pertemuan ke-8,9 integral

PERTEMUAN KE-8,9PERTEMUAN KE-8,9INTEGRALINTEGRAL

Oleh :Oleh :

KBK ANALISISKBK ANALISIS

MATA KULIAH BERSAMAMATA KULIAH BERSAMAFMIPA UGMFMIPA UGM

MATEMATIKA KONTEKSTUALMATEMATIKA KONTEKSTUAL

INTEGRALINTEGRAL

Mengapa kita perlu belajar Mengapa kita perlu belajar integral?integral?

Integral banyak digunakan untuk Integral banyak digunakan untuk menyelesaikan berbagai menyelesaikan berbagai permasalahan.permasalahan.

Berikut ini, beberapa permasalahan Berikut ini, beberapa permasalahan yang melibatkan integralyang melibatkan integral

Integral digunakan pada design Menara Integral digunakan pada design Menara Petronas di Kuala lumpur, Petronas di Kuala lumpur, untuk perhitungan kekuatan untuk perhitungan kekuatan menaramenara..

Sydney Opera HouseSydney Opera House di design berdasarkan di design berdasarkan irisan-irisan bola. Banyak persamaan irisan-irisan bola. Banyak persamaan diferensial diselesaikan (dalam diferensial diselesaikan (dalam menyelesaikannya menggunakan integral) menyelesaikannya menggunakan integral) pada design gedung tsbpada design gedung tsb

Integral dapat digunakan untuk menentukan Integral dapat digunakan untuk menentukan konsumsi energi listrik dalam satu hari di suatu konsumsi energi listrik dalam satu hari di suatu kotakota

Integral digunakan untuk menghitung volume tong wine (wine-casks) dan volume piramid

Crash testsCrash tests Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh Pada saat terjadi kecelakaan mobil, bagian tubuh

yang beresiko tinggi untuk terluka yg yang beresiko tinggi untuk terluka yg menyebabkan kematian adalah kepala. Karena menyebabkan kematian adalah kepala. Karena itu, di dalam mobil perlu dipasang alat-alat itu, di dalam mobil perlu dipasang alat-alat pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.pengaman seperti sabuk pengaman dan airbag.

Untuk mendapatkan keefektifan sabuk pengaman Untuk mendapatkan keefektifan sabuk pengaman dan airbag dalam mengurangi resiko kematian dan airbag dalam mengurangi resiko kematian saat terjadi kecelakaan mobil, dilakukan saat terjadi kecelakaan mobil, dilakukan eksperimen-eksperimen yang sering disebut eksperimen-eksperimen yang sering disebut dengan crash testsdengan crash tests

Di dalam crash tests, banyak dilakukan perhitungan-Di dalam crash tests, banyak dilakukan perhitungan-perhitungan yang melibatkan integral .perhitungan yang melibatkan integral .

Resiko kepala terluka pada saat kecelakaan mobil Resiko kepala terluka pada saat kecelakaan mobil dikuantitatifkan dalam model matematika, dan model dikuantitatifkan dalam model matematika, dan model pertama yg digunakan adalah Severity Index (SI)pertama yg digunakan adalah Severity Index (SI)

T : lama perlambatan selama kecelakaanT : lama perlambatan selama kecelakaan a(t) : perlambatan pada waktu t a(t) : perlambatan pada waktu t

SI tidak terlalu akurat. Model selanjutnya yg SI tidak terlalu akurat. Model selanjutnya yg digunakan adalah HIC (Head Injury Criterion) yg digunakan adalah HIC (Head Injury Criterion) yg dimodelkan berdasarkan nilai rata-rata dimodelkan berdasarkan nilai rata-rata percepatan a(t) pada interval waktu tpercepatan a(t) pada interval waktu t1 1 ke tke t22

Untuk HIC dimodelkan sbbUntuk HIC dimodelkan sbb

Semakin tinggi nilai HIC, resiko kepala terluka yg Semakin tinggi nilai HIC, resiko kepala terluka yg menyebabkan kematian saat kecelakaan, makin menyebabkan kematian saat kecelakaan, makin tinggi.tinggi.

