MTE3109: PENGAJARAN NOMBOR, PECAHAN, PERPULUHAN, DAN PERATUSNOMBOR BULATPERKEMBANGAN AWAL NOMBOR

1. Sifat (attibute)

Langkah awal kepada pengenalan nombor iaitu kebolehan mengenal persamaan dan perbezaan (susunan).

Contoh: Mengenali semua benda yang berwarna merah Langkah kedua ialah kebolehan memadankan benda dengan sifat asalnya. Hal ini lebih menumpukan kepada persamaan benda dan memadankannya kepada sesuatu

yang agak sama.

1. Susunan dan pengelasan

Pengenalan sifat dan susunan sekumpulan objek kepada subset (kumpulan kecil)mengikut sifatnya.

Contoh: Penyusunan mengikut warna, bentuk, saiz, dan nombor. Ideanya ialah menyusun mengikut warna, saiz, dan bentuk akan menguatkan penyusunan

mengikut nombor Mengenali perbezaan nombor dan memberi suatu nombor kepada semua himpunan dengan

nombor objek tersebut.

1. Corak

Sesuatu yang berulang. Suatu senarai nombor yang mengikut corak yang tertentu. Contoh: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …  bermula dari 1 dan bertambah 3 setiap kali.

NUMBERS SENSE

Kesedaran dan pemahaman tentang apa itu nombor, hubungannya, magnitudnya, kesan perubahan relatif sesuatu nombor termasuk penggunaan mental Matematik (mental mathematics ) dan penganggaran.

Pengalaman membuat perbandingan dan pengiraan membantu kanak2 membina asas deria nombor.

Deria nombor=pemahaman fleksibel dan penggunaan nombor. Deria nombor-perkara yang perlu dilakukan sebelum perkembangan pengiraan.

PENGIRAAN

Perlakuan mencari bilangan elemen nombor pada set terhad(finite) suatu objek. Pengiraan melibatkan:

              i.        Rote counting – pengiraan pada susunan yang betul.            ii.        Rational counting – pengiraan bil (berapa banyak)

           iii.        Cardination - “berapa banyak” (penamaan berdasarkan nombor terakhir)           iv.        Ordination – aspek nombor yang memberi susunan            v.        Numerical comparison/order – menggunakan 1-1 untuk melihat yang mana lebih banyak.           vi.        conservation – nombor tetap sama sekiranya tiada aa ditambah atau dikurangkan.          vii.        1-1 correspondence - number names to objects;        viii.        perception - pattern or path through objects;           ix.        separation - into those that have been counted and those yet to be counted;            x.        subbitisation - counting by “seeing”   (numbers 2 to 5);           xi.        (xi) adding (subtracting) - counting by subbitising and       adding the subbitised groups.

PERINGKAT PENGIRAAN

Rote counting 

Kanak2 menggunakan “Rote counting’ tahu sesetengah nombor tetapi mengetahui susunan nombor yang betul.

Rational counting 

Menggunakan fungsi 1-1 dalam pengiraan. COUNTING PRINCIPLES

Abstraction principles Stable order principles One to one principles Order irrelevance principles Cardinal principles

 SEGITIGA RATHMELL6 arah segitiga Rathmell adalah seperti berikut:       model  ---->  bahasa      bahasa  ---->  model       model  ---->  simbol      bahasa  ---->  model      bahasa  ---->  simbol      simbol  ---->  bahasa

STRATEGI PENGIRAAN

Pengiraan menaik Kanak-kanak bermula mengira nombor pada 1, 2, 3, 4 Pengiraan menurun Kanak-kanak mengira secara menurun(dari belakang)

10, 9, 8, 7, 6

Pengiraan melangkau Kanak-kanak boleh mengira secara melangkau seperti

2s, 5s, 10s     e.g.  5, 10 , 15, 20 ...

CARDINAL, ORDINAL AND NOMINAL NUMBERS 

Cardinal – “Berapa banyak?” Kami mempunyai 3 kereta Ordinal – “Mana satu?”

