artinya :

a2

a2

p :x p jarak dari titik P ke garis f x

c

c

2

a2

a

q :

x

c

c

Contoh 17 :

12Jika eksentrisitas (e) suatu ellipsc a jarak antara dua fokus adalah 36. tentukan persamaan ellips.13

Penyelesaian :

12e =13

2c = 36 c = 1812

c12e =

13

a13

1812

a13

12a = 243

243a 19,5 12

b2 a2 c2

2243218 12

= 380,25 324

= 56,25

b = 7,5

persamaan ellipsx2

y 2

x2

y2

a2

b2

2

2

19,5

7,5


Hubungan Garis dengan Ellips..

Berarti halnya pada ligkaran dan parabola, kedududkan garis terhadap ellips maka ada tiga kemungkinan :

1. Tidak memotong: D 0

Memotong : D 0

3. Menyinggung: D = 0

Persamaan Garis Singgung

Persamaan garis singgung pada ellips (0,0)

Misalkan : persamaan garis y mx n .......................................................... (i)

Persamaan ellips :x2

y 21..........................................................(ii)

a2

b2

Persamaan (ii) dirubah menjadi b2 x2 a2 y 2 a2b2

Persamaan (i) dimasukan ke dalam persamaan (ii)

b2 x2 a 2 mx n 2 a2 b2

b2 x2 a2 m2 x2 2mnx n2 a2b2

b2 x2 a2 m2 x2 2a2 mnx a2 n2 a2b2 0

b2 x2 a2 m2 x2 2a2 mnx a2 n2 a2b2 0


D = 0

b2 4ac 0

2a2 mn 2 4 b2 a2 m2 a2 n2 a2b2 0

4a4 m2 n2 4a4 m2 n2 4a4b2 m2 4a4b2 n2 4a2b4 0

4a4 b2 m2 4a2b2 n2 4a2b2 0 : 4a2b2

a2 m2 n2 b2 0

n2 a2 m2 b2

n2 a2 m2 b2

y mx n

y mx a2 m2 b2 Persamaan garis singung ellips dengan gradien m

2

2

2

Analog : untuk ellipsx

y

1

a2

b2

Persamaan garis singgung dengan koefisien m yang berpusat , .

ym x a2 m2 b2

Contoh 18 :

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips x2 2 y 2 8 yang tegak lurus garis x 2 y 9

Penyelsaian :

x2 2y2 8 : 8

x2

y 2

1

8

4

Berarti : a2 8

b2 4

x 2 y 9

a m1 bBab III : Lingkaran| 76

1

2

mS .m1 1 mS 2

y mx a 2 m2 b2

2x 8.4 4

2x 6

Garis Singgung di Titik P(x1,y1) Pada Ellips

Sb. Y

P x , y

pada

x2

y 21

a2

b2

P(x1,y1)

11

x2

y 2

1...................... (1)

a2

b2

Sb. X

x2

y 2

x

, y

pada

1

a2

b2

2

2

Q(x2,y2)

x22

y22

1c ................... (2)

a2

b2

x22x2

y 2y2

(2) (1)

1

2

1

0

a2

b2

y22y2=

x

x x2x

1

2

1

1

a 2

b2

y

y

b2

xx

21

2

1

x

x

b2

yy2

21

2

Persamaan Garis Lurus di Titik P(x1,y1)

y y1 y2 y1 x x1 x2 x1

Persamaan Garis Lurus di Titik Q(x2,y2)

By : TurmudiE-mail : [email protected]: www.toermoedy.wordpress.com

x1 , y177 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

y y

yy1x x

2

1

x2x12

Q mendekati P (berimpit)

y y

b2

xxx x

21

a2

yy

1

2

21

a2 yy y yb2x x22x

21

1

1

a2 2y1 y y1 b2 x x1 2x1 a2 2 y1 y 2y12 b2 2x1 x 2x12 a2 2y1 y 2 y12 b2 2x1 x 2x12 2a2 y1 y 2a2 y12 2b2 x1 x 2b2 x12

2a2 y1 y 2b2 x1 x 2b2 x12 2ay12 : 1

2a2 y y 2b2 x x 2a2 y 2 2b2 x 2

1

1

1

1

b2 x x a2 y y b2 x 2b2 y2

1

11

1

b2 x x a2 y y a2b2: a2b2

1

1

x x y y1 persamaan garis singgung di titik R x1, y1

x2

y 21

1

1

pada ellips

a2

b2

a2

b2

Contoh 19 :

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 2x2 4 y216 di 6,1

Penyelesaian :

2x2 4y 2

16

:16

x2

y 2

1

x1 xy1 y

8

4

a2

b21

a2

8

6x

y

b2

4

1

8

4

5.6. Titik dan Garis Polar

Sb. Y

Q(x2,y2)P(x1,y1)

Sb. XAF1F2R(x3,y3) Jika sebuah titik Pdiluar suatu ellips

ditarik dua buah garis singgung (PQ dan PR) maka garis penghubung antara kedua titik singungnya (garis PQ) disebut garis polar.

