unit 5 kemahiran penaakulan matematik

8/12/2019 Unit 5 Kemahiran Penaakulan Matematik

1/14

K e m a h i r a n P e n a a k u l a n M a t e m a t i k | 83

UNIT PELAJARAN 5

KEMAHIRAN PENAAKULAN MATEMATIK

UJIAN PRA-PELAJARAN

Nota:Anda boleh menguji dan menilai tahap kebolehan atau penguasaan anda mempelajari

unit pelajaran ini dengan menjawab persoalan berikut. Sekiranya anda menguasai penilaian

pada tahap 5, bermaksud anda sudah menguasai unit pelajaran ini sepenuhnya. Oleh itu

bolehlah anda terus mempelajari topik / Unit Pelajaran berikutnya.

Sangat Tidak

Setuju

Tidak Setuju Kurang Setuju Setuju/Agree Sangat Setuju

1 2 3 4 5

Item Penyataan /Statement 1 2 3 4 5

1 Saya dapat menghuraikan maksud penaakulan danpenaakulan matematik.

2 Saya dapat membezakan di antara penaakulaninduktif and penaakulan deduktif.

3 Saya dapat menggunakan rekabentuk penaakulan

matematik TIMSS 2011 untuk mengkaji unsur-unsur kognitif yang terkandung dalam item-itemujian.


2/14


UNIT PELAJARAN 5

KEMAHIRAN PENAAKULAN MATEMATIK

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir pembelajaran pelajar akan dapat:

1. menghuraikan maksud penaakulan dan penaakulan matematik.

2. membezakan di antara penaakulan induktif and penaakulan deduktif.

3. menggunakan rekabentuk penaakulan matematik TIMSS 2011 untuk mengkaji

unsur-unsur kognitif yang terkandung dalam item-item ujian.

5.1 PENDAHULUAN

nit ini mula dengan pengenalan penaakulan dan penaakulan matematik.

Seterusnya unit ini memperkenalkan penaakulan induktif dan deduktif. Unit ini

juga mengetengahkan rekabentuk penaakulan matematik yang diamalkan oleh

TIMSS 2011. Selain daripada itu, isu-isu cabaran mengendalikan kemahiran penaakulan

matematik dalam pengajaran juga dibincangkan.U


3/14


5.2 APA ITU KEMAHIRAN PENAAKULAN

ahukah anda apa itu penaakulan? Penaakulan (reasoning) adalah keupayaan

berfikir, memahami sesuatu serta kebolehan melahirkan pendapat atau membuat

pertimbangan berlandaskan fakta (Longman, 1987). Selain daripada itu,

penaakulan juga dikenali sebagai kemahiran membuat kesimpulan dan pertimbangan

berasaskan hujah yang logik dan bersepadu (Ross, 1997). Mengikut Kaur (2009), kemahiran

menaakul boleh dianggap sebagai satu proses membuat kesimpulan berdasarkan kepada

suatu badan pengetahuan tertentu. Sebagai contoh, beliau menjelaskan jika sesuatu spesis

X dikenal pasti sebagai labah-labah, maka adalah munasabah untuk membuat kesimpulan

bahawa spesis X itu mempunyai lapan kaki. Begitu juga jika diberitahu ukuran panjang dan

lebar suatu bilik segi empat tepat adalah 4 m dan 6 m, maka kesimpulan yang dicapai

adalah luas bilik adalah 24 m persegi.

Mengikut Kurikulum Standard Sekolah Rendah (KSSR, 2011) kemahiran menaakul

boleh dirujuk sebagai kebolehan kognitif seseorang berfikir secara sistematik dan abstrak.

Kemahiran ini biasanya digunakan dalam proses menyelesaikan masalah. Memandangkan

matematik bersifat abstrak,maka penguasaan kemahiran menaakul amatlah penting dalam

usaha melahirkan murid yang bersikap lebih yakin dan mampu menjana idea pembelajaran

sendiri.

5.3 APA ITU KEMAHIRAN PENAAKULAN MATEMATIK

ahukah anda apa itu kemahiran penaakulan matematik? Selden dan Selden

(2003) menyarankan penaakulan matematik sebagai kemahiran berfikir secara

logik menembusi masalah-masalah matematik dalam usaha mencari

penyelesaian. Lazimnya, proses penaakulan matematik membabitkan pengolahan nombor,

T

T


4/14


simbol, serta kenyataan yang berbentuk induktif, visual dan heuristik (Brodie, 2000).Dalam

erti kata lain, penaakulan matematik tidak sahaja terdiri daripada bukti matematik tetapi juga

merangkumi semua bentuk penjelasan yang mengarah kepada pembinaan hujah yang

menyakinkan.

