05. fungsi dua peubah -...

05. Fungsi Dua Peubah

EXPERT COURSE

#bimbelnyamahasiswa

Sistem Koordinat

2

y

P(x,y)

Kuadran IKuadran II

y

x

z

P(x,y,z)

Kuadran III

x

Kuadran IV

y

x

Oktan 1

R3(Ruang)R2(Bidang)

Permukaan di Ruang (R3)

3

Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain :

Bola, mempunyai bentuk umum :

x2 y2 z2 a2 , a 0

y2 a,2 berupa

z2 a,2 berupa

Jejak di bidang XOY, z = 0 x2

Jejak di bidang XOZ, y = 0 x2

Jejak di bidang YOZ, x = 0 y2 z2 a,2 berupa

lingkaran

lingkaran

lingkaran

Gambar Bola

4

Z

x

y

Permukaan di Ruang

5

Elipsoida, mempunyai bentuk umum

z22

a 2 b2 c2

2

1x

y , a, b, c > 0

2 2x

yJejak di bidang XOY, z = 0 1 , berupa Ellips

a 2 b2

2

a 2 c2

2x

zJejak di bidang XOZ, y = 0 1 , berupa Ellips

2

c2 b2

2

Jejak di bidang YOZ, x = 0z

y 1 , berupa Ellips

Gambar Ellipsoida

6

Z

x

y

Permukaan di R3

7

Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:

z22

a 2 b2 c2

2

1x

y

, a, b, c > 0

x 2 y2

a 2 b2Jejak di bidang XOY, z = 0 1 , berupa Ellips

a 2 c2

2 2x

zJejak di bidang XOZ, y = 0 1 , berupa Hiperbolik

2

b2 c2

2y

zJejak di bidang YOZ, x = 0 1 , berupa Hiperbolik

Gambar Hiperbolik Berdaun Satu

8

Z

y

x

Permukaan di R3

Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:

z22

a 2 b2 c2

2

1x

y , a, b, c > 0

y 22

b2 c2 a2

2

1z

x

, maka terdefinisi saat x - a atau x a

a 2 b2

2 2x

yJejak di bidang XOY, z = 0 1 , berupa Hiperbolik

2

a 2 c2

2x

zJejak di bidang XOZ, y = 0 1 , berupa Hiperbolik

2

b2 c2

2 zJejak di bidang YOZ, x = 0

y 1, tidak ada jejak

x = k (konstanta), k > a atau k < - a ,berupa ellips

Gambar Hiperbolik Berdaun Dua

10

Z

y

x

Permukaan di R3

11

Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:

z

ca 2 b2

x2 y2

, a, b, c > 0

Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:z

c

x2 y2

a 2 b2 , a, b, c > 0

Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:

a 2 b2 c2

2 2 2

0x

y

z

Bidang , mempunyai bentuk umum:

Ax ByCz D

Gambar

2/11/2010 12

Z

y

Z

x

y

x

x

y

Paraboloida Eliptikz

Kerucut EliptikBidang

yx

Paraboloida Hiperbolik

z

Latihan: Gambarkan

13

1. x2 + y2 = 4

2. y = x2

3. 2x + 2y + 4z = 8 , di oktan 1

4. 9 z2 + 9x2 + 4y2 = 36

5. z =4

6. x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 4z = 3

Fungsi Dua Peubah

14

Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)

Notasi : f : A R ( A C R2)

(x,y) z = f(x,y)

Contoh:

1. f(x,y) = x2 + 4 y2

32. f(x,y) =

136 9x2 4y2

3. f(x,y) = y 22x2

2y x2

Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai

(Rf)

Df (x,y)R f (x, y)R2

Rf f (x, y) (x, y)Df

Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari

1. f(x,y) = x2 + 4 y2

2. f (x, y) 1

369x 2 4y2

33. f (x,y) x(1 y)

15

Contoh (Jawab)

16

y1. Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}

= {(x,y) R2}

x

= {(x,y) R2 | 36 – 9x2 – 4y2 0}

2. Df

2 236 9x 4y R3

2 1 (x,y) R

= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}

1

4 9

2

2 2

x y (x,y) R

x

y

2

3

Contoh (Jawab)

17

3.D f (x, y)R x(1 y) 0

2

= {(x,y) R2| x(1 – y) 0}

= {(x,y) R2|x 0 dan (1–y)0 atau x0 dan (1–y)0}

= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x0 dan y 1}

x

y

Latihan

18

Tentukan dan Gambarkan Df dari

1. f(x,y) =2y x2

x2 y 22

5. f(x,y) =y x 1

2. f(x,y) =x

1 y

4. f(x,y) = ln(x y)

ln(x y1)

16 x2 y2

3. f(x,y) = 2x

y

Grafik Fungsi Dua Peubah

19

Grafiknya berupa permukaan di ruang

z

Z=f(x,y)

y

Df

x

Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik.

