AnalisisAnalisis StatistikStatistik dandanAnalisisAnalisis StatistikStatistik dandanProbabilitasProbabilitas

FungsiFungsi DistribusiDistribusi ProbabilitasProbabilitasMingguMinggu--4 & 54 & 5

1. Deskripsi utama dari variabel acak1. Deskripsi utama dari variabel acak

•• Karakter probabilitas dari variabel acak akan digambarkan dengan Karakter probabilitas dari variabel acak akan digambarkan dengan lengkap jika bentuk dari fungsi distribusi (fungsi massa atau kerapatan lengkap jika bentuk dari fungsi distribusi (fungsi massa atau kerapatan probabilitas) dan parameter terkait ditentukan.probabilitas) dan parameter terkait ditentukan.

•• Dalam praktis, bagaimanapun, bentuk distribusi fungsi mungkin tidak Dalam praktis, bagaimanapun, bentuk distribusi fungsi mungkin tidak diketahui; sebagai konsekuensinya, deskripsi pendekatan dari variabel diketahui; sebagai konsekuensinya, deskripsi pendekatan dari variabel acak selalu diperlukan. Karakteristik probabilitas dari variabel acak dapat acak selalu diperlukan. Karakteristik probabilitas dari variabel acak dapat digambarkan dalam bentuk deskripsi utama variabel acak, yaitu digambarkan dalam bentuk deskripsi utama variabel acak, yaitu nilai nilai

t lt l d i i b l k d d i i b l k d k di ik di i d i il i2 t b t d i il i2 t b t sentralsentral dari variabel acak, dan dari variabel acak, dan pengukuran dispersipengukuran dispersi dari nilai2 tersebut. dari nilai2 tersebut. Pengukuran skewnessPengukuran skewness juga penting dan berguna jika distribusi yang juga penting dan berguna jika distribusi yang dimaksud diketahui berbentuk nonsymmetric.dimaksud diketahui berbentuk nonsymmetric.

1.1 Nilai rata1.1 Nilai rata--rata atau harapan (nilai sentral).rata atau harapan (nilai sentral).1.1 Nilai rata1.1 Nilai rata rata atau harapan (nilai sentral).rata atau harapan (nilai sentral).•• Karena nilai yang berbeda dari variabel acak dikaitkan dengan probabilitas Karena nilai yang berbeda dari variabel acak dikaitkan dengan probabilitas

yang berbeda atau kerapatan probabilitas, “ratayang berbeda atau kerapatan probabilitas, “rata--rata weighted” menjadi rata weighted” menjadi perhatian khusus; ini yang disebut sebagai nilai rataperhatian khusus; ini yang disebut sebagai nilai rata--rata (mean value) rata (mean value) atau nilai harapan (expected value) dari variabel acak.atau nilai harapan (expected value) dari variabel acak.

•• Jika X adalah variabel acak diskret dengan PMF pJika X adalah variabel acak diskret dengan PMF pxx(x(xii), nilai rata), nilai rata--rata rata “weighted”, berupa E(X), adalah“weighted”, berupa E(X), adalah

µµ = E(x) = x= E(x) = x pp (x(x ) = (1/N) x) = (1/N) x (1a)(1a)N

µµxx = E(x) = x= E(x) = xii ppxx(x(xii) = (1/N) x) = (1/N) xii (1a)(1a)

Semua xi

i=1

•• Dengan cara yang sama, untuk variabel acak kontinyu X dengan PDF Dengan cara yang sama, untuk variabel acak kontinyu X dengan PDF ffxx(x), nilai rata(x), nilai rata--rata adalahrata adalah

E(x) = ∫ x fE(x) = ∫ x fxx(x) dx (1b)(x) dx (1b)∞

-∞

1.2 Ekspektasi matematik1.2 Ekspektasi matematik•• Gagasan rataGagasan rata--rata weighted atau nilai harapan dapat dinyatakan untuk rata weighted atau nilai harapan dapat dinyatakan untuk

sebuah fungsi X. Diberikan sebuah fungsi g(X), nilai harapan E[g(X)], sebuah fungsi X. Diberikan sebuah fungsi g(X), nilai harapan E[g(X)], ditentukan sebagai suatu pernyataan dari persamaan (1), adalahditentukan sebagai suatu pernyataan dari persamaan (1), adalah

E[g(X)] = g(xE[g(X)] = g(xii) p) pxx(x(xii) (2a)) (2a)

jika X adalah diskret. Jika X adalah kontinyu, makajika X adalah diskret. Jika X adalah kontinyu, maka

E[g(x)] = ∫ g(x) fE[g(x)] = ∫ g(x) fxx(x) dx (2b)(x) dx (2b)

Semua xi

∞[g( )] ∫ g( )[g( )] ∫ g( ) xx( ) ( )( ) ( )

•• Kedua kasus diatas, E[g(X)] disebut sebagai ekspektasi matematik dari Kedua kasus diatas, E[g(X)] disebut sebagai ekspektasi matematik dari g(X). Kuantitas lain yang digunakan juga untuk mendisain nilai sentral g(X). Kuantitas lain yang digunakan juga untuk mendisain nilai sentral dari variabel acak termasuk mode dan mediandari variabel acak termasuk mode dan median

-∞

dari variabel acak termasuk mode dan median.dari variabel acak termasuk mode dan median.

