Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Team DosenRipai, S.Pd., M.SiAlfira Mulya Astuti, S.Pd., M.Si

2012

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

INTRUKSIONAL BAHAN AJAR STATISTIKA MATEMATIKA

No TOPIK BAHASAN

01 1. Kontrak Belajar2. Percobaan, Titik Sampel, Ruang Sampel, Variabel Random,

Fungsi Peluang, Fungsi Peluang Gabungan, Fungsi Peluang Marginal, Fungsi Peluang Bersyarat, Fungsi Peluang Kumulatif dan Sifat Stokastik.

02 3. Ekspektasi dan Teorema Ekspektasi4. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi

mengunakan Definisi dan Teorema Ekspektasi

03 5. Moment, Momen Disekitar Pusat dan Moment Disekitar Rataan6. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi

mengunakan Definisi Moment

04 7. Fungsi Pembangkit Moment dan Teoremanya8. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi

mengunakan Fungsi Pembangkit Moment

05 9. PDF dan CDF Bernouli, Binomial, Binomial Negatif, Multinomial.

10. Rataan dan Varians PDF Bernouli, Binomial, Binomial Negatif, Multinomial.

06 11. PDF dan CDF Geometriks, Hipergeometriks, Poisson, Seragam12. Rataan dan Varians PDF Geometriks, Hipergeometriks,

Poisson, Seragam07 13. Diskusi permasalahan nyata terkait Topik PDF diskrit

08UJIAN TENGAH SEMESTER

09 14. Definisi Fungsi Gamma, PDF dan CDF Normal Umum dan Normal Baku

15. Aplikasi Fungsi Gamma untuk membuktikan PDF Normal Umum Suatu fungsi Peluang

16. Identifikasi data populasi terdistribusi normal atau tidak dan aplikasinya untuk menyelesaikan permasalahan nyata.

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

10 17. Bukti dan aplikasi dari

18. Teorema 1.

19. Teorema 2.

11 20. Definisi PDF dan CDF Gamma, Chi-Kuadrat dan Eksponensial

21. Bukti teorema 3.

dan aplikasinya untuk membuktikan teorema 4.22. Bukti teorema 4.

dan

aplikasinya untuk membuktikan teorema 5.23. Bukti teorema 5.

dan

aplikasinya untuk membuktikan keragaman sampel tunggal terhadap populasinya

12 24. Definisi PDF dan CDF Fhiser25. Bukti teorema 6.

dan

aplikasinya untuk membuktikan teorema 7.

26. Bukti Teorema 7

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

dan aplikasinya untuk membuktikan keragaman varians populasi dua buah sampel

13 27. Definisi PDF dan CDF Student’s28. Bukti dan aplikasi dari teorema

Teorema 8.

29. Teorema 9.

30. Teorema 10.

31. Teorema 11.

32. . Teorema 12.

14 33. Bukti dan aplikasi dari teorema

34. Teorema 13.

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

35. Teorema 14. 15 36. Diskusi uji Normalitas data sampel dengan statistic Chi-

Kuadrat37. Diskusi uji beda rataan untuk data sampel yang tidak

terdistribusi normal16 38. Diskusi analisis hubungan dengan korelasi, regresi linier dan

koefesien determinasi dan regresi non linier39. Diskusi analisis kebebasan dengan koefesien kontigensi

Ripai, S.Pd., M.Si

17

1 Variabel Random dan Fungsi Peluang

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Ripai, S.Pd., M.Si

17

9 Fungsi Peluang Distribusi Normal

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

9.1 Pengertian Distribusi Normal

Soal : Apa yang dimaksud dengan distribusi normal..?

Jawab : Distribusi normal merupakan suatu keadaan dimana fakta

alam kejadiannya sesuai dengan kebiasaan pada umumnya

kejadian tersebut terjadi

Soal : Apa contohnya fakta alam yang terdistribusi normal..?

