skemp bab 13

Pemecahan Masalah dalam Matematika | 191

Dalam bab terdahulu kita sudah belajar tentang bebapa konsep tentang sistem

bilangan dan cara membilang. Pada bab ini kita akan belajar tentang permulaan

aljabar, yang menggeneralisasikan ide-ide tertentu dari skema bilangan dalam aturan

baru. Kita juga akan menyelidiki bagaimana pernyataan aljabar dapat beperan dalam

dunia nyata, dan bagaimana memanipulasi aljabar supaya dapat digunakan untuk

menemukan solusi dari masalah-masalah dunia nyata.

IDE SUATU VARIABEL

Himpunan dan variabel adalah dua dasar matematika. Ide himpunan telah

digunakan secara eksplisit dalam matematika, sedangkan ide variabel baru digunakan

secara implisit pada beberapa penerapan, dimana kita tidak bisa bekerja tanpa

variabel ini. Sekarang saatnya membawa ide himpunan dan variabel dari tingkat

intuitif ke reflektif. Ide dari suatu variabel adalah suatu konsep utama dalam aljabar

walaupun banyak teks yang tidak menjelaskan tentang ide tersebut.

Dalam matematika, anggota hinpunan yang tidak spesifik dinamakan variabel.

Contoh variabel yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari adalah : “bilangan”,

“lingkaran”, “himpunan”. Pada geometri, untuk membantu pemikiran, variabel dapat

disimbolkan dengan gambar, misalnya suatu lingkaran, segitiga, persegi. Bila variabel

tersebut dinyatakan menggunakan suatu bilangan, maka akan menimbulkan

kebingungan, sehingga variabel dinyatakan dengan menggunakan huruf. Kita bisa

membuat pernyataan sebagai berikut:

Jika a, b adalah sebarang bilangan, maka

a + b = b + a


secara implisit kita mengasumsikan bahwa “a” adalah bilangan yang sama

pada kedua sisi persamaan walaupun tidak tahu berapa bilangan tersebut. Demikian

juga “b”. Namun ini tidak dengan sendirinya menyatakan bahwa “a” dan “b” adalah

bilangan yang berbeda, karena keduanya dapat juga menyatakan bilangan yang sama.

Elemen yang dapat menggantikan variabel disebut nilai dari variabel.

Selanjutnya kita bisa menggunakan sebagai simbol untuk menggabungkan

dua himpunan. Kita bisa menuliskan:

Jika A dan B adalah sebarang himpunan, maka :

ALJABAR

Aljabar berhubungan dengan pernyataan yang termasuk di dalamnya sebarang

variabel. Semua variabel yang berhubungan dengan aljabar merupakan variabel

numerik yang tidak ditentukan jenis bilangannya, kecuali jika disebutkan. Bilangan

ini dapat merupakan bilangan sebarang dari : bilangan asli, bilangan bulat, bilangan

pecahan, bilangan rasional atau bilangan real. Ini merupakan bentuk pertama aljabar

yang telah dikembangkan, dan masih mungkin digunakan secara luas, sehingga

dengan sendirinya, aljabar biasa diartikan sebagai aljabar variabel numerik.

Pertama, huruf yang menggambarkan variabel dan angka yang

menggambarkan variabel dan angka yang menggambarkan bilangan tertentu, secara

bebas dapat digabung dengan menggunakan operasi yang sama dan tanda relasinya

untuk keduanya. Contoh:

Kita menulis 7 + 7 + 7

Dan a + a + a + a

Juga 7 × (4 + a) = 28 + (7 × a)

Catatan : pada persamaan yang terakhir kita bisa menggunakan sifat distributif untuk

menyelesaikan penghitungan 7 × 4. Tetapi kita tidak dapat menghitung 7 × a karena

kita tidak tahu berapa bilangan a.

Bila operasi tambah dan kali digabung, maka operasi kali dihitung lebih

dahulu sebelum jumlah. Kita juga bisa meninggalkan kurung dalam banyak kasus.


Contoh : a + b × c artinya a + (b × c)

bukan (a + b) × c

kedua, untuk hasil kali perkalian dua variabel, tanda kali dapat dihilangkan.

Contoh : bisa ditulis bc

bisa ditulis 2b

tetapi 2 x 7 tentu tidak bisa ditulis 27, ini artinya 2 puluhan dan 7 satuan. Jadi

a + (b × c) biasanya ditulis a + bc. Dalam hal ini bc bukan berarti “b puluhan dan c

satuan”. Ketelitian diperlukan jika dua notasi digabung.

