temas problemas

5/20/2018 Temas Problemas

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P r e facio

O conteudo deste livro e o mesmo das 10 aulas que foram dada spelos autores a professores que atuam no Ensino Medio no Rio deJ a neiro, em jan eiro de 2001.

O curso durou uma seman a, com dua s a ulas em cada man haenquanto as t ar des eram dedicada s a r esolu ca o e a discussa o emconjunt o dos exerccios propostos.

Todos os problema s a qui a presenta dos t em r esposta s comple-t a s no fi na l .

A Socieda de B ra sileira de Mat emat ica dispoe de um conjuntode 10 vdeos nos quais estao grava das, a o vivo, a s a ulas. As pes-soa s e in st itu icoes int eressad a s n a a quisicao dos mesmos podemdirigir-sea S B M nos end erecos qu e const a m n o present e volume.

Ao por este materia l a di sp osi cao dos professores e estudan-tes universita r ios que se prepara m pa ra o exerccio do ma gist erio,a in t en cao dos aut ores e a de dest a c a r a lg u ns t e m a s u su a lm en-t e es t u da dos no E nsino Medio, mostrando que, ao lado de sua

concei t ua cao apropriada, eles podem ser ilustrados por meio deproblemas simples, acessveis, porem desafiadores e contextuais.Evidentemente, tra ta -se de uma pequena a mostra , indicando umfertil e a tra ente ca minho a ser trilha do.

Mais uma vez, a s a t ividades que realizamos, o l ivro publica-do e os v deos gr ava dos devem sua existencia em grande part e aVITAE, a o I MPA e a SB M. A esta s nota veis in st it uicoes, o agra -decimento dos a utores.

Rio de J an eiro, jun ho de 2001

Elon Lages LimaPa ulo Cezar P . Carva lho

Edua rdo Wa gnerAugust o Cesar Morgado

ii i


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C a ptu lo 1

P roporciona lida de eF un coes Afi n s

Em seu livro Elementos de Algebra, publicado em Sao Peters-burgo em 1770, o gran de mat emat ico Leonardo Euler propoe oseguinte problema:

Uma lebre esta 50 pulos a frent e de um cachorro, o qua lda 3 pulos no tempo que ela leva para dar 4. Sabendoque 2 pulos do cachorro va lem 3 da lebre, qu a nt os pulosele deve dar para pega-la?

E s t e e um exemplo de questao que se refere a proporcionalidade,a ssunt o que exporemos a seguir.

1 Proporcionalidade

Diz-se que duas grandezas sa o proporcionaisqua ndo existe umacorrespondencia x y, que associa a cada valor xde uma delasum va lor ybem defi nido da outra , de ta l modo que seja m cumpri-da s a s segu int es cond icoes:

1) Quan to ma ior for x, ma ior sera y. Em termos matematicos:se x ye x y en ta ox < x implica y < y.

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x en tao o valorcorrespondente de y sera dobrado, triplicado, etc. Na lingua-gem matema t ica : se x yenta onx nypara todonN.

Na s con di coes acima, a correspondencia x ycha ma -se umaproporcional idade.

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4 Temas e Problemas

Exemplo 1. Sejam x o volume e y o peso de um a porcao de umlquido h omogeneo. A correspondencia x ycumpre clara mentea s d ua s cond icoes acima, logo o volumee proporciona l a o peso.

Exemplo 2. Sejam re s reta s paralelas. Da do qualquer retanguloque tenha dois lados contidos nessas reta s, cha memos de xo com-primento de um desses lados e za a rea do retangulo.

z

s

r

Figura 1

A correspondencia x ze uma proporciona lidade. Ou seja :qua ndo a a l tura de um retanguloe fi x a da , sua a rea ze pr oporcio-na l a b a se x.

Com efeito, em primeiro lugar, se x < x en ta o a a rea z doretan gulo de base x e igual a a rea zdo retangulo de base xm a is

a a rea de um reta ngulo de base x

x, logo z < z

.Em segundo lugar, um reta ngulo de ba se n xpode ser expres-so como r eunia o de nreta ngulos justa postos de ba se x(e m esmaarea z) logo sua a rea e n z.Observacao. A a fi rm a cao cont ida no E xemplo 2 e uma conse-qu encia imediata da formula que exprime a a rea de um retangulocomo o produto da base pela a ltura . E sta e , entr etan to, uma justi-fi ca tiva a posteriori. Na oe conveniente usa-la no presente contex-to pois, na verda de, o primeiro pas so da deducao daquela formulae a v eri fi ca ca o da proporciona lidade a cima.

Exemplo 3. C onsideremos no plano um angulo AOB e uma re-t a r qu e na o e p a r a lela a o la do OAnem a OB (Figura 2). Da doqua lquer segmento de reta de comprimento x, contido em OA, a spara lelas a r tra cad a s por sua s extremida des determina m sobre olado OB um segment o de comprimento y.


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Proporcionalidade e Funcoes Afins 5

A

B

O

y

r

x

Figura 2

Afirmamos que a correspondencia x y e uma proporciona li-dade.

Ant es de just ifi car est a a fi rma ca o devemos mostr a r q ue o com-primentoy depende a penas do comprimento xm a s na o da posica odo segmento toma do sobre o la do OA. (Ist o signifi ca que a corres-pondencia x yesta bem definida .)

Ora, se tomarmos sobre o lado OA dois segmentos de mesmocomprimentox enta o na Figura 3, onde MNe MN sa o para lelos

a OA, o s t r iangulos MNP e MN P te m , c a da u m , u m la do demesmo compriment ox, compreendido entre dois angulosM=M eN=N . Logo sa o t r iangulos congruentes e da MP= M P =y.

A pa rt ir d esta observa ca o inicial, sempre que tivermos x yex y , se quiserm os compara r ycom y podemos supor quex e x sao medidas de segmentos com origem no v ertice O. E n ta o fi caclaro q ue se x < x y < y e que x = n x y = ny, comomostra a Figura 4 (onde n= 3).

Exemplo 4. Invest indo uma qua nt ia x numa caderneta de pou-

pa nc a , a pos o decurso de um m es obtem-se um montante y. Acorrespondencia x y e uma proporcionalidade: o que se receben o fi m d o mes e proporciona l a o que se a plicou. Com efeito, eclaro que aplicando-se mais recebe-se mais e investindo-se umaqu a nt ia nvezes ma ior do que x, pode-se consid era r es sa opera ca ocomo n investimentos iguais a x, logo o que s e recebee n y.


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6 Temas e Problemas

A

B

O

y

r

x x

y

x

x

N

P

M

M

P

N

Figura 3

A

B

O

y

x

x'

y'

A

B

O

y

x x x

y

y

Figura 4


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Observacao. S e um a qu a nt ia fi x a g er a , a pos um m es de investi-ment o, um retornoy, na oe verda de que apos n meses essa mesmaqua ntia gere o retorno n y, mesm o qu e a t a xa de juros perm a necaconsta nte. Pois a o fina l de cada mes e como se t ivesse sido a plica -da novamente uma qua nt ia maior, igual a existente no mes ante-rior mais os juros correspondentes. Assim o retorno (num per odofixo) e proporcional ao capital inicial mas na o e proporcional aotempo de investiment o.

E st a obser va ca o mostra que a proprieda de qua nto ma ior for x,

ma ior sera y na o assegura a proporciona lidade entre x ey. Outroexemplo dist o e a correspondencia x y, onde x e o lado de umqu a dr a do e y e sua a r e a .

Dia nt e dos exemplos a nt eriores, podemos formula r a defi nica om a t e mat ica de proporcionalidade, onde as grandezas sao subst i-t u das por numeros reais, que sao suas medidas.

Esta mos consideran do apena s gra ndezas que t em medida po-sitiva, logo o modelo matemat ico da proporcionalidade leva emcons id er a cao apenas numeros rea is positivos.

Uma proporcionalidade (numerica) e u m a fu nca o f : R R

com as seguintes propriedades:

1) f e u ma fu ncao crescente, isto e x < x f(x) < f(x ) paraquaisquer x, x R .

2) Para todoxR e todonN tem-se f(nx) =n f(x).Numa proporciona lida de a propriedade 2), acima a dmit ida a pe-

n a s q u a n d o n N, va le pa r a u m numero real positivo qua lquer.E s t ee o cont eudo do

Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

Sef : R

R

e u m a f u n cao crescente tal quef(nx) =n f(x)p a r a todoxR e t o d o n N, ent aof(cx) =c f(x)para quai squer xecem R .

A demon st ra ca o do teorema a cima esta no Apendice 1 na pag. 16.Ver tambem os seguint es livros, publica dos pela S.B.M.: Meu


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8 Temas e Problemas

Professor de Matema t ica , pag. 129, e A Matema t ica do EnsinoMedio, vol. 1, pag. 94.

Na pra t ica , e bem ma is fac i l mostra r q ue f(nx) = n f(x)paran N do que verifi ca r que f(cx) =c f(x)para todoc R . (Penseem c =

2 ou c = .) Por outro lado, o fato de que uma propor-

cionalidade f sa t isfaz esta igualdade para qualquer numero rea lpositivo c tem importantes consequ encia s, como veremos a gora.

Corolario. Sef : R R e um a pr opor cional id ade ent ao tem-se,para todox > 0, f(x) =ax, ond ea= f(1).

Com efeito, pelo Teorema Fun da ment a l, pa ra qua isquer x, c R ,vale f(xc) = xf(c) = f(c)x. E m p a r t icu la r, t om a ndo c = 1,obtemos f(x) =a x, onde a= f(1).

U ma fun ca o f : R R defi nida por f(x) = ax, onde a R euma consta nte, chama -se uma f u n cao l inear. Q ua n d o a > 0, afuncao linear f(x) = ax t ransforma um numero real positivo xn onumero positivo ax, logo defi ne, por r estr icao, uma proporciona-lidade f : R R . Aca bamos de ver q ue, reciproca mente, todaproporcionalidadee a res t ri ca o de um a fun ca o linea r a R . O coe-

ficiente acha ma -se o fator d e proporcional id ade.E s t a ultima observa ca o n os per mit e con clu ir q ue s e

f : R R e uma proporcionalidade entao , para quaisquer x

, x

com f(x

) = y

, f(x

) = y

, tem-se y

/x

= y

/x

. Com efeito, am-bos esses quocientes s ao iguais ao fator de proporcionalidade a.A igualda de y

/x

=y

/x

chama-se uma propor cao.Chama-se r egra de tr es ao problema que consiste em, conhe-

cendo t r es dos numeros x

, y

, x

, y

, determina r o quart o.Ha dua s ma neiras t ra diciona is de resolver esse problema . Su-

ponhamos dados x

, y

e x

. O q ua rto element o da proporca o

sera c h a m a d o y

. E ntao deve ser y

/x

= y/x

, do nde se t i r ay= x

y

/x

. E s t a e uma forma de resolver a regra d e tres .O outro metodo de resolver a regra de tr es ch a ma -se r edu ca o

a unidade. Sabendo que f(x

) = y

, ou seja, ax

= y

, obtemosa = y

/x

e da vem o va lor do termo y qu e fa lta na proporca oy

/x

= y/x

: y = f(x

) = ax

= y

x

/x

. O n ome redu ca o a


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unida de provem do fato de que a= f(1) e o valor de f(x)qu a ndox= 1.

Deve-se ressaltar enfat icamente que a regra de tr es, prove-nien t e da propor ca o y

/x

= y/x

, so pode ser legitima ment e em-pregad a qua ndo se tem uma proporciona lidade f, sendoy

=f(x

)

e y= f(x

).

