Muhammad Aqla

FatrianiSiti HamidahAbdul Aziz

Karim

Vektor & Matriks

6 + 9 = 8

?!

Pengenalan Vektor Penjumlahan & Penggandaan Vektor Vektor dalam geometrik Vektor sebagai landasan ruang Norma Vektor

Pengenalan suatu Matriks Penjumlahan & penggandaan matriks Putaran suatu matriks Teras suatu matriks Matriks sekatan Determinan suatu matriks Pangkat suatu matriks Kebalikan suatu matrks Vektor Jawab

SAJIAN MATERI

Vektor

Matriks

MATEMATIKA II

1. Vektor

2. Matriks

3. Determinan Suatu Matriks

4. Pangkat Suatu Matriks

5. Kebalikan Suatu Matriks

6. Vektor Jawab

Susunan bilangan atau bilangan yang disusun ke dalam bentuk baris atau bentuk lajur

5

8

2

v12v11 v13

v11

v21

v31

Bentuk susunan

Vektor Baris

Vektor Lajur

Notasi VektorVektor baris

Vektor lajur

v’ = (v11 v12 v13 )

vl =

v = (v11 v12 v13 )1 x 3

v =3 x 1

v11

v21

v31

v11

v21

v31

vb = ( v11 v12 v13 )

v = v11

v21

v31

Penjumlahan

Tambah

Kurang

Penggandaan

Kali

Bagi

Pengolahan Vektor

1. Penjumlahan 2 buah vektor

Syarat penjumlahan :

v1 + v2 = v3

p x q r x s p x q

p = r & q = s

Jumlah baris vektor penjumlah samadengan

jumlah baris vektor dijumlah

Jumlah lajur vektor penjumlah samadengan

jumlah lajur vektor dijumlah

CL V01 SL V1-01

a = ( 5 u 2 )1 x 3

b = ( 1 8 5 )1 x 3

Bila diketahui masing-masing vektor sbb :

c 3 x 1

= 353

d 3 x 1

= 041

1. Tentukan penjumlahan dari :a. Vektor baris : (a + b) dan (a – b)b. Vektor lajur : (c + d) dan (c – d)

Penyelesaian 1 :

a + b = ( 5 u 2 ) + ( 1 8 5 ) = ( 6 u+8 7)(1 x 3)

a – b = ( 5 u 2 ) − ( 1 8 5 ) = ( 4 u-8 -3)(1 x 3)

a. Penjumlahan vektor baris

b. Penjumlahan vektor lajur

353

c + d =3 x 1

041

+ = 394

353

c − d =3 x 1

041

+ = 312

2. Tentukan pula penjumlahan dari :

a. (c + a) dan b. (d + b)

CL V01 SL V1-01

a = ( 5 u 2 )1 x 3

b = ( 1 8 5 )1 x 3

Bila diketahui masing-masing vektor sbb :

c 3 x 1

= 353

d 3 x 1

= 041

Penyelesaian 2 :

a. Penjumlahan dari vektor lajur & vektor baris :(c + a) =

3 x 1

353

( 5 u 2 )1 x 3

Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor a ≠ jumlah

baris vektor c Jumlah lajur vektor a ≠ jumlah

lajur vektor c

b. Penjumlahan dari vektor baris & vektor lajur :(b - d) = ( 1 8 5 )

1 x 3

3 x 1

041

Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor d ≠ jumlah

baris vektor b Jumlah lajur vektor d ≠ jumlah

lajur vektor b

2. Penggandaan 2 buah vektor

Syarat umum penggandaan :

vektor 1 x vektor 2(baris 1 x lajur1) (baris 2 x lajur2)

* vektor baris x vektor lajur = skalar

* vektor lajur x vektor baris = st matriks

Hasil penggandaan :

Matriks segi Matriks tak segi

sama jumlahnya

Syarat penggandaan

a x b = s 1 x q r x 1 1 x 1

skalar

(r = q)

Jumlah lajur vektor pengganda samadengan

jumlah baris vektor diganda

Hasil penggandaan : “skalar”

a 1 x q = (a11 a12 a13 ….. a1q)

b =r x 1

= ( a11.b11 + a12.b21 + a13 .b31 + ….. + a1q.br1)

= ( s11 + s11 + ….. + s11)

b11

b21

b31.

