Pertemuan ke-4

KONVOLUSI DAN TRANSFORMASI FOURIER

• Dua operasi matematis penting dalam pengolahan citra: Operasi konvolusi (spatial filter/ discret

convolution filter) Transformasi Fourier

• Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut:

Tanda * menyatakan operator konvolusi, dan peubah (variable) a adalah peubah bantu (dummy variable)

Konvolusi

daaxgafxgxfxh )()()(*)()(

Cont.

• Konvolusi merupakan proses penting pada analisis domain frekwensi karena f(x)*g(x) dan F(u)G(u) membentuk suatu pasangan transformasi Fourier (Fourier transform pair).

• Teori konvolusi:f(x)*g(x) F(u)G(u)f(x)g(x) F(u)*G(u)

Konvolusi pada Domain DiskritBila A adalah periode dalam diskritisasi f(x) dan Badalah periode dalam diskritisasi g(x), maka hasil konvolusi akan mempunyai periode M dimana M=A+BPeriode f(x) dan g(x) masing-masing dibesarkan menjadi M dengan menyisipkan 0f(x)=f(x) bila 0 ≤ x ≤ A-1 dan f(x)=0 bila A ≤ x ≤ M-1g(x)=g(x) bila 0 ≤ x ≤ B-1 dan f(x)=0 bila B ≤ x ≤ M-1Konvolusi diskrit dilakukan melalui proses flip dan shift terhadap fungsi g(x).

1

0

)()()(*)()(M

m

mxgmfxgxfxh

Cont.

g(x) disebut kernel konvolusi atau kernel penapis (filter).

Kernel g(x) merupakan suatu jendela yang dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukan f(x), yang dalam hal ini, jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan keluaran h(x).

Pendekatan Shift Kernel Operator 000000141

1-41- tetapflip-di simetrikarena 141)(

0004321000432100)(

xg

xf

Maka f(x)*g(x)= 0x-1 + 0x4 + 1x-1 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -1 0x0 + 0x-1 + 1x4 + 2X-1 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 +0x0 = 20x0 + 0x0 + 1x-1 + 2x4 + 3x-1 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 40x0 + 0x0 + 1x0 + 2x-1 + 3x4 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = 60x0 +0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x-1 + 4x4 + 0x-1 + 0x0 + 0x0 = 130x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x-1 + 0x0 + 0x0 + 0x0 = -40x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x-1 + 0x4 + 0x-1 = 00x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x-1 + 0x4 = 00x0 + 0x0 + 1x0 + 2x0 + 3x0 + 4x0 + 0x0 + 0x0 + 0x-1 = 0

F(x)*g(x) = [-1 2 4 6 13 -4 0 0 0]

Pendekatan Rumus Konvolusi

Kita lihat kembali rumusan konvolusi:

f(0)=0; f(1)=0; f(2)=1; f(3)=2; f(4)=3; f(5)=4; f(6)=0; ...; f(8)=0g(6)=0; ...; g(1)=0; g(0)=-1; g(-1)=4; g(-2)=-1f(0)*g(0) = f(0)g(0) + f(1)g(-1) + f(2)g(-2) + dst = -1f(1)*g(1) = f(0)g(1) + f(1)g(0) + f(2)g(-1) + dst = 2f(2)*g(2) = f(0)g(2) + f(1)g(1) + f(2)g(0) + dst = 4DstHasil yang diperoleh sama dengan cara sebelumnya!

1

0

)()()(*)()(M

m

mxgmfxgxfxh

Proses Konvolusi pada Citra 2-D

• Bentuk Kontinue dan Diskrit:

8

Ilustrasi konvolusi

9

Contoh : citra f(x,y) berukuran 5 X3

5dengan kernel atau mask 3 X

• f(x,y) * g(x,y)

• Operasinya :Tempatkan kernel pada sudut kiri atas kemudian pada posisi (0,0) dari kernel

hitung nilai piksel

Geser kernel satu piksel ke kanan kemudian hitung nilai pikselpada posisi (0,0) kernel, begitu seterusnya hingga geser satu piksel ke bawah, lalu mulai lagi melakukan konvolusi dari sisi kiri citra.