Out ra observ a cao a ser feita e que, em div ersa s sit ua coes ond ese usa a proporcionalidade (ou a regra de tr es), o fator de propor-cionalidadea e irr elevan te e/ou complica do d e se obter.

No Exemplo 1, o fa tor d e proporciona lida de a= peso / volume,

cha m a do a densidadedo lquido (ou, mais precisamente, o pesoespecfico),e um conceito ut il. Assim, peso= densida devolume.

No Exemplo 3, o fator de proporcionalidade n ao tem a menorimportan cia . (Por acaso ele e o quociente dos senos dos angulosque a reta r forma com os la dos OAe OB, ma s est a inform a ca o euma mera curiosidade.)

No E xemplo 4, e costume escrever o fator de proporcionalidadesob a forma a = 1+ i, porta nt o tem-se y = (1+ i)x. O numero icha ma -se o j u r o . Se o investimento inicial xfor ma ntido duran tenm eses e os juros se man tiverem fi xos, tem-se ao fi na l don-esimo

m es y= (1 + i)

x.Qua nt o ao Exemplo 2, ele nos diz q ue a a rea zde um retangulo

de a ltura fi xa y (=dista ncia entre a s para lelas r es)e proporciona la b a s e x, logo z = Ax, onde o fator de proporcionalidade A e aarea do retangulo de mesma altura ye base 1. Mas e claro q ue oqu e va le pa r a a b a se va le t a m bem para a a l tura . Logo, a a rea Ade um retan gulo de base 1 e a l tura y e proporcional a y, ou seja ,A = B y, onde B e a area do retan gulo de base 1 e a l tura 1. Ora,este e o quadra do unita rio logo, por defi ni ca o, B= 1. Assim A= ye a a rea zdo retan gulo de base x e a l t u ra y e dada por z = xy.(Veja o livro Medida e Forma em G eometr ia , pag. 17.)

E x is t e t a m bem a noca o de proporciona lidade inversa . Diz-seque duas grandezas sa oin versamente proporcionaisqua ndo existeuma correspondencia x y que associa a cada valor x de umadelas um va lor bem defi nido y da outra , de t a l modo que sejamcumprida s a s s eguint es cond icoes:


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10 Temas e Problemas

1) Qua nto ma ior for x, menor sera y. E m termos mat ematicos:se x ye x y en ta o x < x y < y.

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x en tao o valorcorrespondente de ys era dividido por dois, por t res, etc. E mlinguagem matema t ica : se x yenta onx y/n, para todon N.

Porta nto, dizer que y e inversa ment e proporciona l a xequivalea dizer que y e proporcional a 1/x. Segue-se entao do TeoremaFunda mental da P roporciona lidade que se y e inversam ente pro-

porcional a xenta o tem-se y= a/x, onde o fa tor de proporciona li-da de a e o va lor d e yque corresponde a x= 1.

Exemplo 5. Ent re os retangulos de base x, a l tura ye a rea iguala 1, tem-se yinversa ment e proporciona l a x, com y= 1/x.

2 Grandeza proporcional a varias outras

E m m uita s sit ua coes tem-se uma grandeza z, de ta l modo rela-ciona da com outra s, digamos x, y, u, v, w, que a cada escolha devalores para estas u lt ima s corresponde um va lor bem d etermina-

do pa ra z. E nta ozcha ma -se uma f u n caoda s va r iaveis x,y, u,v,we escr eve-se z= f(x,y,u,v,w).

Nes t a s cond icoes, diz -se q ue ze (diretamente)pr oporci onal a xquando:

1) Para quaisquer valores fixados de y, u, v, w, a g r a ndez a ze u ma fu nca o crescente de x, is to e , a desigualda de x < x

implica f(x,y,u,v,w)< f(x, y, u, v, w).

2) P a r a n N e x, y, u, v, wqua isquer t em-sef(nx,y,u,v,w) =n f(x,y,u,v,w).

Analogamente, diz-se que z e inversamente proporcional a xquando:

1) Pa ra qua isquer va lores fixa dos de y, u, v e w, a grandeza ze u ma fu nca o decrescent e de x, isto e , a desigualdade x < x

implica f(x,y,u,v,w)> f(x, y, u, v, w).


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2) Para n N e x, y, u, v, wqua isquer t em-se f(nx,y,u,v,w) =1

n f(x,y,u,v,w).

Segue-se do Teorema Funda menta l da P roporciona lidade quea s proprieda des 2) e 2) a cima va lem par a c > 0 real qualquer emlugar den N. Isto tem a seguinte consequ encia:

S e z = f(x,y,u,v,w) e (diretamente) proporcional ax e y e inversamente proporcional a u, v e w en ta o,tomando-sea= f(1,1,1,1), tem-se

f(x,y,u,v,w) =a x yuv w

Com efeito,

f(x,y,u,v,w) = f(x 1,y,u,v,w) =x f(1,y,u,v,w)= xy f(1,1,u,v,w) = xy

u f(1,1,1,v,w)

= xy

uv f(1,1,1,1,w) = xy

uvw f(1,1,1,1,1)

= a xyuvw

Exemplo 6. A lei da gr a vit a cao universal , de Newt on, afi rma quedois corpos, de ma ssas me m respectivamente, situados a umadistancia d um do outro, se a tra em segundo uma forca cuja in-tensidadeFe proporciona l a essas m a ssa s e inversa ment e propor-cional ao quadrado d da distancia entre eles. Resulta do acima

exposto q ue F = c mm

d , onde a consta nte cdepende d o sistema

de unidad es utilizado.

Exemplo 7. A nocao de gran deza proporciona l a va r ia s o u t r a s

permite deduzir a formula do volume de um bloco reta ngular. Ovolume de um s olido g eom etrico X, que se escreve vol(X), e umnumero real com as seguintes propriedades:

1) S e o s olido X es ta contido propriamente no solido X en ta ovol(X)< vol(X ).


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2) S e o solido Y e a r eu niao de dois solidos adjacentes X e X

en ta o vol(Y) = vol(X) + vol(X).

Dessa s du a s proprieda des d o volume, e da defi nica o de proporcio-nalidade acima dada, resulta que se X e um bloco reta ngula r cuja sarestas medem x,y ezrespectiva ment e enta o o volume de X e pro-porciona l a x, ye z. Portant o vol(X) = a xyz, onde a e o volumedo bloco retan gular cuja s t res arestas medem 1. Mas ta l b loco eo cubo de a rest a 1 e, por defi nicao, seu volume e igual a 1. Logovol(X) =xyz.

3 Funcoes afins

Exemplo 8. As escalas termom etr icas assina lam valores posi-t ivos e negat ivos. Ela s se baseiam na a l tura de uma coluna demercurio, a q ua l a umenta ou diminui conforme a tempera tura so-be ou desce. Na esca la Celsius, o valor 0 corresponde a tempe-ra tur a em q ue o gelo comeca a fundir-se e o va lor 100 a ss ina la atempera tura em que a a gua ent ra em ebulica o (a pressa o do n veldo mar). Na escala Fahrenheit esses valores s a o 32e 212 respec-tiva mente. Assim, 0C = 32F e 100C = 212F. Os demais valo-res na esca la C elsius sa o ma rcados dividindo-se o int ervalo entreaquelas duas temperaturas em 100 partes de igual comprimentoe, na esca la Fah renheit , em 180 pa rtes ta mbem de comprimentosiguais. U san do-se esses comprimentos em ca da ca so, a s esca lassao estendidas para assinalarem valores de temperaturas supe-riores a da ebu lica o da a gua e inferiores a da fu sa o do gelo. Issorequer o uso de numeros negat ivos. Pergunt a -se: em que tempe-ra tura a s esca las C elsius e Fahr enheit a ssinala m o mesmo valor?Qual a temperatura Celsius que e a metade do valor correspon-dente em graus Fahrenheit?

O exemplo acima ilustr a uma situa cao em q ue se emprega afunca o afi m, conforme veremos a seguir.

U m a fu nc a o f : R R chama-se afimqua ndo, para todox R,o va lor f(x) e dado por uma express a o do t ipo f(x) = ax+ b, ondeae bs a o consta ntes.


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Exemplo 9. Uma corrida de taxi custa a reais por km rodadom a is u m a t a x a fi x a de b reais , chamada a bandeirada . Ent a o opreco de um a corr ida de x km e f(x) =ax + breais.

Nu ma fu nca o a fi m f(x) = ax+ b, o numero b = f(0) cha m a -se o v al or i n i ci al e o coefi ciente a = f(1) f(0) e cha ma do a taxad e va r i a cao de f. O motivo para esta denomina ca o e que, paraquaisquer x, h R, com h= 0, tem-se a = [f(x + h) f(x)]/h,donde a = f(x+ 1) f(x), logo a e a va ria ca o de f(x)por un idadede v a ri a cao de x. (Compar e com o exemplo a cima .)

U ma fu ncao l inear f(x) = ax e um caso pa rt icula r de fun ca oa fi m. Outro ca so pa rticula r de funca o a fi m e o da s fun coes cons-t a nt e s f(x) =b.

Quando a > 0, a fu nca o a fi m f(x) = ax+ b e crescente, ist o e,x

< x

f(x

) < f(x

). Com efeito se x

< x

en ta o x

x

> 0

logo

f(x

) f(x

) =ax

+ b (ax

+ b) =a(x

x

)> 0,

ou seja, f(x

)< f(x

).Analogamente, se a < 0 en ta o x

< x

f(x

) > f(x

), e a

funca o a fi m f(x) =ax + b e, neste caso, decrescente.

Teorema de Caracterizacao das Funcoes Afins.Sejaf : R R u m a f u n cao crescen t e ou d ecrescen t e. Se a d i fer en ca

f(x + h) f(x)depend er apena s deh, m as n ao dex, ent aof e um a

f u n cao afim.

(Ver dem ons t ra ca o no Apendice 2 na pa g. 17.)

Exemplo 10. Retomemos o Exemplo 8. Em u l t im a a nalise, osgra us C e F sa o diferentes unida des de comprimento, com a s qua is

se mede a altura de uma coluna de mercurio. Assim , a mud a ncade escala , de Celsius para Fahrenheit e u ma fun ca o f : R Rque associa a medida x, segundo C, a medida f(x), segundo F, damesma coluna de mercurio. Evidentemente, f e crescente. Alemdi ss o, a d ifer enca f(x+h)f(x)e a m edida, s egundo F, do segment ode reta de extremosf(x)ef(x+h)o qua l, segundo C, tem extremos


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xe x + h, logo seu C-comprim ent oe igua l a h. Ora , a medida destesegmento depende apenas de h m a s na o d e x e o mesmo se dacom a di fer enca f(x+ h) f(x). P elo Teorema de Ca ra cteriza ca o,conclumos q ue f e um a fu nca o a fi m : f(x) = ax+ b. Sa bemos quef(0) = 32e f(100) = 212. E n ta o b = 32e 100a+ 32 = 212, dondea= 1,8. P o r t a nt o f(x) = 1,8x +32 e a formula que permite passa rda temperatura x na escala Celsius para a temperatura f(x) emgraus Fahrenheit . A primeira pergunta do Exemplo 8 era : paraqua l valor de xt em-se f(x) = x ? Deve-se ter 1,8x+32 = x, dondex= 40. A resposta e: 40 gra us Celsiuse o mesm o que40 g r a u s

Fahrenheit . A segunda pergunta era: para qual valor de xt em-sef(x) = 2x ? E n ta o 1,8x+ 32 = 2xe da x = 160. Assim 160g r a u sCelsius equivalem a 320graus Fahrenheit .