Fikirkan: adakah kemahiran penaakulan menjadi amalan dalam pengajaran anda?

5.3.1 Penaakulan matematik dan kemahiran berkomunikasi

Tahukah anda bahawa penaankulan matematik dan kemahiran berkomunikasi saling berkait

rapat. Dalam matematik, kemahiran menaakul merupakan satu asas dalam

mengembangkan potensi murid ke arah pemikiran aras tinggi (KSSR, 2011). Perkembangan

penaakulan matematik berkait rapat dengan perkembangan intelek dan komunikasi murid

(KSSR, 2010). Kaur (2009) turut mensyorkan perkaitan di antara penaakulan matematik

dengan kemahiran menyelesaikan masalah dan komunikasi murid. Berpandukan kepada

item TIMSS 1999 di bawah beliau menjelaskan domain kognitif ataupun pencapaian yang

dijangkakan dalam item ini menegaskan aktiviti membuat siasatan dan kemahiran

menyelesaikan masalah di Bahagian (a) dan (b) manakala Bahagian (c) menekankan

kemahiran komunikasi dan penaakulan.

Rancangakan satu masalah matematik yang boleh menggalakkan:

(i) kemahiran siasatan dan penyelesaian masalah;

(ii) kemahiran komunikasi dan penaakulan.


5/14


Rajah 1. Item terjemahan daripada TIMSS 1999 (Kelly, Mullis & Martin, 2000)

Rajah 5.1: Masalah menggalakkan kemahiran komunikasi dan penaakulan

Rajah-rajah di bawah menunjukkan empat set terdiri daripada bulatan-bulatan.

Rajah 1 Rajah 2 Rajah 3 Rajah 4

a) Lengkapkan jadual yang berikut. Isikan bilangan bulatan yang membentuk Rajah

4. Seterusnya, cari bilangan bulatan yang diperlukan bagi rajah kelima jikalau

turutan bilangan rajah dilanjutkan.

Rajah Bilangan bulatan

1 1

2 3

3 6

4

5

b) Turutan bilangan rajah dilanjutkan sehinnga rajah ketujuh. Berapakah bilangan

bulatan akan diperlukan bagi Rajah 7?

Jawapan: ............................

c) Rajah yang ke-50 dalam turutan mempunyai bilangan bulatan sebanyak 1275.

Tentukan bilangan bulatan yang ada pada rajah yang ke-51. Tanpa melukis rajah

yang ke-51, jelaskan atau tunjukkan bagaimana anda dapat memperolehi

jawapan.


6/14


5.3.2 Kaedah kemahiran penaakulan matematik

Secara umumnya, kemahiran membuat pertimbangan secara logik, rasional dan kreatif

boleh dicapai melalui dua kaedah penaakulan iaitu penaakulan induktif (secara aruhan) dan

penaakulan deduktif.

a. Penaakulan induktif.

Diberikan situasi bahawa setiap kali hujan lebat, banjir kilat akan melanda Jalan X yang

menuju ke sekolah anda. Daripada pengalaman lepas, anda akan memilih Jalan Y ke

sekolah untuk mengelakkan kesesakan lalu lintas jika hujan lebat turun tidak berhenti-henti

selama dua jam. Penaakulan sebegini di mana anda membuat kesimpulan berdasarkan

kepada pengalaman adalah penaakulan induktif.

Penaakulan induktif (PI) ialah satu proses pemikiran yang logik yang bermula dari

satu situasi spesifik dan seterusnya berkembang sehingga mencapai satu kesimpulan atau

pengitlakan. Oleh sebab PI bergerak daripada pemerhatian spesifik dan maju ke pengitlakan

dan pembentukan teori umum, keadaan ini kadangkala dikenali sebagai pendekatan bottom

up. Satu lagi contoh PI yang diperhatikan dalam kehidupan seharian kita ialah Hari ini saya

berlepas pada tujuh pagi dan tiba di dewan kuliah sebelum lapan pagi. Oleh itu, jika setiap

hari saya berlepas pada tujuh pagi, maka saya akan tiba di dewan kuliah sebelum lapan

pagi.

Ahli matematik menggunakan PI untuk meramalkan kebenaran sesuatu tanggapan.

