TRIGONOMETRI

Amati gambar

AB

C

D0

r

-

Dari gambar tersebutOC=OB=OD=OA = r dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).

Rumus untuk Cos (α ± β)

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, diperoleh

b. (DB)2 = (r cos α – r cos β)2 + (r sin α + r sin β)2 = r2 cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2 sin2 α + 2 r2sin α sin β + r2 sin2 β = r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β = 2r2 – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β

sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu

a. (AC)2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0 ]2 = r2 cos2 (α + β) – 2r2cos (α + β) + r2 + r2

sin2 (α + β) = r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2

2r2cos (α + β) = r2 · 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2

cos (α + β) Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos ( + β)

Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cos cos β + 2r2 sin sin β

Jadi, AC2 = DB2.

2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

–2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu

cos(α – β)= cos (α + (–β))

= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)

= cos α cos β + sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Rumus untuk sin (α ± β)

Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut

komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α+β) dengan

menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut

komplemen berikut.

cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α

Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri

dua sudut komplemen, diperoleh

sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]

= cos [(90° – α) – β]

= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β

= sin α · cos β + cos α · sin β

sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu

sin (α – β) = sin (α + (–β))

= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)

= sin α · cos β – cos α · sin β

Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Rumus untuk tan (α ± β)

Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β), sebagai berikut :

Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

Rumus untuk sin 2α

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Untuk β = α, diperolehsin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α sin 2 α = 2 sin α cos α

Jadi, sin 2α = 2 sin α cos α

Rumus untuk cos 2αcos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β. Untuk β = α, diperolehcos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α cos 2α = cos2α – sin2α

Jadi, cos 2α = cos2α – sin2α

Untuk rumus cos2α dapat juga ditulis cos 2α = cos2α – sin2α cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α cos 2α = 1 – 2 sin2α

Jadi, cos 2α = 1 – 2 sin2α

Rumus untuk tan 2α

Perkalian Sinus dan Kosinus

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh

cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)

Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh

sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β

Fungsi dan Sifatnya

Relasi

Definisi

Relasi H dari himpunan A ke himpunan B ialah himpunan bagian dari himpunan pasangan berurutan yang merupakan himpunan bagian dari A × B. Jadi, H disebut relasi dari A ke B jika H himpunan bagian dari {(x, y)|x A, y B}.

Y=2xx

y0

Gambar (a)

Y=x2

x

y0

Gambar (b)

5

5

-5

x

y0

X2+y2=25

Gambar (c)

Fungsi :

Sekarang amati Gambar (b). Pada relasi {(x, y)|Y=x2 ; x, R}, setiap unsur pada daerah asal dihubungkan dengan satu dan hanya satu unsur pada daerah hasil; –2 dihubungan dengan 4, –1 dengan 1, 0 dengan 0, 1 dengan 1, 2 dengan 4, dan seterusnya. Relasi {(x, y)|y = 2x; x, yR} dan relasi {(x, y)|Y=x2 ; x, yR} disebut fungsi.

Berbeda dengan Gambar (c), yaitu relasi {(x, y)|X2+y2=25 ; x, yR}. Pada relasi ini, untuk nilai x yang sama misalnya x = 3, terdapat dua nilai y yang berbeda, yaitu y = 4 dan y = –4.

Jadi, relasi {(x, y)|x2 + y2 = 25; x, yR) bukan fungsi.

ialah relasi dengan setiap unsur dari daerah asalnya dipasangkan dengan tepat satu unsur dari daerah kawannya

Sifat-Sifat Fungsi

Fungsi Injektif

Sekarang, amati kembali Gambar. Dari grafik fungsi f(x) = 2x pada gambar tersebut, untuk setiap domain X1

dan X2 (X1 ≠ X2) maka f(X1) ≠ f(X2). Misalkan untuk X1 = –1, X2 = 1 maka f(X1) = –2, f(X1) = 2, dan f(X1)≠f(X1). Jadi, untuk nilai x yang berbeda menghasilkan nilai y = f(x) yang berbeda pula. Fungsi yang demikian disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Y=2xx

y0

Jika dua unsur yang berbeda di dalam A masing-masing dikawankan dengan tepat satu unsur yang berbeda pula di dalam B maka f disebut fungsi injektif atau fungsi satu-satu.

