probabilitas

Probabilitas Ruang Sampel Kejadian Menghitung Titik Sampel Peluang dari Kejadian

3

Ruang Sampel

Definisi Ruang Sampel: Kumpulan dari semua kejadian dari eksperimen statistik,

dinotasikan dengan S

Contoh 1 (Identifikasi Ruang Sampel): Suatu eksperimen melempar koin kemudian

melempar sekali lagi bila yang muncul pertama adalah muka, jika yang muncul belakang diteruskan dengan melempar dadu.

Maka ruang sampelnya adalah S = { HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6 }

Ruang Sampel

Diagram Pohon untuk Mengidentifikasi Ruang Sampel

T

HH

T

1

2

3

4

56

HH

HT

T1T2

T3

T4

T5T6

Kemungkinan Pertama

Kemungkinan Kedua

RuangSampel

Ruang Sampel

Contoh 2 (Identifikasi Ruang Sampel): Tiga item diambil dari suatu proses manufacturing, di

mana item tersebut diklasifikasikan menjadi dua:defektif (D) dan non-defektif (N).

Maka ruang sampel S: S = { DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN }

Ruang Sampel

Diagram Pohon untuk Contoh 2

N

D

N

D

N

D

N

D

N

D

N

D

N

D

DDD

DDN

DND

DNNNDD

NDNNND

NNN

Item Pertama

Item Kedua

Item Ketiga

Ruang Sampel

Ruang Sampel

Definisi:Kejadian adalah subset dari ruang sampel, yaitu suatu kejadian dengan kondisi tertentu

Kejadian

Contoh Identifikasi Suatu Kejadian:Diberikan suatu ruang sampel

S = {t | t ≥ 0}, di mana t adalah umur dalam satuan tahun suatu komponen mesin.

Suatu kejadian A adalah umur komponen yang kurang dari lima tahun, atau dituliskan

A = {t | 0 ≤ t ≤ 5}.

Kejadian

Komplemen dari kejadian A terhadap S adalah subset dari semua elemen S yang bukan elemen dari A. Komplemen dari A dituliskan dengan A’.

Contoh: Misalkan R adalah kejadian di mana kartu warna merah diambil dari 52 kartu Bridge. Komplemen dari R adalah R’, yaitu kartu dengan warna hitam.

Kejadian

Ruang Sampel

SKejadian

RKomplemen

R’

Definisi Irisan:Irisan / interseksi dari dua kejadian A dan B adalah suatu kejadian yang memuat elemen yang ada di A dan B, dinotasikan dengan A B

Kejadian

Definisi: Dua kejadian saling lepas (mutually exclusive atau disjoint) jika A B = Ф, yang berarti A dan B tidak memiliki anggota yang sama

Kejadian

Definisi:Gabungan dari dua kejadian A dan B adalah suatu kejadian dengan elemen dari A atau B atau keduanya,

dinotasikan dengan A U B

Kejadian

Contoh irisan, gabungan, dan komplemen antara kejadian-kejadian dengan diagram Venn:

AS

B

72

6

13

5 C

4

Kejadian

AS

B

72

6

13

5 C

4

Kejadian

A B = region 1 dan 2 B C = region 1 dan 3

AS

B

72

6

13

5 C

4

Kejadian

A U C = region 1, 2, 3, 4, 5, dan 7

B’ A = region 4 dan 7

AS

B

72

6

13

5 C

4

Kejadian

A B C = region 1 (A U B) C’ = region 2, 6, dan 7

Dalam eksperimen statistik, semua kejadian yang mungkin dapat ditentukan tanpa harus mendaftarkan satu-per-satu.

Menghitung Titik Sampel

Teorema :Jika operasi pertama dapat dilakukan dengan n₁ cara, dan operasi kedua dengan n₂ cara maka dua operasi dapat dilakukan dengan n₁n₂ cara.

Secara umum bila ada k operasi dengan masing-masing mempunyai n₁ , n₂ ,…, nk cara maka terdapat (n₁ ) (n₂ )…. (nk) cara.


Contoh:Sebuah perusahaan otomotif menawarkan 4 macam jenis motor kepada konsumen, yaitu Sport, Skuter, Bebek, dan Trail, di mana setiap jenis motor dapat terdiri dari 3 warna, yaitu hitam, biru, dan merah. Maka ada berapa cara untuk memilih motor?