Model tsb dimodifikasi lagi utk mempersingkat Model tsb dimodifikasi lagi utk mempersingkat perhitungan komputer, dg menggunakan perhitungan komputer, dg menggunakan keluarga kurvakeluarga kurva

dg d=tdg d=t22-t-t11

Untuk HIC tanpa airbag digunakan model Untuk HIC tanpa airbag digunakan model percepatanpercepatan

Dan untuk HIC dg airbag digunakan model Dan untuk HIC dg airbag digunakan model percepatanpercepatan

Grafik HGrafik Ht,dt,d utk beberapa nilai d utk beberapa nilai d

Diperoleh puncak tertinggi terjadi ketika d=50 Diperoleh puncak tertinggi terjadi ketika d=50 dengan HIC dengan HIC

tanpa airbag HIC sekitar725tanpa airbag HIC sekitar725 dengan airbag HIC sekitar 310dengan airbag HIC sekitar 310

Design airbag terus diperbaiki dengan Design airbag terus diperbaiki dengan menggunakan HIC dan crash tests th 1995 menggunakan HIC dan crash tests th 1995 diperoleh nilai HIC sekitar 142diperoleh nilai HIC sekitar 142

GAGASAN INTEGRALGAGASAN INTEGRAL

integral bermula dari persoalan mencari luas bidang. Hal integral bermula dari persoalan mencari luas bidang. Hal Gagasan ini sudah dimulai lebih dari 2500 th yg lalu.Gagasan ini sudah dimulai lebih dari 2500 th yg lalu.

Eudoxus (408-355 SM, Yunani) mencari luas dg metode Eudoxus (408-355 SM, Yunani) mencari luas dg metode exhaustion. Prinsip metode ini adl mencari luas daerah exhaustion. Prinsip metode ini adl mencari luas daerah yg dibatasi kurva dg pendekatan daerah-daerah poligon yg dibatasi kurva dg pendekatan daerah-daerah poligon di dalam kurva.di dalam kurva.

Archimedes (287-212 SM, Yunani) menunjukkan luas Archimedes (287-212 SM, Yunani) menunjukkan luas area segment parabolic adl 4/3 luas segitida dalam area segment parabolic adl 4/3 luas segitida dalam (inscribed triangle)(inscribed triangle)


• Cavalieri ( 1635,Italy) dg metode Indivisible. Cavalieri Cavalieri ( 1635,Italy) dg metode Indivisible. Cavalieri memandang kurva sebagai titik yang bergerak dan area memandang kurva sebagai titik yang bergerak dan area datar sebagai komposisi tak berhingga banyak garis.datar sebagai komposisi tak berhingga banyak garis.

• Misalkan utk daerah di bawah parabola y=xMisalkan utk daerah di bawah parabola y=x22, Cavalieri , Cavalieri mempertimbangkan luas daerah yg dibatasi oleh m mempertimbangkan luas daerah yg dibatasi oleh m persegi panjang dengan lebar 1, dimulai dari titik ½ dan persegi panjang dengan lebar 1, dimulai dari titik ½ dan berakhir pada titik m+1/2 . Gambar berikut menunjukkan berakhir pada titik m+1/2 . Gambar berikut menunjukkan ilustrasi untuk m=5:ilustrasi untuk m=5:

Gagasan IntegralGagasan Integral• Cavalieri menyatakan luas area di bawah kurva y=xCavalieri menyatakan luas area di bawah kurva y=x2 2 sebagai sebagai

rasio dari luas suatu area yg diketahui. Dalam hal ini ia rasio dari luas suatu area yg diketahui. Dalam hal ini ia menggunakan luas area persegi panjang dg panjang m+1 menggunakan luas area persegi panjang dg panjang m+1 dan lebar mdan lebar m22. Ia memperoleh rasio. Ia memperoleh rasio

• Setelah menghitung rasio di atas untuk berbagai nilai m, Setelah menghitung rasio di atas untuk berbagai nilai m, Cavalieri mendapatkan pola, bahwa rasio di atas sama Cavalieri mendapatkan pola, bahwa rasio di atas sama dengandengan

Perhatikan bahwa ketika m membesar nilai rasio mendekati Perhatikan bahwa ketika m membesar nilai rasio mendekati

1/3. 1/3.

2

2222

1

321

mm

m

m6

1

3

1

Gagasan IntegralGagasan Integral

• Fermat menghitung luas daerah diantara sb X Fermat menghitung luas daerah diantara sb X dan kurva y=xdan kurva y=xqq, q bil rasional. Fermat mencari , q bil rasional. Fermat mencari luas dg membagi daerah di bawah kurva mjd luas dg membagi daerah di bawah kurva mjd persegi panj-persegi panj yg semakin mengecil persegi panj-persegi panj yg semakin mengecil ketika x mendekati 0.ketika x mendekati 0.

Gagasan IntegralGagasan Integral Untuk memahami gagasan integral yg telah Untuk memahami gagasan integral yg telah

berkembang selama ribuan th tsb, diberikan berkembang selama ribuan th tsb, diberikan ilustrasi berikut : Dihitung area S diantara sb X ilustrasi berikut : Dihitung area S diantara sb X dan kurva y=xdan kurva y=x22 dr x=0 sampai x=1. dr x=0 sampai x=1.

