translasi matematika

RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 1 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] TRANSLASI 1.PENGERTIAN TRANSLASI Translasi adalah Transformasi yang memindahkan titik tiik dengan jarak dan arah tertentu.Dengan rumus umum : ( ) ( ) b y a x P y x PbaT+ + ||.|

\|, ,'

2.TRANSLASI TITIK Pada dasarnya prinsip translasi dapat digunakan dalam semua bentuk baik bangun datar maupun bangun ruang. Hal yang perlu diingat adalah benda yang akan ditranslasikan itu mempunyai bentuk yang tetap, sehingga menghasilkan bayangan yang semula. Contoh: 1.Tentukan bayangan dari titik titik berikut jika ditranslasikan oleha.P = (1, 4) b.Q = (-1,1) c.R = (2, -4) Penyelesaian : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 , 4 4 , 2 .4 , 1 1 , 1 .7 , 3 3 4 , 2 1 4 , 1 .' 32' 32' ' 32 = = = + + ||.|

\|||.|

\|||.|

\|R R Titik cQ Q Titik bP P P Titik aTTT ||.|

\|=32T RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 2 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] 2.Jika translasi T memetakan titik A(1,-2) ketitik A(4,3), tentukan translasi itu? Penyelesaian: Misalkan T adalah ||.|

\|baT ( ) ( ) ( ) 3 , 4 2 , 1 2 , 1' ;A b a A AbaT = + + =||.|

\| Dari persamaan diatas diperoleh : 5 3 23 4 1= = + = = +b ba a Jadi translasi T adalah ||.|

\|53T 3.TRANSLASI TITIK PADA RUANG DIMENSI TIGA (3D) Contoh:RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 3 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Diketahui sebuah titik R(2, 1, 2)dan ditranslasikan ke |||.|

\|=211T tentukan bayangan R!! ) 4 , 2 , 3 ( ' ) 2 , 1 , 2 (211R RT ||.|

\|=

4.TRANSLASISUATU GARIS Contoh : Jika diketahui garis lurus y = 4x + 1, maka tentukan bayangan dari persamaan garis tersebut setelah ditranslasikan oleh!21||.|

\|TPenyelesaian: Y = 4x + 1 Jika : RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 4 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] ( ))( )1 47 8 42 4 72 327 1179 , 2 ( , 9 , 25 , 1 , 5 , 11 211 21 =+ = = == = = = =x yx yx yx yx xx xy yy ytitik dua lurus garis persamaanQ y maka xP y maka x 5.TRANSLASI SUATU BANGUN ' ' '' ' ' ' ' '' ' ', ,C B A ABC SehinggaC A AC C B BC B A ABC B A ABCbaTA = A= = =A A||.|

\| Contoh : A (2,3), B(0,6), C(1,4) ditranslasikan oleh ||.|

\|34T, tentukan koordinat translasi dan gambarkan ! Penyelesaian : ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 7 , 5 4 , 19 , 4 6 , 06 , 6 3 , 2' 34' 34' 34C CB BA ATTT ||.|

\|||.|

\|||.|

\| RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 5 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] 6.KOMPOSISI DUA TRANSLASI BERURUTANMisalkan T1 adalah transformasi yang memetakan titik P (x, y), kemudian dilanjutkan transformasi T2 yang memetakan titik P (x,y). Dapat di notasikan sebagai berikut : Transformasi yang ditulis dalam T1oT2(Dibaca : T2 komposisi T1), dinamakan komposisi transformasi atau transformasi majemuk, yaitu suatu transformasi yang didalamnya melibatkan dua atau lebih transformasi tunggal secara berurutan. Note : Notasi T1oT2menyatakan transformasi T2 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T1 Notasi T2oT1menyatakan transformasi T1 dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T2 Contoh : Jika diketahui titik A(1,6) dan,53,322 1||.|

\|=||.|

\|= T T Maka tentukanlah : a.T1 (1,6) b.T2 (1,6) c.T1oT2 (1,6) d.T2oT1 (1,6)Penyelesaian : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 , 6 6 , 1 8 , 6 3 , 3 6 , 1 .8 , 6 6 , 1 8 , 6 11 , 4 6 , 1 .11 , 4 6 , 1 , 11 , 4 6 , 1 .3 , 3 6 , 1 , 3 , 3 6 , 1 .1 2' ' 53'2322 1' ' 32'2532'2531'132= = = = ||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|oT T jadi A A A doT T jadi A A A cT jadi A A bT jadi A A aT TT TTT