Provaremos a seguir que o gra fi co de uma fun ca o a fi m e umareta . Para isso, usaremos a formula da dista ncia entre dois pon-t os P = (x

, y

) e Q = (x

, y

), segundo a qual se tem d(P, Q) =(x

x

) + (y

y

) .D a da a fun ca o a fi m f : R R, f(x) = ax+ b, seu gra fi c o G

e o conjunto dos pontos (x, ax+ b) R , onde x R. S eja mM= (x

, ax

+ b), N= (x

, ax

+b)e P = (x

, ax

+b)t r es pontosqua isquer de G. Sem perda de generalidade, podemos admitir quex

< x

< x

. Mostra remos que d(M, N) +d(N, P) = d(M, P). D efato, temos

d(M, N) =

(x

x

) + a (x

x

) = (x

x

)

1 + a .

Analogamente, d(N, P) = (x

x

)

1 + a , logo

d(M, N)+d(N, P) = (x

x

+x

x

)

1 + a = (x

x

)

1 + a =d(M, P).

P or t a nt o t r es pontos quaisquer do gr a fi c o G sa o colinea res. Co-moG possui pontos com q ua isquer a bscissa , segue-se que G e umar e t a .

O numerob e a ordena da do ponto em que o gra fi co def(x) =ax+ b corta o eixo OY. N a F ig ur a 5 ve-se como a os a crescimosiguais x x + h e x x + h da do s a x e x correspondem


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a cr escimos igua is f(x+ h) f(x) = f(x +h) f(x ). A inclin a ca oda r e t a G em rela cao ao eixo horizonta l e [f(x+ h) f(x)]/h =[a(x+ h) ax]/h = a. Portant o, para valores maiores ou meno-res de a, o gra fi co da fun ca o a fi m f(x) = ax+ b e ma is ou menosinclin a do em rela ca o a OX.

(x+h) f(x)

(x+h) f(x)

h

h

G

b

x+hx x' x'+h

Figura 5


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APENDICE 1

Teorema Fundamental da Proporcionalidade.Sejaf : R R u m a f u n cao com as segui nt es pr opri eda des:

1) x < x f(x)< f(x );

2) f(nx) =n f(x)para todonN e todox R .En t aof(cx) =c f(x)para todoc R e todox R .Con seq uentemente,f(x) =ax para todoxR , com a= f(1).

Demonstracao: Em primeiro lugar , para todo numero ra ciona lr= m/n, com m, nN, e todo xR vale

n f(rx) =f(n rx) =f(mx) =m f(x),

por 2), logo f(rx) = m

n f(x) = rf(x). Assim, a igualdade f(cx) =

cf(x) e va l ida qu a ndo c e raciona l. Suponha mos, por a bsurdo,que exista c > 0 i r r a ciona l t a l qu e f(cx)= cf(x) p a r a a lg u mx R . E n tao ou f(cx) < cf(x) ou f(cx) > cf(x). Considere-mos o primeir o cas o. Temos enta o f(cx)/f(x)< c. Seja rum va lor

racional aproximado de c, de modo que f(cx)/f(x) < r < c, logof(cx) < rf(x) < cf(x). C o m o r e racional, vale rf(x) = f(rx).Assim, podemos escrever f(cx) < f(rx) < cf(x). E m pa r t i cu -la r f(cx) < f(rx). Ma s , com o r < c, tem-se rx < cx e, pela pro-priedade 1), isso obriga f(rx) < f(cx) e na o f(cx) < f(rx). E s t acont ra di cao mostra que na o e possvel ter-se f(cx) < cf(x). D emodo inteirament e ana logo se ve que f(cx)> c f(x) e impossvel.Porta nt o deve ser f(x) =c f(x)para qua isquer c, x R .

Observacao. U m teorema ana logo, com a mesm a demons tr a ca o,vale para f : R R, escrevendo, na propriedade 2), n

Zem vez

de nN.


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APENDICE 2

Teorema de Caracterizacao das Funcoes Afins.Sejaf : R R crescen te ou decrescen te. S e a di feren caf(x+h)f(x)

depend e apena s d ehm as n ao dex, ent aof e u m a f u n cao afim.

Demonstracao: Trataremos apenas do caso em que f e crescen-te pois o outro e a na log o. P e la hipotese feita sobre f, a fu nca o : R R, dada por (h) = f(x+ h) f(x), esta b e m de fi nida .Evidentemente e crescent e. Alem disso, para todo h R vale

(2h) = f(x + 2h) f(x)

= [f((x + h) + h) f(x + h)] + [f(x + h) f(x)]

= (h) + (h) =2 (h).

Analogamente se ve que(nh) =n (h)pa ra t odonN. Tem-sea inda

(h) =f(x h) f(x) = [f(x) f(x h)] = (h)

pois x = (x h) + h. Segue-se que, pa ra todon Ne todo h Rvale

((n)h) =(nh) = (nh) = [n (h)] = (n)(h).

Comoe obvio que (0) =0, vemos q ue (nh) =n (h)para todon Z. P ela Obser va ca o a o fi na l do Apendice 1, conclumos que(ch) = c (h) para qua isquer c, h R, logo e linear. Assim,pondo a = (1) = f(x+ 1) f(x), tem-se (h) = ah para todohR. E n tao , para qua isquer x, hRvale f(x +h) f(x) = a h.Trocando hpor x, vem: f(h+ x) f(h) = ax. Fa z endo h = 0 eescrevendo b= f(0), obtemos f(x) b = ax, donde f(x) =ax + be

o teorema esta demonstrado.


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Problemas Propostos

1. Sejam r, s reta s coplan ares. Pa ra cada segmento de reta ABcontido em r, seja A B sua pr ojecao ortogonal sobre s. Prove queo compriment o de A B e proporciona l a o de AB.

2. Seja P um ponto fora da reta r. S e X e Y sa o pontos d istintosem r, prove que a a rea do tr i anguloPXYe proporciona l a o compri-mento de XY. Qu a l e o fat or de proporciona lida de?

3. D a d o o angulo = AOB, para cada par de pontos X em OAeYem OB, seja m xe yas medidas d os segmentos OXe OY respec-t ivamente. P rove que a area do paralelogramo que tem OXe OYcomo dois de seus lad ose proporcional a xe y. Q u a l e o fa tor deproporcionalidade? Sabendo que a area desse paralelogramoe de29 cm qu a ndo x = 6 cm e y = 7 cm, qual o valor dessa a r e a p a r ax= 2 cm e y= 3 cm ?

4. Sejam OA, OB e OC semi-retas nao coplan ares e x, y, z a s

medidas dos segmentos OX, OY e OZ, respectivamente contidosem OA, OBe OC. P rove que o volume do para leleppedo qu e temOX, OYe OCcomo t r es das suas a resta s e proporciona l a x, ye z.

5. O m ovimento d e um ponto sobre um eixo cha ma -se u n i f or m e qua ndo ele percorre espa cos igua is em tempos iguais. Su a velo-cidadee, por defi nica o, o espa co percorr ido n a un ida de d e tem po.Formule est a s d efi nicoes matematicamente e obtenha a abscissaf(t) do ponto no insta nte t explicit a men t e como fu nc a o de t e doponto de pa rtida .

6. Por dois pontos dados no plano passa uma unica reta . Comose tra duz esta afi rma ca o em term os d e funcoes a fi ns? P r ove-aalgebricamente.

S olucoes na pagina 133.


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7. U m fa zendeiro possui ra ca o su fi c ie nt e p a r a a l im e nt a r su a s16 vacas dura nte 62 dias. Apos 14 dias, e le vende 4 vacas. Pa s-sados ma is 15 dias, e le compra 9 vacas. Quantos dias, no tota l ,dur ou sua reserva de ra ca o?

8. Uma cara vana com 7 pessoas deve atra vessar o Saha ra em 42dias. Seu suprimento de a gua permite que ca da pessoa disponhade 3,5 li t ros por dia . Apos 12 dia s , a ca r a va na encont r a 3 b e-dunos sedentos, v t ima s de uma tempesta de de areia, e os acolhe.Pergunta-se:

a) Quantos l i t ros de agua por dia caberao a cada pessoa se aca ra va na prosseguir sua rota como plan eja do?

b) Se os membros da cara vana (bedunos inclusive) continua-rem consumindo agua como antes, em quantos dias, no ma -ximo, sera necessa rio encontra r um oasis?

9. Numa estra da ret ilnea, dois ca rros par tem, a o mesmo tempo,de dois pontos A e B, com d(A, B) = d, dirigindo-se no mesmosentido. O que part iu de A va i a v quilometros por hora e o quesa iu de B roda a w quilometros por hora . A que distancia de A

eles se encontram?

10. D o is t r e ns de c a r g a , na m e sm a l inha fe rrea , seguem umarota de colisa o. U m deles va i a 46 km/h e o outro a 58km/h. Noinstant e em que eles se encontra m a 260 km um do outro, umpa ssa ro, que voa a 60 km/h, pa rt e de um pont o ent re os dois, a teencontrar um deles e entao volta para o outro e cont inua nessevai-e-vem at e morrer esmagado no momento em que os trens sechoca m. Quan tos quilometr os voou o pobre passaro?

11. Na loja A, um a parelho custa 3800 reais ma is uma ta xa m en-

sa l de m a nu ten ca o de 20 rea is. Na loja B, o mesmo a par elho custa2500 reais porem a ta xa de ma nutenca o e de 50 reais por mes.Qua l da s d ua s opcoes e a ma is van ta josa?

12. Na sit ua cao do Exemplo 3, a cada ponto X da semi-reta OAfa ca mos corr espond er o pont oZ em OB, ta l que XZ seja paraleloa


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reta r. C ha m a ndo de xe zos compriment os de OXe XZrespecti-va ment e, mostre que a correspondencia x ze uma proporciona-lida de. E m q ue condicoes o fa tor d e proporciona lida de e o mesmoque o da correspondencia x ydo E xemplo 3?


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C a ptu lo 2

F un coes Qua dra t i c a s

U m resta ura nt e a quilo vende 100 kg de comida por dia , a 12 rea iso quilo. U ma pesqu isa d e opinia o revelou que, por cada rea l de au-ment o no preco, o rest a ura nt e perderia 10 client es, com o consu mom edio de 500 gram a s ca da um. Qua l deve ser o preco do quilo decomida para que o resta ura nte tenha a m a ior receita possvel?

E ste problema reca i n uma equa ca o do segundo gra u, ou seja ,na busca dos zeros de uma fun ca o qu a dra t ica .

1 A forma canonica

U ma fun ca o f : R R chama-se quadr atica qu a ndo, p a r a t odox R, tem-se f(x) = ax +bx+c, onde a, b, c Rs a o consta ntes,com a

=0.

Diversos problema s in teressa nt es recaem n a considera ca o defuncoes qua dra t icas. U m dos ma is an tigos consiste em a cha r doisnumeros conhecendo sua soma s e seu produto p. Se um dessesnumeros e x, o outro sera s x, logo x (s x) = p. E fet u a ndo am ult iplica cao, vem sx x = p ou seja , x sx + p = 0. Encon-t r a r x(e, port a nt o, s x) sign ifi ca resolver a equa ca o do segundog r a u x sx+ p = 0, isto e , achar os va lores de xpara os quais afunca o q u a d rat ica f(x) = x sx + p se an ula . Esses valores sa ochamados os zer osda fu nca o qu a dra t ica ou as r azes da eq ua ca ocorrespondente.

