pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycleetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf ·...

128
PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE SKRIPSI oleh: NURIL ANWAR HAMDANI NIM. 07610081 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2011

Upload: ngoanh

Post on 14-Aug-2019

231 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ���

SKRIPSI

oleh: NURIL ANWAR HAMDANI

NIM. 07610081

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

2011

Page 2: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ��� �

SKRIPSI

Diajukan Kepada: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

oleh: NURIL ANWAR HAMDANI

NIM. 07610081

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

2011

Page 3: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ���

SKRIPSI

oleh: NURIL ANWAR HAMDANI

NIM. 07610081

Telah Diperiksa dan Disetujui Untuk Diuji Tanggal, 11 Januari 2011

Pembimbing I

Pembimbing II

Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001

Dr. H. Ahmad Barizi, M.A NIP. 19731212 199803 1 001

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001

Page 4: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLE ���

SKRIPSI

oleh: NURIL ANWAR HAMDANI

NIM. 07610081

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan

Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 21 Januari 2010

Penguji Utama: Wahyu Henky Irawan, M. Pd

NIP. 19710420 200003 1 003 .............................

Ketua Penguji: Abdul Aziz, M. Si NIP. 19760318 200604 1 002

.............................

Sekretaris Penguji: Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001

.............................

Anggota Penguji: Dr. H. Ahmad Barizi, M.A NIP. 19731212 199803 1 001

.............................

Mengesahkan, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M. Pd NIP. 19751006 200312 1 001

Page 5: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

HALAMAN PERSEMBAHAN

������ ���� ���������� ��������������������� ����

�������������������������������������� ����������

�������� ���������� ����������������������������������� ��

Page 6: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

MOTTO

����������������������� ������������

��������������������������������������

��������������������������������������������������

�������������

Page 7: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

��

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, hidayah

dan ma’unah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi di jurusan

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana

Malik Ibrahim Malang sekaligus menyelesaikan penulisan skripsi ini dengan baik.

Sholawat serta Salam semoga tetap terlimpahkan kepada Nabi Muhammad

SAW, yang telah mengajarkan kita pada Iman, Islam dan Ihsan dengan Ad-Dinul

Islam.

Penulis menyadari bahwa penulisan skripsi ini tidak akan selesai dengan

baik tanpa adanya bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu dalam kesempatan

ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri

Maulana Malik Ibrahim Malang.

2. Prof. Drs. Sutiman Bambang Sumitro, SU, D. Sc selaku Dekan Fakulas

Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim

Malang.

3. Bapak Abdussakir, M.Pd Selaku Ketua Jurusan Matematika Universitas

Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus Dosen

Pembimbing I, atas bimbingan, dan kesabarannya sehingga penulisan

skripsi ini dapat diselesaikan.

Page 8: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

���

4. Bapak Dr. H. Ahamd Barizi, M.A selaku Dosen Pembimbing II yang telah

banyak memberikan bimbingan dan bantuan kepada kami sehingga

penulisan skripsi ini dapat diselesaikan.

5. Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, terutama seluruh dosen,

terima kasih atas segenap ilmu dan bimbingannya.

6. Dewan Masyayikh Pondok Pesantren Miftahul Huda Malang yang telah

banyak memberikan ilmu dan hikmah. Semoga amal ibadahnya diridhoi

Allah SWT.

7. Seluruh keluarga tercinta, ayah, ibu, kakak, dan adik yang senantiasa

memberikan motivasi dan kasih sayangnya serta doanya sehingga penulis

dapat menyelesaikan skripsi ini.

8. Teman-teman senasib seperjuangan mahasiswa matematika angkatan 2007

yang telah memberikan bantuan, motivasi, dan rasa kebersamaan yang

terindah yang telah terukir selama masa perkuliahan.

9. Semua pihak yang telah berjasa dalam penulisan skripsi ini

Semoga Allah SWT membalas semua amal kebaikan yang telah mereka

berikan kepada kami dan semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menambah

khazanah keilmuan, Amin.

Malang, Januari 2011

Penulis

Page 9: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

����

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

HALAMAN PESEMBAHAN

MOTTO

KATA PENGANTAR

.. i

DAFTAR ISI .....................................................................................................

iii

DAFTAR GAMBAR

. v

DAFTAR TABEL

vii

ABSTRAK .... ................................................................................................... viii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

1.1 Latar Belakang ................................................................................................ 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................................................... 7

1.3 Batasan Masalah.............................................................................................. 7

1.4 Tujuan Penulisan ............................................................................................. 7

1.5 Manfaat Penulisan ........................................................................................... 7

1.6 Metode Penelitian............................................................................................ 8

1.7 Sistematika Pembahasan ................................................................................. 9

BAB II KAJIAN PUSTAKA .............................................................................. 11

2.1 Kajian Graf dan Pelabelan dalam Al-Qur’an ................................................ 11

2.2 Pengertian Graf ............................................................................................. 19

Page 10: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

���

2.3 Derajat Titik ................................................................................................... 21

2.4 Graf Terhubung ............................................................................................. 22

2.5 Jenis-Jenis Graf.............................................................................................. 23

a. Graf Lintasan .......................................................................................... 23

b. Graf Sikel ................................................................................................. 23

c. Graf Cartepillar ........................................................................................ 24

d. Graf Hairy Cycle ...................................................................................... 24

2.6 Fungsi ........................................................................................................... 25

2.7 Pelabelan ........................................................................................................ 27

BAB III PEMBAHASAN ................................................................................... 30

3.1 Pelabelan Graf Hairy Cycle ��� dengan � Rambut ....................................... 30

3.2 Pelabelan Graf Hairy Cycle ��� dengan � Rambut ...................................... 51

3.3 Pelabelan Graf Hairy Cycle �� dengan � Rambut ...................................... 76

BAB IV PENUTUP .......................................................................................... 108

4.1 Kesimpulan ................................................................................................... 108

4.2 Saran ............................................................................................................. 109

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

Page 11: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

��

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Representasi Hubungan Makhluq dengan Penciptanya ................. . 5

Gambar 2.1 Representasi Hubungan Manusia Satu dengan Lainnya ................ 12

Gambar 2.2 Representasi Hubungan Makhluq dengan Allah SWT ................... 13

Gambar 2.3 Representasi Graf Terhadap Sholat Lima Waktu ........................... 14

Gambar 2.4 Sholat Rawatib yang Mengiringi Sholat Fardhu ............................ 15

Gambar 2.5 Graf ............................................................................................. 20

Gambar 2.6 Graf dengan Vertex dan Edge ..................................................... 22

Gambar 2.7 Beberapa Bentuk Graf Lintasan ..................................................... 23

Gambar 2.8 Beberapa Bentuk Graf Sikel ........................................................... 23

Gambar 2.9 Graf Cartepillar .............................................................................. 24

Gambar 2.10 Graf Hairy Cycle ��� ..................................................................... 25

Gambar 2.11 � Bukan Fungsi ............................................................................ 27

Gambar 2.12 � Bukan Fungsi ............................................................................ 27

Gambar 2.13 � Fungsi Surjektif ........................................................................ 27

Gambar 2.14 � Fungsi Injektif .......................................................................... 27

Gambar 2.15 � Fungsi Bijektif ......................................................................... 27

Gambar 2.16 Graf dengan Unsur Titik dan Sisi ................................................. 28

Gambar 2.17 Graf dengan Pelabelan Bilangan Asli .......................................... 28

Gambar 3.1 Graf ��� dengan � Rambut ............................................................ 30

Gambar 3.2 Graf ��� dengan 1 Rambut .............................................................. 30

Gambar 3.3 Graf ��� dengan 2 Rambut .............................................................. 32

Gambar 3.4 Graf ��� dengan 3 Rambut ............................................................. 33

Gambar 3.5 Graf ��� dengan 4 Rambut ............................................................. 35

Gambar 3.6 Graf ��� dengan 5 Rambut ............................................................. 38

Gambar 3.7 Graf ��� dengan 6 Rambut ............................................................. 41

Gambar 3.8 Graf ��� dengan � Rambut ............................................................ 47

Gambar 3.9 Pelabelan Graf ��� dengan� Rambut ............................................ 47

Gambar 3.10 Graf ��� dengan � Rambut .......................................................... 51

Page 12: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

���

Gambar 3.11 Graf ��� dengan 1 Rambut ........................................................... 51

Gambar 3.12 Graf ��� dengan 2 Rambut ........................................................... 53

Gambar 3.13 Graf ��� dengan 3 Rambut ........................................................... 55

Gambar 3.14 Graf ��� dengan 4 Rambut ........................................................... 57

Gambar 3.15 Graf ��� dengan 5 Rambut ........................................................... 60

Gambar 3.16 Graf ��� dengan 6 Rambut ........................................................... 64

Gambar 3.17 Graf ��� dengan � Rambut .......................................................... 71

Gambar 3.18 Pelabelan Graf ��� dengan � Rambut ........................................ 71

Gambar 3.19 Graf �� dengan � Rambut .......................................................... 76

Gambar 3.20 Graf �� dengan 1 Rambut ........................................................... 77

Gambar 3.21 Graf �� dengan 2 Rambut ........................................................... 78

Gambar 3.22 Graf �� dengan 3 Rambut ........................................................... 81

Gambar 3.23 Graf �� dengan 4 Rambut ........................................................... 84

Gambar 3.24 Graf �� dengan 5 Rambut ........................................................... 88

Gambar 3.25 Graf �� dengan 6 Rambut ........................................................... 92

Gambar 3.26 Graf �� dengan � Rambut .......................................................... 101

Gambar 3.27 Pelabelan Graf �� dengan � Rambut ........................................ 101

Gambar 4.1: Graf ��� �dengan Rambut � �� ����� Dimana � � � �

�� � �� �� � �t ...................................................................... ........ 110

Page 13: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

����

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Pelabelan ��� pada Titik Pusat dan Sisi Antar Titik Pusat ................... 44

Tabel 3.2 Pelabelan ��� pada Titik Rambut ......................................................... 44

Tabel 3.3 Pelabelan ��� pada Sisi Antar Titik Pusat dan Titik Rambut ............... 45

Tabel 3.4 Pelabelan ��� pada Titik Pusat ............................................................. 68

Tabel 3.5 Pelabelan ��� pada Sisi Antar Titik Pusat ............................................ 68

Tabel 3.6 Pelabelan ��� pada Titik Rambut ......................................................... 69

Tabel 3.7 Pelabelan ��� pada Sisi Antar Titik Pusat dan Titik Rambut ............... 69

Tabel 3.8 Pelabelan �� pada Titik Pusat ............................................................. 97

Tabel 3.9 Pelabelan �� pada Sisi Antar Titik Pusat ............................................ 97

Tabel 3.10 Pelabelan �� pada Titik Rambut ....................................................... 98

Tabel 3.11 Pelabelan �� pada Sisi Antar Titik Pusat dan Titik Rambut ............. 98

Page 14: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

�����

ABSTRAK

Hamdani, Nuril Anwar. 2011. Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf Hairy Cycle ��� . Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Abdussakir, M.Pd

(II) Dr. H. Ahmad Barizi, M.A

Kata kunci: pelabelan total, sisi ajaib, graf Hairy Cycle ���

Dalam pelabelan graf terdapat beberapa metode yang biasa digunakan dan salah satunya adalah Pelabelan total sisi ajaib yang didefinisikan sebagai fungsi bijektif dari � � � ke himpunan bilangan asli ������� � � � � � ! sedemikian sehingga terdapat bilangan positif " untuk setiap sisi #$,maka memenuhi �%#& ' �%#$& ' �%$& ( ". Graf Hairy Cycle ��

� adalah graf �� dengan order � dan � ) � untuk � bilangan asli dengan tiap � mempunyai rambut sebanyak �. Atau secara umum, misalkan terdapat graf dan *, pembentukan graf Hairy Cycle diperoleh dengan mengkonstruksi graf sikel �� dan garf komplit +, yang hanya mempunyai satu titik yang tetap. Dengan mencari satu pola, maka didapat bahwa graf Hairy Cycle ��

� dengan � ( �� -� ����. adalah pelabelan total sisi ajaib.

Page 15: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

���

ABSTRACT

Hamdani, Nuril Anwar. 2011. Edge Magic Total Labeling Of Hairy Cycle ���

Graph. Thesis. Mathematics Programme Faculty of Science and Technology The State of Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang Promotor: (I) Abdussakir, M.Pd

(II) Dr. H. Ahmad Barizi, M.A

Key words: total labeling, edge magic, Hairy Cycle ��� graph

On graph labeling there’ s some metode can be used and one of them is edge-magic total labeling whose define is a bijection mapping � taking the � � � to the integers ������� � � � � ! such that there exist a positive integer " for all edge #$ satisfying �%#& ' �%#$& ' �%$& ( ". Hairy Cycle ��

� graph is a cycle �� with order � and � ) � for � is integer with every � have � pendant edge. In generally, the Hairy Cycle ��

� is obtained by applying that construction to the cycle �� and the graph +, consisting of a single vertex. With finded one pattern, then we got Hairy Cycle ��

� with � (

�� -� ����. is edge-magic total labeling.

Page 16: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

��

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Al-Qur’an adalah kalam Allah SWT yang diyakini kebenarannya yang

kemurniannya dijaga Allah SWT sampai hari kiamat. Al-Qur’an diciptakan

sebagai bukti kekuasaan Allah disamping ciptaan seluruh alam semesta,

sebagai penjelas hal yang meragukan, petunjuk bagi yang tersesat, dan

sebagai pembeda antara haq dan bathil, antara kepastian dan spekulasi.

Sebagai kitab suci dan petunjuk, Al-Qur’an memiliki berbagai dimensi untuk

dijadikan pegangan hidup dan penuntun arah bagi setiap muslim dalam

menjalani kehidupan. Al-Qur’an mengajak akal manusia untuk ber-tafakkur

(memikirkan) dan ber-tadzakkur (mengingat) akan ciptaan Allah. Dengan

adanya akal dan ilmu yang dimilikinya, manusia dapat digolongkan atas

orang yang berilmu dan orang yang bodoh ( El-Fandy, 2000:1).

Banyak ayat-ayat yang mengenai alam semesta, tetapi tidaklah dapat

dikatakan bahwa Al-Qur’an merupakan sebuah karya ilmiah yang

diperuntukkan bagi suatu bidang ilmu dalam arti kata teknis. Akan tetapi

tidak dapat dipungkiri bahwa banyak ayat yang membicarakan pelbagai

subjek yang jelas-jelas bersifat ilmiah, sehingga dapat mengangkat harkat dari

ilmu pengetahuan dan juga dapat mendorong manusia agar mempelajarinya

untuk kepentingan bersama ( El-Fandy, 2000:1). Allah berfirman dalam surat

Yunus ayat 5:

Page 17: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

2��

���� � �� �� �� �� ���� ���� ��� �� �� ���� �� �� �� � ���� � � ��� � �� � �� � �� ��� �� �� � �� ������ �� � � ����� ������

��� � ���� �� � � ��� ���� �� ���� ������� ���� ������� ���� � �� ����� �� ��� ���� �� �� ��� �� ��� � �� ���� ��

Artinya: Dia-lah yang menjadikan matahari bersinar dan bulan bercahaya dan ditetapkan-Nya manzilah-manzilah (tempat-tempat) bagi perjalanan bulan itu, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitungan (waktu). Allah tidak menciptakan yang demikian itu melainkan dengan hak (dengan penuh hikmah), dia menjelaskan tanda-tanda (kebesaran-Nya) kepada orang-orang yang Mengetahui.

Dalam surat Al-Ankabut ayat 43-44 Allah juga berfirman:

���� �� � ��� �� �� �! �� ��"� �� �� �# ������ �� � ��� � ���"�� � ���� ���� ��� � ��� ���� �� �$% ���� �� ���� ������ �� ��� ��

���� �! �� � ������� ���� � �& �� '� ������� �(���� �)��� �� �* � ����� �$$

Artinya: Dan perumpamaan-perumpamaan Ini kami buat untuk manusia; dan tiada yang memahaminya kecuali orang-orang yang berilmu (43). Allah menciptakan langit dan bumi dengan hak[1153]. Sesungguhnya pada yang demikian itu terdapat tanda-tanda kekuasaan Allah bagi orang-orang mukmin (44).

Itulah beberapa ayat yang tidak hanya menjunjung tinggi ilmu

pengetahuan, melainkan pula menyeret perhatian orang yang berpikir serta

mengarahkan untuk mengejar ilmu pengetahuan dan mencari serta membuka

tabir rahasia-rahasia gejala alam semesta menurut garis cabang ilmu

pengetahuan.

Di dalam Al-Qur’an terdiri dari bahasa tulisan dalam hal ini huruf-

huruf dan juga bahasa angka. Huruf mewakili bahasa bunyi dan angka

mewakili bilangan. Keduanya merupakan bahasa simbol. Seseorang yang

sedang membaca, mempelajari dan memahami Al-Qur’an adalah bagian dari

upaya untuk memahami simbol-simbol yang berupa huruf dan angka

Page 18: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

3��

(Abdusysyakir, 2007:18). Angka-angka digunakan dalam Al-Qur’an untuk

menyebutkan sesuatu yang ukurannya pasti. Allah SWT berfirman dalam

surat Al-Qomar ayat 49:

� � �� �� !+ "� #, �! -� � ��� �" $� � ��� �$.

Artinya: Sesungguhnya kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.

Jika Allah SWT menciptakan segalanya dengan ukuran-Nya, maka

segala permasalahan pastilah mempunyai ukuran pemecahannya. Begitu juga

masalah pelabelan total sisi ajaib pada suatu graf pastilah mempunyai ukuran

(bilangan) yang pasti sedemikian sehingga akan menghasilkan bilangan yang

sama (ajaib).