P(x , y)P(x , y)P(x , y) T2T1 RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 6 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Hasil dari perhitungan pada contoh tersebut menunjukkan berlakunya sifat komutatif. 7.TRANSLASI PADA LINGKARANLingkaran adalah himpunan titik titik pada bidang datar yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang tetap. Titik tetap tersebut disebut titik pusat lingkaran dan jarak tetap tersebut disebut jari jari lingkaran. a.Persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari jari r Untukmenentukanpersamaanlingkaranyangberpusatdi0(titiktitikasal koordinat)danberjari-jarir,perhatikan lingkaranyangdilukiskanpadadiagram cartesius seperti ditunjukkan pada gambar. RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 7 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Dengan menerapkan Teorema Pytagoras pada segitiga OPP, diperoleh hubungan: ( ) ( )2 2 22 2 22 22 2' , ' , ;' 'r y xy x ry PP dan x OP r OP sebab y x rPP OP OP= + + = = = = + = = OlehkarenapengambilantitikP(x,y)tadidilakukansembarang,makapersamaan 2 2 2r y x = + berlakuuntuksemuatitikP(x,y)yangterletakpadakelilinglingkaran itu. Dengan demikian, kita dapat mengambil kesimpulan persamaan lingkaran dengan pusat 0 dan jari jari r adalah:x2 + y2 = r2 Notasi pembentuk himpunan dengan pusat 0 dan jari jari r dapat ditulis sebagai berikut : { } 2 2 2 ) , (| | |= + = r y x y x L Contoh : 1.Jika diketahui jari jari lingkaran 5 cm. Maka tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat dititik asal ditranslasikan terhadap ||.|

\|43T maka tentukan persamaan bayangannya. Penyelesaian : x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 52 x2 + y2 = 25 jadi persamaan lingkaran yang berpusat di titik 0 dan berjari jari 5 cm adalah : x2 + y2 = 25 x y RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 8 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Jikapersamaanlingkaranyangberpusatdititik(0,0)ditranslasikan sejauh ,||.|

\|=yxT makadiperoleh: ( ) ( ) 0 , 0 0 , 0'+ + ||.|

\|y x P PyxTjika persamaanlingkaranyangberpusatdititik(0,0)danberjarijari5cm pada contoh sebelumnya ditranslasikan oleh ,43||.|

\|T maka akandiperoleh: ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 4 , 2 0 , 54 , 8 0 , 51 , 3 5 , 09 , 3 5 , 04 , 3 0 , 0' 43' 43' 43' 43' 43P DP CP BP AP PTTTTT ||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\|||.|

\| RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 9 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] b.Persamaan lingkaran yang berpusat dititik (a,b) Misalkan P (x,y) adalah sembarang titik yang terletak pada keliling lingkaran. BuatlahgarisgyangmelaluititikpusatA(a,b)dansejajardengansumbuX,P adalah proyeksi P pada garis g sehingga segitiga APQ merupakan segitiga siku- siku di P dengan AP = (x a),PP = (y b) dan AP = r (jari jari lingkaran). Dengan menggunakan teorema pytagoras pada segitiga APQ, maka kita akan mendapatkan hubungan( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 22 2 22 2 2' 'b y a x rb y a x rQP AQ AP + = + =+ = Karena titik P (x , y) kita ambil sembarang, maka persamaan(x - a)2 + (y b)2 = r2 berlaku untuk semua titik P (x , y) yang terletak pada keliling lingkaran sendiri. Persa maan lingkaran dengan pusat A(a , b) dan jari jari r adalah (x - a)2 + (y b)2= r2 LingkarandalambentukpersamaanL=(x-a)2+(yb)2=r2 seringdikatakan sehingga persamaan berlaku baku. Dalam arti jika persamaan. c.Bentuk umum persamaan lingkaran Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) yaitu : x2 +y2 2ax + c = 0 P(x , y) P(x , y) A(a, b) a bQ RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 10 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari jari r dapat diuraikan kedalam bentuk aljabar sebagai berikut : x2 + y2 2ax + 2by + c= 0 x2 + y2 2ax + 2by= c x2 2ax + a2 +y2 2by +b2= c +a2 +b2 (x a)2 + (y b)2= a2 + b2 c Dengan memperhatikan bentuk diatas, maka jari jari lingkaran tersebut adalah : a.Pusat lingkaran : (a , b) b.Jari jari lingkaran :c b a +2 2 Contoh : 1.Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat di titik (3,1) dan melalui titik (6,-3) dan ditranslasikan sejauh ||.|