10

• Dengan cara dikovolusi

yang sama, setiap baris piksel

11

Hasil konvolusi :

• Jika nilai piksel (-), nilai tsb dijadikan level maka dilakukan clipping

0, jika nilai > nilai max gray

• Untuk masalah piksel pinggir, solusi untuk masalah ini adalah :––

Piksel pinggir diabaikan, tidak dikonvolusiDuplikasi elemen citra, elemen kolom ke-1 disalin ke kolom M+1, begitu juga sebaliknya lalu konvolusikan.Elemen yang ditandai dengan (?) diasumsikan bernilai 0 atau konstanta yang lain sehingga konvolusi piksel pinggir dapat dilakukan.

–

• Konvolusi piksel pinggir tidak memperlihatkan efek yang kasat mata.

12

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (1)

• Blurring merupakan efek pemerataan (integrasi),sedangkan deblurring / sharpening / outlining merupakan efek differensiasiProses blurring dapat diperoleh dengan mengaplikasikan low pass filter dan sebaliknya, proses sharpening dapat diperoleh dengan mengaplikasikan high pass filterFiltering akan dipelajari pada proses peningkatan mutu citra (image enhancement)

•

•

13

Proses Konvolusi dan Dekonvolusi (2)

• Contoh efek blurring (bayangkanpiksel citra 2-dimensi)

bila terjadi pada

point response function ideal response(averaging)

deconvolution function(filtering) 14

• Filter/ mask/ kernel gaussian

15

TRANSFORMASI

Mengapa perlu transformasi ?

CITRA

•

– Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatuanalisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z

• Analisa konvensional : pembagian secara manual

• Analisa transformasi : melakukan transformasi

– log(y) = log(x) – log(z)

– look-up table pengurangan look-up table

teknik

–

• Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatuinformasi tertentu yang tidak tersedia sebelumnya

16

Transformasi Citra

• Contoh :

– jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier

– Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet

• Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahanbentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu

• Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :– Transformasi piksel/transformasi geometris

– Transformasi ruang/domain/space

17

Transformasi Piksel dan Ruang

• Transformasi piksel masih bermain di ruang/domain yang sama(domain spasial), hanya posisi piksel yang kadang diubah

Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll.

Transformasi jenis ini relatif mudah diimplementasikan dan banyak aplikasi yang dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll)

Transformasi ruang merupakan proses perubahan citra dari suatu ruang/domain ke ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang spasial ke ruang frekuensiAda beberapa transformasi ruang yaitu :

••

•

•

––

Transformasi

Transformasi ortogonal)Transformasi

Fourier (basis: cos-sin)Hadamard/Walsh (basis: kolom dan baris yang

– DCT (basis: cos)

18

19

Transformasi Fourier (FT)

• Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/cosinus.•Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan fungsi sinus berikut

dari fungsi-

f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 +sin(7x)/7 + sin(9x)/9

…

20

Fungsi kotak sebagai penjumlahanfungsi-fungsi sinus

• Cobakan juga program matlab berikut untuk melihatsampai batas n berapa fungsiberbentuk fungsi kotak.

yang dihasilkan sudah

– function kotak(n)t = 0:pi/200:8*pi;

kot = sin(t);

for i = 3 : 2: n

kot = kot + (sin(i*t))/i;

end

plot(kot)

21

(a) (b)

(c)Gambar

(d)a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99

22

FT - Motivasi

• Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalampenjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah:– Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana

saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ?

Atau dengan kata lain– Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ?

Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung

•

•nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudiandapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitungf(x), menggunakan rumus:

23

Rumus FT – 1 D

• Rumus FT kontinu 1 dimensif (x) exp[−2 jπux]dx

∞

∫−

∞

∫−

∞

F (u) =

∞

F (u) exp[2 jπux]du

f (x) =Euler's formula: exp[−2 jπux] = cos2πux −

j sin 2πux

• Rumus FT diskret 1 dimensi

f ( x) exp[−2 jπux / N ]

1 N −1∑ x =0

F (u) = N

1 N −1∑ x =0

F (u) exp[2 jπux / N ]

f ( x) = N 24

Contoh FT 1 D

Contoh berikut diambil dari Polikar(http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html)

Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus sbb:x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) +

cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)

