pt 5 p-difflinier-d4
TRANSCRIPT
MATEMATIKA
Oleh:Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
http://polmansem3.esy.es/
l
Defenisi: Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang merupakan hubungan antara variabel bebas, variabel tak bebas terhadap variabel bebasnya.
Bentuk Umum:
F(x, y, y’, y”,…, yn) = 0
Dimana : x, disebut variabel bebas y, disebut variabel tak bebas
y’, y”,…, yn disebut derivatif-derivatif y terhadap x
Beberapa Istilah dalam Persamaan Diferensiala.Orde
Orde dari suatu persamaan diferensial adalah derivatif tertingi yang terdapat di dalam suatu persamaan diferensial
Contoh:1.y’ + 4xy2 + x = 0 , disebut persamaan
diferensial orde satu2.y” + 3y’ – 4y = 0 , disebut
persamaan diferensial orde dua
b. Derajat Derajat dari suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari derivatif tertinggi yang terdapat dalam suatu persamaan diferensialContoh :1.y’ = 3y + x3 , disebut persamaan diferensial derajat satu
2.(y”)2 – 3(y’)3 + 2x = 0, disebut persamaan diferensial derajat dua
c. Penyelesaian UmumPenyelesaian umum dari persamaan diferensial adalah suatu penyelesaian yang didalamnya terdapat konstanta sembarang.
F(x, y, c) = 0 , c adalah konstanta sembarang
d. Penyelesaian KhususPenyelesaian khusus adalah suatu penyelesaian yang di dalamnya sudah ditentukan harga konstanta sembarang menjadi konstanta absolut.
F(x, y, Co ) = 0 Co merupakan konstanta absolut.
Contoh:1.Y = 4 x2 + c penyelesaian umum2.Y = 5x2 + 6 penyelesaian khusus
e. Persamaan Diferensial BiasaPersamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang fungsinya hanya terdiri dari satu variabel bebas.
Bentuk Umum :
f(x, y’, y”, …, yn) = 0
Contoh: 1.Y’ + 5y + 4x = 02.Y’ – 6 y + 8x = 0
f. Persamaan Diferensial ParsialPersamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang fungsinya mempunyai dua atau lebih variabel bebas
Contoh:
yzxz
xz
yv
xv
.2
0.1 2
2
2
2
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu
Bentuk Umum:
dy/dx + P (x) Y = Q(x)
Langkah Penyelesaian:
dy/dx + P (x) Y = Q(x) …………………… (1)
Misalkan : y = U. Vdy/dx = U’.V + U. V’
Maka persamaan (1) menjadi:
U’.V + U. V’ + P (x) U. V = Q (x)(U’ + P(x).U ) V + U. V’ = Q (x) …………… (2)
Syarat: U’ + P(x).U = 0 …… Dianggap homogen
Sehingga persamaan (2), menjadi:
0. V + U. V’ = Q(x)U. V’ = Q(x) ………………. (3)
Dari persamaan U’ + P(x). U = 0
dxxP
eu
dxxPudxxPudu
dxxPudu
UxPdxdu
)(
)(ln)(
)(
).(
Dari persamaan (3)
U. V’ = Q(x)
cdxxQeey
jadiVUy
cdxexQv
dxexQdv
xQdxdve
dxxPdxxP
dxxP
dxxP
dxxP
)(.
:.
).(
).(
)(.
)()(
)(
)(
)(
Contoh 1:Selesaikanlah PDL berikut:
a. y’ – y = 2 ex
b. y’ – 2y = cos 2x
Jawab:
a. y’ – y = 2 ex
P(x) = -1 ; Q(x) = 2 ex
xxx
xxxx
xdxdx
dxxPdxxP
ecexcxey
cdxecdxeee
cdxeee
cdxxQeey
..22
22.
2.
)(.
11
)()(
b. y’ – 2y = cos 2xP(x) = -2 ; Q(x) = cos 2x
cdxxee
cdxxee
cdxxQeey
xx
dxdx
dxxPdxxP
)2cos(.
)2cos(.
)(.
22
22
)()(
x
x
xx
cexx
cexx
cxxeey
2
2
22
22
2sin412cos
41
)2sin22cos2(81
2sin22cos22)2(
Contoh 2:Selesaikanlah Persamaan Diferensial Linier berikut:y’ + y = (x + 1)2 , y = 0 bilamana x = 0
Jawab :y’ + y = (x +1)2
P(x) = 1 ; Q(x) = (x + 1)2
cdxxQeey
dxxPdxxP)(.
)()(
cxee
cxxee
cdxxee
cdxxeey
xx
xx
xx
dxdx
)1(
2)1(2)1(
)1.(
)1.(
2
2
2
211
x
xo
exyPDL
cce
makaydanxuntuk
ecxey
1:
1)10(0
,0)0(0
.)1(
2
02
2
TERIMA KASIHSelamat Belajar