•• ModeMode x adalah nilai yang paling mungkin dari variabel acak atau x adalah nilai yang paling mungkin dari variabel acak atau kerapatan probabilitas paling tinggi.kerapatan probabilitas paling tinggi.

•• Median, xMedian, xmm adalah nilai tengah dari variabel acak dimana nilaiadalah nilai tengah dari variabel acak dimana nilai--nilai diatas nilai diatas dan bawahnya mempunyai kemungkinan yang sama Jika xdan bawahnya mempunyai kemungkinan yang sama Jika x adalah adalah dan bawahnya mempunyai kemungkinan yang sama. Jika xdan bawahnya mempunyai kemungkinan yang sama. Jika xmm adalah adalah median dari X, makamedian dari X, maka

FFxx(x(xmm) = 0.50 (3)) = 0.50 (3)

•• Secara umum, mean, median, dan mode adalah berbeda, khususnya jika Secara umum, mean, median, dan mode adalah berbeda, khususnya jika fungsi kerapatan tidak simetri. Akan tetapi, jika PDF adalah simetri dan fungsi kerapatan tidak simetri. Akan tetapi, jika PDF adalah simetri dan unimodalunimodal (mode tunggal), ketiga besaran ini adalah sama. (mode tunggal), ketiga besaran ini adalah sama. ( gg ), g( gg ), g

1.3 Varian dan Deviasi standar (pengukuran dispersi).1.3 Varian dan Deviasi standar (pengukuran dispersi).•• Besaran paling penting lainnya dari variabel acak adalah pengukuran Besaran paling penting lainnya dari variabel acak adalah pengukuran

di i it b b ik k b d k t di i it b b ik k b d k t dispersi, yaitu besaran yang memberikan pengukuran, seberapa dekat dispersi, yaitu besaran yang memberikan pengukuran, seberapa dekat nilainilai--nilai yang berbeda dikelompokkan (atau seberapa besar nilai yang berbeda dikelompokkan (atau seberapa besar penyebarannya) disekitar nilai sentral.penyebarannya) disekitar nilai sentral.

•• Jika deviasi diambil terhadap nilai rataJika deviasi diambil terhadap nilai rata--rata, maka pengukuran ratarata, maka pengukuran rata--rata rata yang sesuai dari dispersi adalah varian. Untuk variabel acak X diskret yang sesuai dari dispersi adalah varian. Untuk variabel acak X diskret ya g ua da d p ada a a a U u a ab a a dya g ua da d p ada a a a U u a ab a a ddengan PMF pdengan PMF pxx(x(xii), varian X adalah), varian X adalah

Var(X) = (xVar(X) = (xii -- µµxx))22 ppxx(x(xii) = (1/N) (x) = (1/N) (xii -- µµxx))2 2 (4)(4)N

dimana µdimana µxx ΞΞ E(x). Persamaan diatas adalah berdasarkan persamaan (3) E(x). Persamaan diatas adalah berdasarkan persamaan (3) adalah ekspektasi matematik dari g(X) = (X adalah ekspektasi matematik dari g(X) = (X -- µµxx))22. Selanjutnya jika X . Selanjutnya jika X adalah kontinyu dengan fadalah kontinyu dengan f (x) PDF varian adalah(x) PDF varian adalah

Semua xi

i=1

adalah kontinyu dengan fadalah kontinyu dengan fxx(x) PDF, varian adalah(x) PDF, varian adalah

Var(X) = ∫ (x Var(X) = ∫ (x -- µµxx))22 ffxx(x) dx (5)(x) dx (5)

Ek i t l d l (5) did tEk i t l d l (5) did t

∞

-∞

Ekspan integral dalam persamaan (5), didapatEkspan integral dalam persamaan (5), didapat

Var(X) = ∫ (xVar(X) = ∫ (x22 -- 2µ2µxxx + µx + µxx22) f) fxx(x) dx (x) dx

∞

-∞

= E(x= E(x22) ) -- 2µ2µxx E(x) + µE(x) + µxx22

Var(x) = E(xVar(x) = E(x22) ) -- µµxx22 (6)(6)

•• Pada persamaan (6), suku E(XPada persamaan (6), suku E(X22) diketahui sebagai nilai rata) diketahui sebagai nilai rata--rata kuadrat rata kuadrat dari X.dari X.