Dalam mata pelajaran matematik, murid-murid diberi pengalaman untuk membuat

kesimpulan umum untuk semua kes berdasarkan kepada satu kes yang khusus. Sebagai

contoh, dalam proses membuktikan semua nombor genap boleh dibahagi dengan dua,

seseorang murid mungkin memilih sebarang nombor genap misalnya, 6, 8 dan 10 dan

kemudian tunjukkan semua nombor ini boleh dibahagi dengan dua. Jikalau murid itu


7/14


membuat satu kesimpulan umum berpandukan kepada tiga nombor yang dipilih, maka murid

ini telah menaakul secara induktif.

Contoh yang berikut menunjukkan satu kes di mana semua nombor ganjil bermula

daripada 1 ditambah. Pola yang diperhatikan adalah seperti berikut:

1 + 3 = 4

1 + 3 + 5 = 9

1 + 3 + 5 + 7 = 16

Hasil tambahnya terdiri daripada nombor-nombor kuasa dua sempurna: 4 = 2 2, 9 = 3

3, 16 = 4 4. Daripada pemerhatian, anda mungkin boleh buat kesimpulan bahawa hasil

tambah nombor-nombor ganjil positif yang berturutan dan bermula dengan 1 adalah nombor

kuasa dua sempurna.

Namun, penaakulan induktif tidak semestinya benar. PI boleh dianggap sebagai satu

cara tidak rasmi dalam membuktikan kewajaran sesuatu ramalan atau konjektur matematik.

Konjektur matematik adalah penaakulan yang berkaitan dengan membuat kesimpulan

berdasarkan kepada kenyataan-kenyataan yang tidak lengkap.Sesuatu konjektur boleh jadi

benar atau palsu. Dokumen KSSR Matematik (2010) menegaskan dalam konteks

pendidikan matematik, murid harus dilatih dan dibimbing untuk membuat konjektur dan

membuktikan konjektur serta memberi justifikasi terhadap semua aktiviti matematik. PI

berupaya bertindak sebagai pendorong bagi membantu seseorang murid berfikiran aras

tinggi dalam menyelesaikan masalah matematik

b. Penaakulan deduktif

Penaakulan deduktif (PD) ialah satu proses pemikiran yang logik yang bermula dari satu

situasi umum ke situasi yang spesifik spesifik. Oleh sebab PD bergerak daripada maklumat


8/14


yang meluas dan maju ke kesimpulan yang khusus, keadaan ini dikenali sebagai

pendekatan top-down.

Menurut Jonhston (2002), PD adalah satu proses logik di mana sesuatu yang

diketahui dan dipersetujui sebagai benar diaplikasikan ke suatu kes yang khusus.

Contohnya, jika seorang murid membuktikan 20 adalah suatu nombor genap melalui

penggunaan teori yang menyatakan bahawa semua nombor genap boleh dibahagi dua

maka murid ini telah menaakul secara deduktif. Dalam perkataan lain, penaakulan deduktif

berlaku jika kesimpulan dapat dicapai dengan merujuk kepada fakta, definisi, hukum,

ataupun ciri-ciri tertentu. Pendek kata, PD ikut satu set peraturan yang terbukti dan diterima

secara umum. Contoh yang berikut menunjukkan bagaimana PD digunakan untuk

menyelesaikan masalah.

Contoh 1: Buktikan bahawa (x y) zadalah sentiasa sama dengan (z y) x. Berikan

sebab kepada setiap langkah yang anda pilih.

Penyelesaian:

Langkah 1: (x y) z= z (x y) hukum kalis tukar tertib pendaraban

Langkah 2: = z (y x) hukum kalis tukar tertib pendaraban

Langkah 3: = (z y) x hukum kalis sekutuan pendaraban

Dalam mencari penyelesaian bagi masalah di atas, seseorang murid perlu tahu hukum-

hukum matematik yang sedia ada bagi operasi algebra. Penyelesaian yang dicapai boleh

digunakan bagi membuktikan semua kes matematik yang serupa. Sekiranya murid tersebut

cuba buktikan pernyataan di atas dengan menggunakan kaedah gantian iaitu gantikan


9/14


pemboleh ubah x, y dan zdengan nombor-nombor nyata, maka justifikasi yang diberikan

tidak dianggap sebagai PD.

Perbincangan kumpulan kecil

Dalam kumpulan dua orang:

1. Dapatkan satu soalan dari buku teks sekolah rendah yang menggunakan kaedah PI

dan satu lagi yang menggunakan PD dalam mencari penyelesaian.

2. Dapatkan satu soalan dari buku teks sekolah menengah yang menggunakan kaedah

PI dan satu lagi yang menggunakan PD dalam mencari penyelesaian.