Note que se x for um a ra iz da equa ca o x sx + p = 0 en ta os xt a m bem sera, pois

(s x) s(s x) +p= s 2sx + x s + sx +p= x sx +p= 0.

P or t a nt o a s du a s r a zes d essa equ a ca o sao os numeros procu-ra dos. Deve-se observa r entreta nto que, dados a rbitra riam ente os

21


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numeros se p , nem sempre existem dois numeros cuja soma e s ecujo produt oe p.

Exemplo 1. Na o existem dois numeros reais cuja soma seja 2 ecujo produt o seja 5. Com efeito, como o produto 5 e positivo essesnumeros ter iam o mesmo sinal . E como sua soma 2 t a m bem epositiva eles dois seriam positivos, logo ambos seriam < 2. S e uproduto entao seria menor do que 4, portanto diferente de 5. Osnumeros procurados podem tambem reduzir-se a um unico, comono caso em que a soma dada e 6 e o produto e 9, pois a equ a ca o

x

6x + 9= 0, da q ua l eles sao ra zes, es creve-se como (x 3)

=0logo sua unica raiz e3. Ja os numer os cuja soma e1e cujo produt oe 1s a o a s r a zes da equ a ca ox x 1= 0, que sa o (1

5)/2.

Um procedimento ut il pa ra estuda r a funca o q u a d rat ica e ocom pletam ento do quad rad o. B a s ica m e nt e, o metodo de comple-ta r o qua dra do se resume na observa cao de que

x +px=

x+

p

2

p

4 .

Exemplo 2. x +10x = x + 2 5 x +5 5 = (x +5) 25.

Exemplo 3. 3x + 12x + 5= 3(x +4x) + 5= 3[(x + 2) 4] + 5=3(x + 2) 7.

E m gera l, da da a funca o qu a drat ica f(x) =ax +bx +c, escre-vemos:

f(x) =a

x +

b

ax

+c= a

x+

b

2a

b

4a+c= a

x+

b

2a

+4ac b

4a

C om o ver em os log o em seg u ida , e conveniente escreverm = b/2a e k = (4ac b )/4a. Verifi ca-se facilmente quek= f(m). C om est a not a ca o, temos, para todox R:

f(x) =a(x m) + k, onde m= b/2a e k= f(m).

E s t a e a chama da for ma can onicado trinomiof(x) =ax + bx + c.


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Funcoes Quadraticas 23

Exemplo 4. S ef(x) =2x 5x + 3, temosm= 5/4, k= 1/8, logoa forma canonica deste trin omioe

f(x) =2

x

5

4

1

8

Escrevendo o trin omio f(x) = 2x 5x + 3 na forma can onica,podemos tira r pelo menos dua s conclusoes:

1) o menor valor de f(x)par a todox R e 1/8, obtido quan dox= 5/4.

2) a s r a zes da equ a ca o 2x 5x + 3 = 0 se obtem escrevendosucessivamente

2

x

5

4

1

8 =0, 2

x

5

4

= 1

8,

x

5

4

= 1

16,

x5

4 = 1

4, x=

5

4 1

4

Logo essas ra zes sa o x = 1 e x= 3/2.

D e u m m o do g e r a l , a fo r m a c a nonica f(x) = a(x m) + k

nos permite concluir que, q uan do a > 0, o menor valor de f(x) ek= f(m)e, qua ndo a < 0, k= f(m) e o maior valor de f(x), paraqualquer x R.

A forma can onica nos fornece ta mbem, qua ndob 4ac 0, a sra zes da equ a ca o ax +bx + c = 0, pois esta igualdade equivalesucessivam ente a

a(x m) = k,

(x m) = k/a = b 4ac

4a ,

x m= b

4ac2a

,

x = m

b 4ac

2a =

b b 4ac2a

,

uma formula muit o bem conh ecida .


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O numero = b 4ac cha ma -se o d i scr i m i n a n t e da fu nca oq u a d ra t ica f(x) =ax + bx + c. Vimos acima que, quan do > 0, aeq ua ca o f(x) = 0 tem duas ra zes reais e quando = 0, a mesmaeq ua ca o possui uma unica ra iz , cha mada de r a i z d u p l a . Note que = 4ak, porta nto = 0equivale a k= 0. Logo, quando = 0,a forma canonica se reduz a f(x) = a(xm) , fi ca ndo claro enta o

q ue f(x) = 0 somente qua ndo x = m = b

2a Vemos ainda que,

qu a ndo = 4ake n egativo, a e ktem o mesmo sinal, o qua l e,neste ca so, o sina l de f(x) = a(x m) +k para qualquer x R.Logo ela nun ca se a nula , ou seja , a equa ca o ax

+bx+c = 0na opossui ra iz real.

Exemplo 5. P a ra a fu nca o qu a drat ica f(x) =2x 12x+19, t em-sef(x) =2(x 6x) +19= 2(x 6x +9) +1= 2(x 3) +1, logof(x)> 0para t odox. Em particular, na o se tem f(x) = 0para valor a lgumde x R.

Sejam = (b +

)/2a e = (b

)/2a a s r a zes daeq ua ca o ax +bx + c = 0. U m calculo imediato nos mostra que+ = b/ae = (b )/4a =c/a.

Vemos que a m edia a r i tmetica da s ra zes,(+ )/2= b/2a, eigual a o numeromt a l qu e f(m) e o menor va lor d e f(x)(se a > 0)ou o maior (quandoa < 0).

Vemos tambem que, quando 0, is to e, qu a ndo a equa ca oax + bx +c = 0 possui a s ra zes reais , , t em-se

ax + bx +c = a

x +

b

ax+

c

a

= a

x (+ )x +

.

Logoax +bx + c= a(x )(x ).

E s t a e a chama da forma fatoradado trinomio do segundo gra u.

A for ma fa t or a da for nece im ed ia t a m en t e a s egu in t ein for m a ca o sobre o sina l da fun ca o qu a drat ica f(x) =ax + bx + c :

Sex est a si tu ado entr e du as razes d a equ a caof(x) = 0

en t ao f(x) tem sinal oposto ao sinal de a. Caso con-

t r ario, ou x e rai z ou f(x)tem o mesm o sin al dea.


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Com efeito, o produto(x )(x ) e nega tivo se, e soment e se,xes ta entree .

A a fi rm a ca o acima inclui o ca so em que a equa ca of(x) =0 na opossui ra iz real . (Enta o f(x) tem o mesmo sinal de a para todox R. ) Inclui t a m bem o ca so em que essa equa cao possui umaraiz dupla . ( E n tao , para todo x= , f(x) tem o mesmo sina lde a.)

Vejamos a seguir a lguns problemas que envolvem o uso dafunca o qu a dra t ica .

Exemplo 6. Mostrar que se dois numeros positivos tem somaconstante, seu produto e ma ximo qua ndo eles sa o iguais.

Sejam x, y os numeros em questa o, com x + y = b, logoy = b x. Seu produto e f(x) = x(b x) = x +bx, u ma fu nca oqu a dra t ic a de x com coeficiente a = 1 < 0, logo f(x) e maximoqu a ndo x = b/2a= b/(2) =b/2 e da y= b x= b/2.

Exemplo 7. Tenho ma teria l sufi ciente para erguer 20 m de cerca.Com ele pretendo fazer um cercado reta ngular de 26m de a r e a .Quanto devem medir os lados desse retangulo?

S e x e y s a o a s medidas (em metros) dos lados do cerca do re-

tangular, temos x+ y = 10. Pelo exemplo anterior, o maior valorpossvel para a a rea xy e 5 5=25. L ogo, com 20 m de cerca na oposso cercar um reta ngulo de 26 m de a r e a .

Exemplo 8. Mostra r que se o produto de dois numeros positivose constante, sua soma e m nima qua ndo eles sa o iguais.

Sejam x, y numeros positivos tais que xy = c. O s v a lor espossve is p a r a a so m a s = x + y sa o a q u el es pa r a os q u a is aeq ua ca o x sx +c = 0 possui ra zes reais, ou seja, o discrimi-n a n t e = s 4c e 0. Isto significa s 4c, is to e, s 2c.O menor valor poss vel pa ra a soma se portantos = 2

c, que t or-

na = 0 e a eq ua ca o x

sx+c = 0 admite a ra iz dupla x = s/2,portantoy = s/2 e os numeros x, ys ao iguais.

Exemplo 9. Mostra r que a m edia a r i tmetica de dois numer os po-sitivose sempre ma ior do que ou igual a m edia geometrica , sendoigual a pena s qua ndo eles sa o iguais.


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Sejam a, bos numeros dados. Ponhamos c = ab. Ent re todosos numeros positivos x, yt a is qu e xy = c, a soma x+ y e m nimaqu a ndo x = y, ou seja, x= y =

c . (Vide E xemplo 8.) Nest e caso,

a so m a m nima e 2

c . Em pa rt icular, como a e b s a o numerospositivos cujo produto e c, conclumos que a + b 2c ; no u -tros termos:

a+ b

2

ab, com igualda de valendo a pena s qua ndo

a= b.

Exemplo 10. Na Figura 6, determinar x de modo que a a r e a doparalelogramo inscrito no retangulo seja m n im a . S u poe-se quea b 3a.

bx

bx

x

ax

axx

x

x

Figura 6

Aa rea do para lelogra mo inscrito e

f(x) =ab x(a x) x(b x) =2x (a+ b)x +ab.

Os da dos do problema im poem que0 x a. O m nimo def(x)e a t ingido no ponto m= (a+ b)/4 e vale f(m) = ab (a+ b) /8.A condica o b 3a equivale a (a+ b)/4 a, logo m a, porta ntoa solucao obtida e leg t ima.

Exemplo 11. Dois comerciantes formam uma sociedade com ocapita l de 100 mil reais . U m deles t ra balha 3 dias por semanae o outr o 2. Apos a lgum tempo, desfazem a socieda de e ca da umrecebe 99 mil rea is. Qua l foi a cont ribuica o d e ca d a u m pa r a oca pita l da socieda de?

Um do s socios entrou com x e o outro com 100 x mil reais.Seus lucros foram 99 x e 99 (100 x) = x 1 mil reais res-pectiva mente. Sem perda de generalidade, podemos supor q ue a


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sociedad e durou 5 dia s. Os lucros de ca da um por dia de servicofora m respectiva mente (99 x)/2 e (x 1)/3 mil reais . Ca da milrea is a plica dos d eu, por dia de servic o, o lucro

99x

2x =

x 1

2(100 x) .

(E st a equ a cao exprime a equita t ividade da sociedade.) Da vema eq ua ca o x 595x+ 29700 = 0, cuja s ra zes sa o 55e 540. Como540 > 100, a unica ra iz que servee x = 55. Assim, um socio contr i-

buiu com o capita l inicial de 55 mil reais e o outr o com 45 mil.

Observacao: Se, a o monta r a equa ca o do problema , t ivessemoschamado de x o capital inicial do socio que trabalhou 3 dias porseman a, ter amos

99x

3x =

x 1

2(100 x) ,

o que nos levaria a eq ua ca o x +395x19800 = 0, cujas ra zessa o 45e 440. Desprezando a raiz negativa, concluir amos a indaqu e o socio que trabalhou 3 dias por semana entrou com 45 mil

reais e o outro com 55. Obtemos porta nto a mesma resposta , apa rt ir de uma equa cao diferente.