.

.

br1 a x b(1 x 1)

r = q

CARA PENGGANDAAN

CL V02A SL V02A

SKALAR

a 1 x 3

= ( 5 u 2 )

c 1 x 2

= (2 3)

1. Tentukan penggandaan vektor-vektor :

a. (a x b) b. (c x b)

Bila diketahui b =3x 1

041

= (5 x 0) + (u x 4) + (2 x 1)

= 4u +2

= ( 5 u 2 )x 041

a 1 x 3

b 3 x 1

a.

b. = ( 2 3 )c 1 x 2

x b 3 x 1

041

Tidak dapat dilakukan karena : Jumlah baris vektor b ≠ jumlah lajur

vektor c

Penyelesaian 1 :

Syarat penggandaan Jumlah lajur vektor pengganda

samadenganjumlah baris vektor diganda

matriks b x a = M r x 1 1 x q r x q

Hasil penggandaan : suatu “matriks”

b x a = r x 1 1 x q

b11

b21

b31.

.

.

br1

( a11 a12 a13 ….. a1q)

b11.a11 b11.a12 b11.a13 …. b11.a1q

b21.a11 b21.a12 b21.a13 …. b21.a1q

b31.a11 b31.a12 b31.a13 …. b31.a1q . . . .

. . . .

. . . .

br1.a11 br1.a12 br1.a13 …. br1.a1q

=

CARA PENGGANDAAN

= b r x 1

b11

b21

b31.

.

.

br1

a 1 x q= ( a11 a12 a13 ….. a1q)

q = ratau

q r

Matriks segi

Matriks tak segi

HASIL PENGGANDAAN

x

CARA PENGGANDAANKHUSUS

m11 m12 m13 …. m1r

m21 m22 m23 …. m2r

m31 m32 m33 …. m3r

. . . .

. . . .

. . . .

mr1 mr2 mr3 …. mrr

b x a = (r x r)

Bila q = r

Matriks segi

m11 m12 m13 …. m1q

m21 m22 m23 …. m2q

m31 m32 m33 …. m3q

. . . .

. . . .

. . . .

mr1 mr2 mr3 …. mrq

b x a = (r x q)

Bila q r

Matriks tak segi

CL V02B SL V02B

b =3x 1

a 1 x 3= ( 5 u 2 )

c 1 x 2

= (2 3)

1. Tentukan pula penggandaan vektor-vektor :

a. (b x a) b. (b x c)

Bila diketahui 041

Penyelesaian 1 :a. b x a =

3x1 1x3

( 5 u 2 ) =041

0 0 020 4u 8 5 u 2

(3 x 3)

Matriks segi

b. b x c =3x1 1x2

041

(2 3) = 0 0 8 12 2 3

(3 x 2)

Matriks tak segi

Penggandaan skalar thd st vektor st vektor thd skalar

Mengacu pada syarat penggandaan 2 buah vektor, diperoleh :

Skalar s x vektor baris x = s(vektor baris x)

= sx11 sx12 sx13 ….. sx1l

Vektor lajur x x skalar s = (vektor lajur x)s

= x11s x21s x31s . . xb1s

“Dimensi hasil penggandaan tergantung dimensi vektornya”

CL V02C SL V02C

Diketahui bahwa :

Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l =

Skalar S = 5

2461. Tentukan penggandaan untuk :

a. (S x b) b. (b x S)

Penyelesaian 1 :

a. S x b = 1x1 1x3

5 X (1 3 5)= (5 15 25)

b. b x S = 1x3 1x1

(1 3 5) x 5 = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris pada skalar s (= 1) ≠ jumlah lajur pada vektor b (= 3)

2. Tentukan penggandaan untuk :a. (S x l) b. (l x S)

CL V02C SL V02C

Diketahui bahwa :