Contoh : 7 (4 + a)

Sama dengan 28 + 7a

Dan bukan 74 + 7a

Hal ini membantu pada awalnya sampai arti dari notasi dibentuk secara bagus.

Contoh : bc sebagai b kali c

7 (4 + a) sebagai 7 kali (4 ditambah a)

Hal itu dapat digunakan untuk mengingat bahwa :

a + bc artinya a + (bc)

bukan (a + c) c

NOTASI INDEKS

Perkalian dengan dirinya sendiri ditulis lebih singkat dengan menggunakan

notasi indeks.

a × a tidak ditulis aa tapi

a × a × a ditulis

a × a × a × a ditulis , dan seterusnya

dibaca ‘a pangkat empat’. Sedangkan biasanya dibaca ‘a kuadrat’

karena merupakan luas dari persegi yang sisinya a satuan. Dengan alasan yang sama

dibaca ‘a kubik’ , tapi konsisten bila dibaca ‘a pangkat dua’, dan ‘a pangkat tiga’.

Pada , 6 disebut indeks dan a disebut bilangan dasar.

Metode untuk menyederhanakan hasil perkalian berbagai macam pangkat

dengan bilangan dasar sama, dapat dikembangkan sebagai berikut:


Dengan cara yang sama

Secara umum

Catatan: a adalah sebarang bilangan dasar, m dan n adalah sebarang pangkat

dari sebarang bilangan dasar. Notasi indeks m dan n hanya berlaku untuk bilangan

asli dan tidak termasuk nol. Tetapi pada bab 4 telah dinyatakan (sebagai generalisasi

matematis) yang berarti kita akan menemukan dan juga

sebagaimana disajikan berikut ini.

Pertama, kita lanjutkan metode untuk pembagian.

Contoh:

Dengan cara yang sama:

Secara umum :

mempunyai arti bila ( m lebih besar dari n). Jika

tidak indeksnya akan nol atau negatif.

Apa yang terjadi bila kita hilangkan pembatasan itu?

Andaikan m dan n mempunyai nilai 3, maka :


Gunakan prinsip pembagian, maka:

= 1

Hal ini menunjukkan bahwa adalah 1 dapat diterima dan masuk akal karena

konsisten dengan adanya skema indeks. Mari kita menguji contoh yang lain

konsisten dengan

konsisten dengan

Jadi bisa kita menerima 1 sebagai bagian dari

Sekarang bagaiman dengan ?

kita selesaikan dengan metode pembagian

Ganti dengan 1

Jika kita setuju bahwa 2a berarti (sampai saat ini tidak mempunyai arti)

Hal ini juga berlaku untuk perkalian, sebagai contoh:

Ini konsisten dengan

Pendapat yang sama menunjukkan bahwa konsisten dengan metode yang akan

diperoleh

artinya

artinya

Dan secara umum artinya


Apa yang kita lakukan disini agak berbeda dengan mengasimilasi ide baru ke dalam

skema yang sudah ada. Dari beberapa kemungkinan ( = 0 adalah salah satu

jawaban kesukaan dari siswa tingkat dasar) kita telah memilih ide baru berdasarkan

sifat keterasmilisannya. Akomodasi yang diperlukan pada skema meliputi perubahan

pada sifat yang menunjukkan bilangan asli tidak nol pada pangkat suatu bilangan.

Untuk menemukan arti dari pangkat pecahan seperti , pertama-tama kita harus

mengetahui metode lain untuk bekerja dengan indeks-indeks.

Sebagai kasus khusus

artinya pangkat ketiga dari (a pangkat dua)

Secara umum

Sekarang kita meninggalkan batasan bahwa m harus bilangan asli, dan berikan nilai

. Jika kita ambil n = 2, sehingga didapat :

artinya bahwa bilangan yang pangkat duanya sama dengan a. Kita menyebutnya

akar dua dari a. Jadi dengan menyepakati bahwa , kita dapat membuat notasi

indeks yang mempunyai arti untuk bilangan pecahan . Namun kita batasi baik a

maupun akarnya dengan bilangan real positif, untuk menghindari kesulitan-kesulitan

yang tidak dikehendaki.

