statmat ii edit.docx

MATKUL :STATISTIKA MATEMATIKA IIDosen : Istiqomah, S.Si, M.Sc.

Semsester 4

I.PELUANG1 Pendahuluan

D

alam kehidupan sehari - hari banyak kejadian yang terjadinya didasarkan pada peluang atau

probabilitas, misalnya peluang seseorang terkena jantung adalah 0,00001 , peluang hasil pertandingan

final sepak bola antara Perancis dan Brasilia adalah 3 - 2, dan lain sebagainya. Kejadian - kejadian

seperti di atas sebenarnya tidak hanya terjadi sekarang saja, tetapi hal tersebut sudah terjadi sejak

ratusan tahun yang lalu, atau mungkin juga ribuan tahun yang lalu.

Namun secara ilmu baru dirumuskan sekitar abad ke tujuh belas, yaitu ketika ada seorang penjudi kelas

kakap bernama Chevalier de Mere mengajukan pertanyaan kepada Pascal dan mendiskusikan kepada

Fermat ( 1601 - 1665).

Dengan perumusan kedua orang tersebut maka lahirlah ilmu peluang yang tidak saja menjawab

tentang perjudian , tetapi juga berkembang menjadi ilmu yang bermanfaat bagi ilmu pengetahuan,

khususnya statistika.

1 Ruang sampel dan Kejadian

Pekerjaan statistikawan pada dasarnya adalah menafsirkan hasil yang mungkin dari suatu

eksperimen atau percobaan yang dirancang sebelumnya atau yang muncul dalam penelitian ilmiah.

Misalnya dalam pelemparan satu mata uang logam sekali maka yang muncul adalah M ( muka ) atau G

( gambar), dalam pelemparan satu mata dadu yang setimbang maka yang muncul adalah angka 1, 2, 3,

4, 5, atau 6.

Definisi 1.1

Himpunan semua hasil yang mungkin muncul dari suatu percobaan disebut ruang sampel , yang

dilambangkan dengan S.

Definisi 1.2

Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian, yang biasanya dilambangkan dengan huruf

besar.

Definisi 1.3

Suatu kejadian yang hanya mengandung satu unsur dari ruang sampel disebut kejadian sederhana.

STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4

Suatu kejadian majemuk adalah kejadian yang dapat dinyatakan sebagai gabungan beberapa kejadian.

1 Menghitung titik sampel

Salah satu problem yang dihadapi para peneliti adalah menentukan banyaknya anggota ruang sampel

dari suatu percobaan. Dalam banyak hal penentuan anggota ruang sampel tidaklah mudah, tetapi

kadang-kadang juga sulit,

misalnya berapa banyaknya nomor kendaraan yang dapat dibuat jika ketentuannya sebagai berikut.

Nomor kendaraan tersebut diawali dengan satu huruf, diikuti oleh empat angka dan diakhiri oleh

dua huruf dengan masing-masing angka dan huruf hanya digunakan sekali dan angka nol tidak

boleh didepan. Untuk memudahkan penghitungan banyaknya anggota ruang sampel dapat

digunakan teorema-teorema sebagai berikut.

Teorema 1.1

Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n cara, dan jika pada setiap cara tersebut operasi kedua

dapat dilakukan dengan m cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan nm

cara.

Bukti :

Karena setiap n dapat berpasangan dengan setiap m, maka banyaknya pasangan yang dapat terjadi

adalah nm cara

Contoh :

Misalkan seseorang mempunyai 3 celana dengan warna berbeda dan 4 baju dengan warna yang

berbeda pula. Ada berapa cara orang tersebut memakai pasangan baju dan celana dengan setiap

pasangan tersebut berbeda ?. ( Jawab : 3.4 = 12 )

Definisi 1.4

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan obyek yang diambil sebagian

atau seluruhnya.

Misalnya ada tiga huruf A, B, dan C maka susunan yang dapat dibuat adalah ABC, ACB, BAC,

BCA, CAB, dan CBA. Susunan semacam di atas disebut permutasi penuh atau permutasi saja. Secara

umum untuk n obyek yang berbeda terdapat n(n-1)……………….3.2.1 susunan yang berbeda.

Pergandaan semacam di atas biasanya dinotasikan dengan n ! ( dibaca n faktorial atau n fakultet ).

Teorema 1.2

0 ! = 1

Bukti :

Dari definisi n! = n.(n – 1 ).(n – 2) ………3.2.1 = n . ( n – 1 ) ! didapat = ( n – 1 ) !. Jika n = 1

maka didapat 0! = 1.

Teorema 1.3


Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda adalah n !

Bukti :

Anggap ada n tempat yang masing – masing tempat akan diisi satu obyek, sehingga tempat satu

dengan yang lain berisi obyek yang berbeda. Dengan cara seperti di atas maka tempat pertama dapat

diisi dari pilihan n obyek sedangkan tempat ke dua dapat diisi dari n –1 pilihan, dan seterusnya

sebagaimana gambaran di bawah.

n n-1 n-2 . . . . . . 3 2 1

Dengan menggunakan teorema 1.1 didapat hasil pergandaan dari n.(n-1)…….3.2.1 atau n!.

Contoh :

Misalnya dalam antrian loket untuk mendapatkan karcis pertunjukkan sepak bola terdapat 5 orang.

Ada berapa cara orang tersebut membentuk antrian yang berbeda ? ( Jawab : 5 ! = 5.4.3.2.1 = 120

cara )

Teorema 1.4

Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r n adalah

n P r = .

Bukti :

Anggap ada r tempat dengan masing-masing tempat hanya dapat diisi dengan obyek yang berbeda,

maka didapat hasil seperti gambar di bawah.

n n-1 n-2 . . . . . . . . n-r+1

Dengan menggunakan teorema 1.1 didapat hasil pergandaan dari n.(n-1)…..(n-r+1) atau

Contoh :

Misalnya ada 7 orang sebagai formatur yang dapat dipilih menjadi pengurus organisasi dengan susunan

pengurus sebagai berikut: satu orang sebagai ketua, satu orang sebagai sekretaris, dan satu orang

sebagai bendahara. Ada berapa susunan pengurus yang berbeda dapat dibuat ?. ( Jawab : = 7.6.5 = 210 )

Teorema 1.5

Banyaknya permutasi n obyek yang berlainan yang disusun melingkar adalah ( n - 1 ) !.

Bukti :

Jika ada n obyek yang berbeda akan disusun melingkar pada n tempat maka tinggal n-1 tempat yang

bebas dapat ditempati n-1 obyek. Sehingga susunan berbeda yang dapat terjadi adalah ( n-1) !.

Contoh :

Misalnya ada 6 orang membentuk konferensi meja bundar. Ada berapa cara susunan cara duduk ke –

enam orang tersebut ?. ( Jawab : ( 6 – 1 ) ! = 5 ! = 120 ).


Teorema 1.6

Banyaknya permutasi dari n obyek yang terdiri atas n1, ……………., nk adalah

, dengan n =

Bukti :

Anggap jika n obyek tersebut berbeda, maka susunan yang terjadi adalah n!. Karena setiap n i juga

membentuk susunan sebanyak ni! Yang mestinya hanya dihitung satu. Maka banyaknya susunan

berbeda yang terjadi adalah atau sama dengan .

Contoh :

Misanya dalam perayaan peringatan hari kemerdekaan yang akan dilaksanakan pada bulan yang akan

datang, didepan gang masuk kampung akan dipasang lampu hias yang terdiri 3 lampu warna merah, 2

lampu warna hijau, 4 lampu warna kuning, dan 1 lampu warna biru. Jika lampu – lampu tersebut

disusun secara berjajar, ada berapa susunan lampu hias yang dapat dibuat ?.

( Jawab : ).

Teorema 1.7

Banyaknya kombinasi dari n obyek yang berbeda jika diambil r n adalah

Bukti :

Untuk kombinasi urutan AB = BA. Jika dianggap urutan AB tidak sama dengan urutan BA maka

banyaknya urutan yang terjadi sama dengan kejadian pada teorema 1.4 yaitu . Karena setiap r obyek

dapat menyusun r! susunan yang berbeda maka banyak susunan yang terjadi dari kasus kombinasi

adalah .

Contoh :

Misalnya ada 7 orang sebagai formatur yang semuanya dapat dipilih untuk menjadi pengurus suatu

organisasi yang terdiri 3 orang. Ada berapa susunan pengurus yang dapat dibuat ?. ( Jawab : = 7 . 5 =

35 ).

1 Peluang Kejadian

Pada dasarnya tugas statistikawan adalah menyimpulkan atau menginferensi hasil suatu percobaan

yang mengandung ketidakpastian. Agar kesimpulan tersebut dapat dipertanggung jawabkan secara

ilmiah maka diperlukan pemahaman ilmu peluang. Untuk dapat menjawab dengan tepat hasil

pertandingan final sepak bola yang akan dilaksanakan diperlukan ilmu peluang tentang sepak bola

beserta analisisnya yang dapat dinyatakan sebagai peluang.

Didalam merumuskan peluang suatu kejadian ada tiga cara yang dapat digunakan yaitu :

1 Cara klasik

Misalnya banyaknya anggota ruang sampel adalah n dan banyaknya anggota kejadian A adalah m

maka peluang terjadinya kejadian A yang dinotasikan dengan P(A) adalah m/n. Misalnya peluang

munculnya angka gasal pada pelemparan satu mata dadu yang setimbang adalah ½.


Sedangkan peluang munculnya dua gambar pada pelemparan dua mata uang logam sekali adalah

¼.

1 Cara frekwensi relative

Jika suatu percobaan dilakukan sebanyak n ( n ) dan kejadian A yang diamati pada percobaan

tersebut terjadi sebanyak m maka P( A ) = .Misalnya pada pelemparan mata uang dilakukan

sebanyak 1000 kali, dari pelemparan tersebut banyaknya muka muncul 506 kali, maka peluang

munculnya muka adalah 506 / 1000 0,5.

3. Cara subyektif

Banyaknya peluang dalam kejadian sehari - hari yang tidak dapat ditentukan dengan kedua cara di

atas, misalnya berapa peluang nanti sore akan hujan ?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut diperlukan seorang ahli yang dapat memperkirakan dengan

baik kapan terjadinya hujan. Peluang yang ditentukan seperti di atas disebut peluang secara

subyektif.

Definisi 1.6

Jika A suatu kejadian dan S merupakan ruang sampel, maka 0 P(A) 1,

P ( ) = 0, P ( S ) = 1.

1 Beberapa Hukum Peluang

Dalam banyak kasus yang terdiri atas beberapa kejadian, untuk menentukan nilai peluang yang satu

dapat ditentukan dengan peluang yang lain. Untuk itu diperlukan teorema sebagai berikut.

Torema 1.8

Jika A dan B dua kejadian sebarang , maka P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )

Bukti :

Dari teori himpunan diperoleh n ( A B ) = n ( A) + n ( B ) – n ( A B ). Jika kedua ruas

dibagi dengan n ( S ) maka didapat atau

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A ∩ B )

Akibat : Jika A dan B saling lepas, maka P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ).

Bukti :

Karena A dan B saling lepas maka A B = , sehingga P ( A ∩ B )= 0 dan

P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ).

Teorema 1.9

Jika A dan A’ kejadian yang saling berkomplemen, maka P ( A’ ) = 1 - P ( A ).

Bukti :

Dari teori himpunan diketahui A A’ = S, dan A A’ = sehingga didapat

P (A A’ ) = P ( A ) + P ( A’ ) = P ( S ) = 1, yang berarti didapat P( A’ ) = 1 – P ( A ).

Contoh :


Misalkan sebuah dadu ditos sekali. Berapa probabilitas bahwa mata dadu yang keluar lebih besar

sama dengan 2 ?.

Jawab :

Misalkan A = kejadian mata dadu yang keluar lebih besar sama dengan 2, maka A’ = kejadian mata

dadu yang keluar satu. Berarti P ( A’ ) = 1/6, sehingga P ( A ) = 1 – 1/6 = 5/6.

