bab 6 aplikasi-integral

APLIKASI INTEGRAL

Ida Mariati Hutabarat

Pendahuluan Penggunaan Integral

Pilar-pilar jembatan pada gambar di atas

membentuk partisi-partisi yang akan kita temukan

dalam pokok bahasan menghitung luas daerah

dengan menggunakan integral.

=

= 2(2)3 – 2(2)2 – [2(-1)3 – 2(-1)2]

= 16 – 8 + 2 + 2 = 12

2

1

2 dx 46 xx 2123 22 xx

Integral Tentu Luas Daerah Luas Daerah

Hitunglah nilai dari

2

1

2 dx 46 xx

Contoh 1 :

Jawab

Misalkan f adalah fungsi yang kontinyu pada selang [a, b] dan

misalkan F adalah anti turunan dari f pada selang tersebut, maka

berlaku :

Untuk meringkas penulisan, F(b) – F(a) dinotasikan sebagai

Teorema Dasar Kalkulus

)(F)(F )( abdxxfb

a

bax)(F

Secara geometri definisi integral Riemaan di atas dapat diartikan sebagai

luas daerah di bawah kurva y = f(x) pada interval [a, b].

y

x

0 a b x

y

a

x

0 b

b

a

dxxf )(

Jumlah Luas Partisi Berubah Menjadi Integral

Tentukan limitnya

n

)(xf

n

iii xxf

1)(

)(xf

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

i

n

ii

n

b

a

xxfdxxfL 1

)()( lim

Kegiatan pokok dalam menghitung luas

daerah dengan integral tentu adalah:

1. Gambar daerahnya.

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luas sebuah partisi

Li f(xi) xi

4. Jumlahkan luas partisi

L f(xi) xi

5. Ambil limitnya L = lim f(xi) xi

6. Nyatakan dalam integral

x

0

y )(xfy

a

xi

xi

)( ixfLi

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

a

dxxf0

)(L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu x, dan garis x = 3

Contoh 1.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya Li xi2 xi

4. Jumlahkan luasnya L xi2 xi

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim xi2 xi

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

3

2)( xxf

dxx3

0

2L

903

333

03

3L

x

Li

xi

xi

2ix

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Jawab

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2, sumbu Y, dan garis y = 4

Contoh 2.

Langkah penyelesaian :

1. Gambarlah daerahnya

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi luasnya L xi.y

4. Jumlahkan luasnya L y. y

5. Ambil limit jumlah luasnya

L = lim y. y

6. Nyatakan dalam integral dan

hitung nilainya

y

0

x

4

dyy4

0

.L

3

168.

3

2

3

2L

4

0

2

3

y

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Jawab

xi

2)( xxf

y

y

Langkah penyelesaian:

1. Gambar dan Partisi daerahnya

2. Aproksimasi : Li (4xi - xi2)xi dan

Aj -(4xj - xj2)xj

3. Jumlahkan : L (4xi - xi2)xi dan A

-(4xj - xj2)xj

4. Ambil limitnya L = lim (4xi - xi2)xi

dan A = lim -(4xj - xj2)xj

5. Nyatakan dalam integral

6. dan

y

0 x 6 4

24)( xxxf

dx)xx4(

4

0

2

L dxxx

6

4

2 )4(A

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = 4x - x2, sumbu x,

dan garis x = 6

Contoh 3.

Jawab

dxxx 4

0

2)4(L

dxxx

6

4

2 )4(A

y

0 x 6 4

24)( xxxf

xi

Li

xi

xj

Aj

xj

24 ii xx

)4(0 2xx

40

33122L xx

3643

312 320)4()4(2L

64

3

3122A xx

3

3123

312 )4()4(2)6()6(2A

364

3216 3272A

40A 3152

3

1214032daerah Luas 3

1523

64

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Kesimpulan :

b

a

dyxL .b

a

dxyL .

y

0

x

y

y

x

0

)(xfy xi

xi

)( ixf

y

LUAS DAERAH ANTARA DUA KURVA

Perhatikan kurva y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) > g(x) pada selang

[a, b] di bawah ini. Dengan menggunakan cara : partisi, aproksimasi,

jumlahkan, ambil limitnya, integralkan, maka dapat ditentukan luas

daerah antara dua kurva tersebut.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Partisi daerahnya