•• Pengukuran lebih mudah dari dispersi adalah akar kuadrat dari varian, Pengukuran lebih mudah dari dispersi adalah akar kuadrat dari varian, atau deviasi standar, atau deviasi standar, σσ; yaitu,; yaitu,

σσxx = square root(Var(X)) (7)= square root(Var(X)) (7)

•• Pengukuran dispersi relatif terhadap nilai sentral adalah lebih berguna. Pengukuran dispersi relatif terhadap nilai sentral adalah lebih berguna. Pengukuran dispersi relatif terhadap nilai sentral adalah lebih berguna. Pengukuran dispersi relatif terhadap nilai sentral adalah lebih berguna. Dengan kata lain, apakah dispersi besar atau kecil sangat berarti jika Dengan kata lain, apakah dispersi besar atau kecil sangat berarti jika relatif terhadap nilai sentral. Untuk alasan ini, koefisien variasi,relatif terhadap nilai sentral. Untuk alasan ini, koefisien variasi,

δδ σσ / µ/ µ (8)(8)δδxx = = σσxx / µ/ µxx (8)(8)

1.4 Pengukuran skewness1.4 Pengukuran skewness•• Sifat lain yang berguna dari variabel acak adalah simetri atau kurang Sifat lain yang berguna dari variabel acak adalah simetri atau kurang Sifat lain yang berguna dari variabel acak adalah simetri atau kurang Sifat lain yang berguna dari variabel acak adalah simetri atau kurang

simetri dari suatu distribusi probabilitas, berkaitan dengan besar dan arah simetri dari suatu distribusi probabilitas, berkaitan dengan besar dan arah ketidaksimterian. Pengukuran ketidaksimetrian ini atau skewness adalah ketidaksimterian. Pengukuran ketidaksimetrian ini atau skewness adalah momen sentral ketiga, ataumomen sentral ketiga, atau

E(X E(X -- µµxx))33 = (x= (xii -- µµxx))33 ppxx(x(xii) untuk X diskret) untuk X diskretSemua

xi

dandan

E(X E(X -- µµxx))33 = ∫ (x = ∫ (x -- µµxx))33 ffxx(x) dx untuk X kontinyu(x) dx untuk X kontinyu

Untuk E(X Untuk E(X -- µµ ))33 = 0 = 0 distribusi probabilitas adalah simetri sekitar distribusi probabilitas adalah simetri sekitar µµ

∞

-∞

Untuk E(X Untuk E(X -- µµxx))33 = 0 = 0 distribusi probabilitas adalah simetri sekitar distribusi probabilitas adalah simetri sekitar µµxx

Skewness positif Skewness negatif

fx(x) fx2

fx1

E(X2-µ2)3 > E(X1-µ1) fx(x)

f

fx1E(X1-µ1)3 < E(X2-µ2)3

fx2

0 x x0

Ketidaksimetrian PDF

2. Distribusi Probabilitas2. Distribusi Probabilitas•• JenisJenis--jenis fungsi sebelumnya dapat digunakan untuk menggambarkan jenis fungsi sebelumnya dapat digunakan untuk menggambarkan

distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. Akan tetapi, terdapat distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. Akan tetapi, terdapat sejumlah fungsi diskret dan kontinyu yang berguna dan dikenal luas, sejumlah fungsi diskret dan kontinyu yang berguna dan dikenal luas, diantaranya:diantaranya:diantaranya:diantaranya:

(1). Distribusi Normal(1). Distribusi Normal(2). Distribusi Normal Standar(2). Distribusi Normal Standar( )( )(3). Distribusi Rayleigh(3). Distribusi Rayleigh(4). Distribusi Rayleigh Tak Berdimensi(4). Distribusi Rayleigh Tak Berdimensi(5). Distribusi Binomial(5). Distribusi Binomial

2.1 Distribusi Normal2.1 Distribusi Normal•• Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling dikenal Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling dikenal

dan secara luas digunakan. Distribusi ini disebut juga sebagai distribusi dan secara luas digunakan. Distribusi ini disebut juga sebagai distribusi dan secara luas digunakan. Distribusi ini disebut juga sebagai distribusi dan secara luas digunakan. Distribusi ini disebut juga sebagai distribusi Gaussian. Distribusi normal memiliki fungsi kerapatan probabilitas, PDF Gaussian. Distribusi normal memiliki fungsi kerapatan probabilitas, PDF diberikan olehdiberikan oleh

ff ( ) (1/(( ) (1/( t(2∏)) [t(2∏)) [ 1/2 ((1/2 (( )/)/ ))22] ] < < (9) < < (9)ffxx(x) = (1/((x) = (1/(σσ.sqrt(2∏)) exp [.sqrt(2∏)) exp [--1/2.((x1/2.((x--µ)/µ)/σσ))22] , ] , --∞ < x < ∞ (9)∞ < x < ∞ (9)

dimana µ dan dimana µ dan σσ adalah parameter distribusi, yang mana adalah juga rataadalah parameter distribusi, yang mana adalah juga rata--rata dan deviasi standar Notasi pendek untuk distribusi ini adalah N(µrata dan deviasi standar Notasi pendek untuk distribusi ini adalah N(µ σσ) ) rata dan deviasi standar. Notasi pendek untuk distribusi ini adalah N(µ,rata dan deviasi standar. Notasi pendek untuk distribusi ini adalah N(µ,σσ). ).

fx(x)

Area = Pr(a ≤ x ≤ b)

x0 a bµx

•• SifatSifat--sifat PDF Normal berdasarkan gambar adalah:sifat PDF Normal berdasarkan gambar adalah:-- Simetris di x = µSimetris di x = µxx