1 Peubah Acak

Dari percobaan pelemparan dua mata uang logam yang setimbang sebanyak sekali maka didapat S =

{ MM, MG, GM, GG }. Misalnya X adalah fungsi dengan domain S yang didefinisikan X (MM) = 0 , X

(GM) = X (MG) = 1, dan X (GG) = 2. Ini berarti X merupakan fungsi bernilai real dengan domain S.

Definisi 1.7

Fungsi bernilai real yang domainnya ruang sampel disebut peubah acak atau variabel random.

Definisi 1.8

Jika banyaknya nilai dari peubah acak berhingga atau sama dengan banyaknya bilangan asli maka

peubah acak tersebut disebut tipe diskret.

Definisi 1.9

Jika banyaknya nilai peubah acak sama dengan banyaknya titik dari sepenggal garis atau sama

dengan banyaknya titik bilangan real maka peubah acak tersebut disebut tipe kontinu.

1.7 Distribusi Peluang Peubah Acak Diskret

Kadang - kadang dalam banyak kasus diinginkan bentuk distribusi dari suatu peubah acak, misalnya

jika seseorang mempunyai tiga anak, bagaimana distribusi peluang dari peubah acak banyaknya anak

laki - laki dari ketiga anak tersebut. Misalnya X = banyaknya anak laki-laki , maka distribusi

peluangnya adalah sebagai berikut :

X 0 1 2 3

P ( X = x ) 1/8 3/8 3/8 1/8

1.8 Fungsi Kepadatan Peluang ( fkp) / Pdf (Probability Density Function)

Definisi 1.10

Peubah acak X tipe diskret dikatakan mempunyai fkp atau pdf ( probability density function ) f(x)

jika 1. f(x) 0, x

1 = 1

Jika X peubah acak tipe diskret maka memenuhi sifat sebagai berikut

1.P ( X = x ) = f (x )

2. P ( A ) =

Contoh :

Misalkan f ( x ) = , x = 1, 2, 3 dan nol untuk yang lain merupakan pdf dari peubah acak X.

a berapakah k


b hitung P ( X = 2 )

c hitung P ( X > 2 )

d hitung P ( X 2 )

Jawab :

a Dari syarat pdf ke-dua maka didapat atau 6k = 12 , sehingga k = 2.

b Dari a) berarti f ( x ) = , sehingga P ( X = 2 ) = f ( 2 ) =

c P ( X > 2 ) = P ( X = 3 ) = f ( 3 ) =

d P ( X 2 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) =

Definisi 1.11

Peubah acak X tipe kontinu dikatakan mempunyai fkp f ( x ) jika

1 f ( x ) 0 , x

2 = 1

Jika X peubah acak tipe kontinu maka mempunyai sifat sebagai berikut

1 P ( X = x ) = 0

2 P ( A ) =

Contoh :

Misalkan f ( x ) = kx , 0 < x < 1 dan nol untuk yang lain merupakan pdf dari X.

a hitung k

b hitung P ( X = 0,5 )

c hitung P ( X < 0,5 )

d hitung P ( X > 0,3 )

Jawab :

a atau k = 2

b P ( X = 0,5 ) = 0

c P ( X < 0,5 ) = = ( 0,5 )2 – 0 = 0,25

d P ( X > 0,3 ) = = 1 – ( 0,3 )2 = 1 – 0,09 = 0,91

1 Fungsi Distribusi / Distribusi Kumulatif

Misalkan peubah acak X mempunyai fkp f ( x ), dan x adalah bilangan real sehingga

P ( A ) = P ( X A ) = P ( X x ), maka peluang seperti di atas disebut distribusi kumulatif dari

peubah acak X yang dinotasikan F ( x ).

Definisi 1.12

Jika peubah acak X mempunyai fkp f (x ) maka distribusi kumulatif dari X adalah

1 F ( x ) = , jika X diskret

2 F ( x ) = dy , jika X kontinu

Contoh :

Tentukan distribusi komulatif dari peubah acak yang mempunyai pdf sebagai berikut :

1 f ( x ) = 1 untuk 0 < x < 1 dan nol untuk yang lain


2 f( x ) = e-x untuk x > 0 dan nol untuk yang lain

3 f( x ) = untuk x = 1 , 2, 3 dan nol untuk yang lain

4 f ( x ) = untuk x = 1 , 2 , 3 dan nol untuk yang lain

Jawab :

1 F ( x ) = = x untuk 0 < x < 1

1.10 Ekspektasi Matematik

Salah satu dari sekian banyak penggunaan konsep dalam problem distribusi peubah acak adalah

ekspektasi matematik. Misalnya X adalah peubah acak yang mempunyai fkp f ( x ) dan misalnya u ( x )

adalah fungsi dari x sehingga ada untuk X kontinu dan ada jika X diskret. Integral dan jumlahan di atas

disebut ekspektasi matematik, yang dinotasikan E [ u ( x ) ].

Definisi 1.13

Jika peubah acak X mempunyai fkp f ( x ) maka E ( X ) disebut mean dari peubah acak dan E ( X - E

( X ) )2 dinamakan varians atau ragam, ditulis var ( X ).

Teorema 1.10

E ( X - E ( X ) )2 = E ( X2 ) - ( E ( X ) )2

Teorema 1.11

1 E ( a X ) = a E ( X )

2 E ( X + a ) = E ( X ) + a

3 var ( a X ) = a2 var ( X )

4 var ( X + a ) = var ( X )

Definisi 1.14 : Moment Generating Function ( MGF)

Fungsi pembangkit momen dari peubah X yang mempunyai fkp f ( x ) adalah E ( etx ) ,

- h < t < h untuk h bilangan real positif, yang dinotasikan M ( t ).

Teorema 1.12

Jika peubah acak X mempunyai fungsi pembangkit momen M ( t ) maka

M(n) ( 0 ) = E ( Xn ).

Definisi 1.15

Jika peubah acak X mempunyai mean dan varians 2 sehingga E ( X - ) 3 ada maka disebut

kemencengan atau skewness.

Definisi 1.16

Jika peubah acak X mempunyai mean dan varians 2 sehingga E ( X - ) 4 ada maka disebut

keruncingan atau kurtosis.

1 Pertidaksamaan Chebyshev

Dalam bagian ini akan dibahas tentang teorema yang dapat digunakan untuk menghitung peluang


suatu peubah acak jika tidak diketahui fkp nya, tetapi diketahui mean dan variansnya saja.

Teorema 1.13

Misalkan u ( X ) fungsi non negatif dari peubah acak X. Jika E ( u ( X ) ) ada maka untuk setiap

konstanta c berlaku P ( u ( X ) c ) .

Teorema 1.14 ( Teorema Chebyshev )

Misalkan peubah acak X mempunyai distribusi peluang dengan mean dan varians 2 . Maka

untuk setiap k > 0 berlaku P ( X - k ) 1/ k2 atau

P ( X - ≤ k ) 1 - 1/ k2

Soal - soal latihan

1 Buktikan a . = 2 n b.

2 Buktikan = - log ( 1 - x ) , - 1 < x < 1

3 Buktikan a. = ½ k ( k + 1 ) b . = 1/6 k ( k + 1 ) ( 2k + 1 )

4 Jika A dan B suatu kejadian maka buktikan

a P ( A B ‘ ) = P ( A ) - P ( A B )

b P ( A B ) = 1 - P ( A’ B’ )

1 Misalkan P ( A ) = P ( B ) = 1/3 dan P ( A B ) = 1/10. Hitung

a P ( B’ )

b P A B’ )

c P ( B A’ )

d P ( A’ B’ )

1 Misalkan P ( A ) = ½ , P ( B ) = 1/8 , dan P ( C ) = ¼ , dengan A , B , dan C saling lepas. Hitung

a P ( A B C )

b P ( A’ B’ C’ )

1 Untuk bilangan bulat positif n > r , buktikan

a

b

1 Peubah acak tipe diskret mempunyai

a f ( x ) = k ( ½ ) x , x = 1, 2, 3 dan nol untuk yang lain . Tentukan nilai k agar f ( x ) merupakan fkp.

b Apakah fungsi yang berbentuk f ( x ) = k [ ( ½ ) x - ½ ] , untuk x = 0, 1, 2 merupakan fkp ?

1 Peubah acak tipe diskret X mempunyai fkp f ( x ) = c ( 8 - x ) , untuk x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 dan nol untuk

yang lain.

a Tentukan konstanta c

b Tentukan distribusi komulatifnya

c Hitung P ( X > 2 )

d Hitung E ( X )


1 Peubah acak X mempunyai distribusi komulatif F ( x ) = 1 - ( ½ ) x + 1 , x = 0, 1, 2, … dan nol untuk yang

lain.

a Tentukan fkp dari X

b Hitung P ( 10 < X 20 )

c Hitung P ( X genap )

1 Misalkan peubah acak diskret X memenuhi sifat P ( X = x ) > 0, jika x = 1, 2, 3 atau 4 dan P ( X = x ) =

0, untuk yang lain. Misalkan distribusi komulatif

F ( x ) = 0.05 x ( 1 + x ) untuk nilai x = 1, 2, 3, atau 4.

a Buat grafik dari distribusi komulatifnya

b Buat grafik dari fkp-nya

c Hitung E ( X )

1 Peubah acak X tipe kontinu mempunyai fkp f ( x ) = c ( 1 - x ) x 2 , jika 0 < x < 1 dan nol untuk yang

lain.

a Tentukan konstanta c

b Hitung E ( X )

1 Suatu fungsi f ( x ) mempunyai bentuk sebagai berikut f ( x ) = k x - ( k + 1 ) , jika x > 1, dan nol

untuk yang lain.

a Untuk nilai k yang mana agar f ( x ) merupakan fkp ?.

b Tentukan distribusi komulatif berdasar hasil a.

c Untuk nilai k yang mana agar E ( X ) ada ?.

1 Tentukan fkp dari suatu peubah acak jika diketahui distribusi komulatifnya adalah

a F ( x ) = ( x 2 + 2 x + 1 ) / 16 ; -1 x 3.

b F ( x ) = 1 - e - x - x e - x ; x 0 ; > 0.

1 Peubah acak X mempunyai distribusi komulatif F ( x ) =

a Buat grafik dari F ( x )

b Buat grafik dari f ( x )

c Hitung P ( X ½ )

d Hitung P ( X ½ )

e Hitung P ( X < 1,25 )

1 Peubah acak X tipe kontinu mempunyai fkp f ( x ) = 2x / 9, 0 < x < 3 , dan nol untuk yang lain.

a Tentukan distribusi komulatif dari X

b Hitung P ( X < 2 )

c Hitung P ( - 1 < X < 1,5 )

d Tentukan m sehingga P ( X m ) = P ( X m )

e Hitung E ( X )


1 Peubah acak X mempunyai fkp f ( x ) =

a Tentukan median dari X

b Buat grafik dari distribusi komulatif dari X

1 Misalkan peubah acak X untuk x > 0 tipe kontinu dengan fungsi distribusi F ( x ) dan E ( X ) ada.

Buktikan E ( X ) =

1 Gunakan pertidaksamaan Chebychev untuk menentukan batas bawah P ( 5/8 < X <

7/8 ) jika X mempunyai fkp f ( x ) = 3 x 2 , 0 , x < x < 1

2 Jika A1, A2, ……….. merupakan himpunan-himpunan sehingga Ak Ak + 1 untuk k = 1, 2, …… dan

didefinisikan sebagai union dari A1 A2 A3 …….. , maka tentukan jika

a Ak = { x / 1/k x 3 - 1/k } , k = 1, 2, 3, ………

b Ak = { ( x , y ) / 1/k x 2 + y 2 4 - 1/k } , k = 1, 2, 3, …….