Fungsi Surjektif

Y=2xx

y0

Grafik f(x) = 2x . Grafik tersebut memiliki daerah

hasil (range) R fsama dengan daerah kawannya

(kodomainnya). Oleh karena itu, fungsi f(x) = 2x

disebut fungsi surjektif atau fungsi onto. Secara

umum, jika pada suatu fungsi f dari A ke B daerah

hasilnya R f = B maka fungsi itu disebut fungsi

surjektif atau fungsi onto . Akan tetapi, jika R f ÃB

maka fungsi tersebut bukan merupakan fungsi

surjektif f.

Suatu fungsi yang bersifat injektif dan surjektif disebut fungsi bijektif. Jadi, fungsi y = 2x merupakan fungsi bijektif.

Aljabar Fungsi

f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang diketahui, berlaku hal-hal berikut. • Jumlah dari fungsi f(x) dan g(x) adalah (f + g)(x)= f(x) + g(x) dengan Df+g = Df Dg. • Selisih dari fungsi f(x) dan g(x) adalah (f – g)(x)=f(x) – g(x) dengan Df-g= Df Dg Perkalian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah (f × g)(x) = f(x) × g(x) dengan Dfxg= Df Dg. • Pembagian dari fungsi f(x) dan g(x) adalah

Fungsi Komposisi

f g

gof

Definisi

Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka

fungsi komposisi f dan g ditulis g ° f,

didefinisikan sebagai (g ° f)(x) = g(f(x)) untuk

setiap x Dg

Sifat-Sifat Komposisi Fungsi

1. (f ° g) (x) ≠ (g ° f) (x)

2. (f ° (g ° h)) (x) = ((f ° g) ° h) (x)

Fungsi Invers

Misalkan, f merupakan fungsi bijektif dengan

daerah asal Df dan daerah hasil Rf . Fungsi

invers(fungsi balikan) f adalah f-1 jika dan hanya

jika (f-1° f) (x) = x untuk setiap x di dalam Df dan

(f-1° f) (x) = x untuk setiap x di dalam Rf

Limit

F(x)=k

x

y

Limit Fungsi Aljabar

Limit konstanta k untuk x mendekati a ada dan nilainya sama dengan k, ditulis

Secara grafik, hal tersebut dapat di lihat pada Gambar, Pandang fungsi f(x) = k maka

Limit x untuk x mendekati a pun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis

Teorema Limit Utama

Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi dan k konstanta maka

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Limit Fungsi Trigonometri

F(x)

g(x)h(x)

a0Sifat Prinsip Apit

Amati Gambar Diketahui f, g, dan h adalah fungsifungsi yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat a, kecuvali mungkin di a.

Turunan Fungsi

Turunan Fungsi f(x) = axn

Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan asli maka f '(x) = naxn-1.

Misalkan, f(x) = axn dengann bilangan bulat maka f '(x) = anxn-1

untuk f(x) = a, f '(x) = 0 dengan a sebarang bilangan real.

Menentukan Turunan Fungsi f(x) = axn dengan n Bilangan Rasional

Misalkan, f(x) = axn, dengan n bilangan rasional

maka turunannya adalah f '(x) = naxn-1

Turunan Fungsi Berbentuk y = u ± v

Misalkan, a adalah bilangan real sebarang sehingga berlaku

y ' = f '(a) = u'(a) + v'(a) ; untuk y = u + v maka y' = u' + v'

Turunan Fungsi y = c . u

Misalkan, a adalah sebarang bilangan real sehingga

untuk y = f(a) = c . u(a) berlaku f '(a) = c . u'(a).

Akibatnya, dari y = cu berlaku y' = c . u'.

Turunan Fungsi y = uv

jika y = f(x) = u(x) · v(x) dengan a bilangan real

sebarang berlaku f '(a) = u(a) · v'(a) + v(a) · u'(a).

Untuk y = u · v, maka y' = uv' + vu'.