Area S dibagi mjd 4 pita SArea S dibagi mjd 4 pita S1 1 ,S,S2 2 ,S,S33 ,S ,S4 4 . Luas setiap . Luas setiap pita dihampiri dg luas persegi panj-persegi panj pita dihampiri dg luas persegi panj-persegi panj yg alasnya sama dg als pita.yg alasnya sama dg als pita.

GAGASAN INTEGRALGAGASAN INTEGRAL Luas total persegi panjang tsb adl:Luas total persegi panjang tsb adl:

RR44 =0,4687… =0,4687…

Apabila persegi panj-persegi panj yg digunakan Apabila persegi panj-persegi panj yg digunakan sbbsbb

maka diperoleh luas total persegi panjangmaka diperoleh luas total persegi panjang

LL44 =0,2187…Jika A adl luas area S, mk =0,2187…Jika A adl luas area S, mk

0,2187…<A<0,4687…0,2187…<A<0,4687…


Jk prosedur dilakukan dg membagi area S mjd 8 Jk prosedur dilakukan dg membagi area S mjd 8 pitapita

Diperoleh RDiperoleh Rnn=0,3984… dan L=0,3984… dan Ln n =0,2734…, shg=0,2734…, shg0,2734…<A<0,3984…0,2734…<A<0,3984…


Proses dpt diteruskan dg membagi area S mjd n Proses dpt diteruskan dg membagi area S mjd n pitapita


Tabel nilai LTabel nilai Lnn dan R dan Rn n utk utk

beberapa nbeberapa n Dari tabel terlihat bahwa Dari tabel terlihat bahwa

semakin besar nilai n, nilai semakin besar nilai n, nilai A semakin mendekati 1/3.A semakin mendekati 1/3.

Dg bahasa limit Dg bahasa limit

nn LLnn RRnn

1010 0,28500,2850 0,38500,3850

2020 0,30870,3087 0,35870,3587

3030 0,31680,3168 0,35010,3501

5050 0,32340,3234 0,34340,3434

100100 0,32830,3283 0,33830,3383

10001000 0,33280,3328 0,33380,3338


Kita terapkan gagasan ini untuk hal yg lbh umum, Kita terapkan gagasan ini untuk hal yg lbh umum, yaitu utk kurva y=f(x) yg kontinu. Penggunaan yaitu utk kurva y=f(x) yg kontinu. Penggunaan ttk-ttk ujung subinterval diganti dg sebarang titik ttk-ttk ujung subinterval diganti dg sebarang titik diantara sub interval tsb. diantara sub interval tsb.


Luas area diantara sb X dan grafik y=f(x) dr x=a dan Luas area diantara sb X dan grafik y=f(x) dr x=a dan x=b, adalah x=b, adalah

dengan xdengan xii* * sebarang titik di dalam interval [xsebarang titik di dalam interval [xi-1,i-1,xxii]. Jika ]. Jika

lebar selang bagian tidak harus sama, maka perlu lebar selang bagian tidak harus sama, maka perlu dipastikan bahwa semua lebar tersebut mendekati 0 dipastikan bahwa semua lebar tersebut mendekati 0 dalam proses limit. Ini bisa terjamin jika lebar dalam proses limit. Ini bisa terjamin jika lebar terbesar dari lebar-lebar semua interval bagian terbesar dari lebar-lebar semua interval bagian mendekati 0.mendekati 0.

Gagasan IntegralGagasan Integral

Bentuk limit jumlahan seperti pada Bentuk limit jumlahan seperti pada persoalan luas juga muncul pada persoalan luas juga muncul pada persoalan lain seperti persoalan jarak.persoalan lain seperti persoalan jarak.

Persoalan jarakPersoalan jarakMisalkan sebuah benda bergerak dg kecepatan Misalkan sebuah benda bergerak dg kecepatan v=f(t), dari t=a sampai t=b dg f(t) selalu positif. v=f(t), dari t=a sampai t=b dg f(t) selalu positif. Ditentukan nilai kecepatan pada saat tDitentukan nilai kecepatan pada saat t00=a, t=a, t11, t, t22,,…,t…,tnn=b dg selisih waktu-waktu tsb selalu sama. =b dg selisih waktu-waktu tsb selalu sama. Pada saat tPada saat ti i kecepatan benda tsb kira-kira adalah kecepatan benda tsb kira-kira adalah f(tf(tii). Jarak yg ditempuh selama selang waktu [a,b] ). Jarak yg ditempuh selama selang waktu [a,b] kira-kira adalahkira-kira adalah

dengan dengan 1 ii xxx

n

iin xtfxtfxtfxtf

11110 )()()()(

Persoalan JarakPersoalan Jarak

Semakin sering kecepatan diukur (n Semakin sering kecepatan diukur (n semakin besar), perkiraan jarak mjd semakin besar), perkiraan jarak mjd semakin akurat, sehingga jarak yg semakin akurat, sehingga jarak yg ditempuh adalah ditempuh adalah

