BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Gagasan penggunaan pasangan bilangan untuk

meletakkan titik-titik pada dan penggunaan tripec bilangan

untuk meletakkan titik-titik di ruang 3 mula-mula diungkapkan

secara jelas dalam pertengahan abad ke 17 menjelang akhir

abad ke 19 para ahli matematika dan ahli fisika mulai menyadari

bahwa tidak perlu diberhenti dengan tripec. Pada waktu itu

dikenal bahwa kuadrupel bilangan (a1, a2, a3, a4) dapat ditinjau

sebagai titik pada ruang ‘berdemensi’ (a1, a2, …….a5) sebagai

titik diruang 3, namun kita mungkin memperluas gagasan yang

dikenal hingga melebihi ruang 3 dengan bekerja bagi sifat

analetik atau sifat numeris titik dan vektor serta bukan bekerja

dengan sifat geometrik.

B. Tujuan

Adapun tujuan yaitu :

- Untuk mengetahui subruang pada vektor

- Mengetahui kebebasan linear pada vektor

- Mengetahui basis dan dimensi pada vektor

- Mengetahui baris dan kolom matriks, rank, penerapan

terhadap pencarian basis.

iii

BAB II

PEMBAHASAN

A. Subruang

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V dinamakan

subruang (subspace) V jika W itu sendiri adalah ruang vektor di

bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan

pada V.

Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari

sebuah ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan

hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku

1) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v terletak

di W

2) Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor

pada W, ku berada di W

Kondisi-kondisi (1) dan (2) sering kita jelaskan dengan

menyatakan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan

tertutup di bawah perkalian skalar. Bukti jika W adalah subruang

dari V, maka semua aksioma ruang vektor dipenuhi; khususnya

Aksioma 1 dan Aksioma 6 berlaku. Tetapi dalam hal ini persis

merupakan kondisi (1) dan kondisi (2).

Setiap ruang vektor pada V mempunyai paling sedikit dua

subruang. V sendiri adalah sebuah subruang, dan himpunan {0}

yang terdiri dari vektor nol saja pada V yang merupakan sebuah

subruang yang kitanamakan subruang nol (zero subspace).

Contoh :

Misalkan W sebarang bidang yang melalui titik asal dan

misalkan u serta V sebarang vektor pada W. maka u + v harus

terletak pada W karena u + v adalah diagonal jajaran genjang

yang ditentukan oleh u dan v (gambar 1) dan k u harus terletak

iii

pada W untuk sebarang skalar k karena ku terletak pada garis

yang melalui u. jadi W adalah subruang dari R3.

Contoh

Perlihatkan bahwa himpunan W dari semua matriks 2 x 2

yang mempunyai bilangan nol pada diagonal utamanya adalah

subruang dari ruang vektor M22 dari semua matriks 2 x 2

Pemecahan.

Adalah seberang dua matriks pada W dan K adalah

sebarang skalar. Maka

Oleh karena kA dan A + B mempunyai bilangan nol pada

diagonal utama, maka kA dan A + B terletak pada W. Jadi, W

adalah subruang dari M22.

Contoh

Vektor-vektor i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) dan k = (0, 0, 1)

merentang R3 karena setiap vektor (a, b, c) pada R3 dapat kita

tuliskan sebagai :

(a, b, c) = ai + bj + ck

Teorema jika v1, v2, ……….vr adalah vektor–vektor pada ruang

vektor V, maka:

(1) Himpunan W dari semua kombinasi linear v1, v2, …….vr

adalah subruang V

iii

(2) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2,

…….vr, adalah arti bahwa setiap subruang lain dari V yang

mengandung v1, v2,…….,vr harus mengandung W

Kombinasi linear vi, v2, ……..vr, maka kita dapatkan

subruang V. subruang tersebut kita namakan ruang linear

terentang oleh {v1, v2, …….vr}, atau dengan lebih sederhana

kita namakan ruang terentang oleh {v1, v2,…….vr}

Bukti

(a) Untuk memperlihatkan bahwa W adalah subruang V, kita harus

membuktikan bahwa W tertutup dibawah penambahan dan

perkalian skalar. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W,

maka

u = c1v1 + c2v2 + …………… + crvr

dimana c1, c2, …….cr, k1, k2,…………kr adalah skalar. Maka,

u + v = (c1k1)v1 + (c2 + k2)v2 + …………… + (cr+kr)vr

dan, untuk sebarang skalar k,

ku = (kc1) v1 + (kc2) v2 + ………..+ (kcr) vr

jadi u + v dan ku adalah kombinasi-kombinasi linear v1, v2,

……… vr, dan sebagai konsekuensinya maka u + v dan ku

terletak di W sehingga W tertutup di bawah penambahan dan

perkalian skalar.