21. Jika A1, A2, ……….. merupakan himpunan-himpunan sehingga Ak Ak + 1 untuk k = 1, 2, …… dan

didefinisikan sebagai interseksi dari A1 A2 A3 …….. , maka tentukan jika

a Ak = { x / 2 - 1/k x 2 } , k = 1, 2, 3, ………

b Ak = { x / 2 < x 2 + 1/k } , k = 1, 2, 3, …….

c Ak = { ( x , y ) / 0 x 2 + y 2 1/k } , k = 1, 2, 3, …….

1 Misalkan f ( x ) = x/15 , x = 1, 2, 3, 4, 5 dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari peubah acak X.

Tentukan a) P ( X = 1 atau X = 2 ) b ) P ( ½ < X < 5/2 )

1 Untuk setiap fkp di bawah ini hitung P ( X < 1 ) dan P ( X 2 < 9 )

a f ( x ) = x 2/18 , -3 < x < 3 , dan nol untuk yang lain

b f ( x ) = ( x + 2 ) / 18 , - 2 < x < 4 , dan nol untuk yang lain

1 Misalkan f ( x , y ) = 4 xy , 0 < x < 1 , 0 < y < 1 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp bersama antara

X dan Y. Tentukan P ( 0 < X < ½ , ¼ < Y < 1 ) dan P ( X = Y ).

1 Modus dari distribusi suatu peubah acak X adalah nilai x yang memaksimumkan fkp f ( x ). Dari fkp

berikut tentukan modusnya

a f ( x ) = ( ½ ) x , x = 1, 2, 3, ………….. ,dan nol untuk yang lain

b f ( x ) = 12 x 2 ( 1 - x ) , 0 < x < 1 , dan nol untuk yang lain

c f ( x ) = ( ½ ) x 2e - x , x > 0 , dan nol untuk yang lain

1 Median dari distribusi suatu peubah acak X adalah nilai x sehingga P ( X < x ) ½ dan P ( X x )

½. Tentukan median dari masing - masing distribusi yang mempunyai fkp berikut :

a f ( x ) = , x = 0, 1, 2, 3, 4, dan nol untuk yang lain.

b f ( x ) = 3 x 2 , 0 < x < 1 , dan nol untuk yang lain.

c f ( x ) = .


1 Misalkan f ( x ) merupakan fkp dari peubah acak X. Tentukan fungsi distribusi ( distribusi

komulatif ) F ( x ) dan buat grafiknya dari fkp berikut.

a f ( x ) = 1 , x = 0 , dan nol untuk yang lain.

b f ( x ) = 1/3 , x = -1, 0, 1 , dan nol untuk yang lain.

c f ( x ) = x/15 , x = 1, 2, 3, 4, 5 dan nol untuk yang lain.

d f ( x ) = 3 ( 1 - x 2 ) , 0 < x < 1 , dan nol untuk yang lain.

e f ( x ) = 1/x 2 , x > 1 , dan nol untuk yang lain.

f f ( x ) = 1/3 , 0 < x < 1 atau 2 < x < 4 , dan nol untuk yang lain.

1 Misalkan f ( x ) = 1 , 0 < x < 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari X. Tentukan fungsi

distribusi dan fkp dari Y = X.

1 Misalkan f ( x ) = x/6 , x = 1, 2, 3 ,dan nol untuk yang lain merupakan fkp dari X. Tentukan fungsi

distribusi dan fkp dari Y = X 2.

2 Misalkan X dan Y mempunyai fkp f ( x , y ) = 1 , 0 < x < 1 , 0 < y < 1, dan nol untuk yang lain. Tentukan

fkp dari Z = XY.

3 Misalkan peubah acak X mempunyai fkp f ( x ) = ( x + 2 ) /18 , -2 < x < 4 , dan nol untuk yang lain.

Tentukan E ( X ) , E [ ( X + 2 ) 2 ], dan E [ 6 X - 2 ( X + 2 ) 3 ].

4 Misalkan fkp bersama antara X dan Y adalah f ( x, y ) = e -x - y , x > 0 , y > 0 , dan nol untuk yang lain.

Ambil u ( X , Y ) = X , v ( X , Y ) = Y, dan w ( X , Y ) = XY . Buktikan E [u ( X , Y ) ]. E [v ( X , Y ) ] =

E [w ( X , Y ) ].

5 Misalkan peubah acak X tipe kontinu mempunyai fkp f ( x ). Jika m adalah median yang tunggal dari X

dan b konstanta real , maka buktikan

E ( X - b ) = E ( X - m ) + 2

1 Misalkan peubah acak X memenuhi sifat E [ ( X - b ) 2 ] ada untuk semua b. Buktikan E [ ( X - b ) 2 ]

minimum jika b = E ( X ).

1 Misalkan peubah acak X mempunyai mean dan varians 2 sehingga E [ ( X - ) 3 ] ada maka E [ ( X -

) 3 ]/ 3 dinamakan ukuran kemiringan ( Skewness ). Tentukan ukuran kemiringan dari distribusi yang

mempunyai fkp sebagai berikut.

a f ( x ) = ( x + 1 ) / 2 , - 1 < x < 1 , dan nol untuk yang lain.

b f ( x ) = ½ , -1 < x < 1 , dan nol untuk yang lain.

c f ( x ) = ( 1 - x ) / 2 , - 1 < x < 1 , dan nol untuk yang lain.

1 Misalkan peubah acak X mempunyai mean dan varians 2 sehingga E [ ( X - ) 4 ] ada maka E [ ( X -

) 4 ]/ 4 dinamakan ukuran keruncingan ( Kurtosis ). Tentukan ukuran keruncingan dari distribusi yang

mempunyai fkp sebagai berikut.

a f ( x ) = ½ , - 1 < x < 1 , dan nol untuk yang lain.

b f ( x ) = 3 ( 1 - x 2 ) / 4 , - 1 < x < 1 , dan nol untuk yang lain.


I PELUANG BERSYARAT DAN BEBAS STOKASTIK

1 Pendahuluan

D

alam kehidupan sehari-hari banyak dijumpai bahwa suatu kejadian tidak tunggal, tetapi mungkin dijumpai

beberapa kejadian yang satu dengan yang lain mungkin saling mempengaruhi atau yang satu dengan yang

lain saling bebas. Demikian juga ada kejadian yang terjadinya terjadi setelah kejadian lain terjadinya

diketahui. Pada bab ini akan dibahas tentang peluang bersyarat, teorema Bayes, distribusi marginal, distribusi

bersyarat, bebas stokastik, kovarians, dan korelasi.

1 Peluang Bersyarat

Misalkan A dan B kejadian yang terjadinya bersama-sama dengan kejadian B diketahui terjadinya

terlebih dahulu. Peluang terjadinya A jika diketahui B terjadi dahulu disebut peluang bersyarat, yang

dinotasikan P ( A / B ).

Definisi 2.1

Jika A dan B dua kejadian yang terjadi bersama-sama maka peluang terjadinya A dengan syarat B

yaitu .

Dari pengertian kejadian yang saling bebas berarti jika A dan B dua kejadian yang saling bebas maka

P ( A / B ) = P ( A ) maka dengan menggunakan definisi 2.1 didapat hubungan P ( A B ) = P ( A ) . P

( B )

Teorema Bayes

Jika C1, ……………., Cm kejadian yang saling lepas dan C adalah kejadian yang merupakan subset

dari union C1, ……………., Cm maka

1 P ( C ) = , i = 1, 2, ………., m

2 P ( Ci / C ) =

1 Distribusi Marginal dan Bersyarat

Misalkan f ( x,y ) merupakan fkp bersama dari peubah acak X dan Y maka fkp marginal dari X

adalah

f ( x ) = , untuk kasus diskret

= , untuk kasus kontinu

Sedangkan fkp bersyarat dari X jika Y = y diketahui adalah f ( x/y ) =

Ada kalanya diinginkan untuk mengetahui nilai Y jika X = x diketahui. Hal ini dapat ditentukan

dengan menghitung nilai mean bersyarat yaitu E ( Y / x ) yang didefinisikan E ( Y / x ) = , untuk


kasus diskret

= , untuk kasus kontinu

dan varians bersyarat var ( Y / x ) = E { [ Y - E ( Y / x ) ] 2 / x }

1 Koefisien Korelasi

Banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari bahwa peubah acak yang satu dengan yang lain

mungkin saling mempengaruhi atau tidak. Misalkan peubah acak X dan Y masing-masing mempunyai

mean 1 dan 2 serta varians 12 dan 2

2, maka E ( XY ) - 12 disebut kovarians dari X dan Y, yang

dinotasikan dengan cov ( X , Y ) , sedangkan koefisien korelasi dari X dan Y dinotasikan yang

didefinisikan =

Teorema 2.1

Nilai koefisien korelasi dari peubah acak X dan Y adalah - 1 1.

Untuk dua peubah acak X dan Y yang mempunyai fkp bersama f ( x , y ) dapat ditentukan fungsi

pembangkit momennya yang didefinisikan E ( etx + sy ) dengan - h < t < h dan - k < s < k, untuk h

kan k bilangan bulat positif.

1 Bebas Stokastik

Misalkan X dan Y dua peubah acak yang mempunyai fkp bersama f ( x , y ) dan fkp marginal masing

- masing f ( x ) dan f ( y ). Dari definisi distribusi bersama f ( x , y ) = f ( x/y) f ( y ) dan misalkan f

( x / y ) tidak tergantung dari y maka didapat f ( x , y ) = f ( x ) f ( y )

Definisi 2.

Misalkan X dan Y dua peubah acak yang mempunyai fkp bersama f ( x , y ) dan fkp marginal dari X

adalah f ( x ) dan marginal dari Y adalah f ( y ). Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas stokastik

jika f ( x , y ) = f ( x ). f ( y )

Teorema 2.2

Jika X dan Y peubah acak yang bebas stokastik dengan fkp marginal f ( x ) dan f ( y ) maka P ( a <

X < b , c < Y < d ) = P ( a < X < b ) P ( c < Y < d ) untuk setiap a < b dan c < d, dengan a, b, c, dan d

konstanta.

Teorema 2.3

Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fkp bersama f ( x , y ). Maka X dan Y bebas stokastik

jika dan hanya jika f ( x , y ) dapat dinyatakan sebagai hasil pergandaan fungsi non negatif dari x dan

fungsi non negatif y, yaitu f ( x , y ) = g ( x ) . h ( y )

Soal - soal latihan :

1 Jika P ( C1 ) > 0 dan jika C2 , C3, ….. saling lepas maka buktikan P (C 2 C3

…….. / C1 ) = P ( C2 / C1 ) + P ( C3 / C1 ) + …………

2 Misalkan X dan Y mempunyai fkp bersama f ( x , y ) = x + y , 0 < x < 1 dan 0 < y < 1 , dan nol

untuk yang lain. Tentukan mean dan varians bersyarat dari Y jika diberikan X = x , 0 < x < 1.

3 Misalkan f ( x / y ) = cx / y 2 , 0 , x < y , 0 < y < 1 , dan nol utnuk yang lain , dan f ( y ) = d y 4 , 0 <

y < 1 ,dan nol untuk yang lain masing -masing merupakan fkp bersyarat dan fkp marginal. Tentukan

a konstanta c dan d STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4

b fkp bersama antara X dan Y

c P ( ¼ < X < ½ / Y = 5/8 )

d P ( ¼ < X < ½ )

1 Misalkan f ( x , y ) = 21 ( x y ) 2 , 0 < x < y < 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp bersama

antara X dan Y. Tentukan mean dan varians bersyarat dari X jika Y = y , 0 < y < 1.

1 Jika X dan Y adalah peubah acak tipe diskret yang mempunyai fkp bersama f ( x , y ) = ( x + 2

y ) / 18 , ( x , y ) = ( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2, 1) , ( 2 , 2 ) , dan nol untuk yang lain. Tentukan mean dan

varians bersyarat dari Y jika diberikan X = x untuk x = 1 atau 2.