X*-- Pr(X ≤ x*) = ∫ (1/(Pr(X ≤ x*) = ∫ (1/(σσxx.sqrt(2∏)).exp[.sqrt(2∏)).exp[--1/2.((x1/2.((x--µµxx)/)/σσxx))22] dx ] dx CDF NormalCDF Normal

-- Pr(a ≤ X ≤ b) = ∫ (1/(Pr(a ≤ X ≤ b) = ∫ (1/(σσxx.sqrt(2∏)).exp[.sqrt(2∏)).exp[--1/2.((x1/2.((x--µµxx)/)/σσxx))22] dx] dxb

a

X*

-∞

-- Pr[x ≤ µPr[x ≤ µxx] = Pr[x ≥ µ] = Pr[x ≥ µxx] = 50 %] = 50 %

2.2 Distribusi Normal Standar2.2 Distribusi Normal Standar•• Distribusi Gaussian dengan parameter µDistribusi Gaussian dengan parameter µxx = 0 dan = 0 dan σσxx = 1 dikenal sebagai = 1 dikenal sebagai

distribusi normal standar dan dinyatakan sebagai N(0,1). Fungsi distribusi normal standar dan dinyatakan sebagai N(0,1). Fungsi kerapatannya adalahkerapatannya adalah

ffzz(z) = (1/sqrt(2∏)).exp [(z) = (1/sqrt(2∏)).exp [--1/2.z1/2.z22] , ] , --∞ < z < ∞ (10)∞ < z < ∞ (10)

dimanadimana

z = (x z = (x -- µµxx)/)/σσxx

Sif tSif t if t PDF N l St dif t PDF N l St d•• SifatSifat--sifat PDF Normal Standar:sifat PDF Normal Standar:-- Simetris di z = 0Simetris di z = 0-- Pr[z ≤ 0] = Pr[z ≥ 0] = 50 %Pr[z ≤ 0] = Pr[z ≥ 0] = 50 %

-- F(z*) = Pr(Z ≤ z*) = F(z*) = Pr(Z ≤ z*) = ΦΦ(z*) = ∫ (1/(2∏)).exp[(z*) = ∫ (1/(2∏)).exp[--zz22/2] dz , z ≥ 0/2] dz , z ≥ 0

CDF normal standar, Gambar (1a), nilai CDF normal standar, Gambar (1a), nilai ΦΦ(z*) di lamp Ang&Tang(z*) di lamp Ang&Tang

z*

-∞

dan inversnyadan inversnya

z* = z* = ΦΦ--11(p)(p)p = F(z*)p = F(z*)

fz(z)

Probabilitas = p

zZ*0

Gambar (1a)Gambar (1a)

-- Untuk Pr(Z ≤ Untuk Pr(Z ≤ --z*) z* ≥ 0 (Gambar 1b)z*) z* ≥ 0 (Gambar 1b)Untuk Pr(Z ≤ Untuk Pr(Z ≤ z ) , z ≥ 0 (Gambar 1b)z ) , z ≥ 0 (Gambar 1b)Pr[Z ≤ Pr[Z ≤ --z*] = Pr[Z ≥ +z*]z*] = Pr[Z ≥ +z*]

= 1 = 1 –– Pr[Z ≤ +z*]Pr[Z ≤ +z*]ΦΦ((--z*) = 1 z*) = 1 –– ΦΦ(z*) , z* ≥ 0(z*) , z* ≥ 0

dan inversnyadan inversnya--z* = z* = ΦΦ--11(1(1--p)p)

* * ΦΦ 11(1(1 ) ) z* = z* = -- ΦΦ--11(1(1--p) p)

fz(z)

Probabilitas = p

z-Z* 0

Gambar (1b)

-- Untuk p = Pr(Z ≥ z*) , z* ≥ 0 (Gambar 1c)Untuk p = Pr(Z ≥ z*) , z* ≥ 0 (Gambar 1c)Pr(Z ≥ z*) = 1 Pr(Z ≥ z*) = 1 –– Pr[Z ≤ +z*]Pr[Z ≤ +z*]

= 1 = 1 –– ΦΦ(z*)(z*)

dan inversnyadan inversnyadan inversnyadan inversnyaz* = + z* = + ΦΦ--11(1(1--p)p)

fz(z)

Probabilitas = p

z+Z*0

Gambar (1c)

-- Untuk p = Pr(Z ≥ z*) , z* ≥ 0 (Gambar 1d)Untuk p = Pr(Z ≥ z*) , z* ≥ 0 (Gambar 1d)Pr[Z ≥ Pr[Z ≥ --z*] = Pr[Z ≤ +z*]z*] = Pr[Z ≤ +z*]

= = ΦΦ(z*)(z*)

d id idan inversnyadan inversnyaz* = z* = --ΦΦ--11(p)(p)

f (z)fz(z)

Probabilitas = pobab tas p

z-Z* 0

Gambar (1d)

•• Distribusi Normal kebanyakan digunakan untuk:Distribusi Normal kebanyakan digunakan untuk:-- Penentuan persentase kejadian pada batas tertentuPenentuan persentase kejadian pada batas tertentu-- Penentuan interval kepercayaan pada persentase tertentuPenentuan interval kepercayaan pada persentase tertentu