(b) Setiap vektor vi adalah kombinasi-kombinasi v1, v2, ……..vr,

karenanya dapat kita tulis

vi = 0v1+0v2 + ………..+ 1vi + …………..0vr

oleh karena itu, subruang w mengandung setiap vektor v1, v2,

…….vr misalkan W1 adalah sebarang subruang lain yang

mengandung v1, v2, …….vr. karena W-1 tertutup di bawah

penambahan dan perkalian skalar, maka W-1 harus mengundang

semua kombinasi linear.

iii

c1v1 + c2v2 dari v1,v2……,vr

jadi, W1 mengandung setiap vektor W.

B. Kebebasan Linear

Ketahui bahwa ruang vektor V direntang oleh himpunan

vektor S = [v1, v2……..vr] jika setiap vektor pada V adalah

kombinasi linear, v1, v2……..vr. dengan merentang himpunan

tersebut akan berguna dalam berbagai soal, karena mungkin kita

sering menelaah ruang vektor V dengan menelaah terlebih

dahulu vektor-vektor dengan merentang himpunan S. dan

kemudian dengan memperluas hasil-hasil tersebut pada bagian

selebihnya dari V. maka, kita perlu mempertahankan

perentangan himpunan S sekecil mungkin. Permasalahan untuk

mendapatkan peretangan himpunan terkecil untuk ruang vektor

bergantung pada pengertian kita mengenai kebebasan linear.

Definisi. Jika S = {v1, v2……..vr} adalah himpunan vektor, maka

persamaan vektor.

k1v1 + k2v2 + …………..krvr = 0

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan, yakni

k1 = 0, k2 = 0, ………….kr = 0

jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan

himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada

pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak bebas

linear (linearly dependent).

Contoh :

Tinjaulah vektor-vektor i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1)

pada R3 ruas komponen persamaan vektor

Kii + 1 + k2v2 + ………..krvr = 0

Menjadi

iii

k1 = (1, 0, 0), + k2 (0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

atau secara ekivalen menjadi

(k1, k2, k3) = (0, 0, 0)

Jadi, k1 = 0, k2 = 0, k3 =0; sehingga himpunan S = (i, j, k) bebas

linear. Uraian serupa dapat digunakan untuk memperlihatkan

bahwa vektor-vektor e1 = (1, 0, 0,……..0), e2 = (0, 1, 0, …..0),

…….,cn = (0, 0, 0,……..1) membentuk himpunan bebas linear

pada Rn.

Teorema 6. Himpunan S dengan dua vektor atau lebih adalah

(a) Tak bebas linear jika dan hanya paling tidak satu diantara

vektor S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

vektor S lainnya

(b)Bebas linear jika dan hanya jika tidak ada vektor S yang

dapat dinyatakan sebagai kombinasi dalam linear dalam

vektor S lainnya .

Teorema 27

(a) Jika sebuah himpunan mengandung vektor nol, maka

himpunan itu takbebas linear

(b) Sebuah himpunan yang mempunyai persis dua vektor tak

bebas jika bebas satu dari vektor itu adalah perkalian dari

skalar lainnya.

Contoh 27.

Dalam R2 atau R3 satu vektor adalah kelipatan skalar dari vektor

lainnya jika hanya jika kedua vektor yang terletak pada garis

yang sama yang melalui titik asal ditempatkan pada titik

awalnya melalui titik asal. Jadi, berikutnya dari bagian (b) dari

teorema 7 bahwa dalam R2 dan R3 dua vektor yang berbentuk

himpunan tak bebas linear adalah jika dan hanya jika vektor itu

iii

terletak pada garis yang sama melalui titik asal yang

ditempatkan pada titik awalnya melalui titik asal itu sendiri.

Teorema 8. misalkan S = {v1, v2, ……….vr) adalah himpunan

vektor-vektor pada Rn jika r > n, maka S tak bebas linear.

Bukti.

v1 = (v11, v12, ……….v1n)

v2 = (v21, v22, ……….v2n)

vr = (vr1, vr2, ……….vrn)

tinjaulah persamaan

kiv1 + k2v2 + ………..krvr = 0

C. Basis dan Dimensi

Definisi. Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {V1,

V2,.....Vr} merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor

pada V, maka S kita namakan basis untuk V jika

(i) S bebes linear;

(ii) S merentang V

Contoh 32

Misalkan

Himpunan S = {M1, M2, M3, M4} adalah sebuah basis untuk

ruang vektor M22 dari matriks-matriks 2x2. Untuk melihat bahwa

iii

S merentang M22, perhatikan bahwa sebuah vektor khas

(matriks).

Dapat ditulis sebagai

= aM1 + bM2 + cM3 + dM4

Untuk melihat bahwa S bebas linear, anggaplah bahwa

aM1 + bM2 + cM3 + dM4 = 0

yakni

Jadi, a = b = c = d = 0 sehingga S bebas linear.