\|32TPenyelesaian : Tentukan kuadrat jari jari terlebih dahulur2= (x - a)2 + (y b)2 r2= (6 - 3)2 + (-3 1)2 r2= (3)2 + ( -4)2 r2= 9 + 16 r2= 25 (x - a)2 + (y b)2=r2 (x - 3)2 + (y 1)2= 25 Dari persamaan lingkaran (x - 3)2 + (y 1)2 = 25 di translasikan sejauhRIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 11 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] ,32||.|

\|= T maka diperoleh : ( ) ( ) 4 , 5 1 , 3' 32M MT ||.|

\| 2.Sebuah lingkaran dengan persamaanx2 + y2 2x 6y+ 26 = 0 memiliki bayangan dengan menggunakan persamaan x2 + y2 4y 12 = 0 tentukan translasinya! Penyelesaian : x2 +y2 2x 6y + 26 = 0 x2 2x +y2 6y=6 (x 1)2 + (y 3)2= 26 1 9 = 16a = 1, r = 4 dan b =3,maka titik pusat M (1,3) x2 + y2 4x 4y 12= 0 x2 4x+ y2 4y= 12 (x - 2)2 + (y 2)2= 12 8 = 4 a = 2,danb = 2, maka titik pusat M (2 , 2) RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 12 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] dari persamaan (1) diperoleh ||.|

\|=||.|

\|31YX

dari persamaan (2) diperoleh ||.|

\|=||.|

\|22''YX Maka : ||.|

\|||.|

\|=||.|

\|YXYXba''

||.|

\|=3 21 2

||.|

\|=11

8.TRANSLASI GARIS SINGGUNGLINGKARAN a.Garis dan Lingkaran Misalkan garis g : y = ax + b ..................................1) Lingkaran x2 + y2 2ax -2by + c = 0 ....................2) Subsitusikan persamaan 1) kepersamaan 2), akan memperoleh persamaan kuadrat baru dalam peubah x atau peubah y, ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu : -Jika diskriminan D = 0, Maka garis memotong lingkaran disuatu titik ( garis menyinggung lingkaran L ) -Jika diskriminan D < 0, Maka garis g tidak memotong lingkaran -Jika diskriminan D > 0, Maka garis g memotong lingkaran L didua titik yang berbeda Contoh : RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 13 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis 2x + y = 4, melalui titik pangkal (0 , 0) dan berjari jari 5 dan tentukan persamaan lingkaran yang baru jika dtranslasikan sejauh ||.|

\|12TPenyelesaian: Misalkan M (a , b) terletak pada garis 2x + y = 4. Lingkaran tersebut melalui titik pangkal pangkal O (0,0) dengan jari jari5 = r. Maka: 1 1 = = a b b a ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 0 1 20 20 4 2 25 1 25 155 0 0222 22 22 22 22 2 2= + = = = + += += += + = + a aa aa aa a aa ab ab ar b y a x a1 = 2dan a2 =1 Jika a = 2, maka b = 0 Jika a =1, maka b = 6 Untuk titik pusat (2 , 0) persamaan lingkaran adalah( ) 5 22 2= + y x Untuk titik pusat (1, 6) persamaan lingkaran adalah( ) ( ) 5 6 12 2= + + y xJika persamaan lingkaran ( ) 5 22 2= + y xditranslasikan sejauh ||.|

\|12T Maka akan diperoleh : : ( ) ( ) 1 , 4 0 , 22121M MT ||.|

\|= Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yangberpusat dititik M2(4, 1): RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 14 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] ( ) ( ) 5 1 42 2= + y xx2 8x + 16 + y2 2y + 2 = 5 x2 + y2 8x 2y + 13= 0 Jika persamaan lingkaran( ) ( ) 5 6 12 2= + + y x ditranslasikan sejauh ||.|