2.2.1 Penentuan Persentase Kejadian2.2.1 Penentuan Persentase Kejadian2.2.1 Penentuan Persentase Kejadian2.2.1 Penentuan Persentase Kejadian•• Persentase kejadian suatu kejadian pada batas [a,b] dapat ditentukan Persentase kejadian suatu kejadian pada batas [a,b] dapat ditentukan

dengan mengubah distribusi N(µdengan mengubah distribusi N(µxx,,σσxx) menjadi distribusi N(0,1):) menjadi distribusi N(0,1):

Pr[a <x< b] = Pr[(aPr[a <x< b] = Pr[(a--µµ )/)/σσ < Z < (b< Z < (b--µµ )/)/σσ ]]Pr[a <x< b] = Pr[(aPr[a <x< b] = Pr[(a--µµxx)/)/σσxx < Z < (b< Z < (b--µµxx)/)/σσxx]]= = ΦΦ[(b[(b--µµxx)/)/σσxx] ] –– ΦΦ[(a[(a--µµxx)/)/σσxx]]= = ΦΦ(z(zbb) ) –– ΦΦ(z(zaa) (11)) (11)

2.2.2 Penentuan Interval Kepercayaan2.2.2 Penentuan Interval Kepercayaan•• Penentuan interval suatu kejadian pada suatu persentase tertentu Penentuan interval suatu kejadian pada suatu persentase tertentu

dilakukan dengan aturandilakukan dengan aturan--aturan penggunaan distribusi normal standar aturan penggunaan distribusi normal standar berikut:berikut:1. z1. zaa = = --zzbb

2. Pr[z2. Pr[zaa ≤ z ≤ z≤ z ≤ zbb] = (1 ] = (1 -- αα))3. Pr[z ≤ z3. Pr[z ≤ zaa] = Pr[z ≥ z] = Pr[z ≥ zbb] = ] = αα/2/24. z4. zaa = = --ΦΦ--11(1 (1 -- αα/2)/2)aa (( / )/ )

5. z5. zbb = = ΦΦ--11(1 (1 -- αα/2)/2)bb

6. [a,b] = [µ6. [a,b] = [µxx + z+ zaa σσxx , µ, µxx + z+ zbb σσxx]]

•• Untuk memperjelas aturanUntuk memperjelas aturan--aturan diatas dapat dilihat pada gambar.aturan diatas dapat dilihat pada gambar.

f (x) f (z)fx(x) fz(z)

α/2 α/2

1 - α

α/2 α/2

1 - α

xa µx b

1 α

zza 0 zb

1 α

Gambar (2) Definisi interval kepercayaan dengan persentase kejadian (1 - α)

•• ContohContoh: : DiketahuiDiketahui arusarus kendaraankendaraan bermotorbermotor didi kotakota A A didi tahuntahun 1999 1999 mengikutimengikuti aturanaturan distribusidistribusi normal N(200, 85).normal N(200, 85).

(a) (a) BerapaBerapa persentasepersentase kejadiankejadian tahuntahun 2000 2000 dengandengan jumlahjumlah kendaraankendaraandiantaradiantara 180 180 dandan 205 ?205 ?

(b) (b) TentukanTentukan jumlahjumlah kendaraankendaraan yang yang terjaditerjadi untukuntuk suatusuatu perencanaanperencanaan jikajika(b) (b) TentukanTentukan jumlahjumlah kendaraankendaraan yang yang terjaditerjadi untukuntuk suatusuatu perencanaanperencanaan jikajikapersentasepersentase kejadiankejadian yang yang diinginkandiinginkan adalahadalah 80 %.80 %.

•• SolusiSolusi(a) (a) BerdasarkanBerdasarkan persamaanpersamaan 11:11:

Pr[180 ≤ X ≤ 205] = Pr[180 ≤ X ≤ 205] = ΦΦ((205((205--200)/85) 200)/85) –– ΦΦ((180((180--200)/85)200)/85)= = ΦΦ(0.059) (0.059) –– ΦΦ((--0.176)0.176)= = ΦΦ(0.059) (0.059) –– (1(1--ΦΦ(0.176))(0.176))= 0.523 = 0.523 –– (1 (1 –– 0.570)0.570)= 0.09 = 9 %= 0.09 = 9 %

(b) (b) BerdasarkanBerdasarkan sifatsifat--sifatsifat distribusidistribusi normal normal standarstandar::Pr[Pr[zzaa ≤ Z ≤ ≤ Z ≤ zzbb] = 80 %] = 80 %

(1 (1 -- αα) = 80 %) = 80 %(( ))

αα = 1 = 1 –– 80 %80 %αα = 20 %= 20 %

Pr[zPr[zaa ≤ Z] = ≤ Z] = αα/2 = 10 %/2 = 10 % ΦΦ 11(1(1 /2)/2)zzaa = = --ΦΦ--11(1(1--αα/2)/2)

= = --ΦΦ--11(0.9)(0.9)= = --1.2821.282

Pr[Z ≤ zPr[Z ≤ zbb] = ] = αα/2 = 10 %/2 = 10 %zzbb = = ΦΦ--11(1(1--αα/2)/2)