2 O grafico de uma funcao quadratica

O gra fi co de u m a fu nca o q u a d rat ica f : R R, d a da porf(x) = ax + bx + c, x R, e o subconjunto G R formadopelos pont os (x,ax +bx+ c), cuja a bscissa e um numero real a r-bitra r io x e cuja ordena da e o valor f(x) qu e a fu nca o a ssum e noponto x. Comecaremos mostra ndo que G e u m a p a ra b ola . I s t oreq uer a defi ni ca o seguinte.

Consideremos no plano uma reta d e um ponto F fora dela . Apar abola de foco F e d i r et r i z d e o conjunto dos pontos do planoque sa o equidista ntes do ponto F e da reta d(Figu ra 7).

Lembremos que a dista ncia de um pont o a uma reta e o compri -ment o do segment o perpendicular ba ixad o do pont o sobre a reta .


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P

F

V

D Qd

Figura 7

A reta que contem o foco e e perpendicula r a diretriz cha ma -seo eixo da p a rabola . Chama-se v erticeda p a ra bola a o ponto dessacurva que esta m a is proximo da diretriz. Ele e o ponto medio dosegmento cujas extremida des sa o o foco e a in t ers eca o do eixo coma diretriz.

Se o ponto P pertence a p a rabola e P e o seu sim etrico emrela cao ao eixo, enta o d(P , F) = d(P, F) e d(P , d) = d(P, d), logoP t a m bem pertence a p a rabola. Isto significa que o que denomi-namos eixoe, de fato, um eixo de simetria da par abola.

Mostra remos inicia lmente q ue o gra fi co da fun ca o q u a d rat ica

f(x) = ax

e a p a rabola em R

cujo foco e o ponto F = (0, 1/4a) ecuja diretriz e a reta horizontal y= 1/4a.Pa ra nos convencermos d isso, verificamos primeiro que, pa ra

todo x R, vale a igualdade

x +

ax

1

4a

=

ax +

1

4a

,

onde o primeiro membroe o qua dra do da dista ncia do ponto gene-rico P = (x,ax ) do gra fi co de f(x) = ax ao foco F = (0, 1/4a) e osegundo membroe o qua dra do da dista ncia d o mesmo pontoa reta

y = 1/4a. Ist o mostra que todo ponto do gra fi co defpertence apa rabola em questa o. Reciprocament e, se P = (x, y) e um pontoqua lquer dessa para bola, o ponto P = (x,ax ), como acaba mos dever, ta mbem pertence a p a rabola, logo y = ax pois essa curvana o contem dois pontos distintos com a mesma a bscissa. Porta ntotodo ponto da pa rabola pertence ao grafi co de f.


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S e a > 0, a p a rabola y = ax tem a concavidade voltada paracima e seu vertice (0,0) e o ponto de menor ordenada. Se a < 0,a concavidade da parabola y = ax e vol t a da pa r a b a ixo e se uvertice (a origem)e o pont o de ma ior ordena da (Figura 8).

X

Y

aF

4

1,0

ay

4

1

X

Y

ay

4

1

aF

4

1,0

Figura 8

E m seguida , exam inemos o gra fi co da fun ca o qu a drat ica f(x) =a(xm) . Afi rma mos que ele e uma pa ra bola, cujo focoe o pont oF= (m, 1/4a)e cuja d iretriz e a reta y= 1/4a(Figu ra 9).

FX

Y

ay

4

1

amF

4

1,

2)( mxay

m

Figura 9

Para chegar a esta conclusa o, t em-se du a s opcoes. Ou se veri-fica que, para todo x R, vale a igualdade

(x m) +

a(x m)

1

4a

=

a(x m) +

1

4a

,


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ou enta o observa -se simplesmen te q ue o gr afi co def(x) =a(xm)

resulta daquele de g(x) = ax pela tr a nsla cao horizontal (x, y)(x + m, y), que leva o eixo vertical x= 0 na reta vertical x= m.

Fina lmente, o gra fi co da fun ca o qu a dra t ica f(x) =a(x m) + ke a para bola cujo focoe o pont oF = (m, k+1/4a)e cuja diretr iz ea reta horizontal y= k1/4a(Figu ra 10).

F

X

Y

aky

4

1

akmF

4

1,

kmxay 2)(

m

Figura 10

Com efeito, o gra fi co de y = a(x m) +kresulta daq uele dey= a(x m) pela t ra ns la ca o vertical (x, y) (x, y + k), qu e levao eixoOX na reta y= ke a reta y= 1/4ana reta y= k 1/4a.

Ora , q ua lquer funca o q u a d rat ica f(x) = ax +bx + c pode serescrita sob a forma f(x) = a(x m) + k, onde m = b/2a ek = f(m). L og o, o gra fi co de um a funca o q u a d rat ica e sempreuma parabola.

Que signifi cado gra fi co tem os coeficientes a, b, c da fu nca oq u a d ra t ica f(x) =ax +bx + c?

O mais obvio

e o signifi ca do de

c: o valor

c = f(0) e a a bscissado ponto em qu e a pa rabola y= ax +bx + ccorta o eixoOY.

O coefi ciente a mede a maior ou menor abertura da parabola.Como o grafi co def(x) =ax + bx + cse obtem do grafi co deg(x) =ax por uma t ra ns la ca o horizont a l seguida de uma tr a nsla ca o ver-tical, portanto sao fi guras congruentes, bast a examina r o signifi -


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ca do de ano grafi co deg(x) =ax . Por simplicidade, suponhamosa > 0. E n ta oa < a ax < a x para todo x =0, logo a pa rabola

y = a x situa-se no interior de y = ax . Assim, qua nto ma ior fora mais fechada sera a pa ra bola e, vice-versa, qua nto menor e amais a berta se ve a pa ra bola. No ca so dea e a negat ivos, ma iore menor devem ser tomados no sentido de valor absoluto (Figu-ra 11).

X

Y

O

c

cbxaxy 2

X

Y

O

22xy

2

2

1xy

2xy

Figura 11

O coeficiente b e a in clina ca o da r e t a t a ng ent e a p a rabola nopontoP = (0, c), in t er secao da parabola com o eixoy. Expliquemose provemos esta a fi rm a ca o.

Seja P um pont o de uma pa rabola . Um a reta que passe por Pdetermina dois semiplanos. Diz-se que essa reta e tangenteapa rabola no pontoP quando a parabola esta contida inteiramentenum desses semiplanos.

A reta que pas sa pelo pont oP = (0, c)e t em in clina ca ob e des-crit a pela eq ua ca oy = bx +c. Os semiplan os por ela determin a dossao descritos pelas desigualdades y bx + c(semiplano superior)ey bx+c(semipla no inferior). Os pontos(x, y)da parabola cum-prem y = ax +bx+ c logo estao todos no semiplano superior da

reta y= bx + cqu a ndo a > 0ou esta o todos no semiplan o inferiorse for a < 0. P orta nto a reta y= bx + c, de in clin a ca ob, e tangentea p a r abola y= ax +bx +cno pont oP = (0, c)(Figu ra 12).

Exemplo 11(completa ndo o E xemplo 10). Agora que conh ece-mos a forma geom etrica do gr a fi co da fun ca o q u a d rat ica f(x) =


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X

Y

O

cbxaxy 2

cbxy

Figura 12

ax + bx + c, podemos ver c laramente que, se a > 0, e nta o afuncao , que assume seu valor m nimo quando x = m = b/2a,e decrescente a e squ e r da de m e crescente a d ir e i t a de m. NoE xemplo 10, in dependent emente de ser b 3aou b > 3a, a a reado paralelogramo inscrito no retangulo e sempre igual a f(x) =2x (a + b)x + ab. Tra ta -se de acha r, entre os numerosx t a is qu e0

x

a, aq uele pa ra o qual o valor f(x)e o men or possvel. Como

esta mos supondo 3a < b, t em os 4a < a + b, d on dea < (a+ b)/4 = m. Assim, o intervalo [0, a] es ta a esquerda doponto m no q ua l a fun ca o q u a d ra t ica assume seu m nimo. Logof e decrescent e no interva lo[0, a]e, cons equentement e, seu menorvalor nesse intervalo e f(a). Portanto, x = a e a resposta do pro-blema no caso em que b > 3a. O para lelogra mo dea r e a mnima een ta o a quele ha chura do na Figura 13.

a

a

a a

ba

ba

Figura 13


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A reta vertica l x = b/2a cont em o vertice (b/2a, f(b/2a))d a p a rabola y = ax + bx + c , logo e o eixo de simetria dessacurva, gra fi co da fun ca o f(x) = ax +bx + c. Portant o dois pon-t os (x , y) e (x , y) d a p a rabola t em a mesma ordenada, ou seja ,f(x ) = f(x )se, e somente se, b/2a e o pont o m edio do intervalocujos extr emos s a ox e x . Noutra s palavras,

f(x ) =f(x ) b

2a =

x +x

2 x +x = b/a.

Este fato pode ser verificado sem o gr afico, a part ir da forma

ca nonica f(x) = (x m)

+k, onde m = b/2a e k = f(m). C o mefeito,

f(x ) =f(x ) (x m) +k= (x m) +k

(x m) = (x m)

x m= (x m).Or a x m= x mequiva le a x =x , enqua ntox m= (x m)equivale a m= (x +x )/2.

3 Movimento uniformemente variado

U m dos exemplos ma is relevan tes em q ue se aplicam a s fun coesqu a dra t icas e o movimento uniformemente va riado. Aqui se temum ponto movel, que se desloca a o longo d e um eixo. Su a posica ono inst a nt e t e determina da pela a bscissa f(t). O que ca ra cterizao movimento uniformemente va riado e o fa to de fser u ma fu nca oq u a d ratica, que se escreve usualmente sob a forma

f(t) = 1

2at + bt+ c.

Nesta expressao, a consta nte acha ma -se a aceleracao, b e a velo-

cid ade in icial (no insta nte t= 0) e c e a posi cao i n i ci al d o ponto.Em qualquer movimento retilneo, da do por uma fun cao a rbi-

t ra r ia f(t), o quociente

f(t +h) f(t)

h =

espa co percorr ido

tempo de percurso


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cha ma -se a velocid ade m ediado pont o no int erva lo cujos extr emos

sa o t e t+ h. No caso em que f(t) = 1

2at +bt + c, a velocidade

m edia nesse interva loe igual a at + b +ah

2 Para valores cada vez

menores deh, este numero vale a proximada mente at + b. Por issodizemos que

v(t) =at +b

e a velocidade(no m ovimento uniformemente va riado) do pontono inst a nt e t. Q u a n d o t = 0, tem-se v(0) = b. Por isso b se cha -

ma a velocidade inicial. Alem disso, para te hqua isquer, tem-se[v(t+ h) v(t)]/h= a, l ogo a a celera cao consta nte a e a t a x a d eva r ia ca o da velocida de.

U m importa nte exemplo de movimento un iformemente va ria-doe a qu eda livre de um corpo, ist oe, sujeito apena s a a cao da gra -vidade, desprezada a resist encia do a r. Neste caso, a a celeraca oda gravidade e representada por ge seu va lor, det ermina do expe-rimentalmente, e g = 9,81 m /seg .