Setelah menganjurkan manusia dalam pengembangan ilmu

pengetahuan, maka akan didapat hasil dari pengembangan penelitian. Dalam

penemuan itu pastilah membutuhkan pembuktian secara rasional. Jika

penemuan tidak dapat dibenarkan atau hanya merupakan spekulasi maka

janganlah diikuti. Allah SWT berfirman dalam surat Al-An’am ayat 148:

% ���� �� �� /&0�� � �1�'� �2 �� �# ���(� �$% �& ���� �� � ��� �&����' )% �� ���� �1�(��� ���� � #2 �� �) ����

��� * �� �+ �, �3$4

Artinya: Katakanlah: "Adakah kamu mempunyai sesuatu pengetahuan sehingga dapat kamu mengemukakannya kepada kami?" kamu tidak mengikuti kecuali persangkaan belaka, dan kamu tidak lain hanyalah berdusta.

Dalam ayat tersebut dijelaskan bahwa tidaklah bijaksana orang yang

hanya menggunakan khayalan sebagai dasar dari keyakinan beragama

ataupun dalam teori-teori ilmiah, karena suatu kesimpulan yang tidak

Page 19: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

4��

ditunjang dengan pengalaman atau bukti maka tidak ada manfaatnya

(El-Fandy, 2000:9).

Dalam kehidupan manusia, matematika merupakan salah satu ilmu

yang banyak manfaatnya, karena banyak sekali permasalahan dalam

kehidupan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan dalil-dalil atau

konsep-konsep matematika. Jadi, tidak salah sekiranya dikatakan bahwa

matematika adalah salah satu disiplin ilmu yang merupakan cabang ilmu

pengetahuan yang mempunyai banyak kelebihan dibanding ilmu pengetahuan

yang lain. Seiring dengan perkembangan zaman yang disertai dengan

perkembangan teknologi, matematika juga mengalami perkembangan yang

mengharuskan matematika lebih bersifat aplikatif dalam keberadaanya.

Diantara bagian matematika yang menarik untuk dikaji lebih lanjut adalah

teori graf.

Teori graf merupakan pokok bahasan yang usianya sudah tua namun

memiliki banyak terapan dalam kehidupan. Graf digunakan untuk

mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antar objek-objek

tersebut (Munir, 2009:353). Ada banyak sekali contoh penggunaan graf

dalam kehidupan misalnya saja dalam pembuatan peta dimana antar daerah

dihubungkan dengan daerah yang lain apabila terdapat sarana dan prasarana

transportasi yang menghubungkan antar daerah. Selain itu, graf juga dapat

diterapkan dalam penulisan silsilah keluarga yang menggunakan pohon

keturunan. Pohon merupakan salah satu graf khusus.

Page 20: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

5��

Dalam Islam diyakini bahwa alam semesta dan seisinya merupakan

makhluk Allah SWT yang diperintahkan untuk selalu mengagungkan-Nya.

��� � &� ��� �" �1�- �5 �� �.� �6�� � ���� �� ' ���� �� ��7

Artinya: Dan Aku tidak menciptakan jin dan manusia melainkan supaya mereka mengabdi kepada-Ku.

Walaupun dalam surat Adz-Dzariyat ayat 56 hanya disebutkan bahwa yang

diciptakan hanya untuk mengabdi kepada-Nya hanyalah manusia dan jin,

namun secara hakikat seluruh makhluk diperintahkan untuk selalu bertasbih,

bertahmid, bertakbir kepada Allah SWT. Dalam kehidupan dunia yang nyata,

Allah SWT sebagai khaliq dan manusia, hewan, dan tumbuhan serta benda-

benda mati sebagai makhluq direpresentasikan sebagai titik, dan hubungan

antara

khaliq dan makhluq dan hubungan antar sesama makhluq direpresentasikan

dengan garis, maka hubungan itu dapat digambarkan sebagai graf �� � ��

atau lebih dikenal sebagai graf roda �� sebagai berikut:

ALLAHtumbuhan hewan

manusia

matibenda Gambar 1.1: Representasi Hubungan Makhluq Dengan Penciptanya

Dari gambar tersebut jelas bahwa Allah SWT sebagai titik pusat dan

ciptaan-Nya mengelilingi-Nya. Demikian juga terjadi hubungan antar

makhluq. Hal ini menunjukkan bahwa perlunya adanya hubungan secara

vertikal (kholiq) dan hubungan secara horizontal (makhluq).

Page 21: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

6��

Pada pertengahan tahun 1960, pelabelan graf mulai dikembangkan.

Pertama kali dimunculkan dari karya Rosa pada tahun 1967, namun saat ini

pelabelan graf berkembang pesat dengan banyaknya hasil penelitian yang

diketahui pada saat ini.

Pelabelan graf sendiri didefinisikan sebagai suatu pemetaan satu-satu

yag memetakan himpunan dari elemen-elemen graf ke himpunan bilangan

bulat positif. Pelabelan sendiri terdiri dari beberapa jenis diantaranya

pelabelan titik yang domainnya berupa titik (vertex labeling), pelabelan sisi

jika domainnya sisi (edge labeling), pelabelan total jika domainnya titik dan

sisi (total labeling). Pelabelan graf � �� � adalah suatu pemetaan :

� � �, dimana � = domain, � = himpunan. Jumlah dari hasil pelabelan

biasanya disebut sebagai bobot dari elemen graf. Graf yang memiliki bobot

vertex yang sama disebut dengan graf pelabelan sisi ajaib, sedangkan untuk

bobot vertex yang berbeda disebut dengan pelabelan sisi anti ajaib.

Pelabelan titik dan sisi dari graf bisa dilakukan dengan banyak cara.

Salah satu cara yang bisa digunakan adalah melabelinya dengan bilangan.

Ada banyak jenis pelabelan graf yang telah dikembangkan, diantaranya

adalah pelabelan graceful, pelabelan harmoni, pelabelan total tak beraturan,

pelabelan ajaib, dan pelabelan anti ajaib. Dalam pengembangan pelabelan

ajaib, dikenal pula pelabelan total titik-ajaib, pelabelan total titik ajaib super,

pelabelan total sisi-ajaib, dan pelabelan total sisi-ajaib super.

Meskipun perkembangan teori graf sangat pesat termasuk dalam

penelitian pelabelan, namun belum dapat ditemui pelabelan pada graf Hairy

Page 22: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

7��

Cycle. Sehingga pada tugas akhir ini, penulis melakukan kajian pelabelan

total sisi ajaib (edge magic total labeling) pada graf Hairy Cycle.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah dalam

penelitian ini adalah bagaimana pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy

Cycle ��� ?

1.3 Batasan Masalah

Pembatasan masalah sangat diperlukan agar bahasan dalam penelitian

tidak meluas atau melebar terlalu jauh, maka graf yang dilabeli adalah graf

Hairy Cycle ��� dengan � 3, 4, dan 5 serta hanya menemukan satu pola

saja.

1.4 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini

adalah mendeskripsikan pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy Cycle ���

dengan � 3, 4, dan 5 serta hanya menemukan satu pola saja.

1.5 Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini:

a. Bagi penulis

Penelitian ini digunakan sebagai tambahan informasi dan wawasan

tentang teori graf, khususnya tentang pelabelan total sisi ajaib dan

pembuktian bahwa pelabelan graf Hairy Cycle ��� �dengan � 3, 4, dan 5

adalah pelabelan total sisi ajaib.

Page 23: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

8��

b. Bagi lembaga

Penelitian ini diharapkan dapat menjadi tambahan kepustakaan

sebagai sarana dalam pengembangan ilmu pengetahuan khususnya di

jurusan matematika dalam kajian teori graf.

c. Bagi pengembangan ilmu pengetahuan

Penelitian ini dapat dijadikan tambahan pengetahuan tentang

pelabelan total sisi ajaib dan menstimulus untuk melakukan penelitian

lebih lanjut dalam masalah aplikasi pelabelan total sisi ajaib.

1.6 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian

kajian pustaka (library research), yakni melakukan penelitian untuk

memperoleh data dan informasi serta objek yang digunakan dalam

pembahasan masalah tersebut. Langkah-langkah yang dilakukan dalam

penelitian ini adalah:

a. Merumuskan masalah

b. Sebelum penelitian dilakukan, terlebih dahulu dilakukan penyusunan

rencana penelitian dari masalah pelabelan total sisi ajaib

c. Mengumpulkan data

Mengumpulkan data dari literatur A Dynamic Survey of Graph

Labeling dan literatur yang mendukung baik yang bersumber dari

buku, jurnal, artikel, skripsi, dan sumber lainnya yang berhubungan

dengan permasalahan yang diangkat.

d. Menganalisis data

Page 24: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

9��

Langkah-langkah yang digunakan dalam menganalisa data dalam

penelitian ini adalah:

1) Menggambar pola graf dan melabelinya

2) Mencari hasil teorema dan membuktikan bahwa graf Hairy

Cycle ��� dengan � 3, 4, dan 5 mempunyai pelabelan total

sisi ajaib

3) Membuat kesimpulan

4) Melaporkan

1.7 Sistematika Pembahasan

Dalam penulisan tugas akhir ini, penulis mengunakan sistematika

pembahasan yang terdiri dari empat bab yang terbagi dalam sub-bab dengan

sistematika sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Dalam bab pendahuluan meliputi beberapa sub bahasan yang memuat

latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, metode penelitian

dan sistematika pembahasan.

BAB II KAJIAN TEORI

Dalam bab ini disajikan secara singkat mengenai konsep dasar, yaitu

berbagai macam definisi dan teorema-teorema pada teori graf yang relevan

dengan pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dalam bentuk

definisi, notasi dan beberapa teorema hasil penemuan sebelumnya yang

menunjang penyelesaian dalam tugas akhir ini serta kajian graf dalam Islam.

Page 25: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

10��

BAB III PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas mengenai hasil utama dari tugas akhir ini yaitu

memuat penyusunan algoritma dan implementasinya berupa metode dan

langkah–langkah pembuktian dengan cara mengkonstruksi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan � 3, 4, dan 5 dengan mencari pola

tertentu dari hasil pencarian nilai titik dan nilai sisi. Selanjutnya pola yang

didapatkan disusun terlebih dahulu dengan merumuskan teorema yang

disertai dengan bukti sehingga diketahui bentuk umumpelabelan total sisi

ajaib pada graf.

BAB IV PENUTUP

Pada bab ini penulis membuat kesimpulan dari pembahasan tugas

akhir secara keseluruhan dan disertai dengan saran-saran dari penelitian ini.

Page 26: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

���

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Kajian Graf dan Pelabelan Dalam Al-Qur’an

Secara umum beberapa konsep dan disiplin ilmu telah dijelaskan

dalam Al-Qur’ an, salah satunya adalah matematika. Konsep dan disiplin

matematika serta berbagai cabangnya yang ada dalam Al-Qur’ an diantaranya

adalah logika, statistik, teori himpunan, teori graf, dan lain-lain baik yang

dijelaskan secara eksplisit ataupun implisit. Teori graf yang merupakan salah

satu cabang matematika yang menurut definisinya adalah himpunan yang

tidak kosong yang memuat elemen-elemen yang disebut titik, dan suatu daftar

pasangan tidak terurut elemen itu yang disebut sisi. Hal ini dikuatkan dalam

firman Allah SWT surat Al-Hujurat ayat 10 yang dijelaskan bahwa orang

yang beriman adalah bersaudara. /

��� � �� ����� �� �* � ���� *8 ���" �� �� ��� �* �0 �& �� ���� ��!9 �����" �) � ��&�� ��� ���� �� !9 +� ���� ���: �1�� �� �3;

Artinya: Sesungguhnya orang-orang yang beriman itu adalah bersaudara, sebab itu damaikanlah (perbaikilah hubungan) diantara kedua saudaramu itu dan bertaqwalah kepada Allah agar engkau men dapat rahmat.

Sehingga dengan demikian, hal ini menunjukkan suatu hubungan atau

keterkaitan antara titik yang satu dengan titik yang lain. Jika dikaitkan

dengan kehidupan nyata, maka banyaknya titik yang terhubung dalam suatu

graf dapat diasumsikan sebagai banyaknya kejadian tertentu. Yang

selanjutnya kejadian-kejadian tersebut mempunyai keterkaitan antara titik

satu sama lainnya yang merupakan kejadian sesudahnya. Jika diaplikasikan

dalam bentuk graf, maka dapat digambarkan sebagai berikut:

Page 27: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

12��

5v

4v 3v

2v

1v

Gambar 2.1: Representasi Hubungan Manusia Satu dengan Lainnya

Pada gambar tersebut terdapat lima titik dimana antara titik itu ada

yang adjacent dan ada yang non-adjacent. Namun, titik-titik diatas akan

saling terkait satu dengan lainnya. Hal ini menunjukkan bahwa saudara

seiman tidak mengenal batas jarak dan waktu. Hubungan seorang mukmin

dengan mukmin lainnya dapat digambarkan seperti diatas dengan lima orang

dengan inisial ��� ��� ��� ���������. Mereka adalah saudara seiman. Jika

terjadi perselisihan diantara mereka maka wajib bagi kita untuk mendamaikan

(memperbaiki hubungan) mereka.

Alam semesta dan seisinya merupakan makhluk Allah SWT yang

diperintahkan untuk selalu mengagungkan-Nya, walaupun dalam Al-Qur’ an

hanya disebutkan bahwa yang diciptakan hanya untuk mengabdi kepada-Nya

hanyalah manusia dan jin, namun secara hakikat seluruh makhluk

diperintahkan untuk selalu bertasbih, bertahmid, bertakbir kepada Allah

SWT. Dalam kehidupan dunia yang nyata, Allah SWT sebagai khaliq dan

manusia, hewan, dan tumbuhan serta benda-benda mati sebagai makhluq

direpresantikan sebagai titik, dan hubungan antara khaliq dan makhluq dan

hubungan antar sesama makhluq direpresantikan dengan garis, maka

hubungan itu dapat digambarkan sebagai graf �� � �� atau lebih dikenal

sebagai graf roda �� sebagai berikut:

Page 28: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

13��

ALLAHtumbuhan hewan

manusia

bendamati Gambar 2.2: Representasi Hubungan Makhluq dengan Allah SWT.

Dari gambar tersebut jelas bahwa Allah SWT sebagai titik pusat dan

ciptaan-Nya mengelilingi-Nya. Demikian juga terjadi hubungan antar

makhluq. Hal ini menunjukkan bahwa perlunya adanya hubungan secara

vertikal (habluminalloh) dan hubungan secara horizontal

(hablumminalmakhluq).

Representasi yang lainnya adalah shalat. Shalat merupakan salah satu

ibadah yang ditentukan waktunya, baik waktu mulainya maupun akhirnya.

Karena sangat pokoknya semisal lupa belum shalat, maka dalam ilmu fiqih

dijelaskan bagaimana melaksanakan shalat diluar waktunya (qadha). Shalat

dalam sehari semalam dilakukan lima kali dengan waktu yang berurutan dan

tidak berbenturan. Dalam surat An-Nisa ayat 103 Allah SWT berfirman:

� �� �2 �& ,2 ��< �3�� �8 ���� -�� �� ��� &0�� ���& ���� �.�� �< �� ������� � �' �= � � �/ &> ������� � � �� �2 �& �/%� ���0 �� �4 ��

�� �< �� �0 �& �8 ���� -�� �� � ���� �8 ���� -�� �� �� ��5�+ ' �= � �)��� �� �* � �� �� �'� ���+ ����� ���� �3;%

Artinya: Maka apabila kamu Telah menyelesaikan shalat(mu), ingatlah Allah di waktu berdiri, di waktu duduk dan di waktu berbaring. Kemudian apabila kamu Telah merasa aman, Maka Dirikanlah shalat itu (sebagaimana biasa). Sesungguhnya shalat itu adalah fardhu yang ditentukan waktunya atas orang-orang yang beriman.

Siklus shalat lima waktu dapat digambarkan sebagai berikut:

Page 29: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

14��

dhuhur

'isya

ashar

subuh

maghrib

�Gambar 2.3: Representasi Graf Terhadap Shalat Lima Waktu

Adapun hubungan waktu shalat dengan teori graf adalah bahwa

waktu-waktu shalat tersebut merupakan suatu himpunan yang terdiri dari

waktu shalat fardhu dan waktu shalat sunah (digambar selanjutnya) sebagai

ekspresi dari himpunan titik dalam graf. Sedangkan keterkaitan antara shalat

fardhu yang satu dengan lainnya dan shalat sunah merupakan ekspresi dari

sisi yang menghubungkan titik-titik dalam graf.

Menurut jenisnya, shalat dibagi menjadi dua yaitu shalat fardhu dan

shalat sunah. Dalam bukunya Al-Ghazali (1995:48) diterangkan bahwa

tidaklah patut seorang muslim meninggalkan shalat sunah karena dapat

mengganti kekurangan pada shalat fardhu. Shalat fardhu adalah modal

sedangkan shalat sunah ibarat keuntungan. Shalat sunah ada berbagai macam

yang dibedakan berdasarkan waktu dan tujuan, diantaranya shalat Dhuha,

shalat Istisqa’, dll. Shalat sunah yang mengiringi shalat fardu disebut shalat

sunah rawatib baik yang muakkad ataupun ghoiru muakkad. Al-Ghazali juga

mengatakan bahwa janganlah seseorang meninggalkan rawatib sebagaimana

diketahuinya dan tidak meninggalkan shalat Dhuha serta shalat Tahajud,

Dijelaskan dalam hadist tentang shalat sunah rawatib sebagai berikut:

Page 30: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

15��

�������������� �������������������������������� ��������������� ��������������

������ ������������������ �!������"����������������� �#�$����"������������%"�� .�����&��� .

� ������ �'��(���"����������� ����'������ � .�)*�+����)��(����,�-� �.*����� �������������

������/

Artinya:Dari Ibnu Umar ra berkata “Saya hafal (mengamati kebiasaan) Rosulullah SAW (shalat sunah rawatib) sepuluh rokaat, dua rokaat sebelum dhuhur dan dua lagi setelahnya, dua rokaat setelah maghrib di rumahnya, dua rokaat setelah isya’ di rumahnya, dan dua rokaat sebelum subuh” (HR. Bukhari dan Muslim). Riwayat lainnya”dua rokaat setelah shalat jum’at di rumahnya (Nabi Muhammad)”. Dari imam Muslim “Apabila fajar telah muncul (Nabi) tidak shalat kecuali shalat dua rokaat yang diperingan”.