Contoh

20

Gambarkan Grafik1. f(x,y) = 2 x2+ 3y2

z = 2 x2+ 3y2

Paraboloida eliptik1 1

x2 y2

z

Z

x

y

2 3

z-3 = – x2 – y2

Z

x

y

3

2. f(x,y) = 3 – x2 – y2

3

Contoh

21

3. f(x,y) =1

336 9x2 4y2

9z2 = 36 – 9x2 – 4y2

9x2 + 4y2 + 9z2 = 362 2 2

1x

y

z

Elipsoida

Z

y3

2

2

4. f(x,y) = 16 x 2 y2

44 9 x

z2 = 16 –x2 –y2 z0

x2 + y2 + z2 = 42

Bola

2

2

Z

x

y

2

Kurva Ketinggian

22

z = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.

Contoh:

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari

1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4

2. f(x,y) = x – y2 , k = -2, 0, 2, 4

Contoh (Jawab)

23

1. f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4

Untuk k = 0

titik (0, 0)

Untuk k = 1

x2 +2 y2 = 0

x = 0, y = 0

x2 +2 y2 = 1

elipsx2 y2

y

Untuk k = 2 x2 +2 y2 = 2

elips

Untuk k = 4 x2 +2 y2 = 4

elips

2

1

11

2

2

y2 1 x

4 2

2 2

1x

y

.k=0

k=1

k=

2

k=4

x

Contoh (Jawab)

24

Untuk k = 0

parabola

y

parabola

2. f(x,y) = x – y2

Untuk k = -2

, k = -2, 0, 2, 4

x – y2 =-2

Untuk k = 2

parabola

Untuk k = 4

parabola

k=0

k=-2k=2k=4

x

x = y2 – 2

x – y2 = 0

x = y2

x – y2 =2

x = y2 + 2

x2 +2 y2 = 4

x = y2 + 4

Latihan

25

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari

1. f(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4

2. f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9

3. f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4

4. f(x,y) = y2 – x2 , k = 1, 2, 3, 4

KONTUR ???

Limit Fungsi Dua Peubah

26

Definisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis

lim f (x, y) L(

x,y)(a,b)

Jika ε > 0 > 0 berlaku0 x a2 y b2

f (x, y) L

x

z

(a,b)

Z =f(x,y)

L+ε

L

L–ε

y

Catatan

27

ada jikalim f (x, y) L(x,y)(a,b) (x,y)(a,b)

lim f (x, y) L untuk sembarang

kurva yang melalui (a,b).

Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui

f (x, y) berbeda untuk masing-masing(a,b) dengan nilai

kurva, maka dikatakan lim(x,y)(a,b)

lim(x,y)(a,b)

f (x, y) tidak ada.

. (a,b)

Contoh

28

limxy

x2+y2(x,y )(0,0)

Buktikan bahwa limit

Jawab

x2

xy

y2f(x,y) fterdefinisi di D = R2 – {(0,0)}

berikut tidak ada

Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah

0 02x2

x.0f(x,0)

Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah

0x2 02

x.0(x,0)(0,0)

lim f(x,0) lim(x,0)(0,0)

Contoh (Lanjutan)

29

Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah

x2 2x2

x.x

1f(x, x)

Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah

x.x

1

x2 2(x, x)(0,0) x2lim f(x, x) lim

(x,x)(0,0)

lim(x,x)(0,0)

Karena lim f(x,0) f(x, x) maka

lim

(x,0)(0,0)

xy

y2(x ,y )(0,0) x2 tidak ada

Latihan

30

1. lim( x,y)(0,0) x2 y2

2.x2y

lim( x,y)(0,0) x4 y2

Buktikan bahwa limit berikut tidak ada

3. limx2 y2 x3 y4

( x,y)(0,0) x2 y6

Kekontinuan

31

Definisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jika

i. f(a,b) terdefinisi

f (x,y) ada

f (x, y) f (a, b)

ii.