3. Binakan satu item matematik yang menggunakan pendekatan PI dan satu lagi yang

menggunakan PD dalam mencari penyelesaian. Tunjukkan jawapan masing-masing

dan terangkan langkah-langkah penyelesaian anda.

5.4 TIMSS 2011

erangka penilaian TIMSS 2011 (Mullis, Martin, Ruddock, OSullivan, &

Preuschoff, 2009) menegaskan usaha menaakul secara matematik memerlukan

keupayaan berfikir secara logik dan sistematik. Ini termasuk penaakulan intuitif

berasaskan pola dan ketetapan untuk memperolehi penyelesaian bagi masalah-masalah

bukan rutin. Masalah-masalah bukan rutin yang memerlukan penaakulan matematik adalah

lebih kompleks dan penyelesaiannya melibatkan lebih banyak langkah. TIMSS 2011

menetapkan tiga domain utama dalam pembinaan item matematik dalam penilaian. Domain

yang pertama pengetahuan meliputi fakta, konseps dan prosedur. Domain kedua iaitu

aplikasimenumpukan kepada kebolehan murid menggunakan pengetahuan dan kefahaman

konsep dalam menyelesaikan masalah.Domain yang ketiga iaitu penaakulan melangkaui

usaha mencari penyelesaian bagi masalah rutin. Ia merangkumi situasi yang luar biasa,

K


10/14


konteks yang rumit dan penyelesaian masalah yang memerlukan pelbagai langkah. Jadual 1

berikut menunjukkan peratus masa ujian yang diperuntukkan bagi setiap domain mengikuti

kategori murid.

Jadual1. Peruntukan masa ujian domain kognitif bagi TIMSS 2011

ujian gred-empat dan gred-lapan mengikut peratus

Domain kognitif Peratus

Gred-empat Gred-lapan

Pengetahuan 40% 35%

Aplikasi 40% 40%

Penaakulan 20% 25%

5.5 PENAAKULAN MATEMATIK DALAM PENDIDIKAN MATEMATIK

alam kehidupan seharian, pengetahuan dalam penaakulan matematik amat

penting untuk membolehkan kita berfikiran secara kritikal dalam membuat

keputusan atau kesimpulan yang tepat.Penaakulan matematik merupakan satu

proses pemikiran yang bersangkutpaut dengan aktiviti menyelesaikan masalah matematik.

Kemahiran ini dianggap perlu dipupuk pada setiap orang murid untuk membolehkan setiap

individu mampu mencari punca masalah, belajar, berfikir, membuat keputusan dan

pertimbangan untuk bertindak supaya dapat menyelesaikan sesuatu masalah dengan lebih

berkesan.

Dalam usaha mendidik murid kita menguasai kemahiran menaakul, soalan-soalan

yang akan timbul adalah bolehkah kemahiran penaakulan diajar dan bagaimana? Krulik dan

Rudnick (2001) memaklumkan bahawa kemahiran penaakulan boleh bertambah maju jika

D


11/14


murid didedahkan kepada pelbagai cara dalam menyelesaikan sesuatu masalah. Justeru,

bagi membantu memupuk penaakulan matematik di kalangan murid-murid sekolah

menengah Kaur (2009) mengesyorkan empat strategi. Ringkasan aktiviti adalah seperti

berikut:

Strategi 1: Nombor yang macam mana membawa makna?

Murid-murid diberikan masalah di mana data berangka yang dibekalkan adalah tidak

lengkap dan mereka dikehendaki menentukan di mana mereka boleh mengisi angka-angka

yang tiada ini supaya situasi masalah membawa makna. Kerja kumpulan ditegaskan dan

murid dikehendaki menjelaskan fikiran mereka. Aktiviti seperti ini boleh diolah daripada

soalan buku teks.

Strategi 2: Apakah yang tidak kena?

Murid-murid diberikan satu masalah dan juga penyelesaian yang mempunyai kesilapan.

Mereka diarahkan untuk mengenalpasti kesilapan, betulkannya dan kemudian memberitahu

apakah kesilapannya, kenapa tidak betul dan apa yang telah dilakukan untuk

membetulkannya. Aktiviti ini boleh dilaku dalam kumpulan kecil atau secara individu. Adalah

difahamkan bahawa perbincangan yang terhasil akibati ini mampu mendalamkan lagi

pemahaman matematik di kalangan murid (Krulik & Rudnick, 2001).

Strategi 3: Bagaimana jika?