Turunan Fungsi y = un

f(u) = un, f '(u) = nun-1 sehingga y'(x) = nun-1u'(x)

Untuk y = un maka y' = nun-1u'(x)

Aturan Rantai

Misalkan, y = f(u) dan u = g(x). (f o g)(x) = f{g(x)} = f(u) = y

Jika fungsi g mempunyai turunan di x dan fungsi f mempunyai turunan di u,

turunan fungsi komposisi y = f{g(x)} = f o g(x) ditentukan sebagai berikut :

(f o g)'(x) = f '(g(x)) . g'(x)

Persamaan Garis Singgung pada Kurva

kemiringan (gradien) garis singgung kurva y = f(x)

di titik A(a, f(a)) adalah

Persamaan garis lurus yang melalui titik P(x1, y1)

Dengan gradien m adalah y – y1 = m(x – x1)

persamaan garis singgung g di titik A(a, f(a)) pada

kurva adalah y – f(a) = f '(a) (x – a)

Turunan Kedua

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Definisi

Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa:• f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b mengakibatkan f(a) < f(b);• f monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b menyebabkan f(a) > f(b)

Nilai Stasioner

Diketahui fungsi y = f(x) kontinu dan dapat diturunkan

(diferentiable) di x = c. Fungsi y = f(x) memiliki nilai stasioner f(c)

jika f '(c) = 0 dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner.

Definisi

langkah-langkah yang harus dilakukan.

Langkah 1: Menganalisis f(x) a. Menentukan daerah asal fungsi f(x). b. Menentukan daerah nilai fungsi pada ujung interval daerah asal. c. Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat. • Titik potong dengan sumbu-x (diperoleh untuk y = 0 atau f(x) = 0). • Titik potong dengan sumbu-y (diperoleh untuk x = 0 atau f (0)).

Langkah 2: Menganalisis f '(x) a. Menentukan titik stasioner. b. Menentukan interval di mana fungsi naik atau turun. c. Menentukan titik balik maksimum dan minimum lokal (jika ada). d. Menentukan titik belok fungsi.

Langkah 3: Membuat sketsa grafik a. Menyajikan titik-titik yang diperoleh pada langkah 1 dan 2 pada bidang Cartesius. b. Membuat sketsa grafik denganmenghubungkan titik-titik tersebut.

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Persamaan ExponenSifat-sifat eksponen

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Bentuk persamaan eksponen

Bentuk af(x) = 1

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = 1

dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :

Jika af(x) = 1 ( a > 0 dan a 1) maka f(x) = 0

Bentuk af(x) = ap

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = ap

dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :

Jika af(x) = ap ( a > 0 dan a 1) maka f(x) = p

Bentuk af(x) = ag(x)

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = ag(x)

dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :

Jika af(x) = ag(x) ( a > 0 dan a 1) maka f(x) = g(x)

Bentuk af(x) = bf(x)

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen af(x) = bf(x)

dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :

Jika af(x) = bf(x) ( a > 0 dan a 1, b > 0 dan b 1) maka f(x) = 0

Bentuk f(x)g(x) = 1

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen f(x)g(x) = 1 dapat

di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :

Jika f(x)g(x) = 1, maka kemungkinannya

1. f(x) = 1

2. g(x) = 0 dengan f(x) 0

3. f(x)= -1 dengan g(x) bilangan

bulat genap

Bentuk f(x)g(x) = f(x)h(x)

himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen f(x)g(x) = f(x)h(x)

dapat di gunakan dengan menggunakan sifat berikut :

jika f(x)g(x) = f(x)h(x), maka kemungkinannya

1. f(x) = h(x)

2. f(x) = 1

3. f(x) = 0, dengan g(x) dan h(x) keduanya positif

4. f(x) = -1 dengan g(x) dan h(x) keduanya ganjil atau

genap

Bentuk A af(X)2 + B af(x) + c = 0

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen

A af(X)2 + B af(x) + c = 0 ( a > 0 dan a 1, A, B,

C bilangan real dan A 0 ) dapat di gunakan

dengan cara memisalkan af(x) = p sehingga

persamaan eksponen A af(X)2 + B af(x) + c = 0

dapat di ubah menjadi persamaan kuadrat Ap2 +

Bp + c = 0

Dari persamaan af(x) = p diperoleh nilai x

FUNGSI EKSPONEN

Untuk setiap x Q ( bilangan rasional ) dapat

dipasangkan tepat satu bilangan real ax (a>0

dan a1), dengan demikian kita dapat

mendefinisikan sebuah fungsi f : x ax ( fungsi

eklsponen )

fungsi ini memetakan setiap bilangan rasional

x ke ax

fungsi eksponen dengan bilangan pokok atau

basis a adalah f : x ax atau y = f(x) = ax

Menggambar bangun Ruang

Bangun Ruang Kubus

A B

CD

EF

GH

1. Bidang ABFE dab bidang DCGH dikatakan bidang

frontal, yaitu bidang yang sejajar dengan bidang

gambar

2. Bidang ABCD, ADHE, EFGH, dan BCGF dinamakan

bidang ortogonal yaitu bidang-bidang yang tegak lurus

bidang gambar

3. Bidang ABCD dan EFGH dinamakn bidang horizontal

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma. contoh 1.log x + log (2x _+1) = 1 merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel x