= = ΦΦ--11(0.9)(0.9)= 1.282= 1.282

Jadi persentase kejadian 80 % terjadi saat jumlah kendaraan bermotor Jadi persentase kejadian 80 % terjadi saat jumlah kendaraan bermotor [200 [200 ±± (1 282)(85)] = [91 1 308 9](1 282)(85)] = [91 1 308 9][200 [200 ±± (1.282)(85)] = [91.1, 308.9](1.282)(85)] = [91.1, 308.9]

2.3 Distribusi Rayleigh2.3 Distribusi Rayleigh•• Distribusi ini disebut juga dengan distribusi selisih atau distribusi puncakDistribusi ini disebut juga dengan distribusi selisih atau distribusi puncak--

lembah. Untuk lebih jelas lihat gambar.lembah. Untuk lebih jelas lihat gambar.

ηη

tH2

H5

H1H2

H3

H4

3

Gambar 3 – Data pengamatan dan selisih puncak - lembah

•• Berdasarkan gambar sampel data elevasi muka air diatas, yang dimaksud Berdasarkan gambar sampel data elevasi muka air diatas, yang dimaksud dengan selisih puncak dengan selisih puncak –– lembah adalah tinggi gelombang, H.lembah adalah tinggi gelombang, H.

•• Bentuk PDF dan CDF Rayleigh:Bentuk PDF dan CDF Rayleigh:

f(x) = (2x/R).exp[f(x) = (2x/R).exp[--xx22/R] (12)/R] (12)

F(x) = ∫ (2x/R).exp[F(x) = ∫ (2x/R).exp[--xx22/R] dx = 1 /R] dx = 1 –– exp[exp[--xx22/R] (13)/R] (13)X( ) ∫ ( / ) p[( ) ∫ ( / ) p[ / ]/ ] p[p[ / ] ( )/ ] ( )

dimana R adalah parameter distribusi, yang secara matematika dimana R adalah parameter distribusi, yang secara matematika dinyatakan sebagai:dinyatakan sebagai:

0

R = (1/N) xR = (1/N) xii22

= (x= (x ))22i=1

N

= (x= (xrmsrms))

xxrmsrms disebut x root mean square atau x akar ratadisebut x root mean square atau x akar rata--rata kuadrat.rata kuadrat.

•• Distribusi Rayleigh digunakan dalam penentuan rataDistribusi Rayleigh digunakan dalam penentuan rata--rata variabel tinggi rata variabel tinggi gelombang terbesar (xgelombang terbesar (x1/n1/n) dengan persentase kejadian 1/n x 100 % dalam ) dengan persentase kejadian 1/n x 100 % dalam analisis gelombang individu.analisis gelombang individu.

•• Gambar (4) merupakan sketsa definisi xGambar (4) merupakan sketsa definisi x1/1/ sebagai ratasebagai rata--rata variabel X rata variabel X •• Gambar (4) merupakan sketsa definisi xGambar (4) merupakan sketsa definisi x1/n1/n sebagai ratasebagai rata rata variabel X rata variabel X yang melewati atau sama dengan xyang melewati atau sama dengan xpp. Besar probabilitas yang terbentuk . Besar probabilitas yang terbentuk sebesar p = Pr(X ≥ xsebesar p = Pr(X ≥ xpp). Besaran yang digunakan). Besaran yang digunakanxx11 = Rata= Rata--rata variabel acak di Pr(X ≥ xrata variabel acak di Pr(X ≥ xpp) = 1 x 100 % = 100 % =1) = 1 x 100 % = 100 % =1

R t R t t i b l k di P (X t i b l k di P (X ) 1/3 100 % 33 3 % ) 1/3 100 % 33 3 % xx1/31/3 = Rata= Rata--rata variabel acak di Pr(X ≥ xrata variabel acak di Pr(X ≥ xpp) = 1/3 x 100 % = 33.3 % =) = 1/3 x 100 % = 33.3 % =0.330.33

xx1/101/10 = Rata= Rata--rata variabel acak di Pr(X ≥ xrata variabel acak di Pr(X ≥ xpp) = 1/10 x 100 % = 30 % =) = 1/10 x 100 % = 30 % =0 100 100.100.10

f(x)

Pr[X>xp] = p

x

xp x1/n

Gambar (4) – Definisi probabilitas X yang terlewati oleh xp dan rata-rata

tinggi gelombang lewat x1/n

2.4 Distribusi Rayleigh Tak Berdimensi2.4 Distribusi Rayleigh Tak Berdimensi•• Distribusi ini merupakan bentuk standar distribusi Rayleigh dan memiliki Distribusi ini merupakan bentuk standar distribusi Rayleigh dan memiliki

bentuk yang konstanbentuk yang konstan

f(z) z exp[f(z) z exp[ zz22] (14)] (14)f(z) = z exp[f(z) = z exp[--zz22] (14)] (14)

dimana:dimana:f(z)

z = x/xz = x/xrmsrms

z0

Gambar (5) – Distribusi Rayleigh tak berdimensi

•• Distribusi Rayleigh tak berdimensi digunakan untuk mempermudah dalam Distribusi Rayleigh tak berdimensi digunakan untuk mempermudah dalam Distribusi Rayleigh tak berdimensi digunakan untuk mempermudah dalam Distribusi Rayleigh tak berdimensi digunakan untuk mempermudah dalam penentuan xpenentuan x1/n1/n..

