Matakuliah : Kalkulus Peubah banyakTahun : 2016Prodi : Teknik Industri
1
INTEGRAL LIPAT DUA
DALAM KOORDINAT POLAR
Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu menghitung integral lipat dua dalam koordinat polar (kutub)
2
Integral Lipat Dua β¦ Integral Lipat Dua pada daerah persegi panjang
kutub⦠Integral Lipat Dua pada daerah umum
3
4
5
6
7
8
9
Contoh 2
Carilah volume π dari benda pejal di atas persegipanjang kutub
π = π, π |1 β€ π β€ 3, 0 β€ π β€π
4 dan di bawah permukaan
π§ = ππ₯2+π¦2
Penyelesaian:
Gambar dari daerah asal π adalah sebagai berikut
10
Karena π₯2 + π¦2 = π2, maka
π = ππ₯2+π¦2
π
ππ΄ = ππ2
3
1
πππ
π4
0
ππ
= 1
2ππ2
1
3
π4
0
ππ = 1
2 π9 β π
π4
0
ππ
=1
2 π9 β π π 0
π4 =
π
8 π9 β π β 3181
11
12
Contoh 4
Hitung π¦π
ππ΄ dengan π adalah daerah di kuadran pertama yang
berada di luar lingkaran π = 2 dan di dalam kardioida
π = 2 1 + cos π .
Penyelesaian
π¦
π
ππ΄ = π sin π
2 1+cos π
2
π ππ
π2
0
ππ
= π3
3sin π
2
2 1+cos π
π2
0
ππ =8
3 1 + cos π 3 sin π β sin π
π2
0
ππ
=8
3 β
1
4 1 + cos π 4 + cos π
0
π2
=8
3 β
1
4+ 0 β (β4 + 1) =
22
3
13
Contoh 5
Tentukan volume benda pejal di bawah permukaan π§ = π₯2 + π¦2, di atas bidang
π₯π¦ dan didalam tabung π₯2 + π¦2 = 2π¦.
Penyelesaian
Karena benda tersebut simetris, maka kita dapat menggandakan volume di oktan
pertama.
Dengan menggunakan persamaan π₯ = π cos π dan π¦ = sin π, persamaan
permuakaan menjadi π§ = π2 dan tabung menjadi π = 2 sin π. Misalkan π
menyatakan daerah asal yang diperlihatkan gambar sebelumnya, maka volume π
yang diminta dihitung sebagai berikut
14
π = 2 π₯2 + π¦2
π
ππ΄ = 2 π2
2 sin π
0
π ππ
π2
0
ππ
= 2 π4
4
0
2 sin π
π2
0
ππ = 2 16 sin4 π
4
π2
0
ππ = 8 sin4 π
π2
0
ππ
= 8 1 β cos 2π
2
2
π2
0
ππ = 8 1 β 2 cos 2π + cos2 2π
4
π2
0
ππ
= 2 1 β 2 cos 2π + cos2 2π
π2
0
ππ =3π
2
15
Soal Latihan
1. Hitung dengan menggunakan koordinat polar
a. (1 + π₯2 + π¦2)π
ππ΄, dengan π adalah persegi panjang
polar kuadran pertama di dalam π₯2 + π¦2 = 4 dan di luar
π₯2 + π¦2 = 1.
b. π₯2 + π¦2 β1
2 1βπ₯2
0 ππ¦ππ₯
2
1
2. Carilah volume benda pejal di oktan pertama di bawah
permukaan paraboloida π§ = π₯2 + π¦2 dan di dalam tabung
π₯2 + π¦2 = 9 dengan menggunakan koordinat polar.
16