Jika digambarkan dalam bentuk graf antara shalat fardhu dan shalat

rawatib, maka dapat digambarkan sebagai berikut:

dhuhur

'isya

ashar

subuh

maghrib maghribdiyahba'

asharqobliyah

dhuhurqobliyah

subuhqobliyah'' isyadiyahba

dhuhurdiyahba'

�Gambar 2.4: Representasi Shalat Sunah Rawatib yang Mengiringi Shalat Fardhu

Dari uraian diatas tidak menutup kemungkinan banyak konsep

matematika khususnya teori graf yang masih belum dikaji dan terungkap

melalui pendekatan Al-Qur’ an. Seperti yang telah diuraikan sebelumnya,

bahwa suatu graf memiliki dua unsur pokok yaitu titik dan sisi. Titik-titik

tersebut akan saling terhubung dengan suatu garis yang dinamakan sisi. Sisi-

sisi akan menghubungkan titik-titik yang tidak terhubung menjadi terhubung

meskipun secara tidak langsung.

Page 31: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

16��

Berbicara tentang pelabelan, maka harus sesuai dengan aturan yang

ada. Hal ini menunjukkan bahwa suatu pelabelan dalam graf memiliki kaidah

dan ukuran tertentu sehingga pelabelan tersebut mempunyai pelabelan total

sisi ajaib. Al-Qur’ an menjelaskan bahwa segala sesuatu sesuai dengan kadar

dan ukuran yang ditatanya dengan sedemikian rapi.

� � �� �� !+ "� #, �! -� � ��� �" $� � ��� �$.

Artinya: Sesungguhnya kami menciptakan segala sesuatu menurut ukuran.

Hal ini menjelaskan bahwa semua yang ada di alam ini ada

hitungannya, ukurannya, rumusnya, dan ada persamannya. Namun, rumus-

rumus yang ada sekarang bukan diciptakan manusia sendiri, tetapi sudah

disediakan. Manusia hanya menemukan dan menyimbolkan kedalam bahasa

matematika (Abdusysyakir, 2007:80).

Begitu pula dalam hal ini, suatu graf dapat dilabeli dengan pelabelan

total sisi ajaib karena telah memiliki ukuran yang sempurna dengan cara dan

aturan yang dibuat oleh manusia secara sistematis yaitu jika hasil

penjumlahan adalah sama. Dari sinilah Al-Qur’ an mengajak setiap

pembacanya untuk membahas dan mengkaji suatu ilmu untuk memperluas

khazanah ilmu demi kemaslahatan umat manusia.

Penemuan sekaligus pembuktian rumus-rumus yang digunakan dalam

pelabelan dalam graf bertujuan untuk menemukan pola tertentu agar lebih

mudah dipahami. Setelah mengetahui dengan jelas hasil dari pembahasan

diatas yang intinya adalah menemukan pola pelabelan total sisi jaib pada graf

Hairy Cycle untuk mengetahui bilangan ajaibnya.

Page 32: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

17��

Hal utama yang dapat dijadikan refleksi dari semuanya adalah setelah

mempelajari matematika yang merupakan ilmu menghitung serta banyak

mengetahui masalah yang terdapat dalam matematika yang dapat direlevansi

dalam agama islam sesuai dengan konsep yang ada dalam Al-Qur’ an, maka

dengan itu akan semakin menambah keimanan kita akan kebesaran Allah

SWT selaku pencipta yang Maha Matematis (Abdusysyakir. 2007:83). Dalam

firman Allah SWT dalam surat Al-Baqarah ayat 202:?

�@ /A�� �� �0) #2 "�� 16< ���� ��� �'� ��' � �+ � �� ��� 7��� 8 ��� � �9 �5 �� �B;B

Artinya: Mereka Itulah orang-orang yang mendapat bahagian daripada yang mereka usahakan dan Allah sangat cepat perhitungan-Nya.

Dalam matematika terdapat enam himpunan bilangan yaitu himpunan

bilangan asli, cacah, bulat, rasional, riil, dan komplek. Namun dalam

pelabelan graf pada umumnya menggunakan himpunan bilangan asli (dalam

matematika disimbolkan dengan huruf �) yaitu bilangan yang dimulai 1, 2, 3,

4,… atau dapat dituliskan � �������� !.

Dalam Al-Qur’ an disebutkan sebanyak 30 bilangan merupakan

bilangan asli yaitu:

1 (Wahid) 11 (Ahada Asyarah) 99 (Tis’un wa Tis’una)

2 (Itsnain) 12 (Itsna Asyarah) 100 (Mi’ah)

3 (Tsalats) 19 (Tis’ata Asyar) 200 (Mi’atain)

4 (Arba’ ) 20 (‘Isyrun) 300 (Tsalatsa Mi’ah)

5 (Khamsah) 30 (Tsalatsun) 1000 (Alf)

6 (Sittah) 40 (‘Arba’un) 2000 (Alfain)

Page 33: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

18��

7 (Saba’ ) 50 (Khomsun) 3000 (Tsalatsa Alf)

8 (Tsamaniyah) 60 (Sittun) 5000 (Khamsata Alf)

9 (Tis’a) 70 (Sab’un) 50000 (Khamsina Alf)

10 (‘Asyarah) 80 (Tsamanun) 10000 (Mi’ati Alf)

Sedangkan 8 bilangan rasional yang disebutkan dalam Al-Qur’ an adalah:

� (Tsulutsa) �

� (Khumus) �

� (Nishf) �

" (Sudus)

� (Tsuluts) �

# (Tsumun) �

� (Rubu’ ) �

�$ (Mi’ syar)

(Abdussakir, 2007: 116)

Misalkan bilangan asli dengan kata ahad terdapat dalam surat Al-

Ikhlas ayat 1:

�� �� ���� �� �� 2 �:�) �3

Artinya: Katakanlah: "Dia-lah Allah, yang Maha Esa” .

Kata miatun dan alfun disebutkan dalam surat As-Shaffat ayat 147:

-� � �� �;�� �) � �' �C �� �(�D ��� 3E �� �) ��) �& �(< �� �3$F

Artinya: Dan kami utus dia kepada seratus ribu orang atau lebih.

Sedangkan untuk bilangan pecahan diantaranya kata tsulutsayi (2/3),

nisfah (1/2),dan tsulust (1/3) yang disebutkan dalam surat Al-Muzammil (20):

���� �@ )� �� ,2 �� ���� �@ � �) �G�& �� �' H �� �) 1�� �, �= �� �> �� ���� �� �-�� #��� � � -�? ���>� *(�� /I���4 � �1�'� ��J�� �� �� �@ ���� � �� ���

4� �� ��� �� �� �� �� ����K �L� ��� � �2 �� �# ��) 1�� �5��9 0, ����% �& ��!9 �� �� �# �

Artinya:Sesungguhnya Tuhanmu mengetahui bahwasanya kamu berdiri (sembahyang) kurang dari dua pertiga malam, atau seperdua malam atau sepertiganya dan (demikian pula) segolongan dari orang-orang

Page 34: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

19��

yang bersama kamu. dan Allah menetapkan ukuran malam dan siang. Allah mengetahui bahwa kamu sekali-kali tidak dapat menentukan batas-batas waktu-waktu itu, Maka dia memberi keringanan kepadamu

Setelah mengetahui bahwa dalam Al-Qur’ an terdapat bilangan-

bilangan, maka orang muslim harus mengenal bilangan. Tanpa mengenal

bilangan, seorang muslim tidak akan memahami Al-Qur’ an dengan baik

ketika membaca ayat–ayat yang berbicara tentang bilangan tersebut. Ketika

Al-Qur’ an berbicara bilangan, yang banyaknya sampai 38 bilangan berbeda,

maka tidak diragukan lagi bahwa Al-Qur’ an sebenarnya berbicara tentang

matematika (Abdusysyakir, 2007: 117).

2.2 Pengertian Graf

Definisi 2.1:

Graf � adalah pasangan %���� ��& dengan ��� adalah himpunan

tidak kosong dan berhingga dari objek-objek yang disebut titik, dan

�� adalah himpunan (mungkin kosong) dari pasangan tak berurutan

dari titik-titik berbeda di ��� yang disebut sisi. Banyaknya unsur di

��� disebut order dari � dan dilambangkan dengan '��, dan

banyaknya unsur di �� disebut ukuran dari � dan dilambangkan

(�� (Abdussakir, dkk. 2009:4).

Sehingga jika � ���� ��� maka ��� ���� ��� �� ��! dan

�� �)�� )�� )� )*!, dimana �� + ���� , ����� � disebut vertex

atau titik dan )- + ��� . ����� / disebut edge atau sisi.

Contoh: Terdapat graf � sebagai berikut:

Page 35: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

20��

:G

1e

2e

3e4e

5e6e

7e

8e

a

b

d

c

e

f

�Gambar 2.5: Graf �

Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa ��� ��� 0� 1� �� )� 2! dan ��

��� 0�� �� 1�� �� ��� 0� ��� 1� ��� �� 2�� �� )�� 0� )�!, dapat juga ditulis

dengan:

��� ��� 0� 1� �� )� 2!

�� �)�� )�� )�� )�� )�� )"� )3� )#!

Dengan:

)� �� 0� )� 1� ��

)� � �� 1� )" �� 2�

)� �� ���� � �)3 �� )�

)� 0� �� )# 0� )�

Graf � mempunyai 6 titik sehingga '�� 4. Dan graf � mempunyai

8 sisi sehingga (�� 5. Sisi ) 6� dikatakan menghubungkan titik 6 dan

� jika ) 6� adalah sisi di graf �, maka 6 dan � disebut terhubung langsung

(adjacent). � dan ) serta 6 dan ) disebut terkait langsung (incident). Titik 6

dan � disebut ujung dari ). Dua sisi berbeda )� dan )� disebut terhubung

langsung jika terkait langsung pada titik yang sama. Untuk selanjutnya sisi

) 6� �� ditulis ) 6� (Abdussakir, dkk. 2009:6).

Titik � dan 0 incident, begitu juga dengan � dan 1,�� dan �,�0 dan

),�0 dan �,�1 dan �,�� dan )� � dan 2. Sedangkan titik � dan ) adjacent ,

Page 36: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

21��

begitu juga dengan � dan 2, 0 dan 1,�0 dan 2,�1 dan ),�1 dan 2. Sisi )� terkait

langsung dengan � dan 0, sisi )� terkait langsung dengan � dan 1. Sisi )�

tidak terkait langsung dengan � dan 2. Sehingga satu sisi hanya dapat terkait

langsung dengan dua titik yang berbeda karena satu sisi hanya

menghubungkan dua titik yang berbeda.

2.3 Derajat Titik

Definisi 2.2:

Derajat suatu titik di � pada sebuah graf � ditulis dengan � �)7��

adalah banyaknya sisi yang terkait langsung pada �. Dengan kata lain

banyaknya sisi yang memuat � sebagai titik ujung. Titik � dikatakan

genap atau ganjil tergantung dari jumlah 89:��� genap atau ganjil.

(Chartrand dan Lesniak, 1986:7).

Jika dalam konteks pembicaraan hanya terdapat satu graf �, maka

tulisan �)7;�� disingkat menjadi �)7��. Titik berderajat genap sering

disebut titik genap dan titik berderajat ganjil disebut titik ganjil . Titik yang

berderajat nol disebut isolated vertices dan titik yang berderajat satu disebut

titik ujung (end vertices) (Chartrand dan Lesniak, 1986:7).

Jika setiap titik dalam suatu graf mempunyai derajat yang sama maka

graf tersebut dikatakan dengan graf regular (regular graphs). Sebuah graf �

dikatakan < reguler atau regular berderajat < jika setiap titik di � mempunyai

derajat <.

Page 37: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

22��

Penulis mencontohkan dengan suatu graf � yang mempunyai

himpunan titik ��� ��� 0� 1� �! dan himpunan sisi �� �)�� )�� )�� )�!

dan bentuk graf � sebagai berikut:

1e

d

c

b

a

2e

3e

4e

:G

�Gambar 2.6: Graf � Dengan Vertex dan Edge

Berdasarkan gambar 2.2 diperoleh bahwa:

deg�� �, deg0� �, deg1� �, deg�� �

dan diperoleh bahwa derajat maksimum di � adalah ��� � dan derajat

minimum di � adalah ��� �. Titik 0 dan 1 adalah titik ganjil, titik � dan

� adalah titik genap. Graf � mempunyai titik ujung yaitu pada titik 1.

2.4 Graf Terhubung

Definisi 2.3:

Misalkan � graf. Misalkan 6 dan � adalah titik pada �. Jalan (trail)

6� pada � yang dinotasikan � adalah barisan berhingga yang

berganti �=6 �$� )�� ��� )�� ��� � )�� �� � antara titik dan sisi

yang diawali dan diakhiri dengan titik dengan )> �>?��> adalah sisi

di � untuk , ����� � �. �$ disebut titik awal dan �� disebut titik

akhir. Titik �$� ��� ��� � �� disebut titik internal, dan � menyatakan

panjang dari � (Abdussakir, dkk. 2009:49).

Page 38: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

23��

Definisi 2.4:

Misalkan 6 dan � merupakan titik pada �. Titik 6 dan � dikatakan

terhubung (connected) jika terdapat lintasan 6 @ � di �. Suatu graf

dikatakan terhubung jika untuk setiap 6 dan � yang berbeda di �

terhubung, tetapi jika tidak ada lintasan antara 6 dan � maka � disebut

tak terhubung (Abdussakir, dkk. 2009: 56).

2.5 Jenis-Jenis Graf

a. Graf Lintasan

Definisi 2.5:

Graf lintasan adalah graf yang terdiri dari satu garis. Graf lintasan

dengan � titik dinotasikan dengan A� (Wilson dan Watkins, 1990:36)

Contoh:

1P5P4P3P

2P�

Gambar 2.7: Beberapa Bentuk Graf Lintasan�

b. Graf Sikel

Definisi 2.6:

Graf sikel adalah graf yang terdiri dari satu sikel. Graf sikel dengan

� titik dinotasikan dengan �� (Wilson dan Watkins, 1990:36).

Perlu diketahui bahwa secara umum graf sikel adalah graf sikel yang

berderajat 2 dan mempunyai � titik, dengan � B �.

Contoh:

3C 4C 5C�

Gambar 2.8: Beberapa Bentuk Graf Sikel

Page 39: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

24��

Graf sikel juga disebut dengan graf lingkaran karena gambarnya

dapat dibentuk menjadi lingkaran. Graf sikel tidak selamanya digambar

dalam bentuk lingkaran. Untuk sikel yang banyak titiknya ganjil disebut

sikel ganjil dan sikel yang banyak titiknya genap disebut sikel genap

(Abdussakir, dkk. 2009:55).

c. Graf Cartepillar

Definisi 2.7:

Graf caterpillar adalah graf terhubung dengan � titik pusat dan /

titik rambut yang jika titik ujungnya (rambut) dipotong atau dihapus

maka akan membentuk graf lintasan (Pradhan dan Kumar, 2009:79).

Contoh graf caterpillar yang dimaksud dalam hal ini sebagai berikut:

10a

na131a1

1a

na030a2

0a

21a

1ma 1

1−ma

12a

2ma 2

1−ma

22a

3ma 3

1−ma

32a

nma n

ma 1−

na2

�Gambar 2.9: Graf Cartepillar�

d. Graf Hairy Cycle

Definisi 2.8:

Diberikan dua himpunan C dan � sedemikian sehingga C� adalah

himpunan pada sikel dan � unutk selain sikel, maka graf Hairy

Cycle adalah graf yang dibangun dengan mempertemukan titik-titik

pada C dan � dan disimbolkan dengan ��D (� bilangan pokok pada

C). Secara umum jika diberikan graf � dan E dimana � �� dan

Page 40: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

25��

E �� maka graf Hairy Cycle diperoleh dengan mengkonstruksi

���F�/�� dimana �� selalu bersisi tunggal (Wojciechowski, _: 2).

Jadi, graf Hairy Cycle adalah graf yang diperoleh dengan cara

menghubungkan titik rambut pada titik pusat yang pertama dengan titik

rambut pada titik pusat yang terakhir pada graf cartepillar. Atau jika

menghilangkan sebarang sisi pada sikelnya maka akan menjadi graf

caterpillar (Barrientos, 2005:102).

Graf Hairy Cycle yang dimaksud dalam hal ini adalah sebagai

berikut:

na1

31a

11a

21a

12a

22a

32a

na2

1ma

13a

2ma

23a

3ma4

0a

nma

na4

4ma

44a

43a

42a

41a

10a

14a

24a

20a

30a

34a

33a

na3

na0

�Gambar 2.10: Graf Hairy Cycle ��D �

2.6 Fungsi

Definisi 2.9:

Misalkan G dan H himpunan, fungsi dari G dan H adalah himpunan 2

pasangan berurutan dalam G dan H sedemikian sehingga untuk setiap

� + G maka terdapat bilangan tunggal 0 + H dengan �� 0� + 2

(Bartle dan Sherbert, 2000: 5).

Page 41: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

26��

Definisi 2.10:

Misalkan terdapat dua himpunan G dan H yang keduanya tidak

kosong, pemetaan 2 dari G kedalam H, kita tulis 2= G � H adalah

suatu cara yang mengaitkan setiap unsur I + G�dengan suatu unsur

J + H. Pengaitan ini kita tandai 2= I K J (Arifin, 2000:8).

Pada fungsi tersebut elemen himpunan G disebut domain dan biasanya

dinotasikan dengan �2�, sedangkan himpunan H pada 2 disebut kodomain

dan untuk daerah hasil disebut range yang dinotasikan dengan L2�. Perlu

dicatat walaupun �2� G kita hanya akan mempunyai L2� M H.