Vektor baris b = (1 3 5) Vektor lajur l =

Skalar S = 5

246

Penyelesaian 2 :

a. S x l = 1x1 3x1

246

5 X = Tidak dapat dilakukan karena jumlah baris vektor l (= 3) ≠ jumlah lajur pada skalar s (= 1)

b. l x S = 3x1 1x1

246

X 5 = 102030

Vektor dalam geometrik

• penyusunan kombinasi linier

(x,y) = penjumlahan 2 buah vekor

( x , y ) = (x , 0) + (0 , y)

( x , y ) = x (1 , 0) + y ( 0 , 1)

Y

X

P(x,y)

x

y

0

• Vektor penyusun salib sumbu

2 buah vektor sebagai Penyusun Salib-sumbu

Jadi koor. V merup. hsl penjumlahan vektor2 (5,0) dan (0,3)

(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1)

Y

X

V(5,3)

3(0,1)

5(1,0)5

3

0

Kaedah Jajaran genjang

V3 = V1 + V2

V1’ = (X2 , Y1)

V2’ = (X1 , Y2)V3 = {(X1 + X2) , (Y1 + Y2)}

V3 = (X3 , Y3)

X

Y

V1

V2

V3(x3,y3)

x3

y3

x1x2

y2

y1

0

V3 = {(X2,Y1) + (X1, Y2)}

Jadi vektor V3 diperoleh dari :

* x3 kali vektor (1,0) yg berimpit dgn sumbu X

* y3 kali vektor (0,1) yg berimpit dgn sumbu Y

Vektor (1,0) & vektor (0,1) masing2 terbobot oleh kofaktor x sebesar x3 dan kofaktor y sebesar y3

V3 = (X3 , Y3)

V2 = (2 , 4)

V1 = (5 , 1) V3 = (5 , 1) + (2 , 4) = {(5 +2) , (1 + 4)} = (7 , 5)

Pengertian bebas linier tidak hanya “tidak searah & berlawanan arah”, tapi berarti pula “tidak selalu tegak lurus”

V1 = (5 , 1)

V2 = (2 , 4)

V3

52

1

7

5

4

Pengembangan pada 3 dimensi

Vektor (x,y,z) dapat pula berupa kombinasi linier dari 3 vektor yang bebas terhadap sesamanya

(x,y,z) = x (1,0,0) + y (0,1,0) + z (0,0,1)

(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)

• Landasan penyusun salib-sumbu (SS)

(2,3,4) = 2 (1,0,0) + 3 (0,1,0) + 4 (0,0,1)

Sembarang vektor dpt dijadi-kan sbg “dasar SS” dengan ketentuan vektor2 tsb tidak searah atau berlawanan arah

Bila 2 atau lebih vektor dpt digunakan sbg “landasan pe-nyusun st SS”, maka vektor2 tsb dinyatakan sbg “bebas linier thd sesamanya”

X2

3

4

(2,3,4)

Z

Y

CL V03 SL V03

1. Koordinat titik P (5,3) dibentuk oleh vektor (5,0) dan (0,3). Bila unsur vektor (5,0) diubah menjadi (3,1) dan unsur vektor (0,3) diubah menjadi (2,2), tentukan :a.Kofaktor masing-masing vektor

yang barub.Buat ilustrasinya

Penyelesaian 1 :

a. Kofaktor masing-masing vektor

(5,3) = (5,0) + (0,3)

(5,3) = (3,1) + (2,2) (5,3) = x (3,1) + y (2,2)

(5,3) = 5(1,0) + 3(0,1).. ..

5 = 3 x + 2 y .. ..

3 = x + 2 y.. ..

3 = x + 2 y.. ..

2 = 2 x..

x = 1..

2 = 2 y ..

y = 1..

(5,3) = 1 (3,1) + 1 (2,2)

b. Ilustrasi ruang vektor (geometrik)

(5,3) = (3,1) + (2,2)5

X

X

YY P(5,3)

1(3,1)

1(2,2

)

3

. .

. .

0

CL V03 SL V03

2. Koordinat titik P terhadap salib-sumbu berupa vektor (2,6).Tentukan koordinat titik P tsb (Kx dan Ky) terhadap vektor-vektor penyusun salib-sumbu yang baru (0,1) dan (2,4).