\|12Tmaka akan diperoleh :( ) ( ) 7 , 1 6 , 12121M MT ||.|

\| Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yangberpusat dititik M2(1, 7): ( ) ( ) 5 7 12 2= + y xx2 2x + 1 +y2 14y+49 = 5 x2 +y2 2x -14y +45 = 0 b.Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu Persamaan garis lingkaran x2 + y2 = r2 yang bergradien (koefisien arah ) = m, dapat dirumuskan sebagai berikut : 21 m r mx Y + = Persamaan garis singgung lingkaran L : (x a )2 + ( y b )2 = r2 yang bergradien (koefisien arah ) = m, dapat dirumuskan sebagai berikut : 21 ) ( ) ( m r a x m b y + = Contoh : Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 16 yang mempunyai gradien43= m,kemudian tentukan persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung yang baru setelah ditranslasikan sejauh||.|

\|43TRIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 15 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Penyelesaian : L : x2 + y2 = 16 Titik pusat lingkaran (0,0)Jari jari lingkaran r = 4 Gradien 43= m 543 1691616443 431 443122 =+ =|.|

\|+ =+ =x Yx Yx Ym r mx Y Jika L : x2 + y2 = 16 dengan titik pusat P (0,0) dan jari jari r = 4 cm ditranslasikan, maka akan diperoleh : ( ) ( ) 4 , 3 0 , 0' 43P PT ||.|

\| Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang baru yaitu : ( ) ( ) 16 4 32 2= + y xx2 + 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 16 x2 y2 6x 8y + 9 = 0 syarat : m awal dan m akhirmaka persamaan garis singgung yang baru dari persamaan lingkaran x2 y2 6x 8y + 9 = 0 dan P (3, 4) adalah: 54943) 4 (431 4 ) 3 (43) 4 (1 ) ( ) (22 = |.|

\|+ = + = x yx ym r a x m b y RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 16 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] 4274341642049434204943) 4 (+ =+ + = = x yx yx y 4134342743:413434164204943 = = =+ =x yx yadalah baru yanggaris persamaan jadix yx ydan c.Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran. Persamaan garis singgung dititik (x1 , y1) yang terletak pada lingkaranL : x2 + y2 = r2 xx1 + yy1 = r2 Persamaan garis singgung dititik (x1 , y1) yang terletak pada lingkaran L = (x - a)2 + (y b)2 = r2

(x a)(x1 a) + (y b)(y1 b) = r2 persamaan garis singgung dititik (x1,y1) yang terletak pada lingkaran L=x2 + y2 2ax 2by + c= 0xx1 + yy1 2a(x + x1) 2b(y + y1) + c =0 Contoh :Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran L : x2 + y 2 = 16 dititik(0 , 0).Kemudian tentukan persamaan lingkaran dan garis singgung yang baru setelah ditranslasikan sejauh ||.|

\|13TRIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 17 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Penyelesaian : Persamaan garis singgung lingkaran L : x2 + y2 = 16 dititik (1 , 2) adalah xx1 + yy1 = r2 xx1 + yy1 = 16 x

+ 2y= 16 x + 2y 16= 0 Jika L : x2 + y2= 16dengan pusatP(0 , 0) dan jari jari r = 4 cm di translasikan, maka akan diperoleh : ( ) ( ) 1 , 3 ' 0 , 013P PT ||.|

\| Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang baru yaitu : ( ) ( ) 16 1 32 2= + y xx2 - 6x + 9+ y2 2y + 1 = 16 x2+ y2 -6x 2y - 6 = 0 syarat : m awalm akhir dari persamaan x2+ y2 6x 2y - 6 = 0 diperoleh : 2a =6 2b = 2 a = 3 b = 1 maka persamaan garis singgung yang baru dari persamaan lingkaran : 3x 6y = 51[garis merah] RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 18 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] d.Persamaan garis singgung suatu titik diluar lingkaran Misalkan P (x,y) adalah titik diluar lingkaran L1 : x2 + y2 = r2 atau lingkaran L:(xa)2 +(yb)2 =r2untukmenentukanpersamaangarissinggungyang melalui titik P (x,y) ditempuh langkah langkah sebagai berikut : 1.Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (x , y) yaitu :y y1 =m ( x x1 ). 2.Subsitusikan persamaan garis pada langkah 1) kepersamaan lingkaran persamaan kuadrat dalam x atau y. 3.Tentukan D = 0 dari persamaan kuadrat pada langkah 2), sehingga diperoleh nilai m. 4.Subsitusikan nilai m kepersamaan garis semula pada langkah 1) sehingga diperoleh persamaan garis singgung yang diminta. Contoh : Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (-1 ,7) diluar lingkaran L = x2 + y2 = 25. Kemudian tentukan persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung yang baru jika ditranslasikan sejauh ||.|