Integral tertentuIntegral tertentu

Berdasarkan gagasan luas tsb didefinisikan Berdasarkan gagasan luas tsb didefinisikan integral yg dinamakan integral tertentu. Fungsi integral yg dinamakan integral tertentu. Fungsi f didefinisikan pd [a,b], integral tertentu fungsi f f didefinisikan pd [a,b], integral tertentu fungsi f dr x=a sampai x=b adalahdr x=a sampai x=b adalah

dengan xdengan xii** di dalam interval [x di dalam interval [x i-1i-1,x,xii] dan ] dan

1 iii xxx


Konsep integral di atas,diperkenalkan oleh Bernhard Konsep integral di atas,diperkenalkan oleh Bernhard Riemann (1826-1866,Germany), dan selanjutnya Riemann (1826-1866,Germany), dan selanjutnya sering dinamakan dengan integral tertentu.sering dinamakan dengan integral tertentu.

Riemann memodifikasi konsep integral yang Riemann memodifikasi konsep integral yang diperkenalkan oleh Louis Cauchy (1789-1857). Di diperkenalkan oleh Louis Cauchy (1789-1857). Di dalam integralnya, Cauchy menggunakan titik-titik dalam integralnya, Cauchy menggunakan titik-titik xx00,x,x1,1,,…,x,…,xn-1n-1 untuk mendapatkan nilai fungsi f di setiap untuk mendapatkan nilai fungsi f di setiap sub interval. Riemann memodifikasi dengan sub interval. Riemann memodifikasi dengan menggunakan sebarang titik di setiap sub interval.menggunakan sebarang titik di setiap sub interval.


Sifat linear integral tertentu. Jika f dan g terintegral Sifat linear integral tertentu. Jika f dan g terintegral pada interval [a,b] dan c konstanta, makapada interval [a,b] dan c konstanta, maka

dandan

Integral tak tentuIntegral tak tentu

Sebelumnya, Isaac Newton (1642-1723) dan Gottfried Sebelumnya, Isaac Newton (1642-1723) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) secara terpisah, Wilhelm Leibniz (1646-1716) secara terpisah, memandang integral sebagai proses kebalikan memandang integral sebagai proses kebalikan derivatif. Fungsi f pd [a,b] diintegralkan dengan derivatif. Fungsi f pd [a,b] diintegralkan dengan mencari fungsi F shg F’=f. Selanjutnya, fungsi F ini mencari fungsi F shg F’=f. Selanjutnya, fungsi F ini dinamakan dengan antiderivatif atau integral tak tentu dinamakan dengan antiderivatif atau integral tak tentu fungsi f dan ditulis fungsi f dan ditulis

Lambang integral tersebut diperkenalkan oleh LeibnizLambang integral tersebut diperkenalkan oleh Leibniz


Perhatikan bahwa, apabila F anti derivatif fungsi f, Perhatikan bahwa, apabila F anti derivatif fungsi f, maka F+C dengan C sebarang konstanta juga anti maka F+C dengan C sebarang konstanta juga anti derivatif fungsi f. Oleh karena itu, apabila F antiderivatif derivatif fungsi f. Oleh karena itu, apabila F antiderivatif fungsi f, maka secara umum ditulis fungsi f, maka secara umum ditulis

dengan C sebarang konstanta.dengan C sebarang konstanta. Contoh :Contoh :

dengan C sebarang konstantadengan C sebarang konstanta

CxFdxxf )()(

Cxdxx 3312

Jadi integral tak tentu hasilnya berupa Jadi integral tak tentu hasilnya berupa fungsi sedangkan integral tertentu fungsi sedangkan integral tertentu (integral Riemann) hasilnya berupa (integral Riemann) hasilnya berupa bilangan. bilangan.