Dengan pendapat yang sama dapat kita generalisasikan notasi indek pecahan

seperti dengan memisalkan yang artinya akar pangkat n dari a yaitu

bilangan x sedemikian hingga . Kadang-kadang kita tulis sebagai . Untuk

menentukan kita dapat menulisnya sebagai yang artinya pangkat m dari ,


atau yang artinya pangkat dari . Untuk menghindari bekerja dalam

bilangan irrasional, kita bisa memilih :

a diganti dengan 81

m diganti dengan 3

n diganti dengan 4

dari bentuk pertama diperoleh :

karena

= 27

Dan dari bentuk kedua diperoleh :

= 27 karena

Dapat diberikan 2 contoh lain misalnya dengan mengganti nilai a, m, n

a = 125, m = 2, n = 3

sehingga diperoleh

Dan a = 32 , m = 2, n = 5

PERHITUNGAN DALAM ALJABAR

Untuk mengerjakan dalam model aritmatika, kita harus belajar mengerjakan

perhitungan bilangan misalnya 17 + 44, 51 × 65, 8 × 3. Semua perhitungan dalam

aljabar dibentuk dari lima sistem bilangan. Karena sifat ini berlaku untuk bilangan

asli, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan rasional, dan bilangan real, maka

metode aljabar ini berlaku untuk semuanya. Kelima sifat itu adalah :


a + b = b + a sifat komutatif terhadap penjumlahan

( a + b ) + c = a + ( b + c ) sifat asosiatif terhadap penjumlahan

ab = ba sifat komutatif pada perkalian

(ab)c = a(bc) sifat asosiatif pada perkalian

a ( b + c ) = ab + ac sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

Sifat distributif digunakan untuk menyerdehanakan 5a + 3a, yaitu:

5a + 3a = (5+3)a = 8a

Catatan bahwa kita telah menggunakan sifat distributif dari bentuk ba + ca = (b+c)a.

Hal ini benar karena (b+c)a = a (b+c)

Secara implisit sifat asosiatif digunakan juga pada panjumlahan. Cara menyelesaikan

agak berbeda dengancara apabila kita jumlahkan dari belakang lebih dahulu. Berikut

ini kita gunakan sifat distributif dari depan kemudian dari belakang.

Contoh : untuk menyederhanakan 3(2a+5b)+6(4a+7b)

= 3 × 2a + 3 × 5b + 6 × 4a + 6 × 7b

= 6a + 15b + 24a + 42b

= 6a + 24a + 15b + 42b

= 30a + 57b

Ketika kita mengalikan, kita menyusun dan menghitung bilangan – bilangan secara

aritmatika dan menyusun variabel berdasarkan indeksnya.

Contoh : 5ab ×7ab

= 5 ×7 × a × a ×b × b

= 35a2b2

Kita akan tunjukkan penggunaan kelima sifat

(a + b )2 artinya

Anggaplah bilangan tunggal. Maka

sifat distributif terhadap penjumlahan

=

= sifat komutatif pada perkalian

=


=

=

Hasil ini biasa juga digunakan secara terbalik

Dengan memberi nilai b = 5 diperoleh

Kedua ruas menyajikan bilangan yang sama, tetapi untuk beberapa keperluan bentuk

ruas kanan lebih banyak digunakan dari pada bentuk ruas kiri

Contoh :

=

=

PENGABSTRAKSIAN DAN PEMBENTUKAN

Bagian ini disebut juga model matematika kontinu. Dibentuk dengan

menggunakan bermacam – macam model matematika. Model matematika kontinu

digunakan untuk mengeksplesitkan aktivitas tertentu yang implisit sebagai tahap

permulaan untuk mengembangkan model – model aljabar tertentu yang secara luas

digunakan dalam pemecahan masalah.

Contoh pertama merupakan masalah yang sederhana yang dapat dipecahkan

hampir tanpa ulasan. Hal ini memungkinkan kita untuk memusatkan perhatian pada

hubungan antara masalah dan model matematika.

Masalah Nyata Model Matematika

Ada empat oarang diantara kita dan ada

tiga pengunjung. Ada berapa piring yang

akan saya letakkan di atas meja ?

4 +3 = ?

Pada peralihan dari kolom sebelah kiri ke kolom sebelah kanan, kita telah melakukan

abstraksi yang relavan untuk memecahan masalah. Ini mempunyai dua keuntungan,


yaitu menghilangkan noise ( kekacauan, kerumitan ), dan hanya dengan melalui

abstraksi ciri – ciri matematika, memungkinkan kita menggunakan suatu model yang

dapat digunakan dengan praktis.

Sekarang bergerak dari kanan ke kiri

Saya harus menyiapkan 7 piring 7

Jawaban dari pertanyaan dalam model matematika adalah 7. Tanda panah terbalik

adalah proses mewujudkan kembali hasil ini dalam bidang fisik untuk memberikan

jawaban masalah sebenarnya. Metode ini ditampilkan dalam diagram di bawah ini.