Pada hakikatnya setiap elemen di G dapat dipetakan paling sedikit satu

elemen di H. Misalnya unsur I + G dikaitkan dengan unsur J� dan J� di H

yang berbeda. Hal ini tidak dapat terjadi dalam pemetaan 2= G � H. Dengan

demikian pemetaan 2= I K J untuk semua unsur I + G akan mendefinisikan

pemetaan 2= G � H jika dan hanya jika setiap I + G dipetakan dengan satu

unsur J + H.

Jika 2= G � H dimana G dan H suatu himpunan tak kosong, maka:

Definisi 2.11:

a. Fungsi 2 disebut injektif (satu-satu) jika I� N I� maka 2I�� N

2I��, hal ini berakibat pula jika I� I� maka 2I�� 2I��.

b. Fungsi 2 disebut surjektif (pada) jika untuk setiap elemen I + G

terdapat suatu unsur J + H yangg memenuhi 2I� J.

c. Fungsi 2 disebut bijektif jika fungsi tersebut injektif dan surjektif.

(Bartle dan Sherbert, 2000: 8).

Page 42: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

27��

Perhatikan gambar berikut:

f

A B �Gambar 2.11: 2 Bukan Fungsi

f

A B �Gambar 2.12: 2 Bukan Fungsi

f

A B �Gambar 2.13: 2 Fungsi Surjektif

f

A B �Gambar 2.14: 2 Fungsi Injektif

f

A B �Gambar 2.15: 2 Fungsi Bijektif

2.7 Pelabelan

Definisi 2.12:

Pelabelan suatu graf adalah sebarang pemetaan (fungsi) yang

memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan himpunan

bilangan asli. Kotzig dan Rosa mendefinisikan bahwa pelabelan ajaib

pada graf ��� � merupakan fungsi bijektif dari � O yang

dipetakan pada himpunan ��� �� �� P� O P! sedemikian sehingga

untuk setiap titik IJ����2I� � 2J� � 2IJ� adalah konstant.

Enomoto, Llado, Nakamigawa dan Ringel menjelaskan bahwa

pelabelan total sisi ajaib disebut super sisi ajaib jika himpunan titik

dilabeli pada himpunan ������ � P�P! (Gallian, 2005:74-76).

Page 43: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

28��

Perhatikan graf berikut:

1e

c

ba

2e3e:G

Gambar 2.16: Graf dengan Unsur Titik dan Sisi�

Jika graf tersebut dilabeli dengan cara memetakan unsur-unsur pada graf

dengan bilangan asli, maka dapat digambarkan sebagai berikut:

6

3

21

45:G

�Gambar 2.17: Graf dengan Pelabelan Bilangan Asli�

Dalam pelabelan graf terdapat beberapa cara yang sebenarnya

didegeneralisasi dari ide persegi ajaib (magic square). Berikut ini beberapa

jenis pelabelan ajaib pada suatu graf:

a. Misalkan � graf dengan himpunan titik ��� dan himpunan sisi ��.

Banyak titik di �adalah ' dan banyak sisi di �adalah (. Pelabelan titik

sisi ajaib (edge magic vertex labeling) pada graf � adalah fungsi bijektif

2 dari � pada hinpunan ������ � '� sehingga untuk sebarang sisi

I� J�di � berlaku 2I� � 2J� Q

Untuk suatu konstanta Q. Selanjutnya Q disebut bilangan ajaib pada �

dan � disebut titik sisi ajaib.

b. Misalkan � graf dengan himpunan titik ��� dan himpunan sisi ��.

Banyak titik di �adalah ' dan banyak sisi di �adalah (. Pelabelan total

titik ajaib (vertex magic total labeling) pada graf � adalah fungsi

Page 44: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

29��

bijektif 2 dari � O pada hinpunan ������ � ' � (� sehingga untuk

sebarang titik I di � berlaku 2I� � R 2S+TU� I� J� Q

Untuk suatu konstanta Q. Selanjutnya Q disebut bilangan ajaib pada �

dan � disebut total titik ajaib. (Miller, dkk. 2005:2)

c. Misalkan � graf dengan himpunan titik ��� dan himpunan sisi ��.

Banyak titik di �adalah ' dan banyak sisi di �adalah (. Pelabelan sisi

titik ajaib (vertex magic edge labeling) pada graf � adalah fungsi

bijektif 2 dari pada hinpunan ������ � (� sehingga untuk sebarang

titik I di � berlaku R 2S+TU� I� J� Q atau lebih umum ditulis

2I� � 2IJ� � 2J� Q.

Untuk suatu konstanta Q. Selanjutnya Q disebut bilangan ajaib pada �

dan � disebut total titik ajaib. (Miller, dkk. 2000:179)

Pada gambar 2.7 yang merupakan graf berbentuk segitiga dan pada

gambar 2.8 adalah pelabelan graf tersebut dan dapat kita lihat bahwa

pelabelan itu merupakan pelabelan total sisi ajaib dengan konstanta 9.

Page 45: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

���

BAB III PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas mengenai pelabelan total sisi ajaib pada

graf Hairy Cycle ��D . Graf Hairy Cycle ��D adalah graf �� dengan order � dan

� B � untuk � bilangan asli dengan tiap � mempunyai rambut sebanyak /. Atau

secara umum, misalkan terdapat graf � dan E, pembentukan graf Hairy Cycle

diperoleh dengan mengkonstruksi � V E dengan � �� dan E �� sebanyak /

bilangan asli, dan dapat disimbolkan �� �/��.

Untuk mencari pelabelan total sisi ajaib pada graf Hairy Cycle ��D ,

penulis akan membatasi pada � 3, 4, dan 5 dengan / rambut serta hanya

menemukan satu pola saja.

3.1 Graf Hairy Cycle WXD Dengan Y Rambut

Bentuk graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah sebagai berikut:

0a

0b

0c

1a

4a

3a

2a

ma

1b

2b3b

4b

mb

1c

3c

2c

4c

mc Gambar 3.1: Graf ��

D dengan / Rambut

a. Pelabelan ��� dengan 1 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

6

4

3

12

5

1

2 10

7

9

11

8

Gambar 3.2: Pelabelan Graf ��D dengan 1 Rambut

Page 46: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

31��

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 1 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2��� Z [ � \ � � �

20�� Z 4 � \ � � �

21�� Z � � \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z ] 4 \ � � 4� @ � \ �

20$0�� Z ^ 4 \ � � �� @ � \ �

21$1�� Z 5 4 \ � � [� @ � \ �

2�$0$� Z �� 4 \ � � 4

2�$1$� Z �� 4 \ � � [

20$1$� Z �_ 4 \ � � [

Bukti bahwa ��� dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � ] �[

20$� � 20$0�� � 20�� � � 4 � ^ �[

21$� � 21$1�� �� 21�� � � � � 5 �[

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � � �[

2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �� � � �[

20$� � 20$1$� � 21$� � � �_� � �[

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �[. Jadi

��� dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

Page 47: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

32��

b. Pelabelan ��� dengan 2 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

6

16

48

312

5

1

2

13

17

10

14

7

15

18

11

9

Gambar 3.3: Pelabelan Graf ��D dengan 2 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 2 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2��� Z [ � \ � � �

2��� Z 5 � \ � � �

20�� Z 4 � \ � � �

20�� Z ] � \ � � �

21�� Z � � \ � � �

21�� Z ^ � \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �[ 4 \ � � 4� @ � \ �

2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �

20$0�� Z �� 4 \ � � �� @ � \ �

20$0�� Z �_ 4 \ � � �� @ � \ �

21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �

21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �

2�$0$� Z �5 4 \ � � 4

Page 48: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

33��

2�$1$� Z �̂ 4 \ � � [

20$1$� Z �4 4 \ � � �

Bukti bahwa ��� dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �[ � [ ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � 5 ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �_� ] ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � � ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � ^ ��

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �5 � � ��

2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �^ � � ��

20$� � 20$1$� � 21$� � � �4 � � ��

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi

��� dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

c. Pelabelan ��� dengan 3 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

616

4

8

3

12

5

1

2

13

17

10

14 718

11

9

19

20

21

22

23

24

15

Gambar 3.4: Pelabelan Graf ��D dengan 3 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 3 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

Page 49: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

34��

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2��� Z [ � \ � � �

2��� Z 5 � \ � � �

2��� Z �� � \ � � �

20�� Z 4 � \ � � �

20�� Z ] � \ � � �

20�� Z �� � \ � � �

21�� Z � � \ � � �

21�� Z ^ � \ � � �

21�� Z �_ � \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �

2�$��� Z �5 4 \ � � 4� @ � \ �

2�$��� Z �[ 4 \ � � 4� @ � \ �

20$0�� Z �] 4 \ � � �� @ � \ �

20$0�� Z �4 4 \ � � �� @ � \ �

20$0�� Z �� 4 \ � � �� @ � \ �

21$1�� Z �_ 4 \ � � [� @ � \ �

21$1�� Z �^ 4 \ � � [� @ � \ �

21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �

2�$0$� Z �� 4 \ � � 4�

2�$1$� Z �� 4 \ � � [�

20$1$� Z �� 4 \ � � ��

Page 50: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

35��

Bukti bahwa ��� dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � [ �^

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � 5 �^

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �[ � �� �^

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � 4 �^

20$� � 20$0�� � 20�� � � �4 � ] �^

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �� �^

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_� � �^

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �^ � ^ �^

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � �_ �^

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � � �^

2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �� � � �^

20$� � 20$1$� � 21$� � � �� � � �^

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �^. Jadi

��� dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

d. Pelabelan ��� dengan 4 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

6

16

4

8

3

12

5

1

2

13

1710

14

7

15

18

11

9

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Gambar 3.5: Pelabelan Graf ��D dengan 4 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 4 rambut maka diperoleh:

Page 51: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

36��

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2��� Z [ � \ � � �

2��� Z 5 � \ � � �

2��� Z �� � \ � � �

2��� Z �� � \ � � �

20�� Z 4 � \ � � �

20�� Z ] � \ � � �

20�� Z �� � \ � � �

20�� Z �[ � \ � � �

21�� Z � � \ � � �

21�� Z ^ � \ � � �

21�� Z �_ � \ � � �

21�� Z �� � \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �^ 4 \ � � 4� @ � \ �

2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �

2�$��� Z �� 4 \ � � 4� @ � \ �

2�$��� Z �5 4 \ � � 4� @ � \ �

20$0�� Z �[ 4 \ � � �� @ � \ �

20$0�� Z �� 4 \ � � �� @ � \ �

20$0�� Z �] 4 \ � � �� @ � \ �

20$0�� Z �4 4 \ � � �� @ � \ �

Page 52: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

37��

21$1�� Z �4 4 \ � � [� @ � \ �

21$1�� Z �� 4 \ � � [� @ � \ �

21$1�� Z �_ 4 \ � � [� @ � \ �

21$1�� Z �^ 4 \ � � [� @ � \ �

2�$0$� Z �_ 4 \ � � 4

2�$1$� Z �] 4 \ � � [

20$1$� Z �5 4 \ � � �

Bukti bahwa ��� dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � [ ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � 5 ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �� ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �[ � 4 ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � ] ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �4 � �[ ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �4 � � ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � ^ ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_� �_ ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �^ � �� ��

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �_� � ��

2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �] � � ��

20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��

Page 53: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

38��

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi

��� dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

e. Pelabelan ��� dengan 5 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

6

16

4

8

3

12

5

1

2

13

17

10

7

15

18

11

9

19

20

21

22

23

24

25

2627

28

29

3035

34

33

32

31

36

14

Gambar 3.6: Pelabelan Graf ��D dengan 5 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��� dengan 5 rambut dimana maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2��� Z [ � \ � � �

2��� Z 5 � \ � � �

2��� Z �� � \ � � �

2��� Z �� � \ � � �

2��� Z �^ � \ [ � �

20�� Z 4 � \ � � �

20�� Z ] � \ � � �

20�� Z �� � \ � � �

20�� Z �[ � \ � � �

20�� Z �5 � \ [ � �

21�� Z � � \ � � �

Page 54: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

39��

21�� Z ^ � \ � � �

21�� Z �_ � \ � � �

21�� Z �� � \ � � �

21�� Z �4 � \ [ � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� 4 \ [ � 4� @ � \ �

2�$��� Z �_ 4 \ [ � 4� @ � \ �

2�$��� Z �^ 4 \ [ � 4� @ � \ �

2�$��� Z �� 4 \ [ � 4� @ � \ �

2�$��� Z �� 4 \ [ � 4� @ � \ [

20$0�� Z �� 4 \ [ � �� @ � \ �

20$0�� Z �5 4 \ [ � �� @ � \ �

20$0�� Z �[ 4 \ [ � �� @ � \ �

20$0�� Z �� 4 \ [ � �� @ � \ �

20$0�� Z �] 4 \ [ � �� @ � \ [

21$1�� Z �� 4 \ [ � [� @ � \ �

21$1�� Z �] 4 \ [ � [� @ � \ �

21$1�� Z �4 4 \ [ � [� @ � \ �

21$1�� Z �� 4 \ [ � [� @ � \ �

21$1�� Z �_ 4 \ [ � [� @ � \ [

2�$0$� Z �4 4 \ [ � 4

2�$1$� Z �[ 4 \ [ � [

20$1$� Z �� 4 \ [ � �

Page 55: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

40��

Bukti bahwa ��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � [ �]

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �_ � 5 �]

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �� �]

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �]

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �^ �]

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 �]

20$� � 20$0�� � 20�� � � �5 � ] �]

20$� � 20$0�� � 20�� � � �[ � �� �]

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �[ �]

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �5 �]

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � � �]

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �] � ^ �]

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �4 � �_ �]

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � �� �]

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �4 �]

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �4 � � �]

2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �[ � � �]

20$� � 20$1$� � 21$� � � �� � � �]

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �]. Jadi

��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

f. Pelabelan ��D dengan 6 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

Page 56: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

41��

6

16

4

8

3

12

5

1

2

13

17

1014

7

15

18

11

9

19

20

2122

23

24

25

26

27

28

2930

35

34

33

32

31

36

42

41

40

39

38

37

Gambar 3.7: Pelabelan Graf ��D dengan 6 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2��� Z [ � \ � � �

2��� Z 5 � \ � � �

2��� Z �� � \ � � �

2��� Z �� � \ � � �

2��� Z �^ � \ [ � �

2�"� Z �_ � \ 4 � �

20�� Z 4 � \ � � �

20�� Z ] � \ � � �

20�� Z �� � \ � � �

20�� Z �[ � \ � � �

20�� Z �5 � \ [ � �

20"� Z �� � \ 4 � �

21�� Z � � \ � � �

21�� Z ^ � \ � � �

Page 57: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

42��

21�� Z �_ � \ � � �

21�� Z �� � \ � � �

21�� Z �4 � \ [ � �

21"� Z �] � \ 4 � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �] 4 \ 4 � 4� @ � \ �

2�$��� Z �4 4 \ 4 � 4� @ � \ �

2�$��� Z �� 4 \ 4 � 4� @ � \ �

2�$��� Z �_ 4 \ 4 � 4� @ � \ �

2�$��� Z �^ 4 \ 4 � 4� @ � \ [

2�$�"� Z �� 4 \ 4 � 4� @ � \ 4

20$0�� Z �^ 4 \ 4 � �� @ � \ �

20$0�� Z �� 4 \ 4 � �� @ � \ �

20$0�� Z �� 4 \ 4 � �� @ � \ �

20$0�� Z �5 4 \ 4 � �� @ � \ �

20$0�� Z �[ 4 \ 4 � �� @ � \ [

20$0"� Z �� 4 \ 4 � �� @ � \ 4

21$1�� Z �5 4 \ 4 � [� @ � \ �

21$1�� Z �[ 4 \ 4 � [� @ � \ �

21$1�� Z �� 4 \ 4 � [� @ � \ �

21$1�� Z �] 4 \ 4 � [� @ � \ �

21$1�� Z �4 4 \ 4 � [� @ � \ [

21$1"� Z �� 4 \ 4 � [� @ � \ 4

Page 58: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

43��

2�$0$� Z �� 4 \ 4 � 4�

2�$1$� Z �� 4 \ 4 � [�

20$1$� Z �_ 4 \ 4 � ��

Bukti bahwa ��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � [ �[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �4 � 5 �[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �_ � �� �[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �^ �[

2�$� � 2�$�"� � 2�"� � � �� � �_ �[

20$� � 20$0�� � 20�� � � �^ � 4 �[

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � ] �[

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �� �[

20$� � 20$0�� � 20�� � � �5 � �[ �[

20$� � 20$0�� � 20�� � � �[ � �5 �[

20$� � 20$0"� � 20"� � � �� � �� �[

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �5 � � �[

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ �[

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �� � �_ �[

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �] � �� �[

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �4 � �4 �[

21$� � 21$1"� �� 21"� � � �� � �] �[

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � � �[

Page 59: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

44��

2�$� � 2�$1$� � 21$� � � �� � � �[

20$� � 20$1$� � 21$� � � �_ � � �[

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �[. Jadi

��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

Untuk lebih jelasnya pola pelabelan pada graf Hairy Cycle ��D dapat dilihat

dalam tabel berikut:

Tabel 3.1: Pelabelan ��D pada titik pusat dan sisi antar titik pusat / 2�$� 20$� 21$� 2�$0$� 20$1$� 21$�$� 1 1 2 3 �� 4 \ � � 4 �� 4 \ � � [ �_ 4 \ � � � 2 1 2 3 �5 4 \ � � 4 17 4 \ � � [ �4 4 \ � � � 3 1 2 3 �� 4 \ � � 4 �� 4 \ � � [ �� 4 \ � � � 4 1 2 3 �_ 4 \ � � 4 �] 4 \ � � [ �5 4 \ � � � 5 1 2 3 �4 4 \ [ � 4 �[ 4 \ [ � [ �� 4 \ [ � � 6 1 2 3 �� 4 \ 4 � 4 �� 4 \ 4 � [ �_ 4 \ 4 � � / � � � 4/ � 4 4/ � [ 4/ � �

Tabel 3.2: Pelabelan ��D pada titik rambut / 2�>� 20>� 21>� 1 [ � \ � � � 4 � \ � � � � � \ � � � 2 [ � \ � � �

5 � \ � � � 4 � \ � � � ] � \ � � �

� � \ � � � ^ � \ � � �

3 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � �

4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � �

� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � �

4 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � � �� � \ � � �

4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � � �[ � \ � � �

� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � � �� � \ � � �

5 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � � �� � \ � � � �^ � \ [ � �

4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � � �[ � \ � � � �5 � \ [ � �

� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � � �� � \ � � � �4 � \ [ � �

6 [ � \ � � � 5 � \ � � � �� � \ � � � �� � \ � � � �^ � \ [ � � �_ � \ 4 � �

4 � \ � � � ] � \ � � � �� � \ � � � �[ � \ � � � �5 � \ [ � � �� � \ 4 � �

� � \ � � � ^ � \ � � � �_ � \ � � � �� � \ � � � �4 � \ [ � � �] � \ 4 � �

/ �, � � �, � � �, � �

Page 60: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

45��

Tabel 3.3: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut / 2�$�>� 20$0>� 21$1>� 1 ] 4 \ � � 4� @ � \ � ^ 4 \ � � �� @ � \ � 5 4 \ � � [� @ � \ � 2 �[ 4 \ � � 4� @ � \ �

�� 4 \ � � 4� @ � \ � �� 4 \ � � �� @ � \ � �_ 4 \ � � �� @ � \ �

�� 4 \ � � [� @ � \ � �� 4 \ � � [� @ � \ �

3 �� 4 \ � � 4� @ � \ � �5 4 \ � � 4� @ � \ � �[ 4 \ � � 4� @ � \ �

�] 4 \ � � �� @ � \ � �4 4 \ � � �� @ � \ � �� 4 \ � � �� @ � \ �

�_ 4 \ � � [� @ � \ � �^ 4 \ � � [� @ � \ � �� 4 \ � � [� @ � \ �

4 27 4 \ � � 4� @ � \ � �� 4 \ � � 4� @ � \ � �� 4 \ � � 4� @ � \ � �5 4 \ � � 4� @ � \ �

�[ 4 \ � � �� @ � \ � �� 4 \ � � �� @ � \ � �] 4 \ � � �� @ � \ � �4 4 \ � � �� @ � \ �

�4 4 \ � � [� @ � \ � �� 4 \ � � [� @ � \ � �_ 4 \ � � [� @ � \ � �^ 4 \ � � [� @ � \ �

5 33 4 \ [ � 4� @ � \ � �_ 4 \ [ � 4� @ � \ � �^ 4 \ [ � 4� @ � \ � �� 4 \ [ � 4� @ � \ � �� 4 \ [ � 4� @ � \ [

�� 4 \ [ � �� @ � \ � �5 4 \ [ � �� @ � \ � �[ 4 \ [ � �� @ � \ � �� 4 \ [ � �� @ � \ � �] 4 \ [ � �� @ � \ [

�� 4 \ [ � [� @ � \ � �] 4 \ [ � [� @ � \ � �4 4 \ [ � [� @ � \ � �� 4 \ [ � [� @ � \ � �_ 4 \ [ � [� @ � \ [

6 �] 4 \ 4 � 4� @ � \ � �4 4 \ 4 � 4� @ � \ � �� 4 \ 4 � 4� @ � \ � �_ 4 \ 4 � 4� @ � \ � �^ 4 \ 4 � 4� @ � \ [ �� 4 \ 4 � 4� @ � \ 4

�^ 4 \ [ � �� @ � \ � �� 4 \ [ � �� @ � \ � �� 4 \ [ � �� @ � \ � �5 4 \ [ � �� @ � \ � �[ 4 \ [ � �� @ � \ [ �� 4 \ [ � �� @ � \ 4

�5 4 \ 4 � [� @ � \ � �[ 4 \ 4 � [� @ � \ � �� 4 \ 4 � [� @ � \ � �] 4 \ 4 � [� @ � \ � �4 4 \ 4 � [� @ � \ [ �� 4 \ 4 � [� @ � \ 4

/ 4/ � 4� @ �, 4/ � �� @ �, 4/ � [� @ �,

Berdasarkan hasil beberapa pelabelan graf Hairy Cycle diatas, maka dapat

dibuat generalisasi dalam bentuk teorema sebgai berikut:

Teorema 3.1:

Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut bilangan asli adalah total sisi ajaib.

Bukti:

Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph � dengan order ' dan ukuran (

adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …, ' � (}

sedemikian hingga untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� �

2J� Q, dengan k konstanta.

Maka untuk membuktikan teorema 3.1 perlu ditunjukkan bahwa :

Page 61: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

46��

i) � adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3,

…, ' � (}

ii) untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� � 2J� Q

Misal:

��� �$� ��� ��� ��� � �*� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�

yang dikelompokkan sebagai berikut:

���� �$� ��� ��� ��� � �*�

���� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*�

���� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�

Dimana:

�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����

0$: titik pusat ���� 0�� 0�� 0�� � 0*: titik ujung ����

1$: titik pusat ���� 1�� 1�� 1�� � 1*: titik ujung ����

Sedangkan �$� 0$ dan 1$ saling terhubung.

�� �$��� �$��� � �$�*� �$0$� 0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$� ` ` ` � 1$1*� 1$�$�

yang dikelompokkan sebagai berikut:

��� �$��� �$��� � �$�*� �$0$�

��� �0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$�

��� �1$1�� 1$1�� � 1$1*� 1$�$�

Jadi order dan ukuran di ��D dengan / rambut adalah:

'�� �/ � ��� 8ab�(�� �/ � ��

Maka ' � ( �/ � �� � �/ � ��

4/ � ��

Page 62: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

47��

Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut dapat digambar sebagai berikut:

0a

0b

0c

1a

4a

3a

2a

ma

1b

2b3b

4b

mb

1c

3c

2c

4c

mc Gambar 3.8: Graf ��D dengan / Rambut

dengan pola pelabelan sebagai berikut:

1

2

3

11 +c

14 +c

13 +c12 +c

1+mc

11 +a

12 +a13 +a 14 +a

1+ma

1+n

12 +b

11 +b

13 +b

11 +−mb Gambar 3.9: Pelabelan Graf ��D dengan / Rambut

Pelabelan total sisi ajaib didefinisikan sebagai fungsi 2 dari ��� O ��

ke ������� � ' � (!, maka dihasilkan pola pelabelan sebagai berikut:

a. 2�$� Z �

b. 2�>� Z �, � � untuk , ������ �/

c. 2�$�>� Z 4/ � 4� @ �, untuk , ������ �/

d. 2�$0$� Z 4/ � 4 untuk , ������ �/

e. 20$� Z �

f. 20>� Z �, � � untuk , ������ �/

g. 20$0>� Z 4/ � �� @ �, untuk , ������ �/

h. 20$1$� Z 4/ � � untuk , ������ �/

i. 21$� Z �

Page 63: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

48��

j. 21>� Z �, � � untuk , ������ �/

k. 21$1>� Z 4/ � [� @ �, untuk , ������ �/

l. 21$�$� Z 4/ � [ untuk , ������ �/

Maka:

i) Akan ditunjukkan bahwa � adalah fungsi bijektif 2 dari ��� O �� ke

himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, ' � (}

1) � adalah fungsi injektif

Untuk titik di �, ambil �> dan �- titik di � dengan 2�>� 2�-�. Akan

dibuktikan , . sedemikian hingga �> �-.

a. Untuk � c , c �, dan � c . c �.

Karena 2I>� 2I-� maka I> I- , jadi , ..

b. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 2�>� 2%�-& maka:

��, � � ��. � �

�, �.

jadi , ..

c. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 20>� 20-� maka:

��, � � ��. � �

�, �.

jadi , ..

d. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 21>� 21-� maka:

Page 64: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

49��

��, � � ��. � �

�, �.

jadi , ..

Untuk sisi di �

a. Untuk � c , c /, dan � c . c /.

Ambil �$�> dan �$�- sisi di � dengan 2�$�>� 2�$�-�.

Akan dibuktikan , . sedemikian hingga �$�> �$�-.

Karena 2�$�>� 2�$�-� maka:

4/ � 4 @ �, 4/ � 4 @ �.

@�, @�.

jadi , .`

b. Untuk � c , c /, dan � c . c /.

Ambil 0$0> dan 0$0- sisi di � dengan 20$0>� 20$0>�.

Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 0$0> 0$0-.

Karena 20$0>� 20$0>� maka:

4/ � � @ �, 4/ � � @ �.

@�, @�.

jadi , ..

c. Untuk � c , c /, dan � c . c /.

Ambil 1$1> dan 1$1- sisi di � dengan 21$1>� 21$1>�.

Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 1$1> 1$1-.

Karena 21$1>� 21$1>� maka:

4/ � [ @ �, 4/ � [ @ �.

Page 65: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

50��

@�, @�.

jadi , ..

Jadi 2 merupakan fungsi injektif dari ��� O �� ke ������� � ' � (!

2) � adalah fungsi surjektif

Akan ditunjukkan bahwa ��� O �� dipetakan ke ������� � ' � (!.

Menurut definisi pelabelan bahwa, untuk setiap elemen di ��� akan

dipetakan pada bilangan asli sebanyak ' dan setiap elemen di �� akan

dipetakan pada bilangan asli sebanyak (, maka banyaknya prapeta dan peta

adalah sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa � c 2�� c ' � ( dan

� c 2 � c ' � (. Artinya ��� O �� dipetakan ke ��� �� �� � ' � (!.

Karena P��� O ��P P��� �� �� � ' � (!P dan karena 2�� adalah

injektif maka sudah pasti 2�� adalah surjektif.

Karena 2�� injektif juga sekaligus surjektif, maka 2�� bijektif.

ii) Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku:

2I� � 2IJ� � 2J� Q

a. Untuk sisi �$�> di � diperoleh:

2�$� � 2�$�>� � 2�>� � � 4/ � 4� @ �, � �, � �� 4/ � ]

b. Untuk sisi 0$0> di � diperoleh:

20$� � 20$0>� � 20>� � � 4/ � �� @ �, � �, � �� 4/ � ]

c. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:

21$� � 21$1>� � 21>� � � 4/ � [� @ �, � �, � �� 4/ � ]

d. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � 4/ � 4� � � 4/ � ]

Page 66: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

51��

e. Untuk sisi 0$1$ di � diperoleh:

20$� � 20$1$� � 21$� � � 4/ � �� � � 4/ � ]

f. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:

21$� � 21$�$� � 2�$� � � 4/ � [� � � 4/ � ]

Jadi graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah total sisi ajaib dengan

bilangan ajaib: Q 4/ � ]

3.2 Graf Hairy Cycle WdD Dengan Y Rambut

Bentuk graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah sebagai berikut:

0d

0c0b

0a

1a

ma

4a

3a

2a

1b

2b

3b4b mb 1c

3c2c

4c

mc

1d

4d3d

2d

md Gambar 3.10: Graf ��D dengan / Rambut

a. Pelabelan ��D dengan 1 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

3

6

15

16

8

11

7

14

4

12

1

9

2

10

135

Gambar 3.11: Pelabelan Graf ��D dengan 1 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 1 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

Page 67: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

52��

2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^

2��� Z �[ 5 \ � � ^

20�� Z �� 5 \ � � �

21�� Z �4 5 \ � � 5

2��� Z �� 5 \ � � 4

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �

20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$0$� Z �� 5 \ � � ��

20$1$� Z ] 5 \ � � ��

21$�$� Z �_ 5 \ � � ��

2�$�$� Z �� 5 \ � � [�

Bukti bahwa ��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �[ ��

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �� ��

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �4 ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �� ��

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � 5 ��

20$� � 20$1$� � 21$� 5 � ] � 4 ��

21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �_ � ^ ��

2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �� � ^ ��

Page 68: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

53��

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi

��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

b. Pelabelan ��D dengan 2 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

3

6

15

16

8

11

7

14

4

12 1

9

2

10

135

24

23

22

21

20

19

18

17

Gambar 3.12: Pelabelan Graf ��D dengan 2 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 2 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^

2��� Z �[ 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

20�� Z �� 5 \ � � �

20�� Z �] 5 \ � � �

21�� Z �4 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �� 5 \ � � 4

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �

2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �

Page 69: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

54��

20$0�� Z �� 5 \ � � �� @ 5 \ �

20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z ] 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$0$� Z �_ 5 \ � � �

20$1$� Z �^ 5 \ � � �

21$�$� Z �5 5 \ � � �

2�$�$� Z �� 5 \ � � [

Bukti bahwa ��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �[ ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �� ��

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �� ��

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �] ��

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �4 ��

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �� ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �� ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �� ��

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �_ � 5 ��

20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �^ � 4 ��

21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �5 � ^ ��

2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �� � ^ ��

Page 70: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

55��

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi

��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

c. Pelabelan ��D dengan 3 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

3

6

15

16

8

11

7

14

412

1

9

2 1013

5

24

23 22

21

20

19

18

1732

31

30

29

28

27

26

25

Gambar 3.13: Pelabelan Graf ��D dengan 3 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 3 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^

2��� Z �[ 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

20�� Z �� 5 \ � � �

20�� Z �] 5 \ � � �

20�� Z �^ 5 \ � � �

21�� Z �4 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �� 5 \ � � 4

Page 71: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

56��

2��� Z �_ 5 \ � � 4

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �

2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �

20$0�� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �� 5 \ � � �� @ 5 \ �

20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �^ 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z ] 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �5 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$0$� Z �5 5 \ � � �

20$1$� Z �[ 5 \ � � �

21$�$� Z �4 5 \ � � �

2�$�$� Z �] 5 \ � � [

Bukti bahwa ��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �[ �]

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �]

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �� �]

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �� �]

Page 72: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

57��

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �] �]

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �^ �]

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �4 �]

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �� �]

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �� �]

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �� �]

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �� �]

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �_ �]

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �5 � 5 �]

20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �[ � 4 �]

21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �4 � ^ �]

2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �] � ^ �]

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �]. Jadi

��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

d. Pelabelan ��D dengan 4 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

3

6

15

16

811

7 14

412

1

9

21013

5

24

23

2221

2019

18

17 32

31

30

29

28

27

26

25

33

40

39

38

37

36

35

34

Gambar 3.14: Pelabelan Graf ��D dengan 4 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 4 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

Page 73: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

58��

2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^

2��� Z �[ 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

2��� Z �] 5 \ � � ^

20�� Z �� 5 \ � � �

20�� Z �] 5 \ � � �

20�� Z �^ 5 \ � � �

20�� Z �[ 5 \ � � �

21�� Z �4 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

21�� Z �_ 5 \ � � 5

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �_ 5 \ � � 4

2��� Z �5 5 \ � � 4

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �] 5 \ � � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ � � [� @ 5 \ �

2�$��� Z [ 5 \ � � [� @ 5 \ �

20$0�� Z �5 5 \ � � �� @ 5 \ �

Page 74: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

59��

20$0�� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �� 5 \ � � �� @ 5 \ �

20$0�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �[ 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �^ 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z ] 5 \ � � �� @ 5 \ �

21$1�� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �4 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �5 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �_ 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$��� Z � 5 \ � � �� @ 5 \ �

2�$0$� Z �4 5 \ � � �

20$1$� Z �� 5 \ � � �

21$�$� Z �� 5 \ � � �

2�$�$� Z �^ 5 \ � � [

Bukti bahwa ��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � �[ �^

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �^

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� �^

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �] �^

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �5 � �� �^

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �] �^

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �^ �^

Page 75: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

60��

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �[ �^

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �[ � �4 �^

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �� �^

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �� �^

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �_ �^

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �4 � �� �^

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �� �^

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �_ �^

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �5 �^

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �4 � 5 �^

20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �� � 4 �^

21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �� � ^ �^

2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �^ � ^ �^

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q �^. Jadi

��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

e. Pelabelan ��D dengan 5 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

3

6

15

16

811

714

412

1

9

2 10

13

5

24

23

22

21

2019

18

1732

31 3029

28

27

26

2533

40

39

38

37

36

35

34

48

47

46

45

44

43

42

41

Gambar 3.15: Pelabelan Graf ��D dengan 5 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 5 rambut maka diperoleh:

Page 76: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

61��

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^

2��� Z �[ 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

2��� Z �] 5 \ � � ^

2��� Z �^ 5 \ [ � ^

20�� Z �� 5 \ � � �

20�� Z �] 5 \ � � �

20�� Z �^ 5 \ � � �

20�� Z �[ 5 \ � � �

20�� Z �� 5 \ [ � �

21�� Z �4 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

21�� Z �_ 5 \ � � 5

21�� Z �5 5 \ [ � 5

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �_ 5 \ � � 4

2��� Z �5 5 \ � � 4

2��� Z �4 5 \ [ � 4

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

Page 77: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

62��

2�$��� Z �^ 5 \ [ � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �] 5 \ [ � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ [ � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ [ � [� @ 5 \ �

2�$��� Z [ 5 \ [ � [� @ 5 \ [

20$0�� Z �4 5 \ [ � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �5 5 \ [ � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �� 5 \ [ � �� @ 5 \ �

20$0�� Z � 5 \ [ � �� @ 5 \ [

21$1�� Z �� 5 \ [ � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �[ 5 \ [ � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �^ 5 \ [ � �� @ 5 \ �

21$1�� Z ] 5 \ [ � �� @ 5 \ �

21$1�� Z � 5 \ [ � �� @ 5 \ [

2�$��� Z �� 5 \ [ � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �4 5 \ [ � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �5 5 \ [ � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ �

2�$��� Z � 5 \ [ � �� @ 5 \ [

2�$0$� Z �� 5 \ [ � �

20$1$� Z �� 5 \ [ � �

21$�$� Z �� 5 \ [ � �

Page 78: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

63��

2�$�$� Z �[ 5 \ [ � [

Bukti bahwa ��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �[ [[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � �� [[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �� [[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �] [[

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [ � �^ [[

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �4 � �� [[

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �5 � �] [[

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �^ [[

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �[ [[

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � � � �� [[

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �� � �4 [[

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �[ � �� [[

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �� [[

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �_ [[

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � � � �5 [[

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �� � �� [[

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �4 � �� [[

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �_ [[

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �5 [[

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � � � �4 [[

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �� � 5 [[

Page 79: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

64��

20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �� � 4 [[

21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � �� � ^ [[

2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � �[ � ^ [[

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q [[. Jadi

��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

f. Pelabelan ��D dengan 6 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

35

34

3332

31

3029

28

27

26

25

24

23

2221

20

19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

50

49

48

47

46

45

44

43

42

4140

39

3837

36

53

52

51

54

55

56

Gambar 3.16: Pelabelan Graf ��D dengan 6 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z 5 21$� Z 4 2�$� Z ^

2��� Z �[ 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

2��� Z �� 5 \ � � ^

2��� Z �] 5 \ � � ^

2��� Z �^ 5 \ [ � ^

2�"� Z [[ 5 \ 4 � ^

20�� Z �� 5 \ � � �

Page 80: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

65��

20�� Z �] 5 \ � � �

20�� Z �^ 5 \ � � �

20�� Z �[ 5 \ � � �

20�� Z �� 5 \ [ � �

20"� Z [� 5 \ 4 � �

21�� Z �4 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

21�� Z �� 5 \ � � 5

21�� Z �_ 5 \ � � 5

21�� Z �5 5 \ [ � 5

21"� Z [4 5 \ [ � 5

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �� 5 \ � � 4

2��� Z �_ 5 \ � � 4

2��� Z �5 5 \ � � 4

2��� Z �4 5 \ [ � 4

2�"� Z [� 5 \ 4 � 4

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �[ 5 \ 4 � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �^ 5 \ 4 � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �] 5 \ 4 � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ 4 � [� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ 4 � [� @ 5 \ [

Page 81: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

66��

2�$�"� Z [ 5 \ 4 � [� @ 5 \ 4

20$0�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �4 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �5 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �_ 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

20$0�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ [

20$0"� Z � 5 \ 4 � �� @ 5 \ 4

21$1�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �[ 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

21$1�� Z �^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

21$1�� Z ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ [

21$1"� Z � 5 \ 4 � �� @ 5 \ 4

2�$��� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �� 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �4 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �5 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

2�$��� Z �_ 5 \ 4 � �� @ 5 \ [

2�$�"� Z � 5 \ 4 � �� @ 5 \ 4

2�$0$� Z [� 5 \ 4 � �

20$1$� Z �] 5 \ 4 � �

21$�$� Z [_ 5 \ 4 � �

2�$�$� Z [� 5 \ 4 � [

Page 82: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

67��

Bukti bahwa ��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �[ � �[ 4�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �^ � �� 4�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �] � �� 4�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �] 4�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �^ 4�

2�$� � 2�$�"� � 2�"� � � [ � [[ 4�

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �� 4�

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �4 � �] 4�

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �^ 4�

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �_ � �[ 4�

20$� � 20$0�� � 20�� 5 � �� � �� 4�

20$� � 20$0"� � 20"� 5 � � � [� 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �� � �4 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �� � �� 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �[ � �� 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � �^ � �_ 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� 4 � ] � �5 4�

21$� � 21$1"� �� 21"� 4 � � � [4 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �� � �� 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �� � �� 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �4 � �_ 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �5 � �5 4�

Page 83: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

68��

2�$� � 2�$��� �� 2��� ^ � �_ � �4 4�

2�$� � 2�$�"� �� 2�"� ^ � � � [� 4�

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � [� � 5 4�

20$� � 20$1$� � 21$� 5 � �] � 4 4�

21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � [_ � ^ 4�

2�$� � 2�$�$� � 2�$� � � [� � ^ 4�

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q 4�. Jadi

��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

Untuk lebih jelasnya pola pelabelan pada graf Hairy Cycle ��D dapat dilihat

dalam tabel berikut:

Tabel 3.4: Pelabelan ��D pada titik pusat dan sisi antar titik pusat / 2�$� 20$� 21$� 2�$� � � 5 4 ^ � � 5 4 ^ � � 5 4 ^ � � 5 4 ^ [ � 5 4 ^

4 � 5 4 ^ / � 5 4 ^

Tabel 3.5: Pelabelan ��D pada sisi antar titik pusat / 2�$0$� 20$1$� 21$�$� 2�$�$� � �� 5 \ � � � ] 5 \ � � � �_ 4 \ � � � �� 5 \ � � [ � �_ 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �5 4 \ � � � �� 5 \ � � [ � �5 5 \ � � � �[ 5 \ � � � �4 4 \ � � � �] 5 \ � � [ � �4 5 \ � � � �� 5 \ � � � �� 4 \ � � � �^ 5 \ � � [ [ �] 5 \ [ � � �� 5 \ [ � � �� 4 \ [ � � �[ 5 \ [ � [ 4 [� 5 \ 4 � � �] 5 \ 4 � � [_ 4 \ 4 � � [� 5 \ 4 � [ / 5/ � � 5/ � � 5/ � � 5/ � [

Page 84: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

69��

Tabel 3.6: Pelabelan ��D pada titik rambut / 2�>� 20>� 21>� 2�>� � �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � � �4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 4 � �[ 5 \ � � ^

�� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � � �] 5 \ � � �

�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5

�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4

� �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^

�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � �

�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5

�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4

� �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �] 5 \ � � ^

�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �[ 5 \ � � �

�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �_ 5 \ � � 5

�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4 �5 5 \ � � 4

[ �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �] 5 \ � � ^ �^ 5 \ [ � ^

�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �[ 5 \ � � � �� 5 \ [ � �

�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �_ 5 \ � � 5 �5 5 \ [ � 5

�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4 �5 5 \ � � 4 �4 5 \ [ � 4

4 �[ 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �� 5 \ � � ^ �] 5 \ � � ^ �^ 5 \ [ � ^ [[ 5 \ 4 � ^

�� 5 \ � � � �] 5 \ � � � �^ 5 \ � � � �[ 5 \ � � � �� 5 \ [ � � [� 5 \ 4 � �

�4 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �� 5 \ � � 5 �_ 5 \ � � 5 �5 5 \ [ � 5 [4 5 \ 4 � 5

�� 5 \ � � 4 �� 5 \ � � 4 �_ 5 \ � � 4 �5 5 \ � � 4 �4 5 \ [ � 4 [� 5 \ 4 � 4

/ 5, � ^ 5, � � 5, � 5 5, � 4

Tabel 3.7: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut / 2�$�>� 20$0>� 21$1>� 2�$�>� 1 [ 5 \ � � 4� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ � 2 �� 5 \ � � [� @ 5 \ �

[ 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �

] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

�_ 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �

3 �� 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � [� @ 5 \ � [ 5 \ � � [� @ 5 \ �

�_ 5 \ � � �� @ 5 \ � �� 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �

�^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

�5 5 \ � � �� @ 5 \ � �_ 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �

4 �] 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � [� @ 5 \ � �� 5 \ � � [� @ 5 \ � [ 5 \ � � [� @ 5 \ �

�5 5 \ � � �� @ 5 \ � �_ 5 \ � � �� @ 5 \ � �� 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �

�[ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � �^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ �

�4 5 \ � � �� @ 5 \ � �5 5 \ � � �� @ 5 \ � �_ 5 \ � � �� @ 5 \ � � 5 \ � � �� @ 5 \ �

5 �^ 5 \ [ � [� @ 5 \ � �] 5 \ [ � [� @ 5 \ � �� 5 \ [ � [� @ 5 \ � �� 5 \ [ � [� @ 5 \ � [ 5 \ [ � [� @ 5 \ [

�4 5 \ [ � �� @ 5 \ � �5 5 \ [ � �� @ 5 \ � �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ � �� 5 \ [ � �� @ 5 \ � � 5 \ [ � �� @ 5 \ [

�� 5 \ 4 � �� @ 5 \ � �[ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � �^ 5 \ 4 � �� @ 5 \ � ] 5 \ 4 � �� @ 5 \ � � 5 \ 4 � �� @ 5 \ [

�� 5 \ [ � �� @ 5 \ � �4 5 \ [ � �� @ 5 \ � �5 5 \ [ � �� @ 5 \ � �_ 5 \ [ � �� @ 5 \ � � 5 \ [ � �� @ 5 \ [

/ 5/ � [� @ 5, 5/ � �� @ 5, 5/ � �� @ 5, 5/ � �� @ 5,

Berdasarkan hasil beberapa pelabelan graf Hairy Cycle diatas, maka dapat

dibuat generalisasi dalam bentuk teorema sebagai berikut:

Teorema 3.2:

Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut bilangan asli adalah total sisi ajaib.

Page 85: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

70��

Bukti:

Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph � dengan order ' dan ukuran (

adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …, ' � (}

sedemikian hingga untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� �

2J� Q, dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan teorema 3.2 perlu

ditunjukkan bahwa :

i) � adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,

…, ' � (}

ii) Untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� � 2J� Q

Misal:

��� �$� ��� ��� � �*� �0$� 0�� 0�� � 0*� �1$� 1�� 1�� � 1*� ��$� ��� ��� � �*�

yang dikelompokkan sebagai berikut:

���� �$� ��� ��� ��� � �*�

���� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*�

���� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�

���� ��$� ��� ��� ��� � �*�

Dimana:

�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����

0$: titik pusat ���� 0�� 0�� 0�� � 0*: titik ujung ����

1$: titik pusat ���� 1�� 1�� 1�� � 1*: titik ujung ����

�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����

Sedangkan �$� 0$� 1$ dan �$ saling terhubung.

�� �$��� �$��� � �$�*� �$0$� 0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$� 1$1�� 1$1�� �

Page 86: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

71��

1$1*� 1$�$� �$��� �$��� � �$�*� �$�$�

Yang dikelompokkan sebagai berikut:

��� �$��� �$��� � �$�*� �$0$�

��� �0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$�

��� �1$1�� 1$1�� � 1$1*� 1$�$�

��� ��$��� �$��� � �$�*� �$�$�

Jadi order dan ukuran di ��D dengan m rambut adalah:

'�� �/ � ��� 8ab�(�� �/ � ��.

Maka ' � ( �/ � �� � �/ � ��

5/ � ��

Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut dapat digambar sebagai berikut:

0d

0c0b

0a

1a

ma

4a

3a2a

1b

2b

3b4b mb 1c

3c2c

4c

mc

1d

4d3d

2d

md Gambar 3.17: Graf ��D Dengan / Rambut

Dengan pola pelabelan sebagai berikut:

7

68

3

33 +n

3)12( ++ nm

39 +n

37 +n35 +n

13 −n

15 −n

17 −n

19 −n1)12( −+ nm 43 +n

47 +n45 +n

49 +n

4)12( ++ nm

23 +n

29 +n

27 +n

25 +n

2)12( ++ nm Gambar 3.18: Pelabelan Graf ��D Dengan / Rambut

Page 87: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

72��

Pelabelan total sisi ajaib didefinisikan sebagai fungsi 2 dari ��� O ��

ke ������� � ' � (!, maka dihasilkan pola pelabelan sebagai berikut:

a. 2�$� Z �

b. 2�>� Z 5, � ^ untuk , ������ �/

c. 2�$�>� Z 5/ � [� @ 5, untuk , ������ �/

d. 2�$0$� Z 5/ � � untuk , ������ �/

e. 20$� Z 5

f. 20>� Z 5, � � untuk , ������ �/

g. 20$0>� Z 5/ � �� @ 5, untuk , ������ �/

h. 20$1$� Z 5/ � � untuk , ������ �/

i. 21$� Z 4

j. 21>� Z 5, � 5 untuk , ������ �/

k. 21$1>� Z 5/ � �� @ 5, untuk , ������ �/

l. 21$�$� Z 5/ � � untuk , ������ �/

m. 2�$� Z ^

n. 2�>� Z 5, � 4 untuk , ������ �/

o. 2��>� Z 5/ � �� @ 5, untuk , ������ �/

p. 2�$�$� Z 5/ � [ untuk , ������ �/

Maka:

i) Akan ditunjukkan bahwa � adalah fungsi bijektif 2 dari ��� O �� ke

himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, ' � (}.

1) � adalah fungsi injektif

Page 88: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

73��

Untuk titik di �, ambil �> dan �- titik di � dengan 2�>� 2�-�. Akan

dibuktikan , . sedemikian hingga �> �-.

a. Untuk � c , c �, dan � c . c �.

Karena 2I>� 2I-� maka I> I- , jadi , .

b. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 2�>� 2�-� maka:

5�, � ^ 5�. � ^

5, 5.

jadi , ..

c. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 20>� 20-� maka:

5�, � � 5�. � �

5, 5.

jadi , ..

d. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 21>� 21-� maka:

�5�, � � 5��. � �

5, 5.

jadi , ..

e. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 2�>� 2�-� maka:

5�, � � 5�. � �

5, 5.

Page 89: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

74��

jadi , ..

Untuk sisi di �, Ambil 6$6> dan 6$6- sisi di � dengan 26$6>�

26$6-�. Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 6$6> 6$6- .

a. Untuk � c , c /, dan � c . c /.

Karena 2�$�>� 2�$�-� maka:

5/ � [ @ 5, 5/ � [ @ 5.

@5, @5.

jadi , ..

b. Untuk � c , c /, dan � c . c /

Karena 20$0>� 20$0>� maka:

5/ � � @ 5, 5/ � � @ 5.

@5, @5.

jadi �, ..

c. Untuk � c , c /, dan � c . c /

Karena 21$1>� 21$1>� maka:

5/ � � @ 5, 5/ � � @ 5.

@5, @5.

jadi , ..

d. Untuk � c , c /, dan � c . c /

Karena 2�$�>� 2�$�>� maka:

5/ � � @ 5, 5/ � � @ 5.

@5, @5.

jadi , ..

Page 90: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

75��

Jadi 2 merupakan fungsi injektif dari ��� O �� ke ������� � ' � (!

2) � adalah fungsi surjektif

Akan ditunjukkan bahwa ��� O �� dipetakan ke ������� � ' � (!.

Menurut definisi pelabelan bahwa untuk setiap elemen di ��� akan

dipetakan pada bilangan asli sebanyak ' dan setiap elemen di �� akan

dipetakan pada bilangan asli sebanyak (, maka banyaknya prapeta dan peta

adalah sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa � c 2�� c ' � ( dan

� c 2 � c ' � (. Artinya ��� O �� dipetakan ke ��� �� �� � ' � (!.

Karena P��� O ��P P��� �� �� � ' � (!P dan karena 2�� adalah

injektif maka sudah pasti 2�� adalah surjektif.

Karena 2�� injektif juga sekaligus surjektif, maka 2�� bijektif.

ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku:

2I� � 2IJ� � 2J� Q

a. Untuk sisi �$�> di � diperoleh:

2�$� � 2�$�>� � 2�>� � � 5/ � [� @ 5, � 5, � ^� 5/ � �[

b. Untuk sisi 0$0> di � diperoleh:

20$� � 20$0>� � 20>� 5 � 5/ � �� @ 5, � 5, � �� 5/ � �[

c. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:

21$� � 21$1>� � 21>� 4 � 5/ � �� @ 5, � 5, � 5� 5/ � �[

d. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:

21$� � 21$1>� � 21>� ^ � 5/ � �� @ 5, � 5, � 4� 5/ � �[

e. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � 5/ � �� � 5 5/ � �[

Page 91: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

76��

f. Untuk sisi 0$1$ di � diperoleh:

20$� � 20$1$� � 21$� 5 � 5/ � �� � 4 5/ � �[

g. Untuk sisi 1$�$ di � diperoleh:

21$� � 21$�$� � 2�$� 4 � 5/ � �� � ^ 5/ � �[

h. Untuk sisi �$�$ di � diperoleh:

2�$� � 2�$�$� � 2�$� ^ � 5/ � [� � � 5/ � �[

Jadi graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah total sisi ajaib dengan

bilangan ajaib: Q 5/ � ��

3.3 Graf Hairy Cycle WeD Dengan Y Rambut

Bentuk graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah sebagai berikut:

1e

1c

1b

0d0e

0c0b

1d

0a

1a

ma

4a

3a

2a

2b 3b4b

mb

3c

2c

4c

mc

md4d

3d2d

me

4e3e

2e Gambar 3.19: Graf ��D dengan / Rambut

a. Pelabelan ��D dengan 1 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

1

16

15

14

13

12 11

10

9 8

7

6

5

4

3

2

20

19 18

17

Gambar 3.20: Pelabelan Graf ��D dengan 1 Rambut

Page 92: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

77��

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 1 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2�$� Z [ 2)$� Z �

2��� Z �_ [ \ � � [

20�� Z 4 [ \ � � �

21�� Z ^ [ \ � � �

2��� Z 5 [ \ � � �

2)�� Z ] [ \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �

2�$0$� Z �] �_ \ � � ]

20$1$� Z �5 �_ \ � � 5

21$�$� Z �^ �_ \ � � ^

2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4

2)$�$� Z �_ �_ \ � � �_

Bukti bahwa ��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��

Page 93: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

78��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 ��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] ��

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � ��

20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��

21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ ��

2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � ��

2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_ � � ��

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi

��D dengan 1 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

b. Pelabelan ��D dengan 2 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

1

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2 20

19

18

1721

30

29 28

27

26

25

24

23

22

Gambar 3.21: Pelabelan Graf ��D dengan 2 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 2 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2�$� Z [ 2)$� Z �

Page 94: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

79��

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

20�� Z 4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

21�� Z ^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

2��� Z 5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2)�� Z ] [ \ � � �

2)�� Z �� [ \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �

2�$0$� Z �] �_ \ � � ]

20$1$� Z �5 �_ \ � � 5

Page 95: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

80��

21$�$� Z �^ �_ \ � � ^

2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4

2)$�$� Z �_ �_ \ � � �_

Bukti bahwa ��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� ��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] ��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� ��

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � ��

20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��

21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ ��

2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � ��

2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_ � � ��

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi

��D dengan 2 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

c. Pelabelan ��D dengan 3 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

Page 96: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

81��

1

16

15

14 13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

20

19

18

17

21

30

29

28

27 26

25

24

23

22

40

39 38

37

36

35

34

33

32 31

Gambar 3.22: Pelabelan Graf ��D dengan 3 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 3 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2�$� Z [ 2)$� Z �

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

2��� Z �_ [ \ � � [

20�� Z 4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

20�� Z �4 [ \ � � �

21�� Z ^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

21�� Z �^ [ \ � � �

2��� Z 5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2��� Z �5 [ \ � � �

Page 97: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

82��

2)�� Z ] [ \ � � �

2)�� Z �� [ \ � � �

2)�� Z �] [ \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �

2�$0$� Z �] �_ \ � � ]

20$1$� Z �5 �_ \ � � 5

21$�$� Z �^ �_ \ � � ^

2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4

Page 98: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

83��

2)$�$� Z �_ �_ \ � � �_

Bukti bahwa ��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ ��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� ��

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� ��

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 ��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] ��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� ��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] ��

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � ��

20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � ��

21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ ��

2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � ��

2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_ � � ��

Page 99: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

84��

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ��. Jadi

��D dengan 3 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

d. Pelabelan ��D dengan 4 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

1

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

20

19

18

17

21

30

2928

27

26

25

24

23

22

40

39

38

3736

35

34

33

32

31

50

49 48

47

46

45

44

43

42

41

Gambar 3.23: Pelabelan Graf ��D dengan 4 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 4 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2�$� Z [ 2)$� Z �

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

20�� Z 4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

20�� Z �4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

Page 100: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

85��

21�� Z ^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

21�� Z �^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

2��� Z 5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2��� Z �5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2)�� Z ] [ \ � � �

2)�� Z �� [ \ � � �

2)�� Z �] [ \ � � �

2)�� Z �� [ \ � � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ � � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �] �_ \ � � ]� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �

Page 101: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

86��

21$1�� Z �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ � � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ � � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �

2�$0$� Z �] �_ \ � � ]

20$1$� Z �5 �_ \ � � 5

21$�$� Z �^ �_ \ � � ^

2�$)$� Z �4 �_ \ � � 4

2)$�$� Z [_ �_ \ � � �_

Bukti bahwa ��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ [�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ [�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ [�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ [�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � 4 [�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� [�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 [�

Page 102: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

87��

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� [�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � ^ [�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� [�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ [�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� [�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � 5 [�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� [�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 [�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� [�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � ] [�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� [�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] [�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� [�

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �] � � [�

20$� � 20$1$� � 21$� � � �5 � � [�

21$� � 21$�$� � 2�$� � � �^ � [ [�

2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �4 � � [�

2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � [_ � � [�

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q [�. Jadi

��D dengan 4 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

e. Pelabelan ��D dengan 5 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

Page 103: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

88��

1

16

15

14

13

12

11

10

9

8

76

5

4

3

220

19 18

17

21

30

29

28

27

26

25

24

23

2240

39

38

37

36

35

3433

32

31

50

49

48

4746

45

44

43

4241

60

59 58

57

56

55

54

53

52

51

Gambar 3.24: Pelabelan Graf ��D dengan 5 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 5 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2�$� Z [ 2)$� Z �

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

2��� Z �_ [ \ [ � [

20�� Z 4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

20�� Z �4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

20�� Z �4 [ \ [ � �

21�� Z ^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

Page 104: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

89��

21�� Z �^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

21�� Z �^ [ \ [ � �

2��� Z 5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2��� Z �5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2��� Z �5 [ \ [ � �

2)�� Z ] [ \ � � �

2)�� Z �� [ \ � � �

2)�� Z �] [ \ � � �

2)�� Z �� [ \ � � �

2)�� Z �] [ \ [ � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z [� �_ \ [ � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ [ � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ [ � 5� @ [ \ [

20$0�� Z [� �_ \ [ � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �] �_ \ [ � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ [ � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �] �_ \ [ � ]� @ [ \ �

Page 105: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

90��

20$0�� Z �� �_ \ [ � ]� @ [ \ [

21$1�� Z [[ �_ \ [ � �_� @ [ \ �

21$1�� Z [_ �_ \ [ � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �_ �_ \ [ � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ [

2�$��� Z [� �_ \ [ � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ [

2)$)�� Z [� �_ \ [ � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �^ �_ \ [ � 4� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ �

2)$)�� Z �^ �_ \ [ � 4� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ [ � 4� @ [ \ [

2�$0$� Z [] �_ \ [ � ]

20$1$� Z [5 �_ \ [ � 5

21$�$� Z [^ �_ \ [ � ^

2�$)$� Z [4 �_ \ [ � 4

2)$�$� Z 4_ �_ \ [ � �_

Bukti bahwa ��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [� � �_ 4�

Page 106: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

91��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ 4�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ 4�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ 4�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ 4�

20$� � 20$0�� � 20�� � � [� � 4 4�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� 4�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 4�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� 4�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � [[ � ^ 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � [_ � �� 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �_ � �� 4�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � [� � 5 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� 4�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 4�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � [� � ] 4�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� 4�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] 4�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� 4�

Page 107: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

92��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] 4�

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � [] � � 4�

20$� � 20$1$� � 21$� � � [5 � � 4�

21$� � 21$�$� � 2�$� � � [^ � [ 4�

2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � [4 � � 4�

2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � 4_ � � 4�

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q 4�. Jadi

��D dengan 5 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

f. Graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut dapat digambarkan sebagai berikut:

1

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

220

19

18

17

21

30

29

28

27

26

25

24

23

22

40

39

38

37

36

35

34

33

32

31

50

49

48

4746

45

44

43

42

41

60

59

58

57

56

55

54

53

52

51

62

61

68

67

66

65

64

63

69

70

Gambar 3.25: Pelabelan Graf ��D dengan 6 Rambut

Berdasarkan pelabelan tersebut, jika 2 fungsi pelabelan total sisi

ajaib pada graf Hairy Cycle ��D dengan 6 rambut maka diperoleh:

Untuk indeks titik diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$� Z � 20$� Z � 21$� Z �

2�$� Z [ 2)$� Z �

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

Page 108: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

93��

2��� Z �_ [ \ � � [

2��� Z �[ [ \ � � [

2��� Z �_ [ \ [ � [

2�"� Z �[ [ \ 4 � [

20�� Z 4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

20�� Z �4 [ \ � � �

20�� Z �� [ \ � � �

20�� Z �4 [ \ [ � �

20"� Z �� [ \ 4 � �

21�� Z ^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

21�� Z �^ [ \ � � �

21�� Z �� [ \ � � �

21�� Z �^ [ \ [ � �

21"� Z �� [ \ 4 � �

2��� Z 5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2��� Z �5 [ \ � � �

2��� Z �� [ \ � � �

2��� Z �5 [ \ [ � �

2�"� Z �� [ \ 4 � �

2)�� Z ] [ \ � � �

Page 109: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

94��

2)�� Z �� [ \ � � �

2)�� Z �] [ \ � � �

2)�� Z �� [ \ � � �

2)�� Z �] [ \ [ � �

2)"� Z �� [ \ 4 � �

Untuk indeks sisi diperoleh hubungan sebagai berikut:

2�$��� Z 4� �_ \ 4 � 5� @ [ \ �

2�$��� Z [5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ �

2�$��� Z [� �_ \ 4 � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ 4 � 5� @ [ \ [

2�$�"� Z �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ 4

20$0�� Z 4� �_ \ 4 � ]� @ [ \ �

20$0�� Z [] �_ \ 4 � ]� @ [ \ �

20$0�� Z [� �_ \ 4 � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ �

20$0�� Z �� �_ \ 4 � ]� @ [ \ [

20$0"� Z �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ 4

21$1�� Z 4[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �

21$1�� Z 4_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �

21$1�� Z [[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �

21$1�� Z [_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ �

21$1�� Z �[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ [

Page 110: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

95��

21$1"� Z �_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ 4

2�$��� Z 4� �_ \ 4 � 4� @ [ \ �

2�$��� Z [4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ �

2�$��� Z [� �_ \ 4 � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ �

2�$��� Z �� �_ \ 4 � 4� @ [ \ [

2�$�"� Z �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ 4

2)$)�� Z 4� �_ \ 4 � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z [^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z [� �_ \ 4 � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ �

2)$)�� Z �� �_ \ 4 � ^� @ [ \ [

2)$)"� Z �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ 4

2�$0$� Z 4] �_ \ 4 � ]

20$1$� Z 45 �_ \ 4 � 5

21$�$� Z 4^ �_ \ 4 � ^

2�$)$� Z 44 �_ \ 4 � 4

2)$�$� Z ^_ �_ \ 4 � �_

Bukti bahwa ��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib:

2�$� � 2�$��� � 2��� � � 4� � �_ ^�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [5 � �[ ^�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � [� � �_ ^�

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �5 � �[ ^�

Page 111: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

96��

2�$� � 2�$��� � 2��� � � �� � �_ ^�

2�$� � 2�$�"� � 2�"� � � �5 � �[ ^�

20$� � 20$0�� � 20�� � � 4� � 4 ^�

20$� � 20$0�� � 20�� � � [] � �� ^�

20$� � 20$0�� � 20�� � � [� � �4 ^�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �] � �� ^�

20$� � 20$0�� � 20�� � � �� � �4 ^�

20$� � 20$0"� � 20"� � � �] � �� ^�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � 4[ � ^ ^�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � 4_ � �� ^�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � [[ � �^ ^�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � [_ � �� ^�

21$� � 21$1�� �� 21�� � � �[ � �^ ^�

21$� � 21$1"� �� 21"� � � �_ � �� ^�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � 4� � 5 ^�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � [4 � �� ^�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � [� � �5 ^�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �4 � �� ^�

2�$� � 2�$��� �� 2��� [ � �� � �5 ^�

2�$� � 2�$�"� �� 2�"� [ � �4 � �� ^�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � 4� � ] ^�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � [^ � �� ^�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � [� � �] ^�

Page 112: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

97��

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �^ � �� ^�

2)$� � 2)$)�� �� 2)�� � � �� � �] ^�

2)$� � 2)$)"� �� 2)"� � � �^ � �� ^�

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � 4] � � ^�

20$� � 20$1$� � 21$� � � 45 � � ^�

21$� � 21$�$� � 2�$� � � 4^ � [ ^�

2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � 44 � � ^�

2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � ^_ � � ^�

Hasil penjumlahan diatas menghasilkan bilangan ajaib Q ^�. Jadi

��D dengan 6 rambut adalah pelabelan total sisi ajaib.

Untuk lebih jelasnya, pola pelabelan pada graf Hairy Cycle ��D dapat

dilihat dalam tabel berikut:

Tabel 3.8: Pelabelan ��D pada titik pusat / 2�$� 20$� 21$� 2�$� 2)$� � � � � [ � � � � � [ � � � � � [ � � � � � [ � [ � � � [ � 4 � � � [ � / � � � [ �

Tabel 3.9: Pelabelan ��D pada sisi antar titik pusat / 2�$0$� 20$1$� 21$�$� 2�$)$� 2)$�$� � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 �_ �_ \ � � �_ � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 �_ �_ \ � � �_ � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 �_ �_ \ � � �_ � �] �_ \ � � ] �5 �_ \ � � 5 �^ �_ \ � � ^ �4 �_ \ � � 4 [_ �_ \ � � �_ [ [] �_ \ [ � ] [5 �_ \ � � 5 [^ �_ \ � � ^ [4 �_ \ � � 4 4_ �_ \ � � �_ 4 4] �_ \ 4 � ] 45 �_ \ � � 5 4^ �_ \ � � ^ 44 �_ \ � � 4 ^_ �_ \ � � �_ / �_/ � ] �_/ � 5 �_/ � ^ �_/ � 4 �_/ � �_

Page 113: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

98��

Tabel 3.10: Pelabelan ��D pada titik rambut / 2�>� 20>� 21>� 2�>� 2)>� � �_ [ \ � � [ 4 [ \ � � � ^ [ \ � � � 5 [ \ � � � ] [ \ � � � � �_ [ \ � � [

�[ [ \ � � [ 4 [ \ � � � �� [ \ � � �

^ [ \ � � � �� [ \ � � �

5 [ \ � � � �� [ \ � � �

] [ \ � � � �� [ \ � � �

� �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [

4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � �

^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � �

5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � �

] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � �

� �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [

4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � � �� [ \ � � �

^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � � �� [ \ � � �

5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � � �� [ \ � � �

] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � � �� [ \ � � �

[ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ [ � [

4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ [ � �

^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ [ � �

5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ [ � �

] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ [ � �

4 �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ � � [ �[ [ \ � � [ �_ [ \ [ � [ �[ [ \ 4 � [

4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ � � � �� [ \ � � � �4 [ \ [ � � �� [ \ 4 � �

^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ � � � �� [ \ � � � �^ [ \ [ � � �� [ \ 4 � �

5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ � � � �� [ \ � � � �5 [ \ [ � � �� [ \ 4 � �

] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ � � � �� [ \ � � � �] [ \ [ � � �� [ \ 4 � �

/ [, � [ [, � � [, � � [, � � [, � �

Tabel 3.11: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut / 2�$�>� 20$0>� 1 �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ � 2 �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

�5 �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ �

3 �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �5 �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � 5� @ [ \ �

�� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ �

4 �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �5 �_ \ � � 5� @ [ \ � �� �_ \ � � 5� @ [ \ � �5 �_ \ � � 5� @ [ \ �

�� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ � �� �_ \ � � ]� @ [ \ � �] �_ \ � � ]� @ [ \ �

5 [� �_ \ [ � 5� @ [ \ � �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ � �� �_ \ [ � 5� @ [ \ � �5 �_ \ [ � 5� @ [ \ � �� �_ \ [ � 5� @ [ \ [

[� �_ \ [ � ]� @ [ \ � �] �_ \ [ � ]� @ [ \ � �� �_ \ [ � ]� @ [ \ � �] �_ \ [ � ]� @ [ \ � �� �_ \ [ � ]� @ [ \ [

6 4� �_ \ 4 � 5� @ [ \ � [5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ � [� �_ \ 4 � 5� @ [ \ � �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ � �� �_ \ 4 � 5� @ [ \ [ �5 �_ \ 4 � 5� @ [ \ 4

4� �_ \ 4 � ]� @ [ \ � [] �_ \ 4 � ]� @ [ \ � [� �_ \ 4 � ]� @ [ \ � �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ � �� �_ \ 4 � ]� @ [ \ [ �] �_ \ 4 � ]� @ [ \ 4

/ �_/ � 5� @ [, �_/ � ]� @ [,

Page 114: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

99��

Tabel 3.11: Pelabelan ��D pada sisi antara titik pusat dan titik rambut (Lanjutan) 21$1>� 2�$�>� 2)$)>�

�[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �� �_ \ � � 4� @ [ \ � �� �_ \ � � ^� @ [ \ � �[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �

�� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �

�� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �

�[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ � �[ �_ \ � � �_� @ [ \ �

�� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ � �� �_ \ � � 4� @ [ \ �

�� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ � �� �_ \ � � ^� @ [ \ �

�[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ � �[ �_ \ � � �_� @ [ \ � �_ �_ \ � � �_� @ [ \ �

�� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ � �� �_ \ � � 4� @ [ \ � �4 �_ \ � � 4� @ [ \ �

�� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ � �� �_ \ � � ^� @ [ \ � �^ �_ \ � � ^� @ [ \ �

[[ �_ \ [ � �_� @ [ \ � [_ �_ \ [ � �_� @ [ \ � �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ � �_ �_ \ [ � �_� @ [ \ � �[ �_ \ [ � �_� @ [ \ [

[� �_ \ [ � 4� @ [ \ � �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ � �� �_ \ [ � 4� @ [ \ � �4 �_ \ [ � 4� @ [ \ � �� �_ \ [ � 4� @ [ \ [

[� �_ \ [ � ^� @ [ \ � �^ �_ \ [ � ^� @ [ \ � �� �_ \ [ � ^� @ [ \ � �^ �_ \ [ � ^� @ [ \ � �� �_ \ [ � ^� @ [ \ [

4[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � 4_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � [[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � [_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ � �[ �_ \ 4 � �_� @ [ \ [ �_ �_ \ 4 � �_� @ [ \ 4

4� �_ \ 4 � 4� @ [ \ � [4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ � [� �_ \ 4 � 4� @ [ \ � �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ � �� �_ \ 4 � 4� @ [ \ [ �4 �_ \ 4 � 4� @ [ \ 4

4� �_ \ 4 � ^� @ [ \ � [^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ � [� �_ \ 4 � ^� @ [ \ � �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ � �� �_ \ 4 � ^� @ [ \ [ �^ �_ \ 4 � ^� @ [ \ 4

�_/ � �_� @ [, �_/ � 4� @ [, �_/ � ^� @ [,

Berdasarkan hasil beberapa pelabelan graf Hairy Cycle diatas, maka dapat

dibuat generalisasi dalam bentuk teorema sebagai berikut:

Teorema 3.3:

Graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut bilangan asli adalah total sisi ajaib.