Persoalan anti derivatif muncul dalam Persoalan anti derivatif muncul dalam berbagai persoalan, misalnyaberbagai persoalan, misalnya

Ahli fisika yg mengetahui kecepatan partikel, ingin Ahli fisika yg mengetahui kecepatan partikel, ingin mengetahui posisi partikel pada suatu waktu yang mengetahui posisi partikel pada suatu waktu yang diinginkandiinginkan

Insinyur yang dapat mengukur laju variabel pada Insinyur yang dapat mengukur laju variabel pada waktu air bocor dari tangki mungkin ingin mengetahui waktu air bocor dari tangki mungkin ingin mengetahui banyaknya air yang terbuang pada periode waktu banyaknya air yang terbuang pada periode waktu tertentu.tertentu.

Ahli biologi yg mengetahui laju pertambahan populasi Ahli biologi yg mengetahui laju pertambahan populasi bakteri, ingin menyimpulkan ukuran populasi pada bakteri, ingin menyimpulkan ukuran populasi pada suatu waktu di masa depan.suatu waktu di masa depan.

Integral tak tentuIntegral tak tentu Karena integral tak tentu merupakan kebalikan Karena integral tak tentu merupakan kebalikan

derivatif, maka integral tak tentu (anti derivatif) derivatif, maka integral tak tentu (anti derivatif) beberapa fungsi dapat diperoleh langsung berdasarkan beberapa fungsi dapat diperoleh langsung berdasarkan rumus-rumus derivatif. Beberapa diantaranya :rumus-rumus derivatif. Beberapa diantaranya :


Sifat linear integral tak tentu. Jika f dan g terintegral Sifat linear integral tak tentu. Jika f dan g terintegral pada [a,b] dan c bil real, maka cf dan f+g terintegral pada [a,b] dan c bil real, maka cf dan f+g terintegral pada [a,b] danpada [a,b] dan

Teorema Fundamental calculusTeorema Fundamental calculus

Teorema Fundamental Calculus menghubungkan Teorema Fundamental Calculus menghubungkan antara kalkulus diferensial dengan kalkulus integral. antara kalkulus diferensial dengan kalkulus integral. Kalkulus diferensial muncul dari persoalan garis Kalkulus diferensial muncul dari persoalan garis singgung, sementara kalkulus integral muncul dari singgung, sementara kalkulus integral muncul dari persoalan luas. Isaac Barrow (1630-1677), guru persoalan luas. Isaac Barrow (1630-1677), guru Newton di Cambridge menyadari bahwa Newton di Cambridge menyadari bahwa pendiferensialan dan pengintegralan merupakan pendiferensialan dan pengintegralan merupakan proses timbal balik. Hub timbal balik ini digunakan oleh proses timbal balik. Hub timbal balik ini digunakan oleh Newton dan Leibniz (secara terpisah) untuk Newton dan Leibniz (secara terpisah) untuk mengembangkan Kalkulus mjd metode matematis yg mengembangkan Kalkulus mjd metode matematis yg bersistem. Khususnya, mereka melihat bahwa bersistem. Khususnya, mereka melihat bahwa hubungan ini memungkinkan mereka untuk hubungan ini memungkinkan mereka untuk menghitung luas area.menghitung luas area.

Teorema Fundamental Calculus.Teorema Fundamental Calculus.

Newton dan Leibniz menemukan hub antara Newton dan Leibniz menemukan hub antara derivatif dengan integral yg disebut Teorema derivatif dengan integral yg disebut Teorema Fundamental Kalkulus, yaituFundamental Kalkulus, yaitu

dengan F’=f. Selanjutnya, F(b)-F(a) sering dengan F’=f. Selanjutnya, F(b)-F(a) sering dinotasikan dengandinotasikan dengan

baxF )(

Metode PengintegralanMetode Pengintegralan

Dengan Teorema Fundamental Calculus, menjadikan Dengan Teorema Fundamental Calculus, menjadikan perhitungan integral tertentu menjadi jauh lebih mudah perhitungan integral tertentu menjadi jauh lebih mudah dibandingkan dengan menggunakan limit jumlahan dibandingkan dengan menggunakan limit jumlahan asalkan anti derivatif (integral tak tentu) nya diketahui. asalkan anti derivatif (integral tak tentu) nya diketahui.

Anti derivatif beberapa fungsi dapat diketahui langsung Anti derivatif beberapa fungsi dapat diketahui langsung dengan rumus derivatif, tetapi masih banyak sekali dengan rumus derivatif, tetapi masih banyak sekali fungsi yang anti derivatifnya tidak dapat diketahui fungsi yang anti derivatifnya tidak dapat diketahui secara langsung dari rumus derivatif. Karena itu secara langsung dari rumus derivatif. Karena itu diperlukan tehnik-tehnik (metode-metode) diperlukan tehnik-tehnik (metode-metode) pengintegralan, diantaranya substitusi, pengintegralan pengintegralan, diantaranya substitusi, pengintegralan parsial, pengintegralan fungsi pecah rasional, dan parsial, pengintegralan fungsi pecah rasional, dan pengintegralan fungsi iirasional.pengintegralan fungsi iirasional.