Dunia nyata Model matematika

Pengabstraksian

Memanipulasi

model

Mewujudkan kembali

Masalah lain, seorang laki–laki membayar £120, sebagai ongkos paket liburan untuk

dirinya, istrinya dan anaknya. Ongjkos untuk anak separuh dari orang dewasa. Berapa

yang harus dibayar untuk setiap orang ?

Masalah ini tidak sulit, tetapi mengenalkan proses abstraksi baru, yang

merupakan salah satu dari pengenalan abstraksi yang menarik. Sebagai langkah

pertama ke arah model matematika, dapat kita tuliskan:

Ongkos orang dewasa + ongkos orang dewasa + ongkos anak = £ 120

Namun, kiat harus mengetahui sesuatu tentang item disebelah kiri. Pertama setiap

ongkos dinyatakan dalam satuan pounds, sebagai suatu bilangan, kita bentuk model

matematikanya. “Ongkos orang dewasa” ditulis “x”. Karena ongkos seorang anak


setengahnya ongkos untuk orang dewasa, maka ongkos anak dinyatakan “ “

model matematikanya yang diperoleh adalah

£

Sekarang pikiran kita dalam 2 sisi, yaitu satuan dan bilangan. Pengabstraksian

dilengkapi dengan penghilangan satuannya (£ ), dan ditulis:

Penggunaan huruf x dalam konteks ini hanya merupakan kebiasaan. Huruf lain jika

dikehendaki dapat digunakan, merupakan kezaliman diantara para matematikawan

untuk menggunakn huruf a, b, c,.......untuk variabel yang dikenalkan Kita akan

membuat pernyatan yang benar untuk setiap anggota himpunan dan x , y,

z, .....digunakan variabel untuk alasan ketiga dimana kita belum tahu anggotanya.

PERSAMAAN DAN PENYELESAIANNYA

Apa yang dimaksud dengan persamaan? Persamaan merupakan bentuk khusus

dari pernyataan. Contoh –contoh sehari – hari adalah:

Hari ini adalah Jumat,

Kota dimana saya tinggal adalah Stockport,

Bilangan setelah 7 adalah 8

Dalam setiap pernyataan ini kita nyatakan bahwa apa yang kita tulis sebelum kata

“adalah” dan kata apa yang ditulis setelah itu adalah nama yang berbeda untuk objek

yang sama .

Karena kata “is” (dalam tulisan ini kata ‘is” diterjemahkan ‘adalah’) digunakan

dengan arti lain selain di atas ( bandingkan dengan “He is running”), kita

menggantikannya dalam matematika dengan simbol nilai tunggal ”=” dibaca sama

dengan.

Beberapa pernyataan matematika :

3 + 2 = 5


7 × 4 = 28

= 5

Sebuah pernyataan matematika dan suatu persamaan mungkin benar atau mungkin

salah (dalam kehidupan sehari- hari secara parsial benar, tetapi dalam matematika

tidak diperbolehkan). Seperti contoh di atas, suatu pernyataan dibuat seolah–olah “ini

benar bahwa”. Kadang–kadang itu tidak jelas apakah pernyataan itu dapat dimengerti

atau tidak.

Dalam kasus persamaan yang melibatkn variabel – variabel , seperti :

6x – 3 = 7 + x

Kita tidak dapat menyatakan itu benar atau salah, karena kita tidak mengetahui nilai

x. Untuk menyelesaikan persamaan ini berati kita mencari semua nilai x yang

membuat persamaan benar. Himpunan jawaban yang benar disebut penyelesaian dari

persamaan.

Beberapa persamaan (persamaan yang melibatkan variabel-variabel) dapat

dengan mudah diselesaikan dengan pemeriksaan.

Contoh : 3 + x = 5

Kita dapat lihat bahwa persamaan itu benar bila x mempunyai nilai 2, dan salah bila x

mempunyai nilai yang lain. Jadi himpunan jawab dari persamaan ini hanya

mempunyai satu anggota. Tetapi hal ini tidak selalu merupakan suatu kasus.

Contoh : (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Jika x mempunyai nilai 1, kurung pertama (x – 1) menjadi (1 – 1) sama dengan 0

(nol), dan jika nol dikalikan dengan sebarang bilangan hasilnya nol; jawaban benar.

Dengan cara yang sama jika diberi nilai 2 dan -3, tetapi tidak untuk nilai x yang lain.