\|=13T Penyelesaian : 1.Persamaan garis singgung melalui (-1,7) y - y1 =m(x - x1). y 7 =m(x + 1). y = mx + m + 72.Subsitusi persamaan 1) kepersamaan lingkaran x2 + y2 = 25, diperolehx2 +( mx + m + 7)2 =25 x2 + m2x2 + 2m2x + 14mx + m2 + 14m + 49=25 (1 m2) x2 + (2m2 + 14m)x + (m2 + 14m +49)=0 3.Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0, sehingga diperoleh RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 19 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] ( )7 70 7 0 70 ) 7 ( 70 49 14) 4 ( : 0 196 56 40 196 56 4 196 56 4 196 56 40 ) 49 14 49 14 ( 4 196 56 40 ) 49 14 )( 1 ( 4 ) 14 2 (0 4222 3 4 2 2 3 42 3 4 2 2 3 42 2 2 22 = = = + = + = + + = + + = = + + = + + + + + + + = + + + + = m atau mm atau mm mm mm mm m m m m m m mm m m m m m m mm m m m mac b DJadi persamaan garis singgungnya adalah : x yx ym mx y77 ) 7 ( ) 7 (7 = + + = + + =

Jika L = x2 + y2 = 25 dengan titik pusat P(0, 0) dan jari jari r = 5 cm ditranslasikan, maka akan diperoleh : ( ) ( ) 2 , 3 ' 0 , 023P P ||.|

\| Sehingga diperoleh persamaan lingkaran yang baru yaitu : (x 3)2+(y 2)2 =25 x2 6x + 9 + y2 4y + 4 =25 x2 + y 2 6x 4y 12= 0 syarat : m awal m akhir Dari persamaan x2 + y2 6x 4y 12 = 0 diperoleh : -2a = -6 -2b = -4 a = 3 b = 2 maka persamaan garis singgung yang baru dari persamaan RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 20 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] lingkaran x2 + y2 6x 4y -12 = 0yang melalui titik (-1 ,7) setelah ditranslasikan adalah ( ) ( ) 9 , 2 ' 7 , 123g g ||.|

\| ( )23 79 7 2 ) 7 (: , 79 2) 2 ( 9) (1 1+ = + = =+ = = = x yx ymaka m jikam mx yx m yx x m y y Jadi persamaan garis singgung yang baru adalah : y = -7 x + 23 9.TRANSLASIPADA PARABOLA Parabola adalah himpunan titik-titik pada bilangan datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap titik tertentu (focus) dan sebuah garis tertentu (direktris). Persamaan parabola di titik (0, 0)y2 = 4pxataux2 = 4py Persamaan parabola di titik (a, b)(y b)2 = 4p(x a) atau (x a)2 = 4p(y b) Contoh soal: Persamaan parabola yang titik fokusnya (4,0) dan direktrisnyax = -4 di translasikan oleh|.|

\|=45TTentukan : a.Tentukan persamaan bayangan parabola b.Sketsa gambarnya. Penyelesaian : F (4,0) x =4 Lactus rectrum =4 p = 4 4 = 16 y2 = 4pxdengan p= 4 y2 = 4 4x y2 = 16 x Ingat : F(p, 0) dan garis x = -p (direktriks) RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 21 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Jika parabola di translasikan sejauh ||.|

\|=45T ,maka akan di peroleh : (9,4) F' F(4,0)(5,4) P' P(0,0)4545 |.|

\|=|.|

\|=TT Maka persamaan bayangan dengan puncak P(5, 4) dimana P = 4 dimanaa = 5, b =4 adalah:(y 4)2=4P (x 5) (y 4)2=4 4 (x 5) (y 4 )2= 16 (x 5 ) y2 8y + 16= 16x 80 y2 8y 16x + 96 = 0 Contoh:RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 22 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] Jika diketahui persamaan parabola (y 4) =8 (x5), maka tentukan persamaan parabola yang baru setelah di translasikan sejauh ||.|