2. merupakan persamaan logaritma yang numerusnya memuat variabel m

0log4log 255 mm

bentuk persamaan logaritma

bentuk persamaan logaritma

Fungsi Logaritma

Bentuk Umum

y = k. a log x, k suatu konstanta dan a bil. pokok

Grafik (mis ; y = 2 log x )

x 1 2 4 8 …. y 0 1 2 3 ….

y = 2 log x

y = ½ log x

Sifat :

1. Domain x> 0, range y R

2. Monoton naik untuk a > 1

3. Mempunyai asymtot tegak x = 0

4. Y = 2 log x simetris dg y = ½ log x

Proyeksi Pada Bangun Ruang:

proyeksi titik pada garis

proyeksi titik pada bidang

proyeksi garis pada bidang

Proyeksi titik pada garis

Dari titik Pditarik garis m garis k

garis m memotong k di Q,

titik Q adalah

hasil proyeksi

titik P pada k

P

Q

k

m

Proyeksi Titik pada Bidang

Dari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g H. Garis g menembus bidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H

H

P

P’

g

Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.H

A

A’

g

Jadi proyeksi garis g pada bidang H

adalah g’

B

B’g’

Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis2. Jika garis h maka

proyeksi garis h pada bidang berupa titik.

3. Jika garis g // bidang maka g’ yaitu proyeksi garis g pada dan sejajar garis g

48

Sudut Pada Bangun Ruang:

Sudut antara dua garis

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara bidang dan bidang

Sudut antara Dua Garis

Yang dimaksud dengan

besar sudut antara

dua garis adalah

besar sudut terkecil

yang dibentuk

oleh kedua

garis tersebut

k

m

50

P

QV

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang

dilambangkan (a,)adalah sudut antara

garis a dan proyeksinya pada .

Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = PQP’

P’

Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara

bidang dan bidang adalah sudut antara

garis g dan h, dimana

g (,) dan h (,).(,) garis potong bidang dan

(,)

g

h

D A

BC

HE

FGT

.P

(a). Buat bidang CHF, Misalkan HF dan GE

berpotongan di titik T

(b). Hubungkan C dan T

(c). Perpotongan antara CT dan AG merupakan

titik

tembus AG pada bidang CFH

(d). Titik P merupakan titik tembusnya

Melukis titik tembus garis pada bidang dan

garis perpotongan dua bidang

A B

CD

EF

GH

Irisan antar bidang yang melalui titik A, C dan

Hpada kubus ABCD.EFGH akan membentuk sudut

ACH

Irisan antara bidang yang melalui titik-titik A, B dan

G dengan kubus ABCD.EFGH adalah bidang ABGH

Karena titik H terlrtak pada perluasan bidang ABG.

Sehingga bidang penampang irisan ABG dengan

ABCD.EFGH adalah bidabg ABGH

IRISAN

Garis Tegak Lurus Bidang

Jika sebuah garis tegak lurus pada dua garis

yang berpotongan yang terletak pada satu

bidang

Maka garis itu tegak lurus setiap garis pada

bidang itu

VEKTOR

AB

CD

Definisi

Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran

merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki besar dan arah

walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif. Vektor dikatakan berada di

ruang – n ( Rn) jika vektor tersebut mengandung n komponen. Jika vektor bearada di R2

maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di R3 maka

dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang dan di ruang vektor

merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa

dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis

Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor ) seperti AB , AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B, C dan D disebut titik akhir. vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O ( untukvektor di bidang , titik O adalah ( 0,0 )).

Perkalian skalar dua vektor

Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain

Vektor x merupakan proyeksi orthogonal dari vektor a pada vector b ditulis

x = proyb a

Disini akan terdapat dua kemungkinan

•Proyeksi scalar orthogonal , yaitu merupakan nilai skalar dari proyeksi a dan b

•Proyeksi vector orthogonal, yaitu vektor proyeksi dari a pada b

Proyeksi skalar dari vektor a pada vektor b hasilnya merupakan scalar, yaitu

a

x b