3. Aproksimasi : Li [ f(x) – g(x) ] x

4. Jumlahkan : L [ f(x) – g(x) ] x

5. Ambil limitnya :

L = lim [ f(x) – g(x) ] x

6. Nyatakan dalam integral tertentu

y

b a

)(xfy

)(xgy

0

x Li

x

x

)()( xgxf

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

dxxgxfb

a )()(L

Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 2 - x

Contoh 4.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

x2 = 2 – x x2 + x – 2 = 0 (x + 2)(x – 1) = 0

diperoleh x = -2 dan x = 1

3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya

Li (2 - x - x2)x

5. Nyatakan dalam integral tertentu

dxxx

1

2

2)2(L 0

x

1 2 -1 -2 -3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Jawab

dxxx

1

2

2)2(L

0

x

1 2 -1 -2 -3

2xy

xy 2y

1

2

3

4

5

Li

x

x

2)2( xx

1232

32

2L

xxx

3

3)2(

2

2)2(

3

312

21 )2(2)1(2L

38

31

21 242L

38

31

21 242L

21

21 45L

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Untuk kasus tertentu pemartisian

secara vertikal menyebabkan ada

dua bentuk integral. Akibatnya

diperlukan waktu lebih lama untuk

menghitungnya.

)(xfy

y

a b

Li x

x

)()( xgxf

)(2 xf

Ai

0

x

)(xgy

Luas daerah = a

dxxf0

)(2 b

a

dxxgxf )()(

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Jika daerah tersebut dipartisi secara horisontal, maka akan diperoleh

satu bentuk integral yang menyatakan luas daerah tersebut. Sehingga

penyelesaiannya menjadi lebih sederhana dari sebelumnya.

)()( yfxxfy y

0

x

)()( ygxxgy

Luas daerah = d

c

dyyfyg )()(

Li y

c

d

)()( yfyg

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Hitunglah luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y2 = x, garis x + y = 6,

dan sumbu x

Contoh 5.

Langkah penyelesaian:

1. Gambar daerahnya

2. Tentukan titik potong kedua kurva

y2 = 6 – y y2 + y – 6 = 0 (y + 3)(y – 2) = 0

diperoleh y = - 3 dan y = 2

3. Partisi daerahnya

4. Aproksimasi luasnya

Li (6 - y - y2)y

5. Nyatakan dalam integral tertentu

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li y y

2)6( yy

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

Jawab

Luas daerah = 2

0

26 dyyy

2yx

yx 6

2

y

6

x

0

6

Li y y

2)6( yy

Luas daerah =

2

03

3

2

26

yy

y

Luas daerah = 03

3224)2(6

Luas daerah =

38212

Luas daerah = 3

22

Menghitung Luas dengan Integral Luas Daerah Luas Daerah

PENERAPAN INTEGRAL

Volume benda putar

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Suatu daerah jika di putar

mengelilingi garis tertentu sejauh

360º, maka akan terbentuk suatu

benda putar. Kegiatan pokok dalam

menghitung volume benda putar

dengan integral adalah: partisi,

aproksimasi, penjumlahan,

pengambilan limit, dan menyatakan

dalam integral tentu. Gb. 4

Pendahuluan Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Dalam menentukan volume benda putar yang harus diperhatikan adalah

bagaimana bentuk sebuah partisi jika diputar. Berdasarkan bentuk partisi

tersebut, maka metode yang digunakan untuk menentukan volume benda

putar dibagi menjadi :

1. Metode cakram

2. Metode cincin

3. Metode kulit tabung

y

0 x

y

x

0

x

1 2 -

2

-

1

y

1

2

3

4

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cakram yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar dapat

dianalogikan seperti menentukan volume

mentimun dengan memotong-motongnya

sehingga tiap potongan berbentuk cakram.

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Bentuk cakram di samping dapat

dianggap sebagai tabung dengan jari-jari

r = f(x), tinggi h = x. Sehingga

volumenya dapat diaproksimasi sebagai

V r2h atau V f(x)2x.