iii.

lim(x,y)(a,b)

lim(x,y)(a,b)

Teorema:

1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm

2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y)

kontinu pada Df ,asal q(x,y)≠0

3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f

fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g

kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y))

Contoh Kekontinuan

Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4x

f(x,y) = cos(x2 4xy y2 )

f(x,y) = h(g(x,y)) : fgs komposisi h o g (x,y)

Misal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom) g kontinu dimana- mana dan h(t) = cos t kontinu di

setiap t di R.

Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang

32

Selidiki kekontinuan fungsi berikut:

1. f(x,y) =(y2 4x)

2x 3y

2.

Turunan Parsial

33

Definisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.

1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

hx

f (x, y) limf (x h, y) f (x, y)

h0

2. Turunan parsial pertama dari f terhadap y(x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

hy

f (x, y) limf (x, y h) f (x, y)

h0

Contoh:

34

1.

Tentukan fx dan fy3.

y

xf (x, y) ln sin t dt

2.

f (x, y) x3y 4xy2

Jawab

fx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2

fy(x,y) = x3 + 8 xy

f (x, y) ycos(x2 y2 )

Jawab

fx(x,y) = –2xy cos(x2 + y2)

fy(x,y) = cos(x2+y2)– 2y2 sin(x2+y2)

Jawab

fx(x,y)=0. ln(siny)–1. ln(sinx)

fx(x,y) = – ln(sinx)

fy(x,y)=1. ln(siny)–0. ln(sinx)

fy(x,y) = ln(siny)

Latihan

35

f(x,y) x3 cos(x y) y sin2xyy

cost

f(x,y) x e dt

Tentukan fx dan fy

1.

2.

3. f(x,y) x3 cos(x y) y sin(2xy)

2. f(x,y, z) x cos(y z) 2xy

Tentukan fx, fy dan fz

1. f(x,y, z) xy y2z 3xz

Turunan Parsial Kedua

36

2f

f fxx(x,y)

x x x2

2f

y y y2

f fyy(x,y)

xyyx

ff

y x

2

f (x,y)

yxxy

f

f

x y

2

f (x,y)

Contoh

37

Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx

1. f(x,y)= x y3 + y3x2

Jawab

fx(x,y) = y3 + 2xy3

fy(x,y) = 3xy2 + 3x2y2

fxx(x,y) =2y3

fxy(x,y) = 3y2 + 6xy2

fyy(x,y)= 6xy + 6x2y

fyx(x,y) = 3y2 + 6xy2

Contoh

2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3)

Jawab

fx(x,y)= y sin(x2+2xy+y3)+ xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3)

fy(x,y) = x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)

fxx(x,y)=y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3)

– xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3)

fxy(x,y) = sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2)cos(x2+2xy+y3)

+(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3)

–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)

fyy(x,y)=(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3)

–xy(2x+3y2)2sin(x2+2xy+y3)

fyx(x,y) =sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)

+(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3)

–xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)

38

Latihan

39

Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx

1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y

2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3)

3. f(x,y) = tan-1(y2/x)

4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)

5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)

Arti Geometri Turunan Parsial

40

Perpotongan bidang y = bdengan fungsi permukaan

kurvaf(x,y) berupa sebuah (lengkungan s) pada permukaan tersebut.

z

s

Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b)(fx(x,y)) merupakangradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x.

x

y

(a,b)

Arti Geometri Turunan Pertama (2)

41

Perpotongan bidang x = adengan fungsi permukaan

kurvaf(x,y) berupa sebuah (lengkungan s) pada permukaan tersebut.

z

s

Turunan parsial fungsi f(x,y)terhadap y di titik (a,b)(fy(x,y)) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y.

x

y(a,b)

Soal

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

1.36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2) Jawab:

Turunan parsial terhadap y adalah

42

yy 2

f (x, y) z

1

y

yySehingga didapat f (3,2)

z 1 . Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1 (dx =0, dy=1, dz=1).