Sinyal ini memiliki empat komponen5,10,20,50

frekuensi yaitu

25

Contoh sinyal 1 Dimensi x(t)

Gambar sinyal satudimensi dengan

rumus x(t)=cos(2*pi*5*t) +

cos(2*pi*10*t)

+

cos(2*pi*20*t)

+

cos(2*pi*50*t)

(Sumber: Polikar)

26

FT dari sinyal tersebut

FT dari sinyal tersebut.Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi yang dominandalam sinyal tersebut, yaitu5,10, 20, 50

(nilaipada

maksimum F(u)angka 5,10, 20,

berada50)

27

Contoh Penghitungan FT 1 dimensi(Gonzalez hlm 90-92)

1 1N −1

N −1∑ ∑f (x) exp[−2 jπux /

N] =f (x)(cos(2πux / N) −

j sin(2πux / N))]

F(u) =

x=0

x=0N N

contoh: f (0) = 2, f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 4 1 N

−1∑ f (x)(cos(2π 0x / N) − j sin(2π 0x /

N))]F(0) =

x=0N

= 1

[ f (0) + f (1) + f (2) + f (3)] =

3.2541 ∑3

f (x)(cos(2πx / 4) − j sin(2πx / 4))]

F(1) =

x=04

= 1

[2(1− 0) + 3(0 − j) + 4(−1− 0) + 4(0 +

j)4

= 1 (2 − 3 j − 4 + 4 j) = 1

(−2 + j) =

−0.5 + 0.25 j

4

F(2) =

− 1

[1]

= −0.254

4

F(3) = − 1

[2 + j] = −0.5 −

0.25 j4

28

Contoh Penghitungan FT

• Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilanganreal dan imajiner

Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua•bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2

• Untuk contoh di halaman sebelumnya, FourierSpectrumnya adalah sebagai berikut:

|F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590|F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590

••

29

Rumus

Rumus FT 2 dimensi

FT – 2 D

•

M −1 N −1

∑∑ 1 f ( x, y) exp[−2 jπ (ux / M

FT : F (u, v) =

+ vy / N )]MN x =0 y

=0M −1 N −1

InversFT : f ( x, y) = ∑∑ F

(u, v) exp[2 jπ (ux / Mu =0 v

=0

M = tinggi citra (jumlah baris)

N = lebar citra (jumlah kolom)

+ vy /

N )]

30

Contoh FT 2 DimensiSumber: http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/LinTransforms.html

Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkalidigunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|] 31

Sifat-sifat

Separable :

FT 2 dimensi

•– Pemrosesan FT 2 dimensi dapat

dengan melakukan FT 1 dimensi kemudian dilanjutkan dengan FT terhadap baris

Translasi :

dilakukanterhadap kolom,1 dimensi

•

f (x, y) exp[−2 jπ(u0 x +v0 y) / N] ⇔ F(u −u0 , v

−v0 )

f (x − x, y − y) ⇔ F(u, v) exp[−2 jπ(ux0 +vy0 ) /

N]32

Sifat-sifat

Periodik

FT 2 dimensi

•– FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N

adalah jumlah titik)

Rotasi– Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ0. maka

(N

•F(u,x)

θ0, demikian pulajuga akan berotasi sebanyaksebaliknya.

Distributif– FT dan IFT bersifat distributif

tapi tidak terhadap perkalian

•terhadap penjumlahan

33

Sifat-sifat

Penskalaan

FT 2 dimensi

•

af (x, y) ⇔ aF(u, v)

f (ax,by) ⇔ 1 F(u / a, v /

b)ab

• Nilai rata-rataN −1 N −1

∑ ∑x = 0 y = 0

1 1y ) =

=f ( x ,

f ( x ,

y ) F ( 0,0 )

2N N

34

Fast Fourier Transform (FFT)

• Merupakan algoritma penghitungan yangN2mengurangi kompleksitas FT biasa dari

menjadi N log2N saja• Pada implementasinya, FFT merupakan cara

yang umum digunakan untuk menghitung FT diskret

• InversFT juga dapat dihitung dengan kompleksitas N log2N (IFFT)– Di Matlab : fft(x) atau fft2(X) untuk FT

dan ifft2(X) untuk invers FTifft(x) atau

35