(susunan)

Jojo mendapat tempat kedua dalam perlumbaan Nominal – “siapa?”

(Pengenalan)

Zola bernombor 25 untuk Chelsea

PENAMBAHAN DAN PENOLAKANPENAMBAHANAPAKAH OPERASI TAMBAH

Tambah adalah suatu operasi ke atas nombor. Ia merupakan proses menambah dua atau lebih kuantiti dengan menggunakan nombor. Disebabkan itu, hasil operasi tambah sentiasa bertambah dengan kuantitinya diwakili oleh

nombor bulat.

HUKUM OPERASI TAMBAHTerdapat empat hukum yang merangkumi operasi tambah. Antara hukumnya ialah commutative, associative, additive identity and distributive properties.

1. Commutative property: Apabila dua nombor ditambah, hasilnya adalah sama, tidak dipengaruhi susunan nombor. Contoh:

4 + 2 = 2 + 4

1. Associative Property: Apabila tiga atau lebih nombor ditambah, hasilnya adalah sama, tidak dipengaruhi susunan pengelompokan nya. Contohnya

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

1. Additive Identity Property: Hasil tambah sesuatu nombor dengan sifar adalah nombor itu sendiri. Contohnya:

5 + 0 = 5.

1. Distributive property: The sum of two numbers times a third number is equal to the sum of each addend times the third number. For example

4 * (6 + 3) = 4*6 + 4*3

Operasi tambah dan tolak merupakan dua operasi yang mempunyai hubungan berbalik. Jika fakta matematik diambil kira, sebagai contoh 3 + 7 = 10. jadi pernyataan berikut juga

benar: 10 - 3 = 7 10 - 7 = 3 Hubungan yang sama juga wujud dalam operasi tolak, contohnya 10 - 3 = 7. Jadi pernyataan berikut juga benar : 3 + 7 = 10 7 + 3 = 10 Ini disebabkan suatu pernyataan adalah seimbang di kedua-dua belah .

TEKNIK PENYELESAIAN OPERASI TAMBAH

Penyatuan dua kumpulan Penambahan dengan membilang semua Bentuk lazim Garis lurus

Penyatuan Dua Kumpulan  Penyatuan dua kumpulan membawa maksud memasukkan objek yang terdapat dalam bakul B ke dalam bakul A. Kemudian, mengira jumlah semua sekali yang terdapat dalam bakul A tersebut. Ini membawa maksud jumlah objek dalam kedua-dua bakul tersebut.   Penambahan dengan membilang semua.   Penambahan dengan membilang semua membawa maksud mengira ke semua jumlah objek tanpa mengagihkannya menjadi satu.

Bentuk Lazim  Untuk mengira menggunakan bentuk lazim, nombor perlu disusun mengikut nilai tempat masing-masing untuk memudahkan pengiraan.

PENOLAKANKAEDAH DALAM PENOLAKAN

1. 1.    Kaedah pemisahan

Melibatkan penolakan sesuatu kuantiti daripada kuantiti asal. Hasil penolakan akan dicatatkan atau dinyatakan. Contoh:

Ahmad ada 7 biji buah saga. Dia memberikan 3 biji buah saga itu kepada ibunya. Berapakah biji buah saga Ahmad yang tinggal?7 – 3 = 4 biji

1. Kaedah perbandingan

Melibatkan perbandingan dua kuantiti antara satu sama lain. Perbezaan kuantiti yang terhasil daripada perbandingan tersebut akan dicatatkan Contoh:

Peggy mempunyai 6 biji belon. Kate pula mempunyai 3 biji belon. Berapakah beza bilangan belon Peggy dan belon Kate?