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) danmelalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parametergaris singgung kurva tersebut adalah

x = 3, y = 2 + t , z = 2 + t

Soal

43

4 9x2 9y2 36 2 9x2 9y2 36

18x 9x

xf (x,y)

z

x

Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan

2. 2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2))

Jawab:

Turunan parsial terhadap x adalah

Sehingga didapatx

f (2,1) z

3x

. Bilangan ini adalah

menyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1 (dx =1, dy=0, dz=3).

Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah

x = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t

Latihan

44

Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurvaperpotongan

1. 3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, 11/3)

2. 4z =5(16-x2) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 53/2)

Vektor Gradien

45

Misalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2

Definisi

Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D,

didefinisikan sebagai

f (x, y) f (x, y) i f (x, y) jrx y

adalah vektor satuan di arah sumbu x,y positifi, j

Notasi lain: grad f(x,y), del f(x,y)

Definisi

Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalah

x y zf (x, y, z) f (x,y, z) i f (x, y, z) j f (x, y,z)kr

i, j, k adalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif

Contoh

46

f(x,y)r dan f (1,1)r dari f(x,y) x e xyTentukan

Jawab

fx (1,1) e e 2e

fy (1,1) e

xy xye xy i x2exy jf (x,y) er

f (1,1) 2e i e jr

xy xy

fx(x,y) e xye

2 xy

fy (x, y) x e

Sehingga diperoleh:

Latihan

47

I. Tentukan rf dari

x y

x y

2

1. f(x,y)

2. x2 y2f(x,y) ln

3. f (x,y) sin3x2y

4. f(x,y) xy ln(x y)

f(x,y) x e 2y sec z

II. Tentukan fr

di titik yang diberikan

1. f(x,y) x2y xy2

2. f (x, y) ln(x3 xy2 4y3 )

y

x2

3. f(x,y)

di P (– 2,3)

di P (– 3, 3)

di P (2, –1)

5. f (x,y, z) x 2y e x z 6.

Aturan Rantai

48

Misalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di t

dan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))

Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan

didefinisikan sebagai

dz z x

z y

dt x t y t

Misalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka

ds x s y s

dz z x

z yi

ii dz z x

z y

dt x t y t

Contoh

49

dt

dw1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukan

Jawab:

dw w x

w y

dt x t y t

= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t)

= 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t)

= 2t3. t6. 3t2+3 t6.t4. 2t

= 6t11+6 t11 = 12 t11

Contoh

50

2. Misalkan z = 3x2 – y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t,

tentukan

Jawab:dt ds

dz dzdan

dz z x

z y

dt x t y t

= 6x. 7 + (–2y) 5 s

= 42 (2s +7t) – 50 s2t

dz z x

z y

ds x s y s

= 6x. 2 + (–2y) 5 t

= 12 (2s +7t) – 50 s t2

Latihan

51

1. Tentukandt

dw(dalam t)

a. w = x2 y – y2x ; x = cos t, y = sin t

b. w = ex siny – eysin x ; x = 3t, y = 2t

c. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =tdw

2. Tentukandt

(dalam t dan s)

a. w = x2 – y lnx ; x = s/t, y = s2 t2 2

b. w = ex y; x = s sin t, y = t sin s

Turunan Berarah

52

Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunanberarah di (a, b) pada arah vektor satuan u u i u j

adalah hasilkali titik antara1 2

vektor gradien dengan vektorsatuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis :

Du f(a, b) = fx (a, b)u1 + fy (a, b)u2

Duf (p) f (p) u f (p) u cos f (p) cosrr rr r

Duf (p) f (p)u atau

Perhatikan bahwa

Sehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum(=0)jika

f(p)ru

r f(p)

Sebaliknya akan minimum jikaf(p)ru

r

f (p)

Contoh

53

1.Tentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titikr

P(2,1) dalam arah vektor a 4 i 3 j

Jawab:

u x 1 fy(2,1)u2D f (2,1) f (2,1)ur

Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor ar

a

a

4 i 3 j

4 i

3ju r

r

fx (x,y)= 12 x2 y

fy (x,y)= 4 x3

fx (2, 1)= 12.22.1 =48

fx (2, 1)= 4.23 =32

(2,1)ux 1u fy(2,1)u2rSehingga D f (2,1) f

=48 . (4/5) + 32 . (3/5)

= 288/5

5 5 5

Contoh

2/11/2010 54

2. Tentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz padartitik P(1,2, /2) dalam arah vektor a i 2 j 2 k

Jawab:

2(1,2, )u

2xu

1 fy(1,2,

2)u2 fz(1,2,

2)

u3

D f (1,2, ) fr

Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a

a

a

3 3 3

i 2 j 2k 1 2 2 i j ku r

rr

fx (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2fx (x,y,z)= y sinz

fy (x,y,z)= x sinz

9

fx (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1

fz (x,y,z)= xy cosz fz (1,2, /2)= 1.2 cos(/2) =0

Contoh (Lanjutan)

55

2(1,2, )u

2xu

1 fy(1,2,

2)u2 fz(1,2,

2)

u3

D f (1,2, ) fr

Sehingga

=2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3)

= 4/3

Latihan

56

pada titik P yang1. Tentukan turunan berarah fungsi fdiberikan dalam vektor a

a. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 j

b. f(x,y) = xey – yex , P(0, 0), a = 5 i – 2 j

c. f(x,y) = e –xy , P(1, –1), a = – i + 3 j

d. f(x,y) = x/(x+y) , di P(1, –1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)

e. f(x,y) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)

2. Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini

a. f(x,y) = x3 – y5 , P(2, –1) d. f(x,y) = 1–x2–y2 , P(–1,2)

b. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0)

c. f(x,y) = 4x3y2 , P(–1,1)

Latihan (lanjutan)

57

y

x y3. Misal f(x,y) .Tentukan u sehingga D f (2,3)

0ur

4.r

0 0 u 0 0Jika f (x , y ) i 2 j ,Tentukanu sehingga Drf (x ,y ) 2

5. Diketahuiur dan

55

3 ˆ 4 ˆi jD f (1, 2) 5 jika u

r

vr

5 5

4 ˆ 3 ˆi jD f(1,2) 10 jika v r

a. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2)

b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)

Bidang Singgung

58

Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari Spada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melaluirPo dan tegak lurus pada f (a, b,c)

Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidangsinggung di titik (a, b, c) adalah :

Fx(a,b,c) (x–a) + Fy(a,b,c) (y–b) + Fz(a,b,c) (z–c) = 0

Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah :

z – f(a,b) = fx(a,b) (x – a) + fy(a,b) (y – b)

Contoh

1. Tentukan persamaan bidang singgung dari

garis normal permukaan x2 + y2 + 2z2 =

23 di titik (1, 2, 3)

Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2

r

59

f(x,y, z) 2x i 2y j 4z k

f(1,2,3) 2 i 4 j 12 k

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah

2(x – 1) + 4(y - 2) + 12 (z – 3) = 0

2x + 4y + 12 z = 46

Contoh (Lanjutan)

60

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

x 1

y 2

z 3

2 4 12

Contoh

61

2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal

permukaan z = f(x,y)=x2+2xy-3xy2 +2 di titik (1, 2, -5)

Jawab:

2fx(x,y) 2x 2y 3y

fy(x,y) 2x 6xy

Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, -5) adalah

(z + 5) = –6(x – 1) –10(y – 2)

6x + 10y + z = 21

fx(1,2) 2 412 6

fy(1,2) 2 12 10

Contoh

62

Jadi persamaan parameter garis normal adalah

x = 1+6t, y = 2 + 10t , z = –5 + t

Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal

x 1

y 2

z 5

6 10 1

Latihan

63

1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal

permukaan

a. x2 + y2 – 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)

2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x2–2xy–y2–8x+4y

dimana bidang singgungnya mendatar (sejajar bidang XY)

3. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 danx2+y2+z2 – 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama

4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2+2y2+3z2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 – 6t

Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah

64

Definisi

Misalkan (x0,y0) Df, maka

f(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df

f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df

f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global.

Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan

bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0).