Jawab : Diantara contohnya adalah sebagai berikut:

1. Hujan turun disebut normal apabila distribusi turunnya

mengikuti pola kebiasaan umumnya hujan terjadi, yaitu

dari kondisi tidak hujan, gerimis, agak lebat, lebat, agak

lebat, gerimis, tidak hujan. Jika dilukiskan dalam bentuk

kurva InsyaAllah kurang lebih akan berpola seperti

berikut:

2. Hasil belajar siswa dalam suatu kelas, umumnya yang

biasanya terjadi adalah, proporsi siswa yang pintar selalu

sedikit ekivalen dengan siswa yang bodoh/. Sedangkan

siswa yang berkemapuan sedang umunya lebih banyak.

Jika dilukiskan akan mengikuti pola berikut ini:

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Soal : Apa contoh pakta alam yang tidak terdistribusi normal

Jawab : Contohnya adalah :

1. keadaan hujan yang turun tiba-tiba langsung lebat dan

cuaca tidak mendung, atau gerimis terus tanpa berhenti

dalam kondisi yang sangat lama. Kondisi ini disebut tidak

normal karena pada umumnya tidak demikian

kejadiannya.

2. Hasil belajar siswa menunjukkan, dari 30 peserta tes 29

orang mendapat 90 dan 1 orang mendapat nilai 70.

Kondisi ini disebut tidak normal karena kejadiannya tidak

umum terjadi atau tidak biasanya terjadi. Bisa jadi

kejadian tersebut disebabkan karena soal tes yang tidak

memenuhi syarat mutu (valid, reliabel, pembeda) atau

terjadi penyontekan masal dan lainnya diluar kontrol.

Soal : Apakah setiap data yang tidak terdistribusi normal berarti data

tersebut jelek atau buruk.?

Jawab : Data yang tidak normal bukan berarti data tersebut buruk,

akan tetapi bisa berarti sangat baik. Karena konsep normal

atau tidaknya terkait dengan kebiasaan pada umumnya fakta

tersebut terjadi tidak terkait baik dan buruknya.

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Soal : Bagaimana contoh kasus data yang tidak terdistribusi normal

berkategori baik.?

Jawab : Contoh misalnya data hasil evaluasi belajar mahasiswa

mendapat nilai A semua, berarti hal tersebut kondisi yang

tidak biasanya terjadi (tidak normal) tetapi bersifat baik.

Dengan catatan bahwa kondisi siswa benar tidak menyontek,

soal memnuhi syarat mutu (bersifat valid, reliabel dan

memiliki daya beda yang baik serta teknik skorsing dan

penilai benar sesuai kaidahnya).

Soal : Teladan 1Misalkan dimiliki data hasil belajar siswa kelas III MA NW

Senyiur sebagai berikut:

92 72 67 82 72 91 80 73 80 70 85 87 75 85 83 75 79 89 80 61

76 78 65 80 79 75 76 66 80 85 73 68 86 84 70 71 88 68 83 77

78 76 75 79 84 76 88 87 100 50 68 73 72 58 65 95 96.

Bagaimana kita memeriksa apakah data tersebut terdistribusi

normal?

Jawab : Buat distribusi frekuensi data tersebut, misalnya jika digunakan

aturan Stugas akan diperoleh parameter distribusi sebagai

berikut:

Banyaknya Data (n) = 57

Banyaknya Kelas Interval (k) =

= 7

Data Maksimum (max) = 100

Data Minimum (min) = 50

Rentang Data(R) = max-min

= 50

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Panjang Kelas Interval (P) = = 8

Kemudian kontruksi distribusi frekuensi sebagai berikut:

IntervalDistribusi

Frekuensi

50 57 1

58 65 4

66 73 14

74 81 19

82 89 14

90 97 4

98 105 1

Bentuk kurva dari ditribusi frekuwensinya adalah sebagai

berikut:

Jika data tersebut adalah data populasi, maka dapat

langsung disimpulkan bahwa data tersebut terdistribusi

normal, karena kurva distribusi frekuensinya menyerupai kurva

normal. Tetapi jika data tersebut data sampel, maka perlu

pengujian apakah kurvanya akan tetap seperti kurva normal

jika seluruhan data populasinya di masukkan dalam distribusi

frekuensi.