Dua jenis masalah diberi untuk menguji pemikiran kritis serta kemahiran berfikir secara

kreatif di kalangan murid-murid. Dalam masalah yang pertama guru sengaja tukarkan

maklumat yang ada pada suatu soalan dan murid dikehendaki mengkaji semula dan

memerhatikan apakah kesan yang dibawa ke atas proses penyelesaian dan juga jawapan.

Masalah yang kedua dimulakan dengan murid-murid menjawab beberapa soalan

bagaimana jika dan kemudian mereka diarahkan membina soalan bagaimana jika. Aktiviti


12/14


membina masalah (problem posing) ini lebih sesuai dilakukan melalui perbincangan kelas

daripada perbincangan secara individu.

Strategi 4: Apakah soalannya jika anda telah tahu jawapan?

Mula-mula murid-murid dibekalkan dengan konteks dan data tetapi tanpa soalan. Kemudian

mereka diminta menulis soalan yang sepadan dengan jawapan yang diberikan. Aktiviti ini

memberi peluang kepada murid untuk melibatkan diri dalam pemikiran kritis. Aktiviti ini lebih

sesuai dilakukan melalui perbincangan kelas daripada perbincangan secara individu.

Contoh-contoh di atas dibincangkan secara terperinci dalam Unit 2: Mengajar kemahiran

penaakulan matematik.

5.6 CABARAN MELAKSANAKAN PENAAKULAN MATEMATIK

anggupkah guru melatih murid penaakulan matematik? The Third International

Mathematics and Science Study (TIMSS) melaporkan guru matematik di U.S.

banyak menekankan kepada mengajar murid cara untuk melakukan matematik

daripada cara memahami apa yang mereka buat (NCES, 1996). Terdapat banyak sebab

kenapa pengajaran seperti ini kerap berlaku. Di antara sebab-sebab yang dikenalpasti ialah

imej kendiri guru yang menganggap matematik sebagai satu set kemahiran; kehendak

ibubapa untuk membiarkan anak-anak mereka belajar menguasai asas matematik terlebih

dahulu sebelum maju ke aktiviti beraras tinggi yang melibatkan penaakulan; dan kekangan

daripada penilaian standard kelolaan negeri yang memberi tumpuan kepada masalah rutin.

Dengan melihat kepada cabaran dalam pendidikan matematik masa kini,

bincangkan isu Sanggupkah guru melatih murid penaakulan matematik?. Perbincangan

adalah merujukkan kepada situasi di Malaysia.

S


13/14


Bincangkan dalam kumpulan kecil apakah langkah-langkah yang boleh diambil

bagi menangani masalah-masalah yang tersirat dalam soalan-soalan berikut:

Bagaimanakah perbincangan kelas atau kumpulan dapat merangsangkan

penaakulan matematik?

Apakah jenis aktiviti kelas yang dapat membantu menggalakkan di samping

meningkatkan kemahiran penaakulan matematik di kalangan murid?

Apakah jenis soalan yang anda fikirkan dapat menggalakkan penaakulan matematik

di kalangan murid?

Bagaimana guru dapat berinteraksi dengan murid-murid dalam aktiviti untuk

membantu menggalakkan di samping mengekalkan penaakulan matematik di

kalangan murid?

Apakah dilema yang anda jangkakan akan dihadapi oleh guru dalam mengajar

penaakulan matematik?

Apakah yang boleh dilakukan oleh guru-guru dalam usaha mengatasi rintangan

menyahut cabaran melaksanakan kaedah baru dalam pengajaran?

5.7 KESIMPULAN

engajaran matematik akan menjdi lebih bermakna sekiranya kebolehan

menaakul palajar dapat dipupuk dan dipertingkatkan. Oleh itu, para guru

seharusnya mengambil kira aspek teori demi memastikan aplikasi dalam

pengajaran dapat dilaksakan dengan berkesan.

P


14/14


UJIAN PASCA-PELAJARAN

Nota: Anda boleh menguji dan menilai tahap kebolehan atau penguasaan anda mempelajari

unit pelajaran ini dengan menjawab persoalan berikut:

Sangat Tidak

Setuju

Tidak Setuju Kurang Setuju Setuju/Agree Sangat Setuju

1 2 3 4 5

Item Penyataan /Statement 1 2 3 4 5

1 Saya dapat menghuraikan maksud penaakulan danpenaakulan matematik.

2 Saya dapat membezakan di antara penaakulaninduktif and penaakulan deduktif.

3 Saya dapat menggunakan rekabentuk penaakulanmatematik TIMSS 2011 untuk mengkaji unsur-unsur kognitif yang terkandung dalam item-itemujian.

unit 5 kemahiran penaakulan matematik

Documents