Jawab: (4)(3) = 12 cara


Diagram Pohon untuk Aturan Perkalian

Sport

BebekTrail

HitamMerah

Biru

HitamMerah

Biru

HitamMerah

Biru

HitamMerah

Biru

Skuter

Jenis Motor

Warna


Definisi Permutasi:Sebuah susunan dari semua atau sebagian kumpulan objek. Bila terdapat n objek yang berbeda terdapat n! permutasi.


Teorema:Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda diambil r adalah:

nPr =


Contoh Permutasi:Bila terdapat 3 huruf a, b, dan c, maka jumlah permutasinya adalah 6, yaitu abc, acb, bac, bca, cab, dan cba.


Teorema Permutasi Disusun Melingkar:Jumlah permutasi dari n objek yang berbeda disusun melingkar adalah (n – 1)!, di mana satu objek dianggap mempunyai posisi tetap sehingga ada (n - 1) yang disusun.

Bila terdapat objek yang sama, maka akan terdapat susunan yang berulang.


Contoh Permutasi Disusun Melingkar:Misalkan ada 4 orang bermain kartu dengan posisi melingkar. Ada berapa cara kemungkinan posisi duduk mereka?

Jawab:(4 - 1)! = 3! = 6 cara


• Teorema Permutasi PartisiJumlah cara untuk mempartisi sekumpulan n objek menjadi r sel dengan n₁ elemen di sel pertama, n₂ elemen di sel kedua, dst., adalah:

di mana n₁ + n₂ + … + nr = n.


Contoh Permutasi Partisi:Ada 7 orang akan menginap di hotel dengan 3 kamar, satu kamar berisi 3 orang dan dua kamar berisi 2 orang. Ada berapa cara untuk menempatkan orang-orang tersebut?

Jawab:


Teorema Kombinasi:Diberikan n objek akan diambil sebanyak r tanpa memperhatikan urutan. Cara pemilihan ini disebut dengan kombinasi dan dihitung dengan cara berikut:


Contoh Kombinasi:Dari 4 orang Teknik Mesin akan diambil 2 orang dan dari 3 orang Teknik Industri diambil 1 orang. Ada berapa cara memilih orang untuk membentuk suatu kepanitiaan?

Jawab:



Berapa peluang di kelas ini terdapat minimal satu pasang siswa yang mempunyai tanggal dan bulan lahir yang sama (tahun tidak diperhitungkan)?

Definisi: Peluang dari suatu kejadian A adalah jumlah dari bobot semua titik sampel dalam A, sehingga:

0 ≤ P( A ) ≤ 1, P(Ф) = 0 dan P(S) = 1

Peluang dari Kejadian

Contoh:Suatu mata uang dilempar dua kali. Tentukan peluang sekurang-kurangnya satu head muncul.

Jawab:Ruang sampel dari eksperimen ini adalah:

S = { HH, HT, TH, TT }Jika mata uang ini rata / seimbang maka peluangnya sama, masing-masing .

Jika A adalah kejadian tersebut maka:A = { HH, HT, TH } dan P(A) = + + = .


Contoh : Berapa peluang memperoleh jumlah 7 atau 11 jika sepasang dadu dilempar?

Jawab: Pelemparan sepasang dadu mempunyai 36 titik sampel yaitu (1,1) … (6,6).A: Kejadian muncul jumlah 7, ada 6 titik sampel yaitu (1,6) … (6,1).B: Kejadian muncul jumlah 11, ada 2 titik sampel yaitu (5,6) dan (6,5). Kejadian A dan B saling lepas karena dalam satu lemparan tidak ada yang muncul jumlah 7 dan 11 bersamaan.

92

181

61)()()( BPAPBAP


Contoh : Tukul lulus dari suatu universitas. Setelah ia

mengikuti wawancara penerimaan karyawan pada 2 perusahaan, ia melakukan penilaian sendiri. – Peluang diterima perusahaan A, P(A) = 0,8– Peluang diterima perusahaan B, P(B) = 0,6– Peluang diterima keduanya, P(A B) = 0,5Berapa peluang diterima sekurang-kurangnya satu perusahaan?


P(A)=0.8P(B)=0.6

P(A B) = 0,5

?)( BAP

9,05,06,08,0)()()()()(

BAPBAPBPAPBAP


probabilitas

Documents