Metode pengintegralanMetode pengintegralan

Metode substitusi berkaitan dengan aturan Metode substitusi berkaitan dengan aturan rantai di dalam derivatif, yang dinyatakan rantai di dalam derivatif, yang dinyatakan sebagai berikut sebagai berikut

Jk u=g(x) mempunyai derivatif dg rangenya Jk u=g(x) mempunyai derivatif dg rangenya berupa interval I dan f kontinu pada I, makaberupa interval I dan f kontinu pada I, maka

duufdxxgxgf )()(')(

Metode pengintegralanMetode pengintegralan

Pengintegralan parsial berkaitan dengan aturan hasil Pengintegralan parsial berkaitan dengan aturan hasil kali di dalam derivatif. Aturan hasil kali menyatakan jk f kali di dalam derivatif. Aturan hasil kali menyatakan jk f dan g fungsi yg memp turunan, mkdan g fungsi yg memp turunan, mk

Dlm notasi integral, pers menjadiDlm notasi integral, pers menjadi

Metode PengintegralanMetode Pengintegralan atau dapat dituliskan sebagaiatau dapat dituliskan sebagai

Jika u=f(x), v=g(x) maka du=f’(x)dx dan dv=g’(x)dx. Jika u=f(x), v=g(x) maka du=f’(x)dx dan dv=g’(x)dx. Jadi rumus pengintegralan parsial di atas mjdJadi rumus pengintegralan parsial di atas mjd

Metode PengintegralanMetode Pengintegralan

Untuk mengintegralkan fungsi-fungsi rasional (fungsi Untuk mengintegralkan fungsi-fungsi rasional (fungsi dlm bentuk perbandingan polinomial), pada prinsipnya, dlm bentuk perbandingan polinomial), pada prinsipnya, fungsi rasional tersebut diubah menjadi jumlahan fungsi rasional tersebut diubah menjadi jumlahan fraksi-fraksi yg lebih sederhana yg dinamakan dg fraksi fraksi-fraksi yg lebih sederhana yg dinamakan dg fraksi parsial. Misalnnya persoalan integral parsial. Misalnnya persoalan integral

Di ubah menjadiDi ubah menjadi

Aplikasi IntegralAplikasi Integral Volume benda putarVolume benda putar.. Pada mesin, banyak ditemukan benda-benda Pada mesin, banyak ditemukan benda-benda

pejal yang bentuknya dapat diimaginasikan pejal yang bentuknya dapat diimaginasikan sebagai hasil perputaran suatu area, misalnya sebagai hasil perputaran suatu area, misalnya bagian-bagian di dalam mesin bubut (lathe). Pada bagian-bagian di dalam mesin bubut (lathe). Pada bagian ini, akan diberikan gambaran bagaimana bagian ini, akan diberikan gambaran bagaimana menetukan volume benda-benda pejal seperti itu menetukan volume benda-benda pejal seperti itu dg menggunakan integraldg menggunakan integral

APLIKASI INTEGRALAPLIKASI INTEGRAL Volume benda. S benda pejal yg terletak diantara Volume benda. S benda pejal yg terletak diantara

x=a dan x=b. x=a dan x=b.

Jk A(t) luas irisan S dg bidang x=t, mk volume Jk A(t) luas irisan S dg bidang x=t, mk volume benda S adalahbenda S adalah

Aplikasi IntegralAplikasi Integral

Sebuah baji mrpkan hasil perpotongan sebuah Sebuah baji mrpkan hasil perpotongan sebuah silinder berjari-jari 4 dg dua buah bidang datar. silinder berjari-jari 4 dg dua buah bidang datar. Salah satu bidang tsb tegak lurus dg sumbu Salah satu bidang tsb tegak lurus dg sumbu silinder, dan bidang lainnya memotong bidang yg silinder, dan bidang lainnya memotong bidang yg pertama dg sudut 30pertama dg sudut 30oo sepanjang diameter sepanjang diameter silinder. Volume baji tsb dapat dihitung dg rumus silinder. Volume baji tsb dapat dihitung dg rumus volume di atas. Sumbu X diletakkan sepanjang volume di atas. Sumbu X diletakkan sepanjang diameter silinder, tempat kedua bidang diameter silinder, tempat kedua bidang pemotong bertemu, mk alas baji berupa setengah pemotong bertemu, mk alas baji berupa setengah lingkaran dg pers lingkaran dg pers