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

9.2 Definisi Distribusi NormalSoal : Bagaimana definisi matematis distribusi normal

Jawab : Definisi 1. PDF Normal Peubah acak x disebut distribusi normal jika dan hanya jika

untuk -∞ < x < ∞

Soal :Apakah untuk -∞ < x < ∞

merupakan suatu fungsi peluang

Jawab : Ya, karena f(x) memenuhi syarat fungsi peluang yaitu,

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1 dan

2.

Soal : Apakah bisa dibuktikan secara matematis, jika ya

pengetahuan dasar apa yang harus dimiliki untuk dapat

membuktikan kebenaran tersebut!

Jawab : Ya, bisa dibuktikan secara matematis dan pengetahuan dasar

yang harus dimiliki adalah konsep terdefinisinya bialangan

real, invers fungsi, definisi fungsi gamma dan sifat fungsi

gamma.

Soal : Apa definisi fungsi gamma dan bagaiman sifatnya?

Jawab : Definisi 2. Fungsi Gamma

dan

Sifat 1. Fungsi Gamma

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Soal : Bagaimana bukkti dari sifat fungsi gamma tersebut!

Jawab : Buktinya dapat dilihat di buku Pengantar statistika matematika

Penulis : Nar Herrhyanto dan Tuti Gantini pengarang Yrama

Widya halaman 457. Silahkan menjadi tugas mahasiswa unutk

mereview!

Soal :Bagaimana bukti bahwa

merupakan fungsi peluang?

Jawab : disebut fungsi peluang apabila

memenuhi sifat (1) 0 ≤ f(x) ≤ 1 dan (2)

Add (1)

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

atau

dari bentuk

………….….(a)

dari bentuk …….

………………….(b)dari bentuk …….………………...(c)

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

dari (a), (b) dan (c) diperoleh syarat (1)

terpenuhi

add (2)

Misal

Akibatnya

Berdasarkan hasil terakhir tersebut, maka syarat (2)

terpenuhi

Jadi dengan terpenuhinya syarat (1) dan (2) maka jelas bahwa

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

untuk -∞ < x < ∞ adalah benar

suatu fungsi peluang.

Soal :Jika untuk -∞ < x < ∞ adalah

suatu funsgi peluang, maka berapa rataan dan variansnya?

Jawab : Teorema 1. Rataan dan Varians PDF NormalJika x peubah acak bebas yang terdistribusi normal, maka rataan x adalah dan dan Varians X adalah .

Bukti:Berdasarkan definisi rataan bahwa

dengan Mx(t) adalah fungsi

pembangkit moment yang terdefinisi sebagai

maka diperoleh bahwa

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

Sekarang perhatikan bentuk berikut:

Jadi

sehingga diperoleh

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

sehingga diperoleh rataan sebagai

berikut

Selanjutnya untuk mendapatkan varians, ditentukan sebagai berikut:

sehingga diperoleh varians PDF Normal umum sebagai

berikut:i .

Soal : Misalkan pada teladan 1 di atas, jika seorang siswa dipilih untuk mengikuti olimpiade matematika, bagaimana cara menentukan peluang siswa tersebut akan memperoleh nilai

a) Tepat sama dengan 6.5b) Kurang dari 7c) Lebih dari 6.5d) Antara 6.5 sampai dengan 7

Jawab : Pertama tentukan staitistik rataan (µ) dan varians (σ2) sebagai berikut:

dan

Maka fungsi peluang untuk data sebagaimana pada teladan 1

Ripai, S.Pd., M.Si

17

Statistika Matematika IDan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan

adalah sehingga

diperoleha) P(x=6.5) = f(6.5) =

b) P(x<7) =

= …?

c) P(x>6.5) =

= ..?

d) P(6.5 < x < 7) =

= ..?

Ripai, S.Pd., M.Si

17