Pr[X ≥ xPr[X ≥ xpp] = ∫ (2x/R).exp[] = ∫ (2x/R).exp[--xx22/R] dx = 1/n (15)/R] dx = 1/n (15)didapatdidapat

∞

xpdidapatdidapatxxpp = sqrt[R.(ln n)] (16)= sqrt[R.(ln n)] (16)

•• RataRata--rata adalah momen pertama PDF Rayleighrata adalah momen pertama PDF Rayleigh

xxpp = x= x1/n1/n = ∫ x f(x) dx = x= ∫ x f(x) dx = xpp exp[exp[--xxpp22/R] + sqrt(∏R){1/R] + sqrt(∏R){1--ΦΦ(sqrt(2/R) x(sqrt(2/R) xpp)})}

∫ f(x) dx 1/n∫ f(x) dx 1/n

∞

xp∞

xp

Substitusi persamaan (16) ke persamaan (17), menjadi:Substitusi persamaan (16) ke persamaan (17), menjadi:

xx1/n1/n = {sqrt(ln(n)) + n sqrt(∏) [1 = {sqrt(ln(n)) + n sqrt(∏) [1 –– ΦΦ(sqrt(2 ln(n)))]} sqrt(R) (18)(sqrt(2 ln(n)))]} sqrt(R) (18)

atauatau

xx1/n1/n/x/xrmsrms = sqrt(ln(n)) + n sqrt(∏) [1 = sqrt(ln(n)) + n sqrt(∏) [1 –– ΦΦ(sqrt(2 ln(n)))] (19)(sqrt(2 ln(n)))] (19)

•• Berdasarkan persamaan (18), besaran statistik untuk xBerdasarkan persamaan (18), besaran statistik untuk x1/101/10 , x, x1/31/3 , dan x, dan x111/101/10 1/31/3 11dapat ditentukan:dapat ditentukan:

xx1/101/10/x/xrmsrms = 1.80 (20)= 1.80 (20)xx /x/x 1 416 (21) 1 416 (21)xx1/3 1/3 /x/xrmsrms = 1.416 (21)= 1.416 (21)xx11 /x/xrmsrms = 0.886 (22)= 0.886 (22)

•• Contoh: GelombangContoh: Gelombanggg•• Diketahui sejumlah pasangan tinggi dan perioda gelombang, dengan Diketahui sejumlah pasangan tinggi dan perioda gelombang, dengan

besaran parameter statistik tinggi gelombang diberikan sbb:besaran parameter statistik tinggi gelombang diberikan sbb:

H 0 62 tH 0 62 tH = 0.62 meterH = 0.62 meterHHrmsrms = 0.705 meter= 0.705 meter

Tentukan HTentukan H1/31/3 dengan menggunakan distribusi Rayleigh dan distribusi dengan menggunakan distribusi Rayleigh dan distribusi Tentukan HTentukan H1/31/3 dengan menggunakan distribusi Rayleigh dan distribusi dengan menggunakan distribusi Rayleigh dan distribusi Normal.Normal.

•• SolusiSolusi•• Untuk distribusi RayleighUntuk distribusi Rayleigh

Dengan mengunakan persamaan (21), didapatDengan mengunakan persamaan (21), didapat

HH = 1 416 H= 1 416 H = (1 416) (0 705) = 0 998 meter= (1 416) (0 705) = 0 998 meterHH1/31/3 = 1.416 H= 1.416 Hrmsrms = (1.416) (0.705) = 0.998 meter= (1.416) (0.705) = 0.998 meter

•• Untuk distribusi NormalUntuk distribusi Normal-- Tentukan Tentukan σσhhhh

Berdasarkan persamaan (6)Berdasarkan persamaan (6)

Var(x) = E(xVar(x) = E(x22) ) –– E[x]E[x]22

atauatauσσxx = [E(x= [E(x22) ) –– E[x]E[x]22]]0.50.5

MakaMakaMakaMaka

σσhh = [H= [Hrmsrms22 –– HHjj

22]]0.50.5 = [0.705= [0.70522 –– 0.620.6222]]0.50.5 = 0.336 meter= 0.336 meter= 0.34 meter= 0.34 meter

-- Tentukan harga zTentukan harga z1/31/31/31/3

Lihat Tabel.Lihat Tabel.Pr[Z ≤ zPr[Z ≤ z1/31/3] = 1 ] = 1 –– Pr[Z ≥ zPr[Z ≥ z1/31/3]]

1 1 33 33 %33 33 %= 1 = 1 –– 33.33 %33.33 %= 66.67 %= 66.67 %

ΦΦ(z(z1/31/3) = 66.67) = 66.67

Maka harga zMaka harga z1/31/3 ::zz1/31/3 = = ΦΦ--11(66.67 %)(66.67 %)zz1/31/3 = 0.4307= 0.4307//