1. Kaedah ‘missing-addend’

Dalam kaedah ini, satu set objek boleh dibahagikan kepada dua bahagian. Anda mengetahui jumlah atau bilangan dalam sesuatu set dan anda juga mengetahui

bilangan dalam satu bahagian. Anda dikehendaki mencari satu bahagian yang tinggal untuk menyamai jumlah dalam satu

set itu. Contoh:

Aminah mempunyai 8 biji bola. 4 daripadanya adalah berwarna biru dan selebihnya adalah berwarna merah. Berapakah bilangan bola yang berwarna merah?8 biji bola - ____ bola merah = 4 bola biru

OPERATION SENSE & COMPUTATIONSSEMPOASEJARAH SEMPOA

Juga dikenali sebagai Abakus Merupakan alat hitung untuk melakukan proses-proses aritmetik. Terdiri daripada sebuah rangka kayu dengan manik-manik. Sempoa dalam BI disebut abacus yang diambil daripada perkataan Yunani

bermaksudpapan yang berdebu.  Sempoa telah dijumpai di China diantara kurun ke-12 dan 13. Setelah itu, penggunaan sempoa telah sampai ke Korea dan Jepun melalui pedagang. Di Eropah pula, sempoa telah digunakan sehingga kurun ke-18. Pengiraan menggunakan sempoa melibatkan operasi  tambah,  tolak, darab bahagi. Bagi melakukan pengiraan melibatkan tambah dan tolak, sempoa digunakan dari arah kiri

ke kanan.

BAHAGIAN-BAHAGIAN PADA SAMPOA  

KALULATORSEJARAH KALKULATOR

Berasal dari negara Perancis. Dicipta oleh Colmur pada tahun 1820. Kalkulator lebih sempurna untuk mengira permasalahan 4 operasi adalah dicipta oleh

Boldwin dari Amerika Syarikat pada tahun 1875.

Sejak itu, beberapa model baru muncul dari masa ke semasa dan sehingga hari ini. Kalkulator moden bukan sahaja terhad untuk mengira permasalahan 4 operasi tetapi juga

untuk mendapatkan hasil punca, kuasa, dan permasalahan statistik. Kalkulator - suatu alat mengira yg menggunakan teknologi moden untuk mendapatkan

jawapan yang tepat dan cepat daripada masalah 4 operasi dan juga nilai daripada berbagai-bagai fungsi trigonometri dan logaritma.

JENIS-JENIS KALKULATOR

Kalkulator yang tidak dapat dapat diprogram

Kalkulator yang dapat diprogram

KELEBIHAN PENGGUNAAN KALKULATOR

Memudahkan pengiraan masalah matematik. Dapat mengira sesuatu nilai dengan tepat. Menjimatkan masa.

 KEBURUKAN PENGGUNAAN KALKULATOR

Pengguna menjadi lebih bergantung pada kalkulator dan sukar untuk membuat pengiraan secara mental.

 Pelajar akan semakin malas dan hanya menggunakan kalkulator walaupun hanya membuat pengiraan yang mudah.

Pengguna menjadi lebih bergantung pada kalkulator dan sukar untuk membuat pengiraan secara mental.

 Pelajar akan semakin malas dan hanya menggunakan kalkulator walaupun hanya membuat pengiraan yang mudah.

 PENGIRAAN SECARA MENTAL

Dilakukan tanpa bantuan alat-alat luaran Kebaikan:

–     Menggalakkan berfikiran fleksibel–     Mendorong pelajar untuk menggunakan strategi yang relevan bagi mereka

RASIONAL MENGGUNAKAN PENGIRAAN SECARA MENTAL

Menyediakan cara secara tidak langsung dan cekap dalam  melakukan mana-mana pengiraan

Sangat berguna- lebih ¾  dalam pengiraan dilakukan secara mental Meningkatkan pemikiran kritikal dan sedar bahawa terdapat banyak langkah/cara  dalam

menyelesaikan mana-mana pengiraan Meningkatkan kemahiran dalam anggaran

CONTOH TEKNIK DALAM PENGIRAAN SECARA MENTAL165 + 99 =

1. Tolak 1 daripada 165 dan tambahkannya ke 99. Kemudian, tambahkan 164+100=2642. 165 +100=265. Kemudian tolak 1 untuk mendapatkan 2643. 5+9=14. 10 sa akan dibawa ke tempat puluh menjadi 1+6+9=16. 10 puluh akan dibawa ke

tempat ratus menjadi 1+1=2. Jawapannya 264.