\|=53Tdan gambar dari parabola tersebut. Penyelesaian : ( y 4 )2 = 8 ( x 5 )( y 4 )2 =4 2(x 5 ) a = 5 ; b = 4 ;p = 2 ( maka parabola terbuka ke kanan ) Kordinat puncak= P ( 5,4 ) Persamaan sumbu simetri sumbuy = b Koordinat focusF ( a + p, b )= F ( 7, 4 ) Jika parabola ( y 4 )2 = 8 ( x 5 ) ditranslasikan sejauh ||.|

\|=53T , maka akan di peroleh : ) 9 , 8 ( ' ) 4 , 5 (53P PT ||.|

\|= ) 9 , 10 ( ' ) 4 , 7 (53F FT ||.|

\|= Persamaan sumbu simetri adalahy = 8 Sehingga persamaan parabola yang baru dengan puncak (8, 10) adalah : (y b )2 =4 p( x a ) (y 9 )2=4 . 2 (x 8 ) y2 18y + 81 = 8x 64 y2 18y 8x + 145= 0 RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 23 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] C.ELLIPS 1.PengertianEllips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. 2.Persamaan ellips di O (0, 0) 12 2= +byaxataub 2 x2 +a 2 y2 = a 2b2 Translasi ellpis yang berpusat di O (0, 0) Contoh:RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 24 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] diketahui sebuah ellips dengan persamaan 16x2 + 25y2 = 400 ditranslasikan terhadap T = (1, 2), tentukan persamaan bayn bayangan ellips dan buatangan ellips dan buatlah sketsa gambarnya! Penyelesaian: 16x2 + 25y2 = 400 116 25= +y x a2 = 25 a = 5,b2 = 16 b = 4,c2 = a2 b2 = 9 c = 3 panjang sumbu mayor2a = 10danpanjang sumbu minor 2b = 8 ) 2 , 1 ( ' ) 0 , 0 (21P PT ||.|

\|= ) 2 , 4 ( ' ) 0 , 5 ( ) 0 , (1211 = ||.|

\|=A a AT ) 2 , 6 ( ' ) 0 , 5 ( ) 0 , (2212A a AT =||.|

\|= ) 2 , 1 ( ' ) 4 , 0 ( ) , 0 (1211 = ||.|

\|=B b BT ) 6 , 1 ( ' ) 4 , 0 ( ) , 0 (2212B b BT =||.|

\|= ) 2 , 2 ( ' ) 0 , 3 ( ) 0 , (1211 = ||.|

\|=f c fT ) 2 , 4 ( ' ) 0 , 3 ( ) 0 , (2212f c fT =||.|

\|= Maka persamaan bayangan ellips menjadi: ( ) ( )11622512 2=+ y x 16 ( x 1)2 + 25 (y 2) 2 = (25) . (16) 16 (x2 2x + 1) + 25 (y2 4y + 4) = 400 16x2 32x + 16 + 25y2 100y + 100 400 = 0 16x2 + 25y2 32x 100y + 16 + 100 400 = 0 16x2 + 25y2 32x 100y 284= 0 RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 25 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] 1.Persamaan Ellips Berpusat di (h, k) ( ) ( )12222=+bk yah x ataub2 ( x h)2 + a2 (y k) 2 = a2 b2 Translasi Ellips yang berpusat di (h, k)Contoh: Diketahui sebuah Ellips dengan persamaan 4x2 + 9y2 48x + 72y + 144= 0 ditranslasikan terhadap T = (2, 3), tentukan persamaan bayangan ellips dan sketsa gambarnya ! 4x2 + 9y2 48x + 72y + 144= 0 4x2 48x+ 9y2 + 72y =-1444 ( x2 12x) + 9 (y2 + 8y) = -144 4 ( x 6)2 + 9 (y + 4) 2 = -144 + 144 + 144 4 ( x 6)2 + 9 (y + 4) 2 = 144 ( ) ( )11643662 2=++ y x a2 = 36a = 6,b2 = 16b = 4, Dimana pusatnya : (6, -4) RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 26 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] 5 2 16 362= = c Panjang sumbu mayor2a = 12, panjang sumbu minor 2b = 8 ) 1 , 8 ( ' ) 4 , 6 (32 ||.|