Bukti:

Pelabelan total sisi ajaib pada suatu graph � dengan order ' dan ukuran (

adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1,2,3, …, ' � (}

sedemikian hingga untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� �

2J� Q, dengan k konstanta. Maka untuk membuktikan teorema 3.3 perlu

ditunjukkan bahwa :

Page 115: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

100��

i) � adalah fungsi bijektif 2 dari � O ke himpunan bilangan bulat {1, 2, 3,

…, ' � (}

ii) untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku 2I� � 2IJ� � 2J� Q

Misal:

��� �$� ��� ��� � �*� �0$� 0�� 0�� � 0*� �1$� 1�� 1�� � 1*� ��$� ��� ��� �

�*� �)$� )�� )�� � )*�

yang dikelompokkan sebagai berikut:

���� �$� ��� ��� ��� � �*�

���� �0$� 0�� 0�� 0�� � 0*�

���� �1$� 1�� 1�� 1�� � 1*�

���� ��$� ��� ��� ��� � �*�

���� �)$� )�� )�� )�� � )*�

Dimana:

�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����

0$: titik pusat ���� 0�� 0�� 0�� � 0*: titik ujung ����

1$: titik pusat ���� 1�� 1�� 1�� � 1*: titik ujung ����

�$: titik pusat ���� ��� ��� ��� � �*: titik ujung ����

)$: titik pusat ���� )�� )�� )�� � )*: titik ujung ����

Sedangkan �$� 0$� 1$� �$ dan )$ saling terhubung.

�� �$��� �$��� � �$�*� �$0$� 0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$� 1$1�� 1$1�� �

1$1*� 1$�$� �$��� �$��� � �$�*� �$)$� )$)�� )$)�� � )$)*� )$�$�

Yang dikelompokkan sebagai berikut:

��� �$��� �$��� � �$�*� �$0$�

Page 116: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

101��

��� �0$0�� 0$0�� � 0$0*� 0$1$�

��� �1$1�� 1$1�� � 1$1*� 1$�$�

��� ��$��� �$��� � �$�*� �$)$�

��� �)$)�� )$)�� � )$)*� )$�$�

Jadi order dan ukuran di ��D dengan / rambut adalah:

'�� [/ � ��� 8ab�(�� [/ � ��.

Maka ' � ( [/ � �� � [/ � ��

�_/ � ��

Graf Hairy Cycle ��D dengan m rambut dapat digambar sebagai berikut:

1e

1c

1b

0d0e

0c

0b

1d

0a

1a

ma

4a

3a

2a

2b 3b4b

mb

3c

2c

4c

mc

md4d

3d2d

me

4e3e

2e Gambar 3.26: Graf ��D dengan / Rambut

Dengan pola pelabelan sebagai berikut:

11 +d

11 +b

1+n

53

2

4

11 +c

1

11 +e

1+me

14 +e

13 +e

12 +e

11 +a12 +a

13 +a

11 +−ma

1+mc14 +c

13 +c

12 +c1+md

14 +d13 +d

12 +d

12 +b

13 +b

14 +b

1+mb

Gambar 3.27: Pelabelan Graf ��D dengan / Rambut

Page 117: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

102��

Pelabelan total sisi ajaib didefinisikan sebagai fungsi 2 dari ��� O ��

ke ������� � ' � (!, maka dihasilkan pola pelabelan sebagai berikut:

a. 2�$� Z �

b. 2�>� Z [, � [ untuk , ������ �/

c. 2�$�>� Z �_/ � 5� @ [, untuk , ������ �/

d. 2�$0$� Z �_/ � ] untuk , ������ �/

e. 20$� Z �

f. 20>� Z [, � � untuk , ������ �/

g. 20$0>� Z �_/ � ]� @ [, untuk , ������ �/

h. 20$1$� Z �_/ � 5 untuk , ������ �/

i. 21$� Z �

j. 21>� Z [, � � untuk , ������ �/

k. 21$1>� Z �_/ � �_� @ [, untuk , ������ �/

l. 21$�$� Z �_/ � ^ untuk , ������ �/

m. 2�$� Z [

n. 2�>� Z [, � � untuk , ������ �/

o. 2�$�>� Z �_/ � 4� @ [, untuk , ������ �/

p. 2�$)$� Z �_/ � 4 untuk , ������ �/

q. 2)$� Z �

r. 2)>� Z [, � � untuk , ������ �/

s. 2)$)>� Z �_/ � ^� @ [, untuk , ������ �/

t. 2)$�$� Z �_/ � �_ untuk , ������ �/

Page 118: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

103��

Maka:

i) Akan ditunjukkan bahwa � adalah fungsi bijektif 2 dari ��� O �� ke

himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …, ' � (}.

a. � adalah fungsi injektif

Untuk titik di �, ambil �> dan �- titik di � dengan 2�>� 2�-�. Akan

dibuktikan , . sedemikian hingga �> �-.

a. Untuk � c , c �, dan � c . c �.

Karena 2I>� 2I-� maka I> I- , jadi , ..

b. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 2�>� 2�-� maka:

[, � [ [. � [

[, [.

jadi , ..

c. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 20>� 20-� maka:

[, � � [. � �

[, [.

jadi , ..

d. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 21>� 21-� maka:

[, � � [. � �

[, [.

jadi , ..

Page 119: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

104��

e. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 2�>� 2�-� maka:

[, � � [. � �

[, [.

jadi , ..

f. Untuk � c , c /� dan � c . c /.

Karena 2)>� 2)-� maka:

[, � � [. � �

[, [.�

jadi , ..

Untuk sisi di �, ambil 6$6> dan 6>6- sisi di � dengan 26$6>�

26$6-�. Akan dibuktikan , . sedemikian hingga 6$6> 6$6- .

a. Untuk � c , c /, dan � c . c /.

Karena 2�$�>� 2�$�-� maka:

�_/ � 5 @ [, �_/ � 5 @ [.

@[, @[.

jadi , ..

b. Untuk � c , c /, dan � c . c /

Karena 20$0>� 20$0>� maka:

�_/ � ] @ [, �_/ � ] @ [.

@[, @[.

jadi , ..

Page 120: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

105��

c. Untuk � c , c /, dan � c . c /

Karena 21$1>� 21$1>� maka:

�_/ � �_ @ [, �_/ � �_ @ [.

@[, @[.

jadi , ..

d. Untuk � c , c /, dan � c . c /

Karena 2�$�>� 2�$�>� maka:

�_/ � 4 @ [, �_/ � 4 @ [.

@[, @[.

jadi , ..

e. Untuk � c , c /, dan � c . c /

Karena 2)$)>� 2)$)>� maka:

�_/ � ^ @ [, �_/ � ^ @ [.

@[, @[.

jadi , ..

Jadi 2 merupakan fungsi injektif dari ��� O �� ke ������� � ' � (!

b. � adalah fungsi surjektif

Akan ditunjukkan bahwa ��� O �� dipetakan ke ������� � ' � (!.

Menurut definisi pelabelan bahwa untuk setiap elemen di ��� akan

dipetakan pada bilangan asli sebanyak ' dan setiap elemen di �� akan

dipetakan pada bilangan asli sebanyak (, maka banyaknya prapeta dan peta

adalah sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa � c 2�� c ' � ( dan

� c 2 � c ' � (. Artinya ��� O �� dipetakan ke ��� �� �� � ' � (!.

Page 121: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

106��

Karena P��� O ��P P��� �� �� � ' � (!P dan karena 2�� adalah injektif

maka sudah pasti 2�� adalah surjektif.

Karena 2�� injektif juga sekaligus surjektif, maka 2�� bijektif.

ii). Akan ditunjukkan bahwa untuk masing-masing sisi IJ di � berlaku:

2I� � 2IJ� � 2J� Q

a. Untuk sisi �$�> di � diperoleh:

2�$� � 2�$�>� � 2�>� � � �_/ � 5� @ [, � [, � [� �_/ � ��

b. Untuk sisi 0$0> di � diperoleh:

20$� � 20$0>� � 20>� � � �_/ � ]� @ [, � [, � �� �_/ � ��

c. Untuk sisi 1$1> di � diperoleh:

21$� � 21$1>� � 21>� � � �_/ � �_� @ [, � [, � �� �_/ � ��

d. Untuk sisi )$)> di � diperoleh:

2�$� � 2�$�>� � 2�>� [ � �_/ � 4� @ [, � [, � �� �_/ � ��

e. Untuk sisi )$)> di � diperoleh:

2)$� � 2)$)>� � 2)>� � � �_/ � ^� @ [, � [, � �� �_/ � ��

f. Untuk sisi �$0$ di � diperoleh:

2�$� � 2�$0$� � 20$� � � �_/ � ]� � � �_/ � ��

g. Untuk sisi 0$1$ di � diperoleh:

20$� � 20$1$� � 21$� � � �_/ � 5� � � �_/ � ��

h. Untuk sisi 1$�$ di � diperoleh:

21$� � 21$�$� � 2�$� � � �_/ � ^� � [ �_/ � ��

i. Untuk sisi �$)$ di � diperoleh:

2�$� � 2�$)$� � 2)$� [ � �_/ � 4� � � �_/ � ��

Page 122: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

107��

j. Untuk sisi )$�$ di � diperoleh:

2)$� � 2)$�$� � 2�$� � � �_/ � �_� � � �_/ � ��

Jadi graf Hairy Cycle ��D dengan / rambut adalah total sisi ajaib dengan

bilangan ajaib: Q �_/ � ��

Page 123: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

����

BAB IV KESIMPULAN

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa untuk

pelabelan graf Hairy Cycle ��� dengan / rambut dihasilkan salah satu pola

pelabelan sebagai berikut:

a. Untuk ��� dengan / rambut dihasilkan pola sebagai berikut:

2�$� f�$ �0$ �1$ �g 2�>� f�> �, � ���������6�h6Q�� c , c /�0> �, � ���������6�h6Q�� c , c /�1> �, � ���������6�h6Q�� c , c /�g 26$�$� f�$0$ 4/ � 40$1$ 4/ � [1$�$ 4/ � �g 26$6>� i�$�> 4/ � 4� @ �,��������6�h6Q�� c , c /0$0> 4/ � �� @ �,��������6�h6Q�� c , c /1$1> 4/ � [� @ �,��������6�h6Q�� c , c / g Sehingga dengan pola pelabelan tersebut diperoleh bilangan ajaib

Q 4/ � ].

b. Untuk ��� dengan / rambut dihasilkan pola sebagai berikut:

2�$� j�$ �0$ 51$ 4�$ ^g

2�>� j�> 5, � ^��������6�h6Q�� c , c /0> 5, � ���������6�h6Q�� c , c /1> 5, � 5��������6�h6Q�� c , c /�> 5, � 4��������6�h6Q�� c , c /g

Page 124: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

109��

26$�$� j�$0$ 5/ � �0$1$ 5/ � �1$�$ 5/ � ��$�$ 5/ � [g

26$6>� j�$�> 5/ � [� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /0$0> 5/ � �� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /1$1> 5/ � �� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /�$�> 5/ � �� @ 5,��������6�h6Q�� c , c /g Sehingga dengan pola pelabelan tersebut diperoleh bilangan ajaib

Q 5/ � �[.

c. Untuk ��� dengan / rambut dihasilkan pola sebagai berikut:

2�$� klmln�$ �0$ �1$ ��$ [)$ �

g

2�>� klmln�> 5, � ^��������6�h6Q�� c , c /0> 5, � ���������6�h6Q�� c , c /1> 5, � 5��������6�h6Q�� c , c /�> 5, � 4��������6�h6Q�� c , c /)> 5, � 4��������6�h6Q�� c , c /

g

26$�$� klmln�$0$ �_/ � ]0$1$ �_/ � 51$�$ �_/ � ^�$)$ �_/ � 4)$�$ �_/ � �_

g

26$6>� klmln�$�> �_/ � 5� @ [,��������6�h6Q�� c , c /0$0> �_/ � ]� @ [,��������6�h6Q�� c , c /1$1> �_/ � �_� @ [,��������6�h6Q�� c , c /�$�> �_/ � 4� @ [,��������6�h6Q�� c , c /�$�> �_/ � ^� @ [,��������6�h6Q�� c , c /

g

Sehingga dengan pola pelabelan tersebut diperoleh bilangan ajaib

Q �_/ � ��.

Page 125: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

110��

3.2 Saran

Dalam penelitian ini, peneliti menggunakan graf Hairy Cycle ���

dengan � �� �� ����[ dan dengan rambut yang sama pada setiap titik sikel

� sebanyak / rambut bilangan asli. Bagi peneliti lain yang ingin

mengembangkan penelitian serupa, peneliti menyarankan pada graf yang

sama namun dengan rambut tiap titik pada sikelnya berbeda, misalnya:

0a

0b

0c

1a

4a

3a

2a

ta

1b

2b3b

4b

ub

1c

3c

2c

4c

vc

Gambar 4.1: Graf ��� Dengan Rambut h� 6� ������Dimana h N 6 N �� o�h� 6� �� + �

Dengan melabeli graf tersebut, apakah graf Hairy Cycle dengan

model tersebut merupakan pelabelan total sisi ajaib? Atau lebih lanjut,

apakah graf Hairy Cycle ��� dengan jumlah rambut yang sama atau berbeda

pada setiap �-nya merupakan super sisi ajaib? Peneliti juga menyarankan

untuk penelitian graf Hairy Cycle dengan menggunakan metode pelabelan

yang berbeda.

Page 126: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

111

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN-Malang Press.

Abdussakir, dkk. 2009. TEORI GRAF: Topik Dasar Untuk Tugas Akhir dan Skripsi. Malang: UIN-Malang Press.

Al-Asqolani, Ibnu Hajar.__. Bulughul Marom min Adillatil Ahkam. Semarang: Al-Haromain.

Al-Ghozali, Imam. 1995. Mukhtashar Ihya’ Ulumuddin. Diterjemahkan oleh Zaid Husaein Al-Hamid. Jakarta: Pustaka Amani.

Arifin, Ahmad. 2000. Aljabar. Bandung: Penerbit ITB.

Barrientos, Christian. 2005. Graceful Graphs With Pendant Edges. Australian Journal of Combinatorics volume 33 Hal: 99-107. http//cims.clayton.edu (diakses pada tanggal 10 November 2010)

Barter, Robert G. and Sherbert, Donal R. 2000. Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons.

Chartrand, G and Lesniak, L. 1986. Graph and Digraph: Second Edition California: A Division Wadsworth.

Fathoni, Achmad. 2009. Pelabelan Super Sisi Ajaib Pada Graf Cartepillar. Skripsi Tidak Diterbitkan. Malang: Jurusan Matematika Fak. Saintek UIN MALIKI Malang.

Fitria, Lala. 2007. Pelabelan Super Sisi Ajaib (Super Edge Magic Labeling) Pada Graf Star p��q (n Bilangan Asli). Skripsi Tidak Diterbitkan. Malang: Jurusan Matematika Fak. Saintek UIN MALIKI Malang.

Gallian, Joseph. 2005. A Dynamic Survey of Graph Labeling. http//www.combinatories.org/survey/ds6.pdf. (diakses pada tanggal 10 November 2010)

Gafur, A. 2008. Eksentrik Digraf dari Graf Star, Graf Double Star, Graf Komplit Bipartit dan Pelebelan Konsekutif pada Graf Sikel dan Graf Bipartit Komplit.

Page 127: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

112��

http://www.infogigi.com//�(diakses pada tanggal 10 November 2010)

Limbong, A. dan Prijono, A. 2000. Matematika Diskrit. Bandung: CV Utomo.

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika

Nada, Bahrin. 2008. Pelabelan Total Sisi Ajaib (Edge Magic Total Labeling),Konstanta Ajaib Terkecil, Graf Sikel, Graf Lintasan, dan Star. Skripsi Tidak Diterbitkan. Malang: Jurusan Matematika Fak. Saintek UIN MALIKI Malang.

Lipschutz, S. dan Lipson, M.L. 2002. Seri Penyelesaian Soal Schaum: Matematika Diskrit 2 (Terjemahan). Jakarta: Salemba Teknika.

Pradhan, P dan Kumar, Ajay. 2009. Graceful Graphs from Hairy Cycles. Journal of natural & Physical Science_volume 23(1-2) Hal:79-84. http//www.gkvharidwar.org/journal (diakses pada tanggal 10 November 2010)

Wilson, R.J dan Watkins, J.J. 1990. Graph An Introductory Approach: A first

Course In Discrete Mathematics. New York: John Wiley & Sons.

Wojciechowski, Jerzy. _. Minimale Quitability of Hairy Cycles. http//citeseerx.ist.psu.edu. (diakses pada tanggal 10 November 2010)

Page 128: PELABELAN TOTAL SISI AJAIB PADA GRAF HAIRY CYCLEetheses.uin-malang.ac.id/6859/1/07610081.pdf · pelabelan total sisi ajaib pada graf hairy cycle skripsi oleh: nuril anwar hamdani

KEMENTRIAN AGAMA RI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayana No. 50 Dinoyo Malang (0341) 551343 Fax. (0341) 572533

BUKTI KONSULTASI SKRIPSI

Nama : Nuril Anwar Hamdani NIM : 07610081 Fakultas/Jurusan : Sains dan Teknologi/Matematika Judul skripsi : Pelabelan Total Sisi Ajaib Pada Graf Hairy Cycle ��� Pembimbing I : Abdussakir, M.Pd Pembimbing II :Dr. H. Ahmad Barizi, M.A

No Tanggal HAL Tanda Tangan 1 02-11-2010 Konsultasi Masalah 1. 2 15-11-2010 Konsultasi BAB III 2. 3 20-11-2010 Revisi BAB III 3. 4 28-11-2010 Revisi BAB III 4. 5 03-12-2010 ACC BAB III 5. 6 03-12-2010 Konsultasi BAB I dan II 6. 7 24-12-2010 Konsultasi Kajian Agama 7. 8 06-01-2011 Revisi BAB I dan II

Konsultasi IV 8.

9 10-01-2011 ACC BAB I dan II 9. 10 11-01-2011 ACC Kajian Agama 10. 11 11-01-2011 Konsultasi Keseluruhan 11. 12 11-01-2011 ACC Keseluruhan 12.

Malang, 11 Januari 2011 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP.19751006 200312 1 001