 ANGGARANTUJUAN MEMBUAT ANGGARAN 

menyemak "kewajaran" jawapan yang dikira menentukan jawapan  anggaran apabila jawapan yang tepat  tidak diperlukan Dapat mengira dan mendapatkan jumlah yang besar yang ingin dicari dalam masa yang

singkat Membantu membuat perhitungan dengan lebih mudah dan menjimatkan masa

KAEDAH DALAM ANGGARAN

1. Pembundaran (Rounding up)

1.  Penambahan BACK-FRONT

1.  Nombor Serasi/ Sesuai     (Compatible Numbers)

2 atau lebih nombor yang boleh dikira secara mental dengan menganggarkan 2 atau lebih nombor tersebut  untuk mendapatkan jawapan dengan lebih mudah.

Bahagi Tidak memerlukan jawapan yang tepat, tetapi memerlukan anggaran yang wajar. PRINSIP: Jika nilai satu nombor diturunkan, nilai nombor yang lain harus diturunkan juga. Jika nilai satu nombor ditingkatkan, nilai nombor yang lain haruslah ditingkatkan juga.

Darab PRINSIP: Jika nilai satu nombor diturunkan, nilai satu nombor yang lain hendaklah ditingkatkan. Jika nilai satu nombor ditingkatkan, nilai satu nombor lain hendaklah diturunkan.

ALGORITMAAPAKAH ALGORITMA

Algoritma diambil bersempena dengan nama ahli matematik Arab, Al-Khorizmi. Pelajar boleh diperkenalkan dengan algoritma asetelah mereka memahami nombor bulat,

tempat perpuluhan dan fakta asas tentang operasi ke atas nombor bulat. Peraturan untuk menyelesaikan masalah langkah demi langkah. Setiap langkah penyelesaian dijelaskan dengan terperinci. Algoritma digunakan untuk menyelesaikan masalah secara berkesan. Penyelesaian algoritma yang paling biasa digunakan untuk pelajar sekolah rendah ialah

prosedur penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian.

ALGORITMA DALAM PENAMBAHAN

(I)         LONG METHOD (WORDS)            25 = 2 TENS   5 ONES           +  56 = 5 TENS   6 ONES                     7 TENS  11 ONES            = 8 TENS  1 ONES

(II)        LONG METHOD (NUMBERS)            25 = 20 + 5  +        56 = 50 + 6                               70 + 11                             = (70 +  10 + 1)                             = (70 + 10 + 1                             = 80 + 1                   =  81

(III)       PARTIAL  SUM

(IV) CONVENTIONAL ALGORITHM                             2  5                        +   5  6                              8  1

ALGORITMA DALAM PENOLAKAN

1. EXPANDED NOTATION METHOD (words)

 3 TENS  and  5 ONES                35 -     1 TENS  and  7 ONES               -17        2 TENS  and 15 ONES               18 -     1 TENS  and  7 ONES        1 TENS  and  8 ONES

1. EQUAL ADDITION METHOD (alternate method)

            35  + 3 =     38                   35-           17  + 3 =  - 20                        - 17                                  18                        18

ALGORITMA DALAM PENDARABANLONG MULTIPLICATION                          23                 ×       30                          00(= 23× 0)             +          69 (= 23x3)                        690

ALGORITMA DALAM PEMBAHAGIAN

1. 1.    SUBTRACTION PROCEDURE 

 

 

1. 2.    CONVENTIONAL PROCEDURE

   

PLACE VALUENUMERATION PRINCIPLES

These principles result from a structural perspective on mathematics.  This perspective believes that it is more important to develop these principles across all

numbers than learn particular sized numbers.  It also provides framework in which all whole number and decimal numbers can be

considered.