Definisi. Sebuah ruang vektor taknol V dinamakan berdimensi

berhingga (finite dimensional) jika ruang fektor tersebut

mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor

{V1,V2,...Vn} yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada

himpunan seperti itu, maka V dinamakan dimensi tak berhingga

(infinite dimensional), tambahan lagi, kita akan menganggap

ruang vektor nol sebagai ruang vektor berdimensi berhingga

walaupun ruang vektor tersebut tidak mempunyai himpunan

bebas linearm sehingga basispun tidak ada.

Teorema 9. Jika S = {V1,V2,….Vn} adalah basis untuk ruang vektor

V, maka setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak

terbebas linear

iii

Bukti. Misalkan S= {W1, W2,….Wm} adalah sebarang himpunan m

vektor pada V, dimana m>n. Kita ingin memperlihatkan bahwa S

tak bebas linear. Karena S = {V1,V2….Vn} adalah sebuah basis

maka setiap w dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

vektor-vektor S, katakanlah,

w1 = a11v1 + a21v2 +………an1vn

w1 = a12v1 + a22v2 +………an1vn

wm = a1mv1 + a2mv2 +………anmvn

Untuk memperlihatkan bahwa S tak bebas linear, maka kita

harus cari skalar-skalar K1,K2…Km, yang tidak semuanya nol,

sehingga

k1w1 + k2v2 +….………kmwm = 0

Teorema 10. Sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi

berhingga mempunyai jumlah vektor yang sama.

Bukti. Misalkan S = {V1,V2….Vn} dan S {W1, W2,….Wm} adalah dua

basis untuk sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga.

Karena S adalah sebuah basis dan S adalah himpunan basis

linear, maka teorema 9 menunjukkan bahwa mn. Demikian

juga, karena S adalah sebuah basis dan S bebas linear, kita juga

memperoleh nm. maka m=n.

Definisi. Dimensi sebuah ruangan vektor V yang berdimensi

berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis

untuk V. Tambahan lagi, kita mendefinisikan ruang vektor nol

mempunyai dimensi nol.

Contoh 37

Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari

sistem homogen.

2x1 + 2x2 - x3 + x5 = 0

iii

- x1 - x2 + 2x3 - 3x4 + x5 = 0

x1 + x2 - 2x3 - x5 = 0

x3 + x4 + x5 = 0

Pemecahan. Pada contoh

x1 = – s – 1, x2 = s, x3 = -t, x4 = 0, x5 = t,

Sehingga vektor-vektor pemecahan tersebut dapat dituliskan

sebagai

Yang memperlihatkan bahwa vektor-vektor

Teorema 11

(a)Jika S = {V1,V2….Vn} adalah sebuah himpunan n vektor bebas

linear pada sebuah ruang V yang berdimensi n, maka S

adalah sebuah basis untuk V.

(b)Jika S = {V1,V2….Vn} adalah sebuah himpunan n vektor yang

merentang ruang V yang berdimensi n, maka S adalah basis

untuk V

(c) Jika S = {V1,V2….Vr} adalah sebuah himpunan bebas linear

pada ruang V yang berdimensi n dan r < n, maka S dapat

diperbesar menjadi basis untuk V, yakni vektor-vektor

{Vr,1….Vn} sehingga {V1,V2….{Vr,Vr +1,…Vn} adalah sebuah

basis untuk V.

iii

iii

D. Ruang Baris Dan Kolom Matriks, Rank, Penerapan

Terhadap Pencarian Basis

Definisi. Tinjauan matriks m x n

Vektor-vektor

Bentuk dari baris-baris A yang kita namakan vektor-vektor baris

A, dan vektor-vektor

Terbentuk dari kolom-kolom A. Subruang Rn yang direntang oleh

vektor-vektor baris yang kita namakan ruang baris (row space) A

dan Subruang Rm yang direntang oleh vektor-vektor kolom kita

namakan ruang kolom (column space)A

Contoh

Misalkan

Vektor-vektor baris A adalah

r1 = (2,1,0) dan r1 = (3,-1,4)

Teorema berikutnya akan membantu kita mencari basis-basis

untuk ruang vektor.

Teorema 12. operasi baris elementer tidak mengubah ruang

baris sebuah matriks

iii

Jelaslah bahwa dari teorema ini bahwa sebuah matriks dan

semua bentuk eselon barisnya mempunyai ruang baris yang

sama. Akan tetapi, vektor-vektor baris taknol dari matriks

berbentuk eselon baris selalu bebas linear. Sehingga vektor-

vektor baris taknol ini membentuk basis untuk ruang baris

tersebut. Jadi, kita peroleh hasil berikut.

Teorema 13. Vektor-vektor baris taknol berbentuk eselon baris

dari matriks A membentuk basis untuk ruang baris A.

Contoh 40

Carilah sebuah basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-

vektor

v1 = (1,-2,0,0,3,), v2 = (2,-5,-3,-2,6) v3 = (0,5,15,10,0)

v4 = (2,6,18,8,6)

Pemecahan. Ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah

ruang baris dari matriks