Aplikasi IntegralAplikasi Integral Sebuah penampang melintang tegak lurus thd sb Sebuah penampang melintang tegak lurus thd sb

X berjarak x dr ttk asal adl segitiga ABC spt X berjarak x dr ttk asal adl segitiga ABC spt tampak pada gambartampak pada gambar

Aplikasi IntegralAplikasi Integral Luas penampang ABC tsb adlLuas penampang ABC tsb adl

dan volume baji adalah dan volume baji adalah

APLIKASI INTEGRALAPLIKASI INTEGRAL

S benda pejal yg diperoleh dr memutar area S benda pejal yg diperoleh dr memutar area dibatasi sb X dan kurva y=f(x) dr x=a sampai dibatasi sb X dan kurva y=f(x) dr x=a sampai x=b, b>a>0.x=b, b>a>0.

Volume S adalahVolume S adalah

Aplikasi IntegralAplikasi Integral Kerja/usaha (work)Kerja/usaha (work). . Di fisika, usaha terjadi ketika Di fisika, usaha terjadi ketika

gaya beraksi pada suatu obyek sehingga menyebabkan gaya beraksi pada suatu obyek sehingga menyebabkan perpindahan (Misalnya, mengendarai sepeda)perpindahan (Misalnya, mengendarai sepeda)

Jika gaya tidak konstan, perlu digunakan integral untuk Jika gaya tidak konstan, perlu digunakan integral untuk mendapatkan besarnya usaha yang terjadi.mendapatkan besarnya usaha yang terjadi.

dengan dengan FF((xx) menyatakan gaya) menyatakan gaya


Cth:Sebuah tangki berbentuk kerucut terbalik dg Cth:Sebuah tangki berbentuk kerucut terbalik dg tinggi 10 m dan jari-jari alas 4m, diisi air sampai tinggi 10 m dan jari-jari alas 4m, diisi air sampai ketinggian 8m. Tentukan kerja yg diperlukan utk ketinggian 8m. Tentukan kerja yg diperlukan utk mengosongkan tangki dg memompa seluruh mengosongkan tangki dg memompa seluruh airnya melalui bagian atas tangki (kerapatan air airnya melalui bagian atas tangki (kerapatan air = 1000 kg/m= 1000 kg/m33 ) )


Gaya Hidroststik. Gaya Hidroststik. Cth:Sebuah bendungan memp bentuk trapesium Cth:Sebuah bendungan memp bentuk trapesium

spt pd gb, dg tinggi 20 m, lebar di atas 50 m dan spt pd gb, dg tinggi 20 m, lebar di atas 50 m dan lebar di dasar 30 m.lebar di dasar 30 m.

Hitung gaya pd bendungan yg disebabkan oleh Hitung gaya pd bendungan yg disebabkan oleh tekanan hidrostatik jk permukaan air adalah 4 m tekanan hidrostatik jk permukaan air adalah 4 m dari atas bendungan.dari atas bendungan.


Dipilih sb X vertikal dg ttk asal dipermukaan air Dipilih sb X vertikal dg ttk asal dipermukaan air (lihat gb)(lihat gb)

Aplikasi IntegralAplikasi Integral Integral dapat digunakan utk menentukan pusat Integral dapat digunakan utk menentukan pusat

massa suatu benda. Titik P di mana sebuah massa suatu benda. Titik P di mana sebuah keping tipis akan seimbang secara horisontal keping tipis akan seimbang secara horisontal sebagaimana diilustrasikan pd gambar, disebut sebagaimana diilustrasikan pd gambar, disebut pusat massa keping tersebut.pusat massa keping tersebut.

Aplikasi IntegralAplikasi Integral Dua massa mDua massa m11 dan m dan m22 diletakkan pada kedua ujung diletakkan pada kedua ujung

sebuah batang (massa batang diabaikan), masing-sebuah batang (massa batang diabaikan), masing-masing berjarak dmasing berjarak d1 1 dan ddan d2 2 dari tumpuan (lihat gb). dari tumpuan (lihat gb).