Titik P disebut titik polar.

Garis polarBab III : Lingkaran| 78

Persamaan garis singgung di titik Qx2 x

y2 y1................(1)

a2

b2

Persamaan garis singgung di titik R

x3 x

y3 y1................(2)

a2

b2

Karena titik P terletak pada persamaan (1), maka:

x1 x2

y1 y21......................(3)

a2

b2

Karena titik P x1 , y1 terletak pada persamaan (2) maka :

x1 x3

y1 y31..................... (4)

a2

b2

Berhubung persamaan (2) dan persamaan (4) titik Q dan R terletak

x1 x

y1 y

1

a2

b2

Berarti persamaan (5) ditentukan oleh titik Px1 , y1 terhadap ellips

x2

y 21 adalah :x x

y y1

1

1

a2

b2

a2

b2

5.7. Garis Tengah Sekawan pada Ellips

k1Sb. Y

k3k4

k2k5k6

Sb. XOT1

By :blog: www.toermoedy.wordpress.com79 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Deffinisi : dua garis tengah sekawan pada ellips adalah titik-titik tengah dari tli busur yang sejajar.

Misalkan : garis k mx n .......................................................................................(1)

Persamaan ellipsx2

y 21

a2

b2

b2 x2a2 y 2 a2b2 .........................................................(2)

Persamaan (1) subsitusikan ke persamaan (2) :

b2 x2 a2 mx n 2 a2b2

b2 x2 a2 m2 x2 2mnx n2 a2b2

b2 x2 a2 m2 x2 2m2 nx a2 n2 a2 b2 0 b2 a2 m2 x2 2m2 nx a2 n2 a2b2 0

T x1 x2 , y1 y2 1 2 2

bx1 x22a

1x x

2a2 mn

212

2

22

2 bam

xT

a2 mn

(3)

................................................................................................

b2a2 m2

yTmxTn

yT

a2 m2 n

n .........................................................................................(4)

b2a 2 m2

a2 mnMelihat kembali xTb2 a2 m2

maka : a2 mn xT b2 a2 m2nxTb2a 2 m2

(5).................................................................................

a2 mn

Subsitusikan persamaan (5) ke persamaan (4)Bab III : Lingkaran| 80

yTm

a2 mn

x b2a2 m2

T

b2 a2 m2

a2 m

b2

a 2 m2

y

mx

x

x

a2 m

T

T

a2 mT

T

b2mxTa2 m xT mxT

b2 a2 m xT

b2Secara umum, karena T berjalan : y x a2 m

Catatan :

Hubungan antara koefisien-koefisien arah kedua garis sekawan tadi dapat ditentukan sebagai berikut :

- Jika gradien garis 1 = m ; dan garien garis k

m1 mk m m

b2 m a2 mb2

a2

Garis singgung titik potong garis k dengan ellips ditentukanlah sejajr dengan garis 1 dan sebaliknya.

Keempat garis singgung pada tiap-tiap titik potong garis tengah sekawan dengan ellips membentuk suatu jajaran genjang sehingga disebut jajaran genjang padadua garis tengah sekawan .

Misalkan : kedua garis sekawan PR , QS dan P x1 , y1 , terletak pada ellips

maka : b2 x 2a2 y 2a2b2 ..............................................................(5)11

koefisien arah QS

y

1

sedangkan

x1

koefisien arah PR

y

1

sedangkan

x1

koefisien arah QSb2x1 y1

a2


persamaan garis PQ menjadi

b2 x

y

1x

a2 y

1

Persamaan garis itu menghasilkan : a2 y2b2 x 2x2a4 y2

11

1

Dimana melalui titik P : a2b2 x2 a4 y2

x2

y 2

atau

1

1

a2

b2

Dari persamaan diatas terakhir menghasilkan koordinat titik Q dan S berturut-turut dngan tanda dan

Diperoleh x di titik S yS y1 a b

Sehingga didapat yS x1 a b

Titiknya x1 , y1

Untuk yQy1

ab

yQ x1 a b

Sehingga didapat titik Q dan S

Contoh 20 :

x2

y 2

1. Tentukan persaman, tali busur suatu ellips

1 sehingga titik (2,3) merupakan titik

3224

tengah tali busur itu.

Penyelesaian :

Diketahui : a232

b2 24

T 2,3xT2, yT 3

Misalkan tali busur y = mx + n

b2 y x a2 m

24 3 .232mBab III : Lingkaran| 82

96.m 48

1

m

2

n xTb2 a2 m2

a 2 m

24 32 1 2. 41616

8 2

n 2

1Persamaan tali busur ellips tersebut adalah y x 2 2

By : TurmudiE-mail : [email protected]: www.toermoedy.wordpress.com

bab v ellips

Documents