Jadi penyelesaiannya adalah : {1, 2, -3}.

Contoh : 2 + x = 3 + x

Pernyataan ini tidak benar untuk nilai x manapun, jadi himpunan jawaban yang benar

adalah setiap himpunan yang tidak mempunyai anggota yang kita sebut “himpunan

kosong”. Dilambangkan dengan { }.

Contoh :


Jika x merupakan bilangan asli, himpunan penyelesaiannya adalah {2}, akan tetapi

jika x merupakan bilangna bulat, maka penyelesaiannya adalah {+2, -2}.

Jika persamaannya tidak mudah diselesaikan dengan pemeriksaan, kadang-

kadang diperoleh kesulitan sehingga berputar pada menyelesaikan persamaan lain

yang mempunyai himpunan yang sama. Bandingkan kedua pernyataan ini:

Hari setelah besok pagi = kamis

Hari ini = selasa

Bila pernyataan pertama benar, maka pernyataan kedua juga benar.

Kita tulis:

Hari sesudah besok pagi = kamis hari ini = selasa ( mengakibatkan)

Kebalikan dari kasus ini juga benar adalah implikasi, jika pernyataan kedua benar,

maka pernyataan pertama juga benar.

Hari sesudah besok pagi = kamis hari ini = selasa. ( diakibatkan oleh)

Dikombinasikan :

Hari sesudah besok pagi = kamis hari ini selasa.

Tanda baru “ ” dibaca “mengakibatkan dan diakibatkan oleh”.

Dalam kehidupan sehari-hari biasanya kita menyatakan dua pernyataan yang

ekuivalen atau memperoleh pernyataan lain yang ekuivalen. Oleh karena itu

persamaan dalam matematika berkembang lebih kompleks, jadi kita membutuhkan

suatu sistem. Bila kita temukan sistem itu merupakan skema yang lain, dimana

materinya akan membentuk persamaan. Persamaan ekuivalen mempunyai himpunan

kebenaran yang sama .maka proses untuk menyelesaikan persamaan ini akan lebih

mudah dengan menemukan persamaan yang ekuivalen yang lebih sederhana

Secara jelas x = 4 akan bernilai benar jika dan hanya jika x mempunyai nilai

4. analog jika x + 1 = 5 akan benar jika dan hanya jika x mempunyai nilai 4.

Jadi

Analog

Dan berapapun n, berlaku

Jadi pernyataan yang ekuivalen akan diperoleh jika kita menambahkan bilangan yang

sama pada kedua ruas persamaan. Dan karena ekuivalen bekerja pada kedua ruas,


persamaan yang ekuivalen juga akan sama apabila dikurangi dengan bilangan yang

sama. Denga proses yang sama dapat dilihat juga bahwa persamaan yang ekuivalen

kita peroleh dengan mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama. Bentuk-

bentuk yang sebelumnya juga analog dimana “bilangan yang sama” berarti bilangan

tertentu (misalnya 5, 7) atau variabel (misalnya x, 3x).

Prinsip umum ini dapat digunakan untuk mendapatkan persamaan ekuivalen

lebih sederhana yang merupakan pengembangan dari persamaan yang diberikan. Jika

A, B, C merupakan persamaan maka:

dan mengakibatkan

Oleh sifat transitif dari relasi ekuivalen

Berikut ini adalah tipe suatu barisan yang memuat persamaan-persamaan

ekuivalen, dimulai dengan sebuah contoh:

tambahkan 3 pada kedua ruas

sederhankan

krangkan kedua ruas dengan x

bagi kedua ruas dengan 5

Himpunan penyelesaian {2}.

Persamaan yang terakhir dari urutan di atas tidak perlu, karena dari 5x = 10 akan

mendapat penyelesaian yaitu {2}. Catatan bahwa x = 2 bukan penyelesaian,

walaupun ini sering dipakai. Penyelesaian merupakan himpunan jawaban yang benar,

dan persamaan bukan himpunan tetapi suatu pernyataan.

Sekarang akan kita terapkan skema penyelesaian persamaan untuk

menyelesaikan persamaan pada model “paket liburan” pada bab terdahulu.

kalikan kedua ruas dengan 2

sderhanakan

bagikan kedua ruas dengan 5

Penyelesaian {48}


Menyusun kembali penyelesaian ke dalam masalah yang asli, kita peroleh bahwa

ongkosnya £48 untuk orang dewasa, dan £24 untuk anak.