Dengan cara jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam integral

diperoleh:

V f(x)2 x

V = lim f(x)2 x

dxxfa0

2)]([v

x

h=x

x

x

y

0 x

y

x a

)(xf

)(xfr

dxy

a

0

2V

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

x

h=x

x

x

y

0 x

y

x a

)(xf

)(xfr

dxy

a

.V0

2

x

h=y

)(yfxr

y

y

y

x

)()( yfxxfy

x

y

)(xfy

dyx

a

0

2.V

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 + 1,

sumbu x, sumbu y, garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 6.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Nyatakan dalam bentuk

integral.

y

2 x

12 x

x

12 xy

1

y

h=x

x

x

12 xr

x

Jawab

dxyV

2

0

.2

dxxV

2

0

22 )1(

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

y

h=x

x

x

12 xr

dxxV

2

0

22 )1(

dxxxV

2

0

24 )12(

20

3325

51 xxxV

1511

316

532 13)02( V

dxyV

2

0

.2

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2,

sumbu y, garis y = 2 diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 7.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk

partisi

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil

limitnya, dan nyatakan dalam

bentuk integral.

2

y

y

2xy

x

y

y

x

y

h=y

y

yr

Jawab

Metode Cakram Volume Benda Putar Volume Benda Putar

dy

2

0

yV 2

20

2

21 yV

)04(21 V

x

y

h=y

y

yr

2

dyyV

2

0

2V

dy

2

0

2yfV y = x2

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode cincin yang digunakan dalam

menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti

menentukan volume bawang bombay

dengan memotong-motongnya yang

potongannya berbentuk cincin.

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Menghitung volume benda putar

dengan menggunakan metode

cincin dilakukan dengan

memanfaatkan rumus volume

cincin seperti gambar di samping,

yaitu V= (R2 – r2)h

h r

R

dan

b

a

dxyyV .2

2

2

1

b

a

dyxxV .2

2

2

1

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 dan garis y = 2x diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360º.

Contoh 8.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buat sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan

bentuk partisi

4. Aproksimasi volume partisi

yang diputar, jumlahkan,

ambil limitnya, dan

nyatakan dalam bentuk

integral.

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

x2

2x

y

x

Jawab

Metode Cincin Volume Benda Putar Volume Benda Putar

y

x

4

y

y = 2x

2

2xy

x

x

x

r=x2

R=2x

V (R2 – r2) h

V [ (2x)2 – (x2)2 ] x

dxxxV 2

0

42 )4(

20

5513

34 xxV

)(532

332 V

)(15

96160 V

1564V

dxyyV

2

0

2

2

2

1 )(

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Metode kulit tabung yang digunakan

untuk menentukan volume benda putar

dapat dianalogikan seperti menentukan

volume roti pada gambar disamping.

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

r r

h

h

2r Δr

V = 2rhΔr

a b

b

a

dxyxV ..2

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar Volume Benda Putar

Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva

y = x2 , garis x = 2, dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu y sejauh 360º.

Contoh 9.

Langkah penyelesaian:

1. Gambarlah daerahnya

2. Buatlah sebuah partisi

3. Tentukan ukuran dan bentuk partisi.

4. Aproksimasi volume partisi yang

diputar, jumlahkan, ambil limitnya,

dan nyatakan dalam bentuk integral.

0

x

1 2 x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

Jawab

Metode Kulit Tabung Volume Benda Putar

0

x

1 2 x

x

2xy

x2

y

1

2

3

4

r = x

x

h = x2

0

x

1 2 1 2

y

1

2

3

4

V 2rhx

V 2(x)(x2)x

V 2x3x

V = lim 2x3x

dxxV 2

0

32

2

0

4412 xV

8V

dxyxV ..2

2

0

Metode Cincin Volume Benda Putar

Jika daerah pada contoh ke-9 tersebut dipartisi secara horisontal dan

sebuah partisi diputar mengelilingi sumbu y, maka partisi tersebut

membentuk cincin. Volume benda putar tersebut dihitung dengan metode

cincin adalah sebagai berikut.

0

x

1 2 -2 -1

y

1

2

3

4 dyyV

4

0

4

4

0

2214 yyV

)816( V

8V0

x

1 2 x

2xy

y

1

2

3

4

y r=x

R = 2

dyxxV

4

0

2

2

2

1