Batang akan seimbang apabila Batang akan seimbang apabila

Ini mrpkan fakta eksperimental yg ditemukan oleh Ini mrpkan fakta eksperimental yg ditemukan oleh Archimedes dan disebut Hukum KeseimbanganArchimedes dan disebut Hukum Keseimbangan

Aplikasi IntegralAplikasi Integral Hukum Keseimbangan tsb dapat digunakan utk Hukum Keseimbangan tsb dapat digunakan utk

mendapatkan pusat massa suatu area datar. Jk mendapatkan pusat massa suatu area datar. Jk daerah R terletak diantara dua kurva y=f(x) dan daerah R terletak diantara dua kurva y=f(x) dan y=g(x) dg y=g(x) dg

spt diilustrasikan pd gbspt diilustrasikan pd gb

diperoleh pusat massa area R adalah diperoleh pusat massa area R adalah

dengandengan

)()( xgxf

yx ,

Aplikasi integralAplikasi integral Hukum Coulomb menyatakan bahwa gaya tarik antara Hukum Coulomb menyatakan bahwa gaya tarik antara

dua partikel bermuatan berbanding langsung dengan dua partikel bermuatan berbanding langsung dengan hasil kali muatan dan berbanding terbalik dengan hasil kali muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua partikel, sehingga dapat kuadrat jarak antara kedua partikel, sehingga dapat ditulis :ditulis :

dengan dengan qq11 dan dan qq22 dalam satuan coulombs (C), dalam satuan coulombs (C), xx dalam dalam

satuan metre, gaya dalam satuan newton dan satuan metre, gaya dalam satuan newton dan kk suatu suatu konstanta positif.konstanta positif.

Usaha yang diperlukan ketika kedua muatan saling Usaha yang diperlukan ketika kedua muatan saling bergerak saling mendekati adalahbergerak saling mendekati adalah

Aplikasi integralAplikasi integral

Prinsip ArchimedesPrinsip Archimedes menyatakan bahwa gaya menyatakan bahwa gaya apung terhadap sebuah benda yang terendam dalam apung terhadap sebuah benda yang terendam dalam fluida, baik seluruhnya ataupun sebagian, sama dg fluida, baik seluruhnya ataupun sebagian, sama dg berat fluida yg dipindahkan oleh obyek tsb. Jadi utk berat fluida yg dipindahkan oleh obyek tsb. Jadi utk sebuah benda dg kerapatan yg terendam sebuah benda dg kerapatan yg terendam sebagian dalam fluida berkerapatan ,gaya apung sebagian dalam fluida berkerapatan ,gaya apung diberikan oleh diberikan oleh

dg g adalah percepatan gravitasi dan A(y) luas dg g adalah percepatan gravitasi dan A(y) luas penampang benda.penampang benda.

0f


Berat benda tsb adalah Berat benda tsb adalah

dan prosentase volume benda yg berada di dan prosentase volume benda yg berada di atas permukaan air adalah atas permukaan air adalah


Prinsip Archimedes tersebut dapat Prinsip Archimedes tersebut dapat menjelaskan kenapa suatu kapal atau perahu menjelaskan kenapa suatu kapal atau perahu dapat terapung di atas airdapat terapung di atas air

APLIKASI INTEGRALAPLIKASI INTEGRAL► Keluaran Kardiak jantung adalah volume darah yg Keluaran Kardiak jantung adalah volume darah yg

dipompa oleh jantung per satuan waktu, yaitu laju aliran dipompa oleh jantung per satuan waktu, yaitu laju aliran darah ke aorta. Metode pengenceran zat warna darah ke aorta. Metode pengenceran zat warna digunakan utk mengukur keluaran kardiak.digunakan utk mengukur keluaran kardiak.

► Keluaran kardiak :Keluaran kardiak :

► dengan A jumlah zat warna yg disuntikkan ke dalam dengan A jumlah zat warna yg disuntikkan ke dalam serambi kanan. serambi kanan.

T

dttc

AF

0

)(

REFERENSIREFERENSI

► C.H Edwards, The historical development of the calculus, C.H Edwards, The historical development of the calculus, Springer-Verlag, 1979Springer-Verlag, 1979

► F.E. Burk, A garden of integrals, The Mathematical Association F.E. Burk, A garden of integrals, The Mathematical Association of America, 2007of America, 2007

► C.B Boyer, the history of the calculus and its conceptual C.B Boyer, the history of the calculus and its conceptual development, Dover Publications, 1949development, Dover Publications, 1949

► J.V Grabiner,J.V Grabiner, The origins of Cauchy’s rigorous calculus, dover The origins of Cauchy’s rigorous calculus, dover

Publications, 1981Publications, 1981 ► J.S Bardi, The calculus wars:Newton, Leibniz and the greatest J.S Bardi, The calculus wars:Newton, Leibniz and the greatest

mathematical clash of all time, Thunder’s mouth press, New mathematical clash of all time, Thunder’s mouth press, New York, 2006 York, 2006

► J. Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999J. Stewart, Calculus, Brooks/Cole Publishing Company, 1999► http://www.intmath.com

pertemuan ke-8,9 integral

Documents