• Landasan ruang vektor

Penyusunan 2 vektor atau lebih membentuk suatu matriks

Katakan saja ada 3 buah vektor yaitu

(1 -1 2) (0 1 3) (1 1 3)

1 -1 2

0 1 3

1 1 3

?Apakah ketiga tsb dapat digunakan sebagai landasan dalam membentuk ruang vektor

matriksMaksudnya

?

Maksudnya :Landasan : vektor yang dapat digunakan sebagai salib-sumbu

dalam membentuk ruang vektor (geometrik). Vektor yang dapat digunakan sebagai landasan, bukan merupakan vektor nol.

Tiga vektor atau lebih yang akan digunakan sebagai landasan, ada kemungkinan diantaranya merupakan vektor nol atau keseluruhannya merupakan vektor nol.

Ruang vektor dimaksud : bidang yang dibatasi 2 vektor (bidang datar; 2 dimensi), bidang yang dibatasi 3 vektor atau lebih (bidang ruang; 3 dimensi atau lebih).

Uraian lebih lanjut ditelaah dalam pengolahan matriks.

Norma Vektor

v’ = (v1 v2 v3 ….. vn)

v’v = (v1 v2 v3 .…. vn) v1

v2 v3 ..vn

= (v12 + v2

2 + v32 + …. + vn

2)

bila || v || = 1 vektor satuan

Harga norma vektor v merupakan pula panjang vektor v.

|| v || = (v12 + v2

2 + v32 + …. + vn

2) √= v’v√ norma vektor

Panjang vektor

|| v || = (v12 + v2

2)

X

Y V(V1,V2)

V1

V2

0

Sudut antara 2 vektor

x’ y

|| x || || y || cos =

cos = 0 jika x’y = 0 = 900

Jadi vektor x dan vektor y saling tegak-lurusmaka sudut yang dibentuk sebesar 900

CL V04- SL V04

Vektor-vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari absis dan ordinat.

a. sebagai absis (-1,1) dan ordinat (1,3)

b. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-1)

Ilustrasikan masing-masing pasangan absis dan ordinat di atas.

Tentukan besar sudut yang dibentuknya

c. sebagai absis (1,1) dan ordinat (-1,1)

d. sebagai absis (1,1) dan ordinat (1,-3)

a. absis (-1,1) dan ordinat (1,3)

( -1 1) 1

3

x y = = 2 = (-1)2 + (1)2√|| x ||

√ 10=

√ 2=

= (1)2 + (3)2√|| y ||

Cos α = x y

|| y |||| x ||

2

√ 2 √10=

= 0,4472..

α = 63°26’ 5”82

1

1-1

x

y390°26”5”82

Penyelesaian :

b. absis (1,1) dan ordinat (1,-1)

(1 1) 1

-1

x y = = 0

Cos α = 0 = 90°

90°

11

-1

x

y

x’ = (1 , 1) y’ = (-1 , 1)

cos = 0= 900

x’ y = (1 , 1) = 0-1

1

Y X

-1

1

1

c. absis (1,1) dan ordinat (-1,1)

x’ y = (1 , 1)

|| y || = 10

x’ = (1 , 1) y’ = (1 , -3)

= -2

x’ x = (1 , 1) = 2 || x || = 2

y’ y = (1 , -3) = 10

cos = x’ y

|| x || || y ||

1

-3

1

-3

1

1

d. absis (1,1) dan ordinat (1,-3)

cos = - 0,4472…

= 1160 33’ 54”18

=

cos = x’ y

|| x || || y ||

-2

2 10

1

1

-3 Y

X

Kedua vektor penyusun salib-sumbu terdiri dari K1 = (2,3,6) dan K2 = (3,1,4) Ilustrasikan vektor penyusun tsb Tentukan besar sudut yang dibentuknya

Penyelesaian : k’1 = (2 , 3 , 6)

k’2 = (5 , 2 , 3)k’1 k2

|| k1 || || k2 || cos =

cos =

( 2 3 6 )

(22 + 32 + 62) (52 + 22 + 32)

5

2

3

522

3

3

6

k2

k1

34

49 38

= 380 0’ 26”18

cos =

= 0,7879….