2 Misalkan X dan Y mempunyai fkp bersama

a f ( x , y ) = 1/3 , ( x , y ) = ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) , dan nol untuk yang lain

b f ( x , y ) = 1/3 , ( x , y ) = ( 0 , 2 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) , dan nol untuk yang lain

c f ( x , y ) = 1/3 , ( x , y ) = ( 0, 0 ) , ( 1 , 1 ) , ( 2 , 0 ) , dan nol untuk yang lain

Tentukan koefisisen korelasi dari peubah acak X dan Y

1 Misalkan f ( x , y ) = 2 , 0 < x < y , 0 < y < 1 , dan nol untuk yang lain merupakan fkp bersama dari

X dan Y . Buktikan E ( Y / x ) = ( 1 + x ) / 2 , 0 < x < 1 dan E ( X / y ) = y / 2 , 0 < y < 1 ,

dan koefisien korelasi antara X dan Y adalah ½.

1 Misalkan X dan Y mempunyai fkp bersama f ( x , y ) = 1 , -1 < y < x , 0 < x < 1 dan nol untuk yang

lain. Buktikan E ( Y / x ) merupakan garis lurus dan E ( X / y ) bukan merupakan garis lurus.

2 Buktikan peubah acak X dan Y yang mempunyai fkp bersama f ( x , y ) = 12 xy

( 1 - y ) , 0 < x < 1 , 0 < y < 1, dan nol untuk yang lain merupakan independen stokastik.

3 Jika peubah acak X dan Y mempunyai fkp bersama f ( x , y ) = 2 e - x - y , 0 < x < y , y > 0 , dan nol

untuk yang lain. Buktikan X dan Y independen stkastik.

4 Misalkan f ( x , y ) = 1/16 , x = 1, 2, 3, 4 dan y = 1, 2, 3, 4 dan nol untuk yang lain. Buktikan X dan

Y independen stokastik.

5 Tentukan P ( 0 < X < 1/3 , 0 < Y < 1/3 ) jika peubah acak X dan Y mempunyai fkp bersama f ( x ,

y ) = 4 x ( 1 - y ) , 0 < x < 1 , 0 < y < 1 dan nol untuk yang lain.


III. DISTRIBUSI HAMPIRAN

D

alam bab sebelumnya telah dibahas tentang distribusi dari statistik yang diperoleh , misalkan Y n = Σ

Xi berdistribusi binomial b(n , p) jika X i independen stokastik berdistribusi bernoulli b( 1 , p ).

Demikian juga n = berdistribusi normal N( µ ,σ2/n ) jika Xi merupakan sampel acak dari distribusi

normal N( µ ,σ2 ).

Dari dua contoh di atas terlihat bahwa distribusi dari statistik yang diperoleh tergantung dari ukuran

sampel n. Pada bab ini akan dibahas suatu distribusi dari statistik yang tidak tergantung dari n.

Distribusi yang akan dibahas biasanya dinamakan distribusi hampiran ( limiting distribution).

Definisi :

Misalkan Fn(y) merupakan distribusi komulatif dari peubah acak Yn yang tergantung dari n,


dengan n bilangan bulat positif. Jika F(y) merupakan distribusi komulatif

sehingga untuk n untuk setiap titik y , dan F(y) kontinu, maka peubah acak Yn

dinamakan mempunyai distribusi hampiran dengan distribusi komulatif F(y).

Contoh :

Misalkan Yn adalah order statistik ke-n dari sampel acak X1, …………., Xn yang berasal dari

distribusi dengan pdf f(x) = 1/ , 0 < x < , > 0 , dan nol untuk yang lain. Maka pdf

dari Yn adalah gn( y ) = , 0 < y < dan nol untuk yang lain

Gn( y ) =

maka

maka G(y) =

Definisi :

Distribusi komulatif G(y) dinamakan degenarate distribution pada nilai y = c jika

G(y) =

Definisi :

Barisan peubah acak Y1 , Y2 , …. Dikatakan konvergen stokastik ke konstanta c jika

distribusi hampiran dari Yn adalah degenerate pada y = c.

Teorema :

Misalkan Fn(y) merupakan distribusi komulatif dari peubah acak Yn yang distribusinya

tergantung dari n. Misalkan c adalah konstanta yang tidak tergantung dari n. Peubah acak Yn

dikatakan konvergen stokastik ke c jika hanya jika untuk > 0 berlaku

Teorema :

Misalkan Yn mempunyai distribusi komulatif Fn(y) dan fungsi pembangkit momen M( t; n)

ada untuk - h < t < h dan semua n. Jika terdapat distribusi komulatif F(y) yang bersesuaian

dengan fungsi pembangkit momen M(t) sehingga maka Yn mempunyai distribusi hampiran

F(y).

Teorema Limit Pusat :

Misalkan X1, …………, Xn merupakan sampel acak dari distribusi yang mempunyai mean µ

dan varians σ2. Maka peubah acak Yn = mempunyai


distribusi hampiran normal baku.

Bukti :

Definisikan MX-(t) = m(t).


1 Misalkan Xn berdistribusi gamma dengan parameter = n dan , dengan tidak tergantung dari n.

Misalkan Yn = Xn / n , maka tentukan distribusi hampiran dari Yn.

2 Misalkan Zn berdistribusi Kai-kuadrat dengan derajat bebas n dan Wn = Zn /n . Tentukan distribusi

hampiran dari Wn.

3 Misalkan Zn berdistribusi Poisson dengan mean µ = n. Tentukan distribusi hampiran dari Yn = (Zn - n ) /

√n.

4 Misalkan n merupakan mean dari sampel acak berukuran n yang berdistribusi Poisson dengan mean 1.

Tentukan dari mgf dari Yn = √n (n - 1) dan juga tentukan distribusi hampiran dari Yn.

5 Misalkan n adalah mean dari sampel acak berukuran n yang mempunyai pdf f(x) = e- x , x > 0 , dan nol

untuk yang lain. Tentukan mgf dari Yn = √n (n - 1) dan tentukan distribusi hampiran dari Yn.

6 Misalkan 100 merupakan mean dari sampel acak berukuran 100 yang berdistribusi Kai-kuadrat dengan

derajat bebas 50. Hitung P ( 49 < 100 < 51 ).

7 Misakan 128 adalah mean dari sampel acak berukuran 128 yang berdistribusi gamma dengan parameter

= 2 dan = 4. Hitung P( 7 < 128 < 9).

8 Misalkan Y berdistribusi binomial b( 72, 1/3). Hitung P ( 22 ≤ Y ≤ 28).

9 Hitung probabilitas dari mean sampel acak berukuran 15 yang mempunyai pdf f(x) = 3 x2 , 0 < x < 1, dan

nol untukyang lain berada diantara 3/5 dan 4/5.

10 Misalkan Y berdistribusi binomial b(400, 1/5) . Hitung P( 0,25 < Y/n).

11 Misalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran 100 dari distribusi 2 ( 50 ) . Hitung

nilai pendekatan dari P ( 49 < < 51 ).

12 Misalkan adalah mean dari sampel acak berukuran 128 dari distribusi gamma dengan parameter = 2

dan = 4. Hitung nilai pendekatan dari P ( 7 < < 9 ).

13 Misalkan diketahui peubah acak independen Zi , i = 1, 2, ……., 16 yang berdistribusi normal N ( 0 , 1 )

dan adalah mean dari sampel. Tentukan


a P ( < ½ ) b. P ( Z 1 - Z 2 < 2 ) c. P ( Z 1 + Z 2 < 2 )

a P ( < 32 ) e. P ( < 25 )


IV. BEBERAPA DISTRIBUSI KHUSUS

1 Pendahuluan

D

alam penerapan , seperti pada penelitian tidak semua distribusi dari suatu peubah acak dapat

digunakan , tetapi ada beberapa distribusi yang sering digunakan diantaranya adalah distribusi binomial,

Poisson, Eksponensial, Normal, Chi - Square dan lain sebagainya. Pada bagian ini akan dibahas tentang

distribusi-distribusi yang sering digunakan dalam penelitian.

1 Distribusi Tipe Diskret

1 Distribusi seragam ( Uniform )

Peubah acak X tipe diskret dikatakan mempunyai distribusi seragam jika mempunyai fkp f ( x ) = , x

= 1, 2, …………………, n

= 0 , yang lain

2 Distribusi Bernoulli

Banyak kejadian dalam sekeliling kita yang hasilnya selalu dual yaitu “ sukses “ atau “gagal”.

Satu percobaan yang hanya menghasilkan sukses atau gagal saja dengan peluang sukses p dan

peluang gagal 1 - p disebut kejadian Bernoulli. Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi

Bernoulli jika mempunyai fkp f ( x ) =

Jika sukses dilambangkan dengan 1 dan gagal dengan 0, maka fkp-nya biasanya dituliskan f (x) =

px ( 1 – p )1-x , x = 0 , 1

= 0 , yang lain.

1 Distribusi Binomial

Misalkan ada n barisan kejadian yang saling bebas dengan tiap kejadian merupakan kejadian

Bernoulli, maka jika X merupakan banyaknya sukses dari barisan tersebut maka X berdistribusi

binomial. Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi binomial jika mempunyai fkp

f ( x ) = , x = 0, 1, 2, ………………., n ; 0 < p < 1

= 0 , untuk yang lain

Jika X berdistribusi binomial dengan peluang sukses p, maka biasanya dinotasikan X b


( n , p )

Teorema 3.1

Jika X berdistribusi binomial b ( n , p ) maka E ( X ) = np dan Var ( X ) = np( 1 - p ).

Teorema 3.2

Jika X berdistribusi binomial b ( n , p ) maka M ( t ) = [ ( 1 - p ) + pet )n


1 Distribusi Multinomial

Jika pada distribusi binomial, populasi dibagi menjadi dua kategori maka pada distribusi

multinomial, populasi dibagi menjadi beberapa kategori. Misal ada m kategori yaitu A1,

………………., Am dengan peluang p1, …………., pm dengan p1 + ………….+ pm = 1. Misalnya

pada A1 terjadi x1 kali, …………, pada Am terjadi xm kali. Fungsi kepadatan peluang dari A1,

………………., Am disebut distribusi multinomial, yang fkpnya dinyatakan sebagai berikut

P ( X1 = x1, ………., Xm = xm ) =


1 Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik merupakan distribusi binomial jika dikerjakan dengan tanpa

pengembalian. Misal ada N obyek yang terdiri atas M obyek dan N - M obyek. Misal dari N obyek

tersebut diambil n obyek tanpa pengembalian, dan misal X adalah banyaknya obyek yang terambil

dari M, maka X berdistribusi hipergeometrik dengan fkp

f ( x ) = , x = 0, 1, 2, ……………….., n

= 0 , yang lain

Teorema 3.3

Jika pada distribusi hipergeometrik N besar sekali ( N ) dan ( M/ N ) p, dan

sampling dilakukan dengan pengembalian, maka distribusi hipergeometrik menjadi distribusi

binomial.

1 Distribusi Geometrik

Misalkan terdapat barisan kejadian yang saling bebas dengan setiap kejadian menghasilkan

sukses atau gagal , dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1 - p. Jika X adalah banyaknya

kejadian sehingga diperoleh sukses yang pertama maka X berdistribusi geometrik yang fkpnya

adalah

f( x ) = ( 1 - p )x - 1 p , x = 1, 2, ……………


1 Distribusi Negatif Binomial

Misalkan ada barisan kejadian yang saling bebas dengan setiap kejadian hanya menghasikan

sukses atau gagal dengan peluang sukses p dan peluang gagal 1 - p. Misalkan X adalah banyaknya

sukses dengan kejadian terakhir sukses , maka X berdistribusi negatif binomial, yang fkpnya adalah

f ( x ) = , x = 0, 1, 2 , …………

= 0 , yang lain

1 Distribusi Poisson

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Poisson dengan parameter dengan ( > 0 ) jika X

mempunyai fkp

f ( x ) = , x = 0, 1, 2, …………..

= 0 , yang lain


Teorema 3.4

Jika X berdistribusi Poisson dengan parameter maka E ( X ) = dan var ( X ) = .

Teorema 3.5

Jika X berdistribusi Poisson dengan parameter maka

M ( t ) = atau exp ( ( e t - 1 ) ).