S e o corpoe simplesmente deixado ca ir de uma a ltura (que con-sidera mos de coordena da zero num eixo vertica l, orient ad o parabaixo) sem ser empurra do, entao sua velocidade inicial e zero esu a posicao inicial e dada por c = 0, logo sua coordenada, apos

t segundos de q ueda, e 1

2gt = x. Reciproca mente, esse corpo

percorrex metr os em t=

2x/gsegund os.Nosso conh eciment o da fun ca o q u a d ra t ica permite responder

as mais diversas quest oes a respeito do movimento uniformemen-te var iado. Por exemplo, se uma pa rt cula e posta em movimentosobre um eixo a part ir de um ponto de a bscissa 6com velocida -de inicial de 5 m/seg e a celer a cao consta nte de 2 m /seg , qu a nt otempo se pa ssa a te sua tr a jetoria mude d e sentido e ela comece a

volta r para o ponto de part ida? Resposta : t emosf(t) = t

+5t6.Logo o valor maximo de f e obtido quando t = 5(2) = 2,5 seg.Podemos ain da dizer q ue o ponto comeca a volta r q ua ndo v(t) =0.Como v(t) = 2t+5isto nos da novamente t = 2,5 seg.

O movimento uniformement e varia do pode ocorrer t a mbem noplan o. U m exemplo dissoe o movimen to de um pr ojet il (uma bala ,


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uma bola, u ma pedra , etc.) lan ca do por um a forca in st a nta nea e, apart ir da , sujeito apena s a a ca o da gravida de, sendo desprezada aresistencia do ar (movimento no va cuo). E mbora o processo ocorrano espa co tridimens iona l, a tr a jetoria do projetil esta cont ida noplano determinado pela reta vertical no ponto de partida e peladir ecao da velocidade inicial.

Quan to se tem um movimento retil neo (sobre um eixo), a ve-locida de d o movel e expressa por um numero. Mas quando o mo-vimen t o ocorre n o plan o ou n o espac o, a velocida de e expressa porum vetor (segmento de r eta orient a do), cujo comprimento se cha -ma a velocidade escalar do movel (ta nt os metros por s egundo). Adireca o e o sentido d esse vetor ind ica m a direcao e o sent ido domovimento.

No plano em q ue se da o movimento, tomemos um sistema decoordenadas cuja origem e o ponto de part ida do projetil e cujoeixo OYe a vert ica l que pa ssa por esse ponto.

A velocida de inicia l do projetil e o vetor v= (v

, v

)cuja pr imei-ra coordenada v

fornece a velocidade da componente horizontaldo movim ent o (desloca ment o da sombra , ou projecao do projetilsobre o eixo horizont a l OX).

Como a unica forca a tu a ndo sobre o projetil e a g r a vida de, aq u a l na o possui componente horizonta l, nenh uma forca a tua so-bre este movimento horizont a l, quee porta nt o um movimento uni-forme. Assim, se P = (x, y) e a pos ica o do proje t il no instant e t,tem-sex = v

t.

Por sua vez, a a celeraca o (= forca) da gra vida de e constante,vert ical , igual a g. (O sinal menos se deve ao sent ido da gra -vidade ser oposto a orien t a cao do eixo vertical OY. ) P o r t a nt o , acomponente vertical do movimento de P e um movimento unifor-

memente acelerado sobre o eixo OY, com a celera cao igual a g evelocida de in icia l v

.

Logo, em cada instant e t, a ordenada y do ponto P = (x, y) e

dada por y= 1

2gt +v

t. (Na o ha termo consta nte porque y= 0

qu a ndo t = 0.) Veja a Figura 14.


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X

Y

O x = v1tv1

v2

tvgty 22

2

1

P = (x, y)

Figura 14

S e v

=0 entao, para todot, t em-se x = v

t= 0, logoP = (0, y),com

y= 1

2gt +v

t .

Neste caso, a trajet oria do projetil e vert ica l.Suponhamos agora v

= 0. E n tao , de x = v

t vem t = x/v

.Substituindo t por este va lor n a expressao de y, obtemos

y= ax

+ bx, onde a= g/1v

e b = v /v .

Ist o mostra q ue a tra jetoria do projetil e uma parabola.

4 A propriedade refletora da parabola

Out ra a plica ca o ba sta nt e difundid a d a fun ca o qu a dra t ica, ou me-lhor, da par a bola que lhe serve de gra fi co, diz respeito a proprie-dade refletora dessa curva.

S e g ira r m os u m a pa r abola em torno do seu eixo, ela vai ge-

r a r u m a su p e r fcie chamada parabol oide de revolucao, t a m bemconhecida como superfcie p ar ab olica. Esta superfcie possui inu-mera s a plicacoes interessantes, todas elas decorrentes de umapropriedade geometrica da par a bola, qu e veremos nest a seca o.

A fa m a da s su p e r fcies parabolicas remonta a Antiguida de.Ha uma lenda segundo a qual o extraordinar io matematico grego


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Arquimedes, que viveu em Siracusa em torno do ano 250 A.C.,destruiu a frota que sit iava aquela cidade incendiando os navioscom os raios de sol refletidos em espelhos parab olicos. Em boraisto seja teorica mente possvel, ha se r ias duvidas hist oricas so-bre a capacidade tecnologica da epoca para fabricar tais espelhos.Mas a lenda sobreviveu, e com ela a ideia de que ondas (de luz,de calor, de radio ou de outra qualquer natureza), quando refleti-da s numa superfcie parabolica , concent ra m-se sobre o foco, a ssima mplia ndo gra ndemente a intensidade do sina l recebido.

Da lenda de Arquimedes resta m hoje um interessant e a cen-

dedor solar de cigarr os e outros a rt efat os que provoca m ignica ofazendo convergir os raios de sol para o foco de uma superfciep a r a bolica polida.

Outros instrumentos a tuam inversamente, concentrando nadireca o par a lela a o eixo os raios de luz que ema na m do foco. Comoexemplos, citamos os holofotes, os far ois de a utomoveis e as sim-ples lan terna s de ma o, que tem fontes luminosas a frente de umasuperfcie para bolica refletora.

F

eixo

Figura 15

U m importa nte uso recente destas superfcies e dado pela s an -t e na s pa r a bolicas, empregadas na ra dio-a str onomia , bem como no

dia-a -dia dos a parelhos de t elevisao , reflet indo os debeis sinaisprovenientes de um sa telite sobre sua superfcie, fa zend o-os con-vergir para um unico ponto, o foco, d este m odo torn a nd o-os cons i-deravelmente ma is ntidos.

S e a a n t e n a p a r a bolica estiver volta da par a a posicao (esta -ciona r ia ) do sat elite, a grande distan cia far a com que os sinais por


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ele emitidos que atingem a antena sigam trajet orias praticamen-te para lelas a o eixo da superfcie da a nt ena , logo eles se refl etira ona superfcie e convergir a o pa ra o foco. Pa ra a demonstr a ca o dapropriedade refletora da para bola, vide o livro A Mat emat ica doEn sino Medio, vol. 1, pa gina s 135 a 141.


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Problemas Propostos

1. S e x > 0, mostre que x+ 1

x 2, va lendo a igualda de somente

qu a ndo x = 1.

2. Seja m ae bnumeros positivos. Prove que, para x > 0e y > 0com xy= c (const a nt e), a soma ax +byassume seu valor m nimoqu a ndo ax = by =

abc.

3. D eseja-se cava r um buraco reta ngular com 1 m de la rgura demodo que o volume cava do tenh a 300 m . Sa bendo que ca da metroquadrado de a rea cava da custa 10 reais e ca da metro de profundi-da de custa 30 reais, determinar o comprimento e a profundidad edo bura co a fi m de qu e seu custo seja o menor possvel.

4. Dua s torneiras juntas enchem um tan que em 12 horas. U madelas sozinha levaria 10 horas mais do que a outra para ench e-lo. Quanta s horas leva cada uma das t orneiras para encher esset a nqu e ?

5. Se uma t orneira enche um ta nque em xhora s e outra em yh o-ra s, quan to tempo leva riam a s duas junta s para encher esse mes-mo tanq ue?

6. U s a r a formula que serve de resposta a o exerccio a nt erior par aresolver o seguint e problema: Dois guinda stes leva m juntos 6 ho-ras para descarregar um na vio. Se os dois operassem sozinhos,um deles levaria 5 horas a menos do que o outro para efetuar adescarga . Em qua nto tempo cada um dos guindast es descarrega-ria o navio?

7.Dois comercia nt es vendem um cert o tecido. O segundo vendeu3 metros ma is do que o primeiro. No fi m do dia, os d ois recebemjuntos o total de 35 reais pela venda da quele tecido. O primeirodiz: Se eu t ivesse vendido a meu preco a qua ntida de q ue voce

S olucoes na pagina 138.


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vendeu, teria apurado 24 reais. O segundo responde: E eu teriarecebido R$ 12,50 pelo tecido que voce vendeu. Quantos metrosven deu ca da um e a q ue preco?

8. Most re q ue a equ a ca om+

x= xtem uma un ica soluca o qu a n-do m > 0ou m= 1/4, t em d ua s s olucoes quando 1/4 < m 0e n enh um a soluca o q u a n d o m < 1/4. In t e r pr et e g r a fi ca m e nt eeste resulta do.

9. Um professor comprou var ios exemplares de um livro para

presentear seus a lunos, gasta ndo 180 reais. G anh ou 3 l ivros ama is de bonifi caca o e com isso ca da livro fi cou 3 reais ma is bara -t o. Qua nt os livros comprou e a qu e preco?

10. Quantos lados tem um pol gono convexo q ue possui 405 dia -gonais?

11.Um cam peona to e disputado em 2 turnos, cada clube jogandoduas vezes com cada um dos outros. O tota l de part idas e 306.Qua nt os clubes esta o no campeona to?

12. Um grupo de amigos, numa excurs a o , a lu g a u m a va n p o r342 reais. Findo o passeio, t r es deles estavam sem dinheiro eos outros t iveram que completar o total, pagando cada um deles19 reais a ma is. Quant os eram os amigos?

13. Desprezando a resist encia do ar, determinar a profundidadede um poco, s a bendo qu e d ecorrera m tsegundos entr e o insta nt eem que se deixou cair uma pedra e o momento em q ue se ouviuo som do seu choque com a agua no fundo. (Da r a resposta emfunca o da a celera ca o d a g ra v id a d e g e da velocidade do som v.

Tem-se g = 9,8 m /seg

e v = 340 m/seg, m a s estes numeros na oprecisam ser usados.)

14. Na s agua s para das de um lago, um remador rema seu barcoa 12km por h ora . Num certo rio, com o mesmo barco e a mesmaforca n a s rema da s, ele percorr eu 12 km a fa vor da corr ent e e 8 km


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contr a a corrente, num tempo tota l de 2 hora s. Qual era a veloci-da de do rio, qua nto tempo ele levou par a ir e qua nto tempo paravoltar?

15. U m t r iangulo isosceles mede 4cm de base e 5cm de a l tu-ra . Nele deve-se inscrever outr o tria ngulo isosceles invertido, cu-ja base e paralela a base d o maior e cujo vertice e o pont o medioda base do primeiro. Qual e a a r e a ma xima possvel do t rianguloinvertido? Qual a altura desse triangulo de a r e a ma x im a ?

16. Qual e o valor ma ximo (ou m n imo) da s fun coes quadra t icasf(x) =2(x 2)(x +3), g(x) =3(2 x)(5+x)?

17.Retiramos de um dos extremos da base bde um retangulo dea l t u r a a(com a < b) um segment o de comprimento x e o acrescen-tamos a a l t u ra . P a r a qu a l va lor dex este novo ret a ngulo tem areama x im a ?

18. A soma da s medidas da s diagonais de um losan goe 8 cm. Qua lo maior va lor possvel da a rea desse losa ngo?

19. Quais sa o os va lores possveis pa ra o produto de dois numeros

rea is cuja di fer enca e 8 ? Ha um menor va lor possvel? U m ma ior?

