Matematika

FUNGSI HIPERBOLIK

Matematika

FTP UB

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Pendahuluan

Diketahui

Maka

Jika

Bagian real ini merupakan bagian genap dari fungsi

eksponensial yang disebut kosinus hiperbolik

cos sin and cos sinj jj e j e

cos2

j je e

cos2 2

jjx jjx x xe e e ejx

cosh2

x xe ex

jx

Matematika

Pendahuluan

Bagian ganjil dari fungsi hiperbolik disebut

sinus hiperbolik

Rasio sinus hiperbolik terhadap kosinus

hiperbolik disebut tangen hipebolik

sinh2

x xe ex

sinhtanh

cosh

x x

x x

x e exe ex

Matematika

Pendahuluan

Deret pangkat fungsi eksponensial

Sehingga diperoleh

2 3 4 2 3 41 ... and 1 ...

2! 3! 3! 2! 3! 3!x xx x x x x xe x e x

2 4 6 3 5 7cosh 1 ... and sinh ...

2! 3! 6! 3! 5! 7!x x x x x xx x x

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Grafik dari Fungsi Hiperbolik

Grafik sinus hiperbolik dan kosinus

hiperbolik

Matematika

Grafik dari Fungsi Hiperbolik

Grafik tangen hiperbolik

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Menentukan Nilai Fungsi Hiperbolik

Nilai sinh x, cosh x dan tanh x dapat dicari

dengan menggunakan kalkulator atau

tombol eksponensial

Sebagai contoh:

1.275 1.275 3.579 0.279sinh1.275 1.65 to 2dp

2 2

e e

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Fungsi Hiperbolik Invers

Untuk mencari sebuah fungsi hiperbolik invers mengunakan kalkulator tanpa fasilitas yang dibutuhkan untuk menggunakan fungsi eksponensial

Sebagai contoh, untuk mencari nilai sinh-1 1.475 diperlukan terlebih dahulu mengetahui nilai x sehingga sinh x = 1.475. Dengan cara:

Sehingga didapat:

21 2.950 so that 2.950 1 0x x xx

e e ee

3.257 or 0.307 so 1.1808xe x

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik

Invers

Jika y = sinh-1x maka x = sinh y. maka:

Sehingga:

Oleh karena itu,

22 so that 2 1 0y y y ye e x e xe

2

2-1

1

sinh ln 1

ye x x

y x x x

Matematika

Bentuk Log dari Fungsi Hiperbolik

Invers

Dengan cara yang sama

2-1

-1

cosh ln 1

11 tanh ln

12

y x x x

xy x

x

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Identitas Hiperbolik

Seperti rasio trigonometrik lainnya,

terdapat fungsi-fungsi hiperbolik kebalikan

1 cothtanh

1 sechcosh

1cosechsinh

xx

xx

xx

Matematika

Identitas Hiperbolik

Dari definisi cosh x dan sinh x

2 2

2 2

2 2 2 2

cosh sinh2 2

2 2

4 4

1

x x x x

x x x x

e e e ex x

e e e e

2 2 cosh sinh 1x x

Matematika

Identitas Hiperbolik

Dengan cara yang sama

2 2

2 2

sech 1 tanh

cosech coth 1

x x

x x

2 2

2

2

2

sinh2 2sinh cosh

cosh2 cosh sinh

1 2sinh

2cosh 1

2 tanhtanh2

1 tanh

x x x

x x x

x

x

xx

x

Matematika

Pokok Bahasan

Pendahuluan

Grafik dari fungsi hiperbolik

Menentukan nilai fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik invers

Bentuk log dari fungsi hiperbolik invers

Identitas hiperbolik

Hubungan antara fungsi trigonometrik dan hiperbolik

Matematika

Hubungan antara Fungsi

Trigonometrik dan Hiperbolik

Diketahui

Maka untuk

cos and sin2 2

j j j je e e ej

cos cosh

sin sinh

jx x

j x jx

jx

Matematika

Hubungan antara Fungsi

Trigonometrik dan Hiperbolik

Dengan cara yang sama

Lebih lanjut

cosh cos

sin sinh

jx x

jx j x

tanh tan

tan tanh

jx j x

jx j x

Matematika

Hasil Pembelajaran

Mendefinisikan fungsi hiperbolik dalam bentuk fungsi eksponensial

Menyatakan fungsi hiperbolik sebagai deret pangkat

Mengenal grafik fungsi hiperbolik

Mencari nilai fungsi hiperbolik dan inversnya

Menentukan bentuk logaritmik dari fungsi hiperbolik invers

Membuktikan identitas trigonometrik hiperbolik

Memahami hubungan antara fungsi trigonometrik melingkar dan hiperbolik