1 Distribusi Tipe Kontinu

1 Distribusi gamma

Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi gamma jika mempunyai fkp f( x ) = , x > 0


Teorema 3.6

Jika X berdistribusi gamma dengan parameter dan makaE ( X ) = , dan var ( X ) = 2

1 Distribusi Chi- Square

Jika distribusi gamma diketahui = n/2 , dan = 2 maka distribusi gamma dikatakan

menjadi distribusi Chi- Square. Fungsi kepadatan peluang dari distribusi ini adalah f ( x ) = , x > 0


Bentuk fkp seperti di atas disebut distribusi chi - square dengan derajat bebas n.

Teorema 3.7

Jika X berdistribusi chi - square dengan derajat bebas n maka E ( X ) = n dan var ( X ) = 2n

Teorema 3.8

Jika X berdistribusi chi - square dengan derajat bebas n maka M ( t ) = , t < ½


1 Distribusi Eksponensial

Jika distribusi gamma diketahui = 1, dan = 1/ , maka distribusi gamma dikatakan

berdistribusi eksponensial dengan parameter yang fkp-nya adalah

f ( x ) = e- x , x > 0

= 0 , yang lain

Teorema 3.9

Jika X berdistribusi eksponensial dengan parameter maka E ( X ) = 1/ dan var ( X ) = 1/ 2

1 Distribusi Beta

Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi beta jika mempunyai fkp

f ( x ) = , 0 < x < 1

= 0 , yang lain

1 Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi yang paling banyak digunakan oleh para pengguna

statistik, karena dengan distribusi ini akan didapat distribusi lain yang dikenal, misalnya distribusi

chi - square. Jika peubah X mempunyai distribusi normal dengan mean dan varians 2 maka fkp-

nya adalah

f ( x ) = , - < x < , - < < , dan 2 > 0.


Teorema 3. 10

Jika X berdistribusi normal dengan mean dan varians 2 maka

M ( t ) = exp ( t + ( 2t2 )/ 2 ) .

Teorema 3.11

Jika X berdistribusi normal dengan mean dan varians 2 maka Z = berdistribusi

normal baku, yaitu distribusi normal dengan mean 0 dan varians 1.

Teorema 3.12

Jika X berdistribusi normal dengan mean dan varians 2 maka 2 = berdistribusi

chi - square dengan derajat bebas 1.

Torema 3. 13

Jika X1, ……………., Xn peubah acak yang identik independen berdistribusi normal mean

dan varians 2 maka

1 berdistribusi chi - square dengan derajat bebas n.

2 berdistribusi chi - square dengan derajat bebas n - 1

1 Distribusi Student t.

Distribusi ini banyak digunakan dalam inferensi statistik, utamanya untuk inferensi parameter dari

distribusi normal jika varians 2 tidak diketahui.

Peubah acak X dikatakan mempunyai distribusi student t , dengan derajat bebas n jika mempunyai STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4

fkp

f ( x ) =


2 Distribusi F

Distribusi ini banyak dipakai untuk inferensi statistik parameter dari beberapa populasi yang

berdistribusi normal.

Peubah acak X dikatakan berdistribusi F dengan derajat bebas pembilang n, dan derajat bebas

penyebut m jika mempunyai fkp

f ( x ) =

= 0 , yang lain

1 Distribusi Bivariate Normal

Misalkan X dan Y masing - masing berdistribusi normal N ( 1,12 ) dan N ( 2 ,2

2 ) dan

adalah koefisien korelasi dari X dan Y maka pdf bersama antara X dan Y , yaitu f ( x , y ) dinamakan

mempunyai distribusi normal bivariate jika fkp-nya sebagai berikut

f ( x , y ) = , - < x < , - < y <

= 0 , yang lain

dengan q =

Soal - Soal Latihan

1 Jika mgf dari peubah acak X adalah ( 1/3 + 2/3 et ) 5 , maka tentukan P( X = 2 atau 3 )

2 Mgf dari peubah X adalah ( 2/3 + 1/3 e t ) 9 . Buktikan bahwa P ( - 2 < X <

+ 2 ) =

3 Jika X berdistribusi binomial B ( n , p ) maka buktikan E ( X / n ) = p dan E ( ( X/n) - p ) 2 =

( p ( 1 - p ) ) / n

4 Jika X1 , X2 , dan X3 sampel acak independen yang mempunyai fkp sama f ( x ) = 3x 2 , 0 < x

< 1 , dan nol untuk yang lain , maka tentukan peluang bahwa tepat dua dari tiga peubah acak tersebut

melebihi ½.

5 Misalkan Y banyaknya sukses dari n independen percobaan dengan peluang sukses p = 2/3. Jika n = 3,

maka hitung P ( 2 Y ) ; jika n = 5 ,maka hitung P ( 3 Y ).

6 Misalkan Y banyaknya sukses dari n independen percobaan dengan peluang sukses p = ¼. Tentukan n

terkecil sehingga P ( 1 Y ) 0,70.

7 Misalkan X dan Y sampel acak inedenpen stokastik dengan masing - masing berdistribusi binomial

dengan parameter n = 3 , p1 = 2/3 dan m = 4 dengan p2 = ½. Hitung P ( X = Y ).

8 Misalkan X1, X2 , ………….., Xk - 1 mempunyai distribusi multinomial. Tentukan

a MGF dari X2 , ………….., Xk - 1

b Apakah fkp dari X2 , ………….., Xk - 1

c Tentukan fkp bersyarat dari X1, jika X2 = x2 , X3 = x3 , …………., Xk - 1 = xk-1.

d Tentukan ekspektasi bersyarat E ( X1 / x2 , …….., xk-1 ).


9. Misalkan X berdistribusi binomial B ( 2 , p ) dan Y berdistribusi binomial B ( 4 , p ) . Jika P ( X 1 ) =

5/9 , maka tentukan P ( Y 1 ).

1 Jika x = r adalah modus yang tunggal dari distribusi binomial B ( n , p ) maka buktikan ( n + 1 ) p - 1 < r

< ( n + 1 ) p.

2 Buktikan bahwa mgf dari distribusi negatif binomial adalah M ( t ) = p r [ 1 - ( 1

- p ) e t ] -r . Tentukan juga mean dan varians dari distribusi tersebut.

3 Tentukan ukuran skewness dan kurtosis dari distribusi binomial B ( n , p ).

4 Misalkan f ( x , y ) = , y = 0, 1 , 2 , ………., x ; x = 1, 2, 3, 4, 5

dan nol untuk yang lain, adalah fkp bersama antara X dan Y. Tentukan

a E ( Y ) b. u ( x ) = E ( Y / x ) c. E ( u ( X ) )

1 Jika peubah acak X berdistribusi Poisson sehingga P ( X = 1 ) = P ( X = 2 ) , maka tentukan P ( X = 4 ).

1 Mgf dari peubah acak X adalah . Buktikan P ( - 2 < X < + 2 ) =

0,931.

2 Didalam buku tertentu dikatakan bahwa rata - rata hanya 13,5 prosen dari suatu halamannya tidak salah

ketik. Jika diasumsikan bahwa banyaknya kesalahan per halaman berdistribusi Poisson, maka tentukan

prosentase dari halaman hanya memuat satu kesalahan ketik.

3 Misalkan fkp f ( x ) adalah positif pada dan hanya pada bilangan non negatif. Didefinisikan f ( x ) = (

4/x ) f ( x - 1 ) , x = 1, 2, 3,………… Tentukan f ( x ).

4 Misalkan X berdistribusi Poisson dengan mean 100. Gunakan pertidaksamaan Chebyshev untuk

menentukan batas bawah P ( 75 < X < 125 ).

5 Misalkan X dan Y fkp f ( x , y ) = e -2 / [ x ! ( y - x ) ! ], y = 0, 1, 2 , …….. ; x = 0 , 1, ……, y ,

dan nol untuk yang lain.

a Tentukan mgf dari distribusi bersama antara X dan Y.

b Hitung mean , varians, dan koefisien korelasi dari X dan Y.

c Tentukan mean bersyarat E ( X / y ).

1 Tentukan ukuran skweness dan kurtosis dari distribusi Poisson dengan mean .

1 Jika ( 1 - 2t ) -6 , t < ½ , adalah mgf dari peubah acak X, maka tentukan P ( X < 5,23 ).

2 Jika X berdistribusi 2 ( 5 ), maka tentukan konstanta c dan d sehingga P ( c < X < d ) =

0,95 dan P ( X , c ) = 0,025.

3 Jika X berdistribusi gamma dengan = 3 dan = 4, maka tentukan P ( 3,28 < X <

25,2 ).

4 Misalkan X peubah acak sehingga E ( X m ) = ( m + 1 ) ! 2 m, m = 1, 2, ……… maka tentukan distribusi

dari X.

5 Misalkan X1, X2, dan X3 adalah independen stokastik dengan masing - masing mempunyai fkp f ( x ) = e - x , x > 0, dan nol untuk yang lain. Tentukan distribusi Y = minimum (X1, X2, X3 ).

6 Misalkan X berdistribusi gamma dengan fkp f ( x ) = , x > 0 , dan nol untuk yang lain. Jika x = 2 modus

tunggal dari distribusi, maka tentukan parameter dan P ( X < 9,49 ).STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4

7 Tentukan ukuran skweness dan kurtosis dari distribusi gamma.

8 Misalkan X berdistribusi uniform dengan fkp f ( x ) = 1 , 0 < x < 1, dan nol untuk yang lain . Tentukan

distribusi fungsi dari Y = - 2 ln X.


I STATISTIK CUKUP

P

ada bab ini akan dibahas tentang kriteria dari estimator diantaranya adalah statistik cukup untuk parameter, dan teorema Rao - Blackwell yang dapat digunakan untuk membentuk suatu estimator yang variansnya lebih kecil dari estimator sebelumnya. Selain dua di atas juga dibahas tentang kelengkapan dan ketunggalan ( completness and uniqness ) , klas ekponensial dari fkp , dan pertidaksamaan Rao - Cramer.

1 Stat istik Cukup Untuk Parameter

Definisi :

Misalkan X 1, X 2, ………….,X n merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai

fkp f ( x ; ) dan Y = u (X 1, X 2, ………….,X n ) adalah statistik dengan fkp g ( y ; ) . Maka Y

dinamakan statistik cukup untuk jika dan hanya jika

= H ( x1, ……, x n ). Dengan H ( x1, ……, x n ) tidak tergantung dari untuk setiap nilai y.

Teorema :

Misalkan X 1, X 2, ………….,X n merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai

fkp f ( x ; ). Statistik Y = u (X 1, X 2, ………….,X n ) dinamakan statistik cukup untuk jika dan

hanya jika dapat ditemukan dua fungsi non negatif k dan l sehinga f ( x 1; ) ………. f( x n ; ) = k ( y ;

) l ( x 1, ………, x n ) , dengan l tidak tergantung dari .

Contoh :Misalkan X 1 , X 2 , ……………, X n merupakan sampel acak dari distribusi normal N ( , 2 ) , - < < , dengan 2 diketahui . Jika x = x I / n maka ( x I - ) 2 = [ ( x I -

x ) + ( x - ) ] 2 = ( x I - x ) 2 + n ( x - )2, oleh karena 2 ( x I -) ( x - ) = 2 (

x - ) ( x I - x ) = 0.

Fkp bersama antara X 1 , X 2 , ……………, X n dapat dinyatakan sebagai

Dari baris terakhir terlihat bahwa faktor pertama hanya tergantung pada x, sedangkan faktor yang


kedua tidak tergantung pada . Dengan menggunakan teorema di atas berarti X merupakan statistik

cukup untuk .

Teorema :

Misalkan X 1 , X 2 , ……………, X n merupakan sampel acak dari distribusi yang mempunyai fkp f ( x ;

) . Jika statistik cukup Y = u (X 1 , X 2 , ……………, X n ) ada dan maksimum likelihood estimator

dari ada dan tunggal maka estimator likelihood dari merupakan fungsi dari Y = u (X 1 , X 2 ,

……………, X n ).