\|=P PT ) 1 , 2 ( ' ) 4 , 0 ( ) 4 , 6 6 ( ) , (1321 = = ||.|

\|=A k a h AT ) 1 , 14 ( ' ) 4 , 12 ( ) 4 , 6 6 ( ) , (2322 = + = +||.|

\|=A k a h AT ) 5 , 8 ( ' ) 8 , 6 ( ) 4 4 , 6 ( ) , (1321 = = ||.|

\|=B b k h BT ) 3 , 8 ( ' ) 0 , 6 ( ) 4 4 , 6 ( ) , (2322B b k h BT = + = +||.|

\|= Persamaan bayangan ellips menjadi( ) ( )11613682 2=++ y x 16 ( x 8)2 + 36 (y + 1) 2 = 576 16 (x2 16x + 64) + 36 (y2 + 2y + 1) = 576 16x2 256x + 1024 + 36y2 + 72y + 36 = 576 16x2 256x+ 36y2 + 72y = 576 1024 - 36 16x2 256x+ 36y2 + 72y = - 48416x2 256x+ 36y2 + 72y + 484 = 0 RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 27 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] D.HIPERBOLA Hioperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang diperbandingkan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai yang tetap. 1.Translasi pada hiperbola yang berpusat di (0, 0) Contoh: Diketahui hiperbola dengan persamaan 9x2 16y2 144 = 0, di translasikan oleh ||.|

\|=31T . Tentukan persamaan bayangannya dan sketsa gambarnya! Penyelesaian : 9x2 16y2 144 = 012222= byax 9x2 16y2= 1441441441441614492 2= y x 19 162 2= y x Maka , a2 = 16a = 4,b2 = 9b = 3,c2 = 16 + 9 = 5 Sehingga titik-titiknya adalah sebagai berikut: ) 3 , 1 ( ' ) 0 , 0 (31P PT ||.|

\|= ) 3 , 3 ( ' ) 0 , 4 ( ) 0 , (1311 = ||.|

\|=A a AT ) 3 , 5 ( ' ) 0 , 4 ( ) 0 , (2312A a AT =||.|

\|= ) 0 , 1 ( ' ) 3 , 0 ( ) , 0 (1311B b BT = ||.|

\|= ) 6 , 1 ( ' ) 3 , 0 ( ) , 0 (2312B b BT =||.|

\|= ) 3 , 4 ( ' ) 0 , 5 ( ) 0 , (1311 = ||.|

\|=f c fT RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 28 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] ) 3 , 6 ( ' ) 0 , 5 ( ) 0 , (1311f c fT =||.|

\|= Jadi, persamaan hiperbola sekarang berpusat di (1 , 3) atau di (h , k) sehingga : ( ) ( )1931612 2= y x 16 ( y 3)2 -9 (x -1) 2 = 144 16 (y2 6y + 9) - 9 (x2 2x + 1) = 144 16y2 96y + 144 9x2 + 18x - 9 = 144 16y2 96y 9x2 + 18x = 144 - 144 + 9 16y2 96y 9x2 + 18x =9 16y2 9x2 96y + 18x =9 RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 29 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ] 1.Translasi Hiperbola yang Berpusat di (h , k) Contoh:Diketahui persamaan hiperbola ( ) ( )13616412 2=+ y x di translasikan terhadap ||.|

\|=3. 2T . Tentukan persamaan bayangannya dan buatlah sketsa gambarnya ! ( ) ( )10 , 6 , 8 13616412 2= = = =+c b ay x ) 2 , 3 ( ' ) 1 , 1 (32P PT ||.|

\|= ) 2 , 5 ( ' ) 1 , 7 ( ) 1 , 8 1 ( ) , (1321 = = ||.|

\|=A k a h AT ) 2 , 11 ( ' ) 1 , 9 ( ) 1 , 8 1 ( ) , (2322A k a h AT = + = +||.|

\|= ) 4 , 3 ( ' ) 7 , 1 ( ) 6 1 , 1 ( ) , (1321 = = ||.|

\|=B b k h BT ) 8 , 3 ( ' ) 5 , 1 ( ) 6 1 , 1 ( ) , (2322B b k h BT = + = +||.|

\|= ) 2 , 7 ( ' ) 1 , 9 ( ) 1 , 10 1 ( ) , (1321 = = ||.|

\|=f k c h fT Persamaan bayangan hiperbola menjadi ( ) ( )13626432 2= y x RIDWAN, LABUHAN BATU/ AJAMU : 10/03/2012 MAHASISWA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH SUMATERA UTARA 30 | I L o v e M a t h e m a t i c [ V I I I A p a g i ]

translasi matematika

Documents