20. Seja m o pont o ond e a fun ca o q u a d rat ica f assume seu va-lor mnimo k = f(m). E xprima a lgebrica ment e a funcao inversaf : [k, +) [m, +). Tra te explicita mente o ca so pa rticula rf(x) =x 6x +10.

21. A par tir de dois vert ices opost os de um reta ngulo de la dosa, bma rquemos qua tro segmentos de comprimento x (Figura 16). Asextremida des desses segmentos forma m um pa ra lelogra mo. Pa raqua l valor de xa area desse paralelogramoe a m a ior possvel?

22. Quais numeros:

a ) Sa o pelo menos 16%ma iores do que seus qua dra dos?

b) Sa o no ma ximo 22%menores do que o qua dra do de sua s me-tades?


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x

x

x

x

a

b

Figura 16

c) Tem o qua dra do de sua meta de 30%ma ior do que sua q uintaparte?

23. S e p, q e r s ao inteiros mpares, prove que a equaca opx + qx+r= 0 na o pode ter ra iz ra ciona l.

24. Dois digitadores, A e B, se a lterna m na prepara ca o de u mma nuscrito de 354 la uda s. A t raba lhou 3 horas a mais do que B.S eA t ivesse tra balha do dura nte o mesmo tempo que B t ra balhou,teria digitado 120 laudas. Se Bt ivesse digitado dura nte o mesmotempo que A t ra balhou, ter ia completado 252 laudas. Dura ntequa nto tempo cada um tra balhou e quant as la udas cada um digi-tou?

25. De um tonel de vinho, alguem ret ira uma certa qua nt idade ea substitui por um volume igual de agua . Apos repetida a mesmaopera cao , o lquido que restou no tonel e metade vinho, metadea g u a . Qu a nt a a gua foi colocada no tonel cada uma da s dua s vezes?

26. Qu a l e a fu nca o q u a d r at ica f t a l q u e f(1) = 2, f(2) = 5 e

f(

3) =

4 ?27. A f unca o qu a drat ica f(x) = ax +bx+ c e ta l que seu gra fi c ota ngencia o eixo das abscissas. Sa bendo que f(1) = f(3) = 2, de-termine a, be c.


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C a ptu lo 3

F un coes Exponenciais eLogar tmicas

Problema 1. Um a piscina tem capacidade par a 100 m de a g u a .Quando a piscina esta completamente cheia, e colocado 1 kg decloro na piscina . Agua pura (sem cloro) continua a ser colocada napiscina a uma va za o consta nt e, sendo o excesso deagua eliminadoa t r a ves de um lad ra o. D epois de 1 hora , um teste revela q ue aindaresta m 900 g de cloro na piscina .

a) Que quant idade de cloro restar a na p isc ina 10 ho r a s a possua coloca ca o?

b ) E a pos meia hora da a plica ca o?

c) E a pos thoras?

Uma resposta muitas vezes dada para a primeira pergunta eque, apos 10 horas, na o ha ma is cloro na piscina. Esta respostaresult a da a plica ca o do m odelo ma is s imples de va ria cao de umagra ndeza , expresso por um a funcao a fi m. Segundo este modelo,a va ria cao sofr ida em cada intervalo de 1 hora e sempre a mes-ma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100 g de cloro,o mesmo deveria ocorrer em cada uma das 10 horas seguintes,

fazendo com que t odo o cloro seja eliminado n estas 10 hora s. Ogra fi co da Figura 17 ilustra este ra ciocnio.A solucao a cima, entreta nto, na o esta correta . Na oe r a z oavel

a dm itir-se q ue a elimina ca o de cloro se d e a uma taxa constante.De fa to, e muito ma is razoavel que esta taxa dependa da quant i-dade de cloro presente na piscina: quanto maior a quantidade de

43


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1 10

1000

900

Cloro (g)

Tempo (h)

Figura 17

cloro, mais cloro e eliminado por un idade de t empo. Na verdade,parece int uitivo que a q ua ntida de elimina da por unida de de tem-po seja proporcional a qua nt idade existente de cloro. Pa ra veri-ficarmos esta conjetura, utilizaremos um recurso frequentementeut il izado para an alisar problemas envolvendo grandezas que va-

riam cont inuamente: vamos d iscr eti zar o problema. Ao inves deconsiderar que a agua ingressa na piscina e e dela eliminada demodo cont nuo, vamos dividir o tempo em pequenos int erva los decomprimento t e imaginar que, em cada um destes intervalos,o processo ocorra da forma descrita a seguir. P rimeiro, ingressana piscina , cujo volume representa remos por V, u m a qu a nt ida dede a g u a pu r a ig u a l a vt, onde v e a v a zao (expressa, por exem-plo, em m por hora); esta a g u a e a diciona da a mistura existentede cloro e agua . A seguir, um volume igual a vt e ret irado damistura, restaurando o volume inicial (veja a Figura 18).

Vejamos o que ocorre com a quantidade c(t) de cloro em ca-da um destes intervalos. No in cio do processo, esta massa estauniformemente distribuda em um volume V de lquido. Apos oingresso de agua pura , a quan t idade de cloro na o se a l t er a , m a spassa a estar distr ibuda em um volume igual a V+vt. D e s t evolume, retira -se vt , retendo-se um volume igual a V. Como o


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Funcoes Exponenciais e Logartmicas 45

Piscina noinstantet

(volumeV)

gua puraacrescentada

(volumeV+vt)

gua pura semistura

gua da piscina

Volumevtretirado

(volumeV)

Figura 18

cloro esta distr ibudo uniformemente, a quantidade de cloro quepermanece na piscina e proporcional ao volume retido. Istoe, te-mos, o seguinte quadro:

Volume de lquido Quantida de de cloroAntes da sa d a V+ vt c(t)

Depois da sa d a V ?

O va lor desconhecidoe, entao, dado por c(t+ t) = c(t)

.

O mais importante a observar e q ue a fra ca o

e consta ntepara ca da intervalo de comprimento t. Assim, em cada um des-tes interva los, a q ua ntida de de cloro e multiplicada por um valorconsta nte. Note q ue o mesmo ocorrera em um intervalo maior ,forma do pela justa posica o d e n intervalos de comprimento t:a quant idade de cloro em um intervalo de tamanho nt e mul-tiplicada por

. A va ri a ca o da q ua ntida de de cloro, por suavez, e obtida da equa cao acima subtraindo-se a quant idade ini-cial c(t)em ca da la do, o que fornece

c(t+t) c(t) =c(t) V

V+vt 1

= c(t)

vt

V+vt

.

U ma outr a forma de expressar o mesmo fa to e dizer q ue a va ria ca orelativa

e consta nte e igual a

. I s t o confi r m a o

comporta mento q ue t nhamos intudo ant eriorment e: a va ria ca o


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da quantidade de cloro em intervalos de mesmo comprimento eproporcional a q ua ntida de existente no incio do int erva lo.

Voltemos a o nosso problema. A ana l ise acima mostra a inade-q ua ca o da primeira tenta tiva de soluca o e a pont a a soluca o cor-reta . A perda de cloro, n os perodos consecutivos de 1 hora, na oe a m e sm a . O qu ee constante, em cada um destes per odos, e ava ria cao relativa: se 10%do cloro foi eliminado na primeira hora,o mesmo ocorre em ca da hora a seguir. E quiva lentement e, se 90%do cloro perma nece apos a prim eira hora , o mesm o ocorre em ca da

hora a seguir. Logo, apos 10 hora s d a a plica cao , a quant idade decloro tera sido multiplicada por (0,9) = 0,349. P or t a nt o, nest einstante havera 349 gramas de cloro na piscina. De modo geral,podemos expressa r a qua ntida de de cloro ao fi na l denhora s (onden e na tura l) por:

c(n) =1000 (0,9) , para n= 0, 1, 2, . . .A Figura 19 ilustra este comportamento.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (h)

Cloro(g)

Figura 19

Observe que esta s qua nt idades formam uma progressao geo-m etr ica . Na verdade, a o se considerar a qua nt idade de cloro em


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inst a nt es igua lment e espa cad os, obtem-se sempre uma progress a ogeom etrica , ja q u e a qu e la qu a nt ida dee multiplicada pela mesmaconsta nte em cada intervalo. Podemos usar este fa to para res-ponder a segunda pergunt a do problema , subdividindo o perodode um a hor a a pos a a plica cao de cloro em dois per odos d e meiahora cada . Em cada um destes perodos, a qua nt idade de cloro emultiplicada por uma constante k(Figura 20). Como a o fi na l dosdois per odos de meia hora a quantidade de cloro e multiplicadapor 0,9, t emos k k= 0,9e, da , k=

0,9= 0,948. Logo, a q uant i-

da de de cloro apos 6 hora s e igual a 1000

0,948= 948 g. Note que,

se t ivessemos usado o modelo a fi m da Figura 17, ter amos obtido950 g para a qua ntida de de cloro neste insta nte.

0 1

k0,9

Figura 20

P odemos genera liza r a solucao acima e calcular a quant idadede cloro a intervalos consta ntes de meia hora . De fa t o, para uminstante da forma t =

n, com nnat ural , t emos c(t) = c

n

=

c(0)k , onde ke a consta nte calculada a cima. Assim,

c(t) =c(1

2n) =1000

0,9

=1000 (0,9)

, para n= 0, 1, 2, . . .

Novament e, estes valores forma m uma progressa o geom etrica,ilustrada na Figura 21. Esta progressa o e obtida a partir da pro-gressao da Figura 19 interpolando um meio geometrico entrecada par de termos consecutivos.

Observe que, substituindo

por t, temos c(t) = 1000(0,9) para todo t da forma

. Na verda de, podemos mostra r que a ex-pressao acima vale para todo t ra ciona l, a plica ndo o mesmo pro-cesso acima . De fa to, seja t= p/q. C omo este interva loe forma do


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0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (h)

Cloro(g)

Figura 21

pela just a posica o d e p interva los de comprimento 1/q, a q u a n t i-dade de cloro restante neste instante e dada por c(p/q) = c(0)k ,onde ke a consta nte pela q ual a quan t idade de cloro e multipli-ca da em interva los d e tempo de comprimento 1/q. M a s q destesintervalos formam um intervalo de comprimento 1, em que c(t) emultiplicado por 0,9. Assim, k = 0,9 e k = 0,9 (veja a Figu-ra 22).

0 11/q p/q

k

0,9

Figura 22

Su bstit uindo n a equa ca o acima, obtemos

c(t) =c(p/q) =c(0).

0,9

=1000 0,9 =1000 0,9 .E para valores irracionais de t? A resposta e que todo t ir -

racional pode ser aproximado, com precisa o a r b it r a r ia , por uma


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valores racionais. Os valores correspondentes de cfornecem, porsu a v ez, a proxim a coes para c(t). E s t e e exat a mente o meca nismoa t r a ves do qua l se defi ne uma funcao exponencial, como veremosma is a dia nt e. Assim, a funca o que fornece a qua ntida de de cloroqu e r est a no inst a nt e t e dada por c(t) = 10000,9 , para todo treal. O gra fi co desta fun ca oe dado na F igura 23.