1 Misalkan X 1 , X 2 , ……………, X n merupakan sampel acak dari distribusi normal N ( 0 , ) , > 0.

Buktikan Xi2 merupakan statistik cukup untuk .

2 Buktikan bahwa jumlahan dari item - item sampel acak berukuran n yang berdistribusi Poisson dengan

parameter , > 0 adalah statistik cukup untuk .

3 Buktikan bahwa order statistik ke n dari sampel acak berukuran n yang berdistribusi seragam dengan fkp

f ( x ; ) = 1/ , 0 < x < dan nol yang lain merupakan statistik cukup untuk .

4 Misalkan X 1 , X 2 , ……………, X n merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi geometrik

dengan fkp f ( x ; ) = ( 1 - ) x , x = 0 , 1, 2, …… ; 0 < < 1, dan nol untuk yang lain. Buktikan

Xi merupakan statistik cukup untuk .

5 Buktikan bahwa jumlahan dari item - item sampel acak berukuran n dari distribusi gamma dengan fkp f (

x ; ) = ( 1 / ) e - x / , x > 0 , > 0 merupakan statistik cukup untuk .

6 Dari soal - soal latihan 1, 2, 4 , dan 5 buktikan bahwa mle dari merupakan fungsi dari statistik cukup

untuk .

7 Misalkan X 1 , X 2 , ……………, X n merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi beta dengan

parameter = > 0 dan = 2. Buktikan bahwa hasil pergandaan dari X 1 . X 2 , …………… X n

merupakan statistik cukup untuk .

8 Misalkan X 1 , X 2 , ……………, X n merupakan sampel acak berukuran n dari distribusi dengan fkp f ( x

; ) = 1/ [ 1 + ( x - ) 2 ] , - < x < , - < < . Apakah mempunyai statistik cukup ?.

Tentukan !.

1 Teorema Rao - Blackwell

Dengan menggunakan teorema ini dapat ditentukan suatu statistik yang mempunyai varians

lebih kecil dibanding dengan statsitik yang merupakan unbias untuk parameter .

Teorema :

Misalkan X dan Y merupakan peubah acak dengan mean dan varians 2Y . Misalkan E ( Y / x) = ( x

) . Maka E [ ( X ) ] = dan 2 ( X ) 2

Y.

Teorema :STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4

Misalkan X 1 , X 2 , ……………, X n , dengan n bilangan bulat positif merupakan sampel acak dari

distribusi yang mempunyai fkp f ( x ; ) . Misalkan Y1 = u (X 1 , X 2 , ……………, X

n ) merupakan statistik cukup untuk , dan Y2 = v (X 1 , X 2 , ……………, X n ) yang bukan

fungsi dari Y1 merupakan estimator unbias untuk . Maka E ( Y2 / y1 ) = ( y1 ) merupakan statistik

( Y1 ) yang merupakan fungsi dari statistik cukup untuk ; unbias untuk ; dan mempunyai varians

lebih kecil dari Y2.


1 Misalkan Y 1 < Y 2 < Y 3 < Y 4 < Y5 merupakan order statistik dari sampel acak berukuran 5 dari

distribusi seragam dengan fkp f ( x ; ) = 1/ , 0 < x < , > 0, dan nol untuk yang lain. Buktikan

bahwa 2 Y 3 merupakan estimator unbias untuk . Tentukan fkp bersama antara Y 3 dan statistik cukup Y

5 untuk . Tentukan ekspektasi bersyarat E ( 2 Y3 / y5 ) = ( y 5 ) . Bandingkan varians dari 2 Y3 dengan

varians ( Y 5 ).

2 Jika X dan Y merupakan sampel acak berukuran 2 dari distribusi dengan fkp f ( x ; ) = ( 1/ )

e- x / , x > 0 dan > 0. Tentukan fkp bersama dari statistik cukup Z = X + Y untuk dan W = Y.

Buktikan bahwa W merupakan estimator unbias untuk dengan varians 2. Tentukan E ( W / z ) =

( z ) dan varians dari ( Z ).

3 Misalkan peubah acak X dan Y mempunyai fkp bersama f ( x , y ) = ( 2 / 2

) e- ( x + y ) / , y > x > 0 , dan nol untuk yang lain.

a Buktikan bahwa mean dan varians dari Y adalah 3 / 2 dan 5 2 / 4.

b Buktikan bahwa E ( Y / x ) = x + .

c Buktikan bahwa varians dari X + ldebih kecil dari varians dari Y.

1 Kelengkapan dan Ketunggalan ( Completeness and Uniqness )

Definisi :

Misalkan peubah acak Z mempunyai fkp dari salah satu anggota keluarga fkp { h ( z ; ) ; }. Jika

kondisi E ( u ( Z ) ) = 0 untuk setiap berlaku u ( z ) bernilai nol kecuali pada himpunan titik - titik

yang mempunyai probabilitas sama dengan nol untuk setiap fkp h ( z ; ) , , maka keluarga fkp {

h ( z ; ) ; } dinamakan keluarga lengkap.

Contoh :

Misalkan Z mempunyai fkp yang merupakan anggota dari { h ( z ; ) , > 0 } dengan h ( z ; ) =

( 1/ ) e- z / , z > 0 dan > 0 ,dan nol untuk yanmg lain. Ambil E [ u ( Z ) ] = 0 untuk setiap > 0

maka E [ u ( Z ) ] = untuk > 0 . Dengan menyamakan integral tersebut pada transformasi Laplace

maka haruslah u ( z ) = 0 . Berarti keluarga fkp tersebut lengkap.

Teorema :

Misalkan X 1 , X 2 , ……………., X n , dengan n bilangan bulat positif merupakan sampel acak dari

suatu distribusi dengan fkp f ( x ; ) , . Misalkan Y = u (X 1 , X 2 , ………., X n ) merupakan


statistik cukup untuk dan keluarga { g ( y ; ) / } merupakan keluarga fkp lengkap. Jika

terdapat fungsi dari Y yang unbias untuk , maka fungsi dari Y tersebut merupakan penduga terbaik

tunggal untuk .


1 Jika az 2 + bz + c = 0 untuk lebih dari dua nilai z , maka a = b = c = 0. Gunakan hasil tersebut untuk

membuktikan keluarga { b ( 2 , ) / 0 < < 1 } lengkap.

2 Buktikan bahwa setiap keluarga { f ( x ; )/ > 0 } tidak lengkap dengan cara menemukan paling

sedikit satu fungsi tidak nol u ( x ) sehingga E [ u ( X ) ] = 0 untuk setiap > 0.

a f ( x ; ) = 1/ 2 , - < x < , dan nol untuk yang lain.

b N ( 0 , ).

1 Jika X 1 , X 2 , ……………., X n merupakan sampel acak dari distribusi diskret yang mepunyai fkp f ( x ;

) = x ( 1 - ) 1 - x , x = 0 , 1 , 0 < < 1 dan nol untuk yang lain. Buktikan bahwa Y = Xi merupakan

statistik lengkap untuk . Tentukan fungsi tunggal dari Y yang merupakan penduga terbaik untuk .

1 Misalkan diketahui keluarga fkp { h ( z ; ) / } , dengan h ( z ; ) = 1/ , z > 0.

a Buktikan keluarga tersebut lengkap untuk = { / > 0 }

b Buktikan keluarga tersebut tidak lengkap jika = { / > 1 }

1 Buktikan bahwa statistik order pertama Y 1 dari sampel acak berukuran n yang mempunyai fkp f ( x ; )

= e - ( x - ) , x > 0 , - < < , dan nol untuk yang lain merupakan statistik cukup dan lengkap untuk .

Tentukan fungsi yang tunggal dari statistik tersebut yang merupakan penduga terbaik untuk .

1 Misalkan sampel acak berukuran n diambil dari distribusi yang mempunyai fkp f ( x ; ) = 1/ ,

x = 1, 2, ………., , dengan merupakan bilangan bulat positif yang tidak diketahui, dan nol untuk

yang lain.

a Buktikan bahwa item terbesar katakan Y dari sampel acak merupakan statistik cukup dan lengkap

untuk .

b Buktikan bahwa [ Y n + 1 - ( Y - 1 ) n + 1 ] / [ Y n - ( Y - 1 ) n ] merupakan penduga terbaik tunggal untuk

.

1 Klas Eksponensial Dari Fungsi Kepadatan Peluang

Pada subbab di atas telah dibahas tentang keluarga fkp yang lengkap. Selain kriteria lengkap

sebagaimana tersebut di atas terdapat kriteria lain tentang keluarga fkp yaitu klas eksponensial.

Perhatikan keluarga { f ( x ; ) / } dengan = { / < < } untuk dan konstanta

diketahui, dan

f ( x ; ) = exp [ p ( ) K ( x ) + S ( x ) + q ( ) ] , a < x < b

= 0 , untuk yang lain. ( * )

Fkp bentuk ( * ) dikatakan anggota klas eksponensial dari fkp tipe kontinu jika

a Konstanta a atau b tidak tergantung dari , < < ,


b p ( ) fungsi kontinu non trivial dari , < < ,

c Setiap K’ ( x ) 0 dan S ( x ) fungsi kontinu dari x , a < x < b.

Sedangkan untuk tipe diskret dengan syarat sebagai berikut,

a Himpunan { x / x = a 1 , a 2 , ……… } tidak tergantung dari .

b p ( ) fungsi kontinu nontrivial dari , < <

c K ( x ) fungsi non trivial dari x pada himpunan { x / x = a 1 , a 2 , ……… }

Teorema :

Misalkan f ( x ; ) , < < merupakan fkp dari klas eksponensial. Maka jika X 1 , X 2 ,

……………., X n sampel acak dari distribusi dengan fkp f ( x ; ) dengan Y = K (Xi)

merupakan statistik cukup untuk dan keluarga fkp dari Y yaitu { g ( y ; ) / <

< } lengkap, atau Y merupakan statistik yang cukup dan lengkap untuk .


1 Tulis fkp f ( x ; ) = ( 1/ 6 2 ) x 3 e - x / , x > 0 , > 0 dan nol untuk yang lain dalam bentuk

eksponensial. Jika X 1 ,X 2 , ……………., X n sampel acak dari distribusi dengan fkp di atas maka

tentukan statistik cukup dan lengkap Y untuk , dan cari fungsi ( Y ) tunggal yang merupakan

penduga terbaik untuk .

2 Misalkan X 1 ,X 2 , ……………., X n sampel acak dari distribusi dengan fkp f ( x ; ) = e - x

, x > 0 , > 0, dan nol untuk yang lain. Buktikan Y = X I merupakan statistik cukup untuk dan ( n -

1 ) / Y merupakan penduga terbaik untuk .

3 Misalkan X 1 ,X 2 , ……………., X n sampel acak dari distribusi dengan fkp f ( x ; ) = x -

1 , 0 < x < 1 , > 0 , dan nol untuk yang lain.

a Buktikan bahwa mean geometrik (X 1 .X 2 ……………. X n ) 1/ n dari sampel merupakan statistik

cukup dan lengkap untuk .

b Tentukan MLE dari , dan periksa apakah merupakan fungsi dari mean geometrik

1 Misalkan mean dari sampel acak X 1 ,X 2 , ……………., X n dari diatribusi gamma dengan parameter

> 0 dan = > 0. Hitung E [ X 1 / x ] .

1 Misalkan X sampel acak dengan fkp anggota klas eksponensial. Buktikan E [ K ( X ) ] = - q ‘ ( ) / p ‘ (

).

2 Jika f ( x ; ) = exp [ K ( x ) + S ( x ) + q ( ) ] , a < x < b dan < < , maka buktikan M ( t ) dari Y

= K ( X ) adalah M ( t ) = exp [ q ( ) - q ( + t ) ], untuk < + t < .