Secara umum :

Jawaban soal himpunan (penyelesaian) yang benar dari persamaan.

Dalam pemecahan masalah seperti ini, dua pekerjaan dilibatkan:

Pembentukan model matematika, dan manipulasinya yang kadang-kadang merupakan

penyelesaian persamaan. Masalah-masalah seperti ini biasanya dikonstruksi khusus

sebagai latihan untuk siswa, dan sangat sulit bagi siswa pertama kali menciptakan

sesuatu yang seluruhnya relistik. Juga dalam mengkonstruksi model yang teratur

dalam ilmu pengetahuan alam, seperti elektronik, ruang angkasa, mesin-mesin, yang

memerlukan penemuan yang terkenal. Untuk mengakhiri bab ini, diberikan suatu

contoh realistik dari bentuk di atas.

Soal : seutas kawat untuk penghantar listrik, mempunyai hambatan (electrical

resistance) sebesar 25 Ohm untuk setiap meter. Berapa panjang kawat yang

diperlukan untuk elemen sebesar 1000 Watt, jika e.m.f (electro-motive-force) utama

sebesar 240 volt?

Hubungan antara power output e.m.f dan jumlah resisten dibangun dengan

model :

Dimana W Watt adalah power output, E Volt e.m.f utama dan R Ohm adalah resisten.

W, E, R merupakan variabel bilangan.

merupakan model umum. Pada soal ini nilai W adalah 1000 dan nilai

E adalah 240. kita akan mengetahui nilai yang berkorenpondensi dengan R.

Jadi model untuk soal ini adalah :

kalikan kedua ruas dengan R

bagi kedua ruas dengan 1000

sederhanakan


Penyelesaian persamaan {57,6}

Dengan memasukkan kembali penyelesaian ini ke dalam permasalahan,

bahwa total hambatan kawat 57,6 Ohm. Jika setiap meter kawat mempunyai

hambatan 25 Ohm, maka yang diperlukan adalah 2,3 meter.

KESIMPULAN

1. Himpunan dan variabel adalah dua hal yang paling dasar dalam matematika

2. Dalam matematika variabel adalah unsur yang tidak ditentukan nilainya dalam

suatu himpunan

3. Untuk menyatakan suatu variabel diperlukan simbol. Simbol untuk menyatakan

variabel biasanya menggunakan huruf .

4. Variabel dan bilangan dapat dikombinasikan dengan menggunakan operasi dan

tanda relasional antara keduanya.

5. Tanda perkalian dalam operasi perkalian yang menggunakan beberapa variabel

dapat dihilangkan, sehingga diperoleh yang lebih ringkas. Tetapi, agar tidak

menimbulkan kesalahpahaman, penggunaan notasi ini harus konsisten dengna

nilai tempat dalam matematika.

6. ; ; ;

;

7. Penyelesaian bentuk-bentuk aljabar mengikuti lima sifat:

a + b = b + a sifat komutatif terhadap penjumlahan

( a + b ) + c = a + ( b + c ) sifat asosiatif terhadap penjumlahan

ab = ba sifat komutatif pada perkalian

(ab)c = a(bc) sifat asosiatif pada perkalian

a ( b + c ) = ab + ac sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

8. Masalah nyata (dalam kehidupan sehari-hari) dapat diselesaikan dengan cara

mengabstraksikan masalah nyata ke dalam bentuk matematika kemudian

memanipulasi dengan cara membentuk model matematikanya, sehingga diperoleh


suatu hasil yang menunjukkan perwujudan kembali hasil ini ke dalam dunia nyata

untuk menjawab masalah yang sebenarnya.

9. Persamaan adalah nama suatu jenis pernyataan yang menggunakan tanda “=”

dibaca “sama dengan”.

10. Pernyataan dan persamaan dapat bernilai benar atau salah.

11. Himpunan penyelesaian adalah himpunan nilai-nilai yang benar dari persamaan .

12. Tanda “ ” disebut “implikasi” dan dibaca “jika...maka...”.

13. Tanda “ ” disebut “implikasi kebalikan”.

14. Tanda “ ” disebut “ekuivalensi” dan dibaca “jika dan hanya jika”.

15. Persamaan ekuivalensi dapat diperoleh dengan cara menambahkan, mengurangi,

mengalikan, atau membagi kedua sisi persamaan dengna bilangan yang sama.

16. Prinsip untuk memperoleh persamaan yang ekuivalen dapat digunakan salah

satunya untuk mencari penyelesaian masalah dalam fisika.

skemp bab 13

Documents