-- Tentukan persamaan rataTentukan persamaan rata--rata variabel di selang [H ≥ Hrata variabel di selang [H ≥ H1/n1/n]]

HH ∫ H f(H) dH ∫ H (1/( ∫ H f(H) dH ∫ H (1/( t(2∏)) [t(2∏)) [ 1/2 ((H1/2 ((H )/)/ ))22] dH] dH∞ ∞

HH1/n1/n = ∫ H f(H) dH = ∫ H (1/(= ∫ H f(H) dH = ∫ H (1/(σσhh sqrt(2∏)).exp[sqrt(2∏)).exp[--1/2.((H1/2.((H--µµhh)/)/σσhh))22] dH] dH∫ f(H) dH 1/n∫ f(H) dH 1/nH1/n ∞

H1/n

H1/n

HH1/n1/n = µ= µhh + (n/sqrt(2∏)) + (n/sqrt(2∏)) σσhh .exp(.exp(--zz1/n1/n22/2)/2)

Jadi Jadi HH1/31/3 = µ= µhh + (3/sqrt(2∏)) + (3/sqrt(2∏)) σσhh . exp(. exp(--1/2 . z1/2 . z1/31/3

22))= 0.705 + (3/sqrt(2 3.14)) 0.34 exp(= 0.705 + (3/sqrt(2 3.14)) 0.34 exp(--1/2 0.43071/2 0.430722))= 0.705 + (1.09) (0.34)= 0.705 + (1.09) (0.34)= 1.08 meter= 1.08 meter

•• Untuk distribusi Normal StandarUntuk distribusi Normal Standar•• Untuk distribusi Normal StandarUntuk distribusi Normal Standar

zz1/n1/n = ∫ z f(z) dz = ∫ z (1/(= ∫ z f(z) dz = ∫ z (1/(σσhh sqrt(2∏)).exp[sqrt(2∏)).exp[--1/2.z1/2.z22] dz] dz∫ f(z) dz 1/n∫ f(z) dz 1/n∞

z

∞

z1/n

∞

z1/n

= (= (--1/2) exp[1/2) exp[--1/2 .z1/2 .z1/n1/n22] ]

zz1/31/3 = (= (--1/2) exp[1/2) exp[--1/2 .z1/2 .z1/31/322] = 1.09] = 1.09

z1/n

HH1/31/3 = µ= µhh + z+ z1/31/3 σσhh

= 0.705 + (1.09) (0.34)= 0.705 + (1.09) (0.34)= 1.08 meter = 1.08 meter

2.5 Distribusi Binomial2.5 Distribusi Binomial•• Bentuk persamaan distribusi binomial adalah sbb:Bentuk persamaan distribusi binomial adalah sbb:

Pr(X = x) = n pPr(X = x) = n pxx (1 (1 –– p)p)nn--xx , x = 0, 1, 2, … , n, x = 0, 1, 2, … , nxx

dimana:dimana:n p = parameter fungsin p = parameter fungsin, p = parameter fungsin, p = parameter fungsin = koefisien binomialn = koefisien binomialxx

= n!= n!x! (nx! (n--x)!x)!

•• Bentuk fungsi diatas adalah Fungsi Massa Probabilitas (PMF), dimana Bentuk fungsi diatas adalah Fungsi Massa Probabilitas (PMF), dimana terjadinya suatu kejadian dalam setiap percobaan adalah p dan tidak terjadinya suatu kejadian dalam setiap percobaan adalah p dan tidak terjadinya suatu kejadian dalam setiap percobaan adalah p dan tidak terjadinya suatu kejadian dalam setiap percobaan adalah p dan tidak terjadinya adalah 1 terjadinya adalah 1 –– p.p.

•• Contoh: Misalkan pengamatan muka air laut dilakukan dengan Contoh: Misalkan pengamatan muka air laut dilakukan dengan k l t b k 5 b h ik l t b k 5 b h i i l t dii i i l t dii i menggunakan alat sensor sebanyak 5 buah, masingmenggunakan alat sensor sebanyak 5 buah, masing--masing alat diisi masing alat diisi

dengan satu buah batere. Jika umur batere terdistribusi Normal dengan dengan satu buah batere. Jika umur batere terdistribusi Normal dengan ratarata--rata 13 jam dan standar deviasi 3.2 jam. Berapa probabilitas dua rata 13 jam dan standar deviasi 3.2 jam. Berapa probabilitas dua diantara lima batere tidak berfungsi dalam jangka waktu kurang dari 8 diantara lima batere tidak berfungsi dalam jangka waktu kurang dari 8 jjjam.jam.

•• Solusi:Solusi:

p = Pr(T < 8) = p = Pr(T < 8) = ΦΦ((8 ((8 –– 13)/3.2)13)/3.2)= = ΦΦ((--1.56)1.56)= 0.0594= 0.0594

Pr (X = 2) = 5 (0.0594)Pr (X = 2) = 5 (0.0594)22 (0.9406)(0.9406)33

2 2 5! (0 0594) 5! (0 0594)22 (0 9406)(0 9406)33= 5! (0.0594)= 5! (0.0594)22 (0.9406)(0.9406)33

2! 3!2! 3!= 0.0294= 0.0294