3 Jika diketahui E ( Y ) = E [ K ( X ) ] = , maka buktikan Y berdistribusi normal N ( , 1 ) .


1 Pertidaksamaan Rao - Cramer

Pada subbab ini akan dibahas tentang batas bawah varians dari peduga parameter yang unbias,

yang dinyatakan dalam pertidaksamaan Rao - Cramer sebagai berikut.

Misalkan X 1 ,X 2 , ……………., X n merupakan sampel acak dari dari daistribusi dengan fkp f

( x ; ) , = { / < < }, dengan dan diketahui. Misalkan Y = u (X 1 ,X 2 , …………….,

X n ) merupakan penduga unbias untuk , maka vrians dari Y, katakan

2 Y., yang memenuhi

2Y.

Untuk menjelaskan pertidaksamaan di atas digunakan kasus kontinu seperti di bawah ini. Misalkan g ( y

; ) merupakan fkp dari statistik unbias Y = u (X 1 ,X 2 , ……………., X n),

sehingga didapat

1 = f ( x i; ) dx I , untuk i = 1, 2, ………, n

dan

= y g ( y ; ) dy

= ……….. u ( x 1, x 2 , ……, x n ) f ( x 1; ) ………. f ( x n; ) dx 1……. dx n

Jika kedua persamaan di atas diturunkan terhadap maka didapat

0 = dan

1= x

f ( x 1; ) ………. f ( x n; ) dx 1……. dx n

= x

f ( x 1; ) ………. f ( x n; ) dx 1……. dx n

Definisikan peubah acak Z = [ ln f ( X I ; ) / ], yang berarti E [ Z ] = 0. Oleh karena Z

merupakan jumlahan n independen peubah acak dengan mean nol maka Z mempunyai varians nE { [

ln f ( X I ; ) / ] 2 }.

Karena Y = u (X 1 ,X 2 , ……………., X n) dan Z = [ln f ( X I ; ) / ] maka didapat E [ YZ ]

= 1. Dilain pihak E [ YZ ] = E [ Y ] E [ Z ] + Y Z dengan merupakan korelasi antara Y dan Z. Oleh

karena E (Y ) = dan E (Z ) = 0 maka didapat 1 = . 0 + Y Z atau = 1 / Y Z . Karena - 1

1 atau 2 1 maka (1 / Y Z ) 2 1 atau ( 1/ 2

Z ) 2 Y atau

Y.

2

Definisi :

Misalkan Y penduga unbias untuk parameter . Statistik Y dinamakan penduga efisien untuk jika varians

dari Y sama dengan batas bawah pertidaksamaan Rao - Cramer.


1 Buktikan bahwa X yang merupakan mean sampel acak dari distribusi normal N ( , 2 )

merupakan peduga efisien untuk .


2 Buktikan bahwa X yang merupakan mean sampel acak dari distribusi binomial b ( 1, ) , 0 < <

1 merupakan penduga yang efisien.

3 Diberikan f ( x ; ) = 1 / , 0 < x < dan nol untuk yang lain dengan > 0. Hitung n E dan

bandingkan dengan varians ( n + 1 ) Y n / n dengan Y n merupakan item terbesar dari sampel acak

berukuran n yang berdistribusi seperti di atas.

4 Diberikan fkp f ( x ; ) = . Buktikan Bahwa batas bawah Rao - Cramer nya adalah 2/ n , dengan n

adalah ukuran sampel.

5 Buktikan bahwa E = - E


V. ESTIMASI

1 Estimasi Titik

Misalkan peubah acah X mempunyai pdf f(x; ) dengan tidak diketahui. Himpunan

dinamakan ruang parameter . Karena tidak tunggal , maka untuk setiap nilai , dengan

berkorespondensi dengan salah satu anggota keluarga pdf. Notasi keluarga pdf adalah { f(x; ) ;

} dan anggota dari keluarga pdf dinotasikan dengan f(x; ) , untuk .

Dari keluarga pdf adalah { f(x; ) ; } akan dipilih satu anggota pdf f(x; ) yang akan

diperlukan untuk mengestimasi parameter . Untuk keperluan itu ambil sampel acak X1, …………., Xn

yang berasal dari suatu distribusi dengan pdf f(x ; ) Masalahnya sekarang adalah memilih Y = u (X1,

…………., Xn ) , sehingga jika x1, ….., xn merupakan nilai observasi dari X1, …………., Xn maka nilai

dari y = u (x1, ….., xn ) merupakan penduga terbaik dari .

Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan estimasi titik adalah metode maximum

likelihood. Prinsip dari metode ini dapat diuraikan sebagai berikut. Misalkan X1, …………., Xn

merupakan sampel acak dari suatu distribusi dengan pdf f(x; ) , untuk . Pdf bersama antara X1,

…………., Xn adalah f(x 1; ). f(x2 ; ) ………… f(xn ; ). Jika pdf bersama tersebut

dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi likelihood yang dinotasikan L atau

ditulis L ( ; x1, ….., xn) = f(x 1; ). f(x2 ; ) ………… f(xn ; ) , . Dari fungsi ini ditentukan

fungsi u (x1, ….., xn ), sehingga jika diganti dengan u (x1, ….., xn ) didapat L ( ; x1, …..,

xn) maksimum. Statistik u (X1, …………., Xn ) dinamakan maximum likelihood estimator.

Definisi 4.1:

Sembarang statistik yang mempunyai harapan matematik sama dengan parameter dinamakan unbias

estimator dari parameter .

Definisi 4.2 :

Sembarang statistik yang convergen stokastik ke parameter dinamakan penduga konsisten dari

parameter .

Selain metode maximum likelihood ada metode lain yaitu metode moment. Prinsip metode ini dapat

diuraikan sebagai berikut. Misalkan X1, …………., Xn merupakan sampel acak berukuran n dari suatu

distribusi dengan pdf f(x ; 1, ….. r ), ( 1, ….. r ) . Ekspektasi E ( Xk ) sering dinamakan moment

ke - k dari suatu distribusi , k = 1, 2, 3, … Jumlahan Mk = dinamakan moment ke - k dari sampel, k =

1, 2, 3, … Selanjutnya samakan E ( Xk ) dengan Mk dimulai dengan k = 1 dan seterusnya sehingga

didapat sejumlah persamaan untuk mendapatkan penyelesaian tunggal dari 1, ….. r , katakan hi( Mi,

……… ), i = 1, 2, …, r yang bersesuaian.



1 Misalkan X1 , X 2 , ……………….., X n merupakan sapel acak dari suatu distribusi yang mempunyai fkp

seperti di bawah. Tentukan estimator maksimum likelihood ( MLE ) dari parameternya.

a f ( x , ) = x e - / x ! , x = 0, 1, 2, ………. ; 0. ,dan nol untuk yang lain.

b f ( x , ) = e - 1 , 0< x , 1 , > 0 dan nol untuk yang lain.

c f ( x , ) = ½ e - x - , - < x < , - < < dan nol untuk yang lain.

d f ( x , ) = ( 1/ ) e - x/ , x > 0 , > 0 , dan nol untuk yang lain.

e f ( x , ) = e - ( x - ) , x , - < < , dan nol untuk yang lain.

1 Misalkan X1 , X 2 , ……………….., X n merupakan sapel acak dari suatu distribusi yang mempunyai fkp

f ( x, , ) = ( 1/ ) e - ( x - ) / , x , - < < , > 0. Tentukan MLE dari dan .

1 Misalkan Y1< Y 2 < ………… < Y n merupakan order statistik dari sampel acak uang mempunyai fkp f

( x, ) = 1 , - ½ x + ½ , - < x < , dan nol untuk yang lain. Buktikan bahwa setiap statistik u

( X 1 , X 2 , ……, X n ) memenuhi Y n - ½ u ( X 1 , X 2 , ……, X n ) Y1 + ½.

2 Distribusi Pareto sering dipakai pada model studi pemasukan ( incomes ) yang mempunyai fungsi

distribusi F ( x , , ) = 1 - ( / x ) , x , dengan > 0 , dan > 0. Jika X 1, X 2 , ……….., X n

adalah sampel acak dari distribusi tersebut maka tentukan mle dari dan .

3 Misalkan Y n merupakan statistik sehingga dan = 0. Buktikan bahwa Yn konsisten terhadap .

1 Mesuares of Quality of Estimators

Dalam bagian ini akan dibahas beberapa kriteria atau sifat dari estimator, misalnya unbiased

minimum varians estimator ( umve ), atau estimator minimax.

Definisi 4.3 :

Untuk n bilangan bulat positif , Y = u ( X 1, X 2 , …., X n ) dikatakan unbiased minimum varians

estimator ( umve ) dari suatu parameter jika Y unbias yaitu E ( Y ) = dan jika varians dari Y

lebih kecil atau sama dengan dari varians setiap estimator unbias untuk .

Sebagai gambaran dapat dijelaskan sebagai berikut, misalkan X 1, X 2, …….,X 9 merupakan sampel

acak dari distribusi normal N ( , 1 ) , - < < , maka berdistribusi normal N ( , 1/9 ) dan

merupakan statistik yang unbias untuk . Di lain pihak X1 juga berdistribusi normal N ( , 1) yang

berarti juga merupakan statistik unbias untuk . Tetapi jika diperhatikan ternyata mempunyai varians

yang lebih kecil jika dibanding dengan X 1.

Kriteria lain yang biasa dipakai untuk menentukan suatu estimator baik didasarkan dengan adanya

fungsi kerugian, seperti uraian berikut. Misalkan X 1, X 2, …….,X n merupakan sampel acak

berukuran n dari suatu distribusi yang mempunyai fkp f ( x , ). Misalkan Y = u ( X 1, X 2 , …., X n )

merupakan statistik yang diharapkan merupakan estimator dari , dan w ( y ) merupakan fungsi dari

hasil pengamatan , yang dinamakan fungsi keputusan. Fungsi yang teridiri atas parameter dan keputusan


dinamakan fungsi kerugian ( loss function ) ,dinotasikan L ( , w(y) ) atau L. Ekspektasi dari fungsi

kerugian dinamakan fungsi risiko ( risk function ), yang dinotasikan R ( , w ).

Contoh :

Misalkan X 1, X 2, …….,X n merupakan sampel acak dari distribusi normal N ( , 1 ), - < <

, dan Y = merupakan mean dari sampel . Misalkan L ( , ( w ( y ) ) = [ - w ( y ) ] 2. Jika

w1( y ) = y dan w2 ( y ) = 0 maka R ( , w1 ) = E [ - Y ] 2 = 1/ 25 dan R ( , w1 ) = E [ -

0 ] 2 = 2. Dari hasil tersebut berarti w1 ( y ) merupakan statsitik yang mempunyai risiko lebih kecil

dibanding w2 ( y ).


1 Buktikan bahwa mean sampel yang berasal dari distribusi dengan fkp f ( x , ) = ( 1/ ) e - ( x / ) , x > 0

, > 0 , dan nol untuk yang lain merupakan estimator unbias dan mempunyai varians 2 / n.

2 Misalkan X 1, X 2,....,X n merupakan sampel acak dari distribusi normal dengan mean nol dan varians ,

> 0 .Buktikan bahwa merupakan estimator unbias untuk dan mempunyai varians 2 2 / n.

3 Misalkan Y 1 < Y2 < Y3 merupakan order statistik dari sampel acak berukuran 3 yang mempunyai fkp f

( x , ) = 1 / , 0 < x < , > 0. Buktikan bahwa 4 Y1 , 2 Y2 , dan ( 4 / 3 ) Y3 merupakan unbias

estimator untuk . Tentukan varians dari semua unbias estimator tersebut.

4 Misalkan Y1 dan Y2 merupakan independen stokastik unbias estimator untuk , katakan varians Y1 sama

dengan varians Y2 . Tentukan konstanta k dan l sehingga

k Y1 + l Y2 merupakan unbias estimator dengan varians lebih kecil dibanding varians Y1 .