1. 1.    COUNTING

The starting point for numeration is counting.  However, counting does not stop with 100.  All place values count, as do decimals and fractions. Odometer is a name given to the principle which describes the nature of all place-value

positions to count like the ones position.  For example:

This odometer pattern is for counting back as well as counting on, for example:

32  65 218            872 45531  65 118            871 45530  65 018            870 45529  64 918            869 455

The best material for teaching this principle is a calculator.  For example, enter 47 567 and then add 100 and keep pressing =.

1. Separation / Numerical partitioning

Separation or numerical partitioning (Van de Walle, 1990) is the part-whole part of numeration - it is seeing a number as its place value components. 

That is, 263 is 2 hundreds, 6 tens and 3 ones.  Children need to partition flexibly - 25 can be 2 tens and 5 ones, but it also can be seen as

25 ones and 1 ten 15 ones. Materials such as MAB and bundling sticks have the partitioning/ separation built in.  As soon as a number is represented with this material, it is numerically partitioned.  Numeral expanders also expand or separate/partition numbers. Place value: the position of a digit represents its value Base of ten: a collection of ten The use of zero: symbolically  represent the absence of something Additive property: numbers can be summed with respect to place value

Activities to Introduce Place Value

1. GROUPING BY TENS

Provide a pile of beans or interlocking cubes Ask the children to group by ten Ask some questions:

–        How many beans/cubes in each group?–        How many groups of ten?–        How many beans/cubes left over?–        Which pile/group is easier to count?

1. GROUPING BY HUNDREDS

Provide a bundle of straws of more than 100 Ask the children to group the straws by ten and bundle it with a rubber band Group the bundles by ten Ask some questions:

–        How many straws in each bundle?–        How many bundles of ten?–        How many bundles left over?–        How many straws left over?

1. COMPARING THE GROUPING SIZE

Provide 3 piles of beans different in number Ask some questions:

–        Which piles has the most? Least?–        Can you decide without counting?–        Do you know the exact number without counting?

1. 3.    The position of a digit determines the number being represented

The position of a digit represent different quantities, Example: the 2 in 3042 representones and 2 in 2403 represent thousands

The zero has positional value but lack of a quantity in the place

LINKING MODEL WITH SYMBOLIC REPRESENTATION

It is critical to emphasize in place value a particular model should represent a quantity with least number of pieces

Example, 25 beans can be represented by: (1)  one tens and 15 ones  or (2) two tens and 5 ones

Should choose alternative (2) because it has least number of pieces

   ADVANCED ACTIVITY

Utilize the concept of trading, exchanging and making Example: Count ten white ones, saying “1, 2, 3, 4,…9, 10”   Trade ten white ones into one blue one  Count ten blue ones, saying,

"10, 20, 30, 40, .., 90, 100"

Trade ten blue ones into one red one  Count ten red ones, saying,

“100, 200,300,400,…, 900, 1000”

Playing with the chips and asking questions: If you have 15 white ones, what can you trade? I have two blue ones, how many whites could I get? How could you make the number 54 with the chips, using the LEAST possible amount? I have two blue ones and four white ones, what number would this be? etc. Continue until children can easily make numbers with the chips, or tell what number a

certain combination of chips represents.  This way they will understand "group representation" - the concept that one entity (a chip)

represents a group.  This is a prelude to understanding how a certain column represents a group. It's very advisable also do some adding and subtracting with the chips.  Example, you have 2 blue ones and 7 white.   Add 8 whites.  What happens?  The example leads to the concept of trading the ones into a ten.  Example, if you have three blues and 2 whites, and you need to subtract 6 whites Ask the students, what would they do? This help to explain the concept of trading of a ten into 10 ones for the purpose of

subtracting.