0

200

400

600

800

1000

1200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tempo (h)

Cloro(g)

Figura 23

O exemplo acima ilustra um modelo matema t ico de v a ria ca oq ue e ta o import a nt e qua nt o o modelo dado por uma funca o a fi m .As s it ua coes em que ele se aplica s a o a qu ela s em qu e, a o invesda va ria ca o absoluta f(x+h) f(x)nao depender de x(depend er,porta nto, apena s de h), q uem tem esta proprieda de e a va ria ca orelativa

. F uncoes crescent es (ou d ecrescent es) com est a

proprieda de sa o necessaria mente da forma f(x) =ba . Os valoresdea e b, a exemplo do qu e ocorre n a s fu ncoes a fi ns, pode ser fa cil-mente interpretado em termos dos valores de fnos pontos x= 0 ex= 1. Temos f(0) =b

a =b. Logo, b corresponde ao valor inicial

f(0). Ja no ponto x = 1, temos f(1) = ba = f(0)a. P or t a nt o,a= f(1)/f(0)e corr espond e a constante pela qual f e multiplicadaem t odo int erva lo de comprimento 1.

Em resumo, temos o teorema a baixo, discutido em m a is deta -lhes em A Ma tema t ica do Ensino Medio, vol. 1.


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Teorema. Seja f : R R u m a f u n cao m on otona injet iva ( isto e,crescen te ou d ecrescen te) ta l qu e, pa r a cadax eh, a v ar i a cao relat i -

va[f(x+h)f(x)]/f(x)(ou, equi val ent em ent e, a r azaof(x+h)/f(x))

depend e apena s d ehe n ao dex. E nt ao, seb = f(0)ea = f(1)/f(0),

tem-sef(x) =ba para t odoxR.

Problema 2. Um a pessoa t omou 60 mg d e uma certa medica ca o.A bula do remedio informava que sua meia-vida era de seis ho-ra s. Como o paciente nao sabia o signifi cado da palavra , foi a umdiciona rio e encont rou a seguin te defi nica o:

M ei a-vid a: tempo necessa r io pa r a qu e u m a g r a ndez a(fsica, biologica ) at inja meta de de seu valor inicial.

a) Apos 12 hora s da ingesta o do remedio, q ua l e a qu a nt ida dedo rem edio ainda presente no organismo?

b ) E a pos 3 hora s da ingesta o do remedio?

c) E a pos t h ora s de sua ingesta o?

Para respondermos a primeira pergunta , basta aplicar a defi -

nica o de meia-vida . N a verd a de, est a defi nica o d a uma importa ntein for ma ca o a respeito do fenomeno a q ue se refere: em qua lquerper odo de 6 hora s, a q uan tida de da droga present e no orga nismose reduz a m et a de do seu va lor no incio deste per odo. Destemodo, a pos a s primeira s 6 horas, ha vera

60= 30 mg. Em mais6 hora s, este va lor se reduz nova mente a metade, passando a serigual a

30= 15 mg.Note qu e, como no problema a nt erior, na oe a propria do utiliza r-

se um a fun cao a fi m para modelar a varia ca o da med ica ca o. Ta lmodelo conduziria a conclusa o eq u iv oca d a d e q u e, a o fi n a l d a s

12 hora s, na o ha veria m a is droga presente no organ ismo (por esteraciocnio, a qua nt idade de droga elimina da no segundo perodode seis horas seria igual a quantidade eliminada no primeiro, le-va ndo a elim in a cao total em 12 horas). Mas por que este mode-lo e inadequa do para esta situa cao? Na verdade, o processo deelimin a cao de uma droga do organismo e a nalogo ao processo de


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elimin a cao do cloro na piscina do problema anterior. Pode-se pen-sar na corrente san gu nea como sendo a piscina, na qua l a drogaes ta presente. A medida que ma is a g u a e ingerida, ela e a dicio-n a d a a corrente sangu nea, sendo o excesso de l quido elimina doa t r a ves dos or gaos excretores. Como no caso da piscina, a quan-tida de de droga elimina da e maior qua ndo a q uant idade de drogapresente e maior. Assim, e r a z oavel adotar-se, para a quant ida-de de droga no orga nismo, um m odelo segund o o qua l a va ria ca orelativa em int ervalos de tempo de mesma dura ca o e sempre amesma , o q ue nos leva a um modelo expresso por u ma funca o da

forma f(x) =ba

.P a r a ca lcu la r a qu a nt ida de de dr og a no inst a nt e t = 3, b a s t a

observa r, ma is uma v ez, qu e em ca da int erva lo de dura ca o 3 hora s,a qua nt idade de droga e multiplica da por uma consta nte k. Comoem 6 horas a droga se reduza meta de, temosk k=

e, port a nt o,

k =

=

= 0,707. Logo, apos 3 horas da ingesta o, a m a ssa

resta nte de droga e igual a 600,707 = 42 g, a proximada mente(compa re com o va lor qu e obter a mos com o modelo a fi m, q ue seriaigual a 45 g).

Pa ra obter a qua nt idade de droga em um instant e qualquer t,utilizaremos os valores f(0) =60 e f(6) =30 para calcular os coefi-cientes ae b d e f(x) =ba . A primeira igualdade fornece b= 60 e

a segunda da 60a = 30, de onde obtemos a =

= 2

. Logo, a

qua nt idade de droga a pos thora s da ingesta oe dada por

f(t) =60

2

=60 2 .

Problema 3.Um ba nco a fi rma que empresta dinheiro a juros de100%a o an o. Na h ora de paga r a sua d vida , um a no depois, umcliente observa que os juros cobrados sao ma is a l tos. Ele procu-ra o gerente do banco que explica que, na verdade, os juros sa oca pita lizados mensa lmente, a t a x a de

100%=8,333%ao m es.


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a ) Q u a l e a t a xa a nua l efetivamente cobrada pelo ban co?

b) E se o ba nco resolve cons idera r qu e os juros sa o ca pita liza dosa cada dia?

c) E se o ba nco considera r q ue os juros sa o ca pitalizados conti-nuamente?

P roblema s de capita lizaca o moneta r ia sao modelados por fun-coes do tipo exponencial, ja que o valor e mult iplicad o, em cada

per odo, pelo fator (1+ i), onde i e a taxa de juros corresponden-te ao per odo. Na pra t ica, porem, o processo d e ca pita liza ca o ediscreto (como descrito na s dua s primeira s pergunta s). No pri-meiro ca so, o int ervalo de 1 a no e dividido em 12 intervalos comum m es de du ra ca o. E m ca da u m desses int er va los , a dvida emultiplicada por (1+ 1/12). Logo, a o fim dos 12 meses, a dvidae multiplicada por (1+ 1/12) 2 = 2,613. Assim , a t a x a a nu a l dejuros e igua l a 161,3%(e na o100%).

No segundo caso, o per odo de um ano e subdividido em 365per odos de 1 dia . Em cada perodo, a dvida e multiplicada por(1+1/365)e, ao fi m do an o, tera sido multiplica da por (1+1/365)

= 2,714. Assim, segundo este esquema de capita liza ca o , a t a x aan ual sera igual a 171,4%.

Finalmente, admit ir que os juros sao capitalizados continua-ment e corresponde a toma r o va lor limite dos processos descritosa cima . Se dividirmos o perodo de 1 a no em nper odos e ca pita li-za rmos a q uan tia em ca da um deles a juros de

, o o capita l inicial

sera multiplicado por

1+

. A resposta a terceira pergunte eobtida toman do o limite qua ndon + desta expressa o. O va lordeste limite e denota do pela letra ee e um numero fundamenta lna Matema t ica. S eu va lor e aproximada mente igual a 2,718, o que

leva a u m a t a x a a nu a l de171,8%em n osso problema. Alguns d osusos do numeroe s era o discutidos mais a dian te.

Problema 4. Volta ndo a o P roblema 1, qua nto t empo deve tra ns-correr para que a qua ntida de de cloro na piscina se reduza a me-t a de ?


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Como vimos, a qua nt idade de cloro no insta nte t e dada porc(t) = 10000,9 . L og o, o inst a nt e t e m qu e e s t a qu a nt ida dese reduz a meta de sat isfaz a equaca o 500 = 10000,9 , ou seja,0,9 =0,5. Como resolver est a equa cao? Existe um tal valor de t?

Pa ra responder a estas pergunt a s, precisamos olhar com ma iscuidado a s propriedades da s fun coes exponenciais (para maioresdeta lhes veja A Matema t ica do Ensino Medio, vol. 1). Lembra-mos qu e um a fun ca o exponencial de ba se a(onde a > 0 e a= 1)e u ma fu nca o f : R R definida por f(x) = a . M a s sera q u e a

formula a

tem sentido pa ra todo numero real?Certamente, a es ta b e m de fi nido qu a ndo x e n a t u r a l: a edefinido como o produto aaaa a (com n fa tores). Maisprecisamente, o valor de a e defi nido recursivament e: a = a ea =a a, para todonnat ura l. A par tir dest a d efi nica o, podemser demonstra da s as propriedades fundament a is das potencias deexpoente na tura l: a = a a e a = a , para quaisquerna t u r a is me n; a lem disso, sem < n, enta oa < a qu a ndoa > 1e a > a qu a ndo 0 < a < 1.

As d efi nicoes das potencias de expoente real de a sao feitasde modo que esta s proprieda des seja m va l idas para qua isquer ex-

poentes. Assim, a

e defi nido como sendo 1, de modo que a iden-t ida de a = a a seja va l ida p a r a t o do n na t u r a l . A seg u ir,a , pa r a n na t u r a l , e definido como

, p a r a qu e a ident ida dea a =a =a =1 se cumpra pa ra todon.

U m pouco ma is delica da e a de fi nica o das potencia s de expoen-t e ra c iona l . B a st a , porem, proceder como fizemos ao resolver oP r ob lem a 1. Inicia lment e, da do u m na t u r a l q, desejamos defi-nir a de modo que

a

= a = a. P or t a nt o , a deve serra iz da equa ca o x = a. Ma s, pa r a t od o q nat ura l, a funca og : [0, +] [0, +] t a l q u e g(x) = x e cont nua, estr i tamente

crescente e ilimita da (veja a Figura 24). Em consequ encia, paratodo apositivo, existe exat a mente um numero real positivo x t a lq ue a =1, que e denota do por a ou

a.

Agora, podemos definir a para todo x raciona l : se x = p/q,definimos

a =a =

a

.


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X

Y

g(x) =xq

a

a1/q

Figura 24

As potencias de expoente racional assim definidas preservam aspropriedades fundamentais das pot encias de expoente natural :a = a a , a = a e, se x < y, enta o a < a qu a ndoa > 1e a > a qu a ndo0 < a < 1.

Consideremos, finalmente, potencias de expoente irracional.Por exemplo, qu a le o signifi cado de a

? A ideia basica e que todo

numero irracional pode ser aproximado, com precisa o a r b it r a r i a ,

por numeros ra cionais. Por exemplo, a s m elhores a proxima coespor fa l ta , de

2 com 1, 2 e 3 casa s decimais sa o 1,4, 1,41 e 1,414.

Os valores de a par a ta is aproxima coes conduzem, por sua vez,a a proxim a coes cada vez melhores para a

. D ev id o a monoto-

nicidade das pot encia s de expoente ra cional, esta s a proxima coesserao por falta (quando a > 1) ou por excesso (quando 0 < a < 1).Em qua lquer caso, o va lor limite desta s a proximacoes (definidocomo o men or numero real ma ior q ue ou igual a todas esta s a pro-xim a coes, no caso a > 1, ou o ma ior numero real menor que ouigual a elas, no caso 0 < a < 1) e toma do como defi nic a o de a

(veja A Mat ema t ica do Ensino Medio, vol. 1, para maiores deta-lhes).

Assim, defi ni

temas problemas

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