1 Misalkan X 1, X 2, …….,X n merupakan sampel acak dari distribusi Poisson dengan parameter , > 0 .

Misalkan Y = dan L [ , w ( y ) ] = [ - w ( y ) ] 2. Jika w ( y ) berbentuk b + ( y / n ) , dengan b

suatu konstanta yang tidak tergantung pada y , maka buktikan R ( , w ( y ) ) = b 2 + ( / n ) .

1 Misalkan X 1, X 2, …….,X n merupakan sampel acak dari distribusi normal N ( , ) , > 0 , dan

tidak diketahui. Misalkan Y = dan misalkan L [ , w ( y ) ] = [ - w ( y ) ] 2. Jika w ( y ) berbentuk b y ,

dengan b suatu konstanta yang tidak tergantung pada y maka buktikan R ( , w ( y ) ) = ( 2 / n 2 )

[ ( n 2 - 1 ) b 2 - 2n ( n - 1 ) b + n 2 ].

1 Selang Kepercayaan dari Parameter

Dalam sub bab di atas estimasi dari suatu parameter hanya dinyatakan sebagai satu nilai saja yang

biasanya dinamakan estimasi titik. Ada kalanya penggunaan estimasi titik terhadap parameter kurang

memadai, sebagai contoh misalnya ada seseorang yang mengatakan bahwa produksi telor di Jawa Timur

pada saat ini adalah 4.987.456 butir. Hal ini kurang tepat karena pada saat orang menghitung produksi

telur yang satu ada kemungkinan yang lain sudah bertelur, maka untuk itu estimasi yang lebih tepat

adalah dengan mengatakan bahwa produksi telor di Jawa Timur adalah antara 4.789.356 dan 5.000.000.

Estimasi seperti yang terakhir ini dinamakan selang kepercayaan.

Untuk menentukan selang kepercayaan dari parameter dapat dilakukan sebagai berikut.

1 Tentukan estimasi titik dari sebut STATISTIKA MATEMATIKA II_SEMESTER 4

2 Tentukan distribusi dari .

3 Bentuk peubah yang terdiri atas dan yang dinamakan pivot.

4 Tentukan distribusi dari pivot.

5 Tentukan selang kepercayaan dari .

Contoh :

Misalkan X 1 , X 2 , …………..,X n merupakan sampel acak dari dsitribusi normal N ( , 2 ),

dengan tidak diketahui dan 2 diketahui. Akan ditentukan selang kepercayaan sebesar 1 - untuk .

Dari langkah - langkah di atas didapat

1. Penduga dari adalah

1 Distribuai dari adalah normal N ( , 2 / n ).

1 Definisikan Z = .

2 Distribusi dari Z adalah normal N ( 0 , 1 ).

3 Berdasarkan 4 , berarti P ( - z / 2 < Z < z / 2 ) = 1 - atau

P (- z / 2 < < z / 2 ) = 1 - P ( - z / 2 < < + z / 2 ) = 1 -

yang berarti selang kepercayaan sebesar 1 - untuk adalah

- z / 2 < < + z / 2


1 Misalkan nilai observasi mean dari sampel acak berukuran 20 yang berdistribusi normal N ( , 80 )

adalah 81,2. Tentukan selang kepercayaan sebesar 95 % untuk .

2 Misalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran n dari distribusi normal N ( , 9 ) . Tentukan n

sehingga P ( - 1 < < + 1 ) = 0,90.

3 Misalkan sampel acak berukuran 17 dari distribusi normal N ( , 2 ) diketahui = 4,7 dan s 2 = 5,76.

Tentukan selang kepercayaan 90 % untuk mean .

4 Misalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran n dari distribusi yang mempunyai mean dan

varians 2 = 10, dan mgf. Tentukan n sehingga dengan peluang sebesar 0,954 interval ( - 1/ 2 , + 1 /

2 ) memuat .

5 Misalkan X 1 , X 2 , …………..,X 9 merupakan sampel acak berukuran 9 dari distribusi normal N ( , 2

).

a Jika diketahui , tentukan panjang 95 % selang kepercayaan untuk jika interval itu didasarkan

pada sampel acak 9 ( - ) / .

b Jika tidak diketahui , tentukan nilai ekspektasi panjang 95 % jika didasarkan pada sampel acak

8 ( - ) / S.

c Bandingkan dua jawaban tersebut.

1 Misalkan X 1 , X 2 , ………..,X n + 1 merupakan sampel acak berukuran n + 1 , n > 1 dari sampel acak

yang berdistribusi normal N ( , 2 ). Misalkan = dan S 2 = . Tentukan konstanta c sehingga c ( - X n +


1 ) / S berdistribusi t. Jika n = 8 , tentukan k sehingga P ( - k S < X9 < + k S) = 0,80.

1 Misalkan Y berdistribusi binomial b ( 300, p ). Jika nilai observasi dari Y adalah y = 75 , maka

tentukan selang kepercayaan 90 % untuk parameter p.

2 Jika merupakan mean dari sampel acak berukuran n yang mempunyai distribusi normal N ( , 2 ) ,

dengan 2 diketahui. Dengan menggunakan tabel daistribusi normal N ( 2 ) - N ( -2 ) = 0,954 tentukan

, c 1( ) , c 2 ( ) sehingga P (c 1( ) < < c 2 ( )) = 0,954 , untuk c 1( ) dan c 2 (

) merupakan fungsi naik dari .

3 Misalkan merupakan mean dari sampel acak berukuran 25 dari distribusi gamma dengan = 4 dan >

0. Gunakan teorema limit pusat untuk menentukan interval kepercayaan 0,954 dari , yaitu mean dari

distribusi gamma.

4 Misalkan dua sampampel acak masing-masing berukuran 10 terambil dari distribusi normal N( 1, 2 )

dan N ( 2 , 2 ), dengan = 4,8 ; s12 = 8,64 ; y = 5,6 dan s2

2 = 7,88 . Tentukan selang kepercayaan 95

% untuk 1 , 2.

5 Misalkan Y dan X dua peubah acak independen dari distribusi binimial dengan parameter n = m = 100,

dan p 1 , p 2. Dari hasil pengamatan diketahui y = 50 dan x = 40. Tentukan selang kepercayaan 90 %

untuk p 1 - p 2..

6 Tentukan selang kepercayaan sebesar 1 - untuk selisih mean 1 - 2 dari dua distribusi normal jika

varians 12 dan 2

2 diketahui dan keduanya tidak sama.

7 Jika X dan Y keduanya merupakan mean dari dua independen sampel acak yang masing-masing

berukuran n , dari distribusi normal N( 1, 2 ) dan N ( 2 , 2 ), dengan variansnya diketahui. Tentukan

n sehingga P (X -Y - / 5 < 1 - 2 < X +Y - / 5 ).

8 Jika 8,6 ; 7,9 ; 8,3 ; 6,4 ; 8,4 ; 9,8 ; 7,2 ; 7,8 ; 7,5 merupakan hasil observasi dari sampel acak berukuran

9 dari distribusi normal N ( 8 , 2 ). Tentukan selang kepercayaan 90 % untuk 2.

9 Misalkan X 1 , X 2 , …………..,X n merupakan sampel acak dari distribusi normal N ( , 2 ).

Misalkan 0 < a < b . Buktikan bahwa ekspektasi matematik panjang dari interval acak [ ( X I - ) 2 / b ,

( X I - ) 2 / a ] adalah ( b - a ) ( n 2 / ab ).

10 Sampel acak berukuran 15 dari distribusi normal N ( , 2 ) diketahui = 3,2 dan s 2 = 4,24. Tentukan

selang kepercayaan 90 % untuk 2.

11 Misalkan S 2 merupakan varians dari sampel acak berukuran n yang diambil dari distribusi normal N( ,

2 ) dengan dan 2 keduanya tidak diketahui. Misalkan g (z) adalah fkp dari Z = n S2 / 2 yaitu 2 (

n - 1 ). Misalkan a dan b suatu konstanta sehingga interval pengamatan ( n s 2 / b , n s 2/ a ) merupakan

selang kepercayaan sebesar 90 % untuk 2 . Jika panjang n s 2 ( b - a ) / ab minimum , maka buktikan a

dan b memenuhi a 2g ( a ) = b 2g ( b). Petunjuk jika G (z ) merupakan fungsi distribusi dari Z maka

derivatifkan G ( b ) - G ( a ) = 0,95.

12 Tentukan selang kepercayaan sebesar 1 - untuk perbandingan 12 / 2

2 dari dua sampel acak distribusi

normal jika 1, 2 diketahui.

13 Misalkan X 1 , X 2 , …………..,X 6 merupakan sampel acak berukuran 6 dari distribusi gamma dengan


parameter = 1 dan > 0. Tentukan selang kepercayaan sebesar 98 % untuk .

14 Misakan S12 dan S2

2 merupakan varians dari sampel acak berukuran n dan m yang diambil dari distribusi

normal N( 1, 2 ) dan N ( 2 , 2 ). Gunakan kenyataan bahwa ( n S12 + m S2

2 ) / 2 berdistribusi 2( n

+ m - 2 ) untuk menentukan selang kepercayaan dari 2.

1 Estimasi Bayes

Dari uraian - uraian didepan terlihat bahwa untuk menentukan estimasi suatu parameter hanya

melibatkan hasil observasi atau sampel saja, sedangkan parameter dianggap suatu besaran tetap yang

tidak diketahui nilainya. Salah satu cara selain cara di atas untuk menentukan estimasi parameter adalah

dengan menganggap bahwa parameter merupakan peubah acak yang mempunyai distribusi, yang

biasanya dinamakan distribusi prior dengan notasi h ( ). Sehingga untuk menentukan estimasi dari

parameter selain memanfaatkan informasi sampel juga memanfaatkan informasi distribusi prior.

Misalkan X 1 , X 2 , …………..,X n merupakan sampel acak dari distribusi X dan Y merupakan

statistik yang merupakan fungsi dari X 1 , X 2 , …………..,X 6, maka fkp dari Y untuk setiap adalah

fkp bersyarat dari Y jika = diberikan , yang dinotasikan g ( y / ). Berarti fkp bersama antara Y dan

adalah k ( y , ) = h ( ) g ( y / ). Sedangkan fkp marginal dari Y adalah k 1( y ) ,

sehingga fkp bersyarat dari jika diberikan Y = y adalah k ( / y ) = yang dinamakan distribusi

posterior. Jika L ( , w ( y ) ) merupakan fungsi kerugian dengan w ( y ) adalah estimator yang diambil,

maka penyelesaian Bayes adalah w ( y ) yang meminimumkan fungsi kerugian. Jika L ( , w ( y ) )

= ( - w ( y ) ) 2 maka w ( y ) merupakan mean dari k ( / y ), dan jika L (

, w ( y ) ) = ( - w ( y ) ) maka w ( y ) merupakan median dari k ( / y ).


1 Misalkan X 1 , X 2 , …………..,X n merupakan sampel acak dari distribusi normal N ( , 2) dan Y =

X merupakan sampel dari mean. Ambil fungsi kerugian L ( , w ( y ) = ( - w ( y ) ) .

Jika berdistribusi normal N ( , 2 ) dengan diketahui . Tentukan penyelesaian Bayes w ( y ) sebagai

estimasi titik untuk .

2 Misalkan X 1 , X 2 , …………..,X n merupakan sampel acak dari distribusi Poison dengan mean > 0.

Misalkan Y = X I dan fungsi kerugian adalah L ( , w ( y ) ) = ( - w ( y ) ) 2 . Jika h ( ) = - 1 e-

// ( ) , > 0. Tentukan penyelesaian Bayes sebagai estimasi titik untuk .

3 Misalkan Yn merukan order statistik ke n dari sampel acak berukuran n yang mempunyai fkp f ( x ) = 1/

, 0 < x < , dan nol untuk yang lain. Misalkan fungsi kerugian yang digunakan adalah L ( , w ( y ) )

= ( - w ( y ) ) 2 dan h ( ) = / + 1 , < < . Tentukan penyelesaian Bayes

sebagai estimasi titik untuk .


statmat ii edit.docx

Documents