65

Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaitu

Titik-titik batas Df

Titik Stasioner

Titik Singular

Uji Nilai Ekstrim

66

Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:

Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yangkontinu di sekitar (x0,y0),

dan

f (x0 , y0 ) 0r

D D(x0 , y0 ) fxx (x0 , y0 ).fyy (x0 , y0 )fxy (x0 , y0 )2

maka

1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan fxx (x0 , y0) 0

fxx (x0 , y0 ) 02. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan

3. f(x0,y0) titik pelana jika D<0

4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan

Contoh

67

1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, dari

f(x,y) = 2x4–x2+3y2

Jawab

fy(x,y) = 6y

fyy(x,y) = 6

fx(x,y) = 8x3 – 2x

fxx(x,y) = 24x2 – 2

fxy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu

2x (4x2 – 1)=0 x=0 , x =± ½8x3 – 2x=0

6y =0 y = 0

Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0)

Contoh (lanjutan)

68

Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:

fxx fyy fxy D Keterangan

(0,0) – 2 6 0 –12 Titik pelana

(½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum

(-½, 0) 4 6 0 24 Titik Minimum

Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

Contoh

69

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

f(x,y) =x2–y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}

Jawab

fy(x,y) = – 2y

fyy(x,y) = –2fx(x,y) = 2xfxx(x,y) = 2

fxy(x,y) = 0

Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0)Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S),

sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)

Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat

f(t)=cos2 t – sin2t+1

(untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S)

Contoh (lanjutan)

70

Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:

f’(t)=–2 cos t sint – 2 sint cost = 0 4 cos t sint= 0

t= 0, /2, , 3/2

Untuk t = 0

sin2t= 0 2t= 0, , 2, 3

x = 1, y = 0 f(1, 0) = 2

Untuk t = /2 x = 0, y = 1 f(0, 1) = 0

Untuk t = x = -1, y = 0 f(-1, 0) = 2

Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1 f(0, -1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),

Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)

Latihan

71

1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, dari

a. f(x,y) = x3+y3-6xy

b. f(x,y) = xy2 –6 x2 – 6y2

c. f(x,y) = x2 +4 y2 – 2x+8y – 1

d. f(x,y) = 3x3 +y2 – 9x + 4y

2 4e. f(x,y) xy x y

2 2

f. f(x,y) e(x y 4y )

2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, dari

a. f(x,y) =x2–6x+y2–8y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}

b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, –1 y 1}

g (x, y) =0

Metode Lagrange

72

Untuk mencari nilai ektrim terkendala

Misalkan z =f(x,y) dengan kendala

g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala (batas) g.

Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi

f (x,y) = 9 – x2 – y2 berikut :

Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0

sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k ≥ f (x, y) untuk setiapx, y Df sepanjang g (x, y) = 0

Karena kurva ketinggian dan kurva kendala salingmenyinggung garis tegak lurusnya sama karena

f (x, y) g(x, y)r r

rkurva ketinggian f dan kurva kendala

maka

Metode Lagrange

73

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan

r r f (x0 , y0 ) g(x0 , y0 ) dan g(x0 , y0 ) 0

dengan (x0,y0) titik kritis, pengali lagrange

Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan

r r r f (x0,y0) g(x0,y0) h(x0,y0)

dengan (x0,y0) titik kritis, pengali lagrange

, g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0

Contoh

74

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari

1. f(x,y)= x2 – y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1

Jawab:r r f (x,y) 2x i 2y j g(x,y) 2x i 2y j

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange berikut

r rg(x, y) 0dan f (x,y) g(x,y)

yaitu:2x = 2x …….(1)

– 2y = 2y …….(2)

x2+y2 = 1 ……..(3)

Contoh (lanjutan)

2/11/2010 75

Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehingga

Untuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2) di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = ± 1

Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1) di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = ± 1

Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)

Untuk (1,0) f(1, 0) = 2, untuk (-1,0) f(-1, 0) = 2

Untuk (0,1) f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) f(0,-1) = 0

Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),

Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1)

dan (0,-1)

Contoh

76

2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1

Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan

lagrange berikut

Jawab:

f (x,y) i 2 j 3 k g(x,y) 2x i 2y jr r

h(x,y) j kr

r r r f (x,y, z) g(x,y, z) h(x,y, z), g(x,y, z) 0

dan h(x, y,z) 0

yaitu: 1 = 2x ……………(1)

2 = 2y + …….(2)

3 = ……………….(3)

x2+y2 = 2 ……..….(4)

y + z = 1 ……..…..(5)

Contoh (lanjutan)

2/11/2010 77

Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat = ± ½.

Untuk = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, 2).

Untuk = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).

Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2),

Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)

Latihan

78

Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun atau minimun dari

1.f(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy – 3 = 0

2.f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1

3.f(x,y) = 4x2 – 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1

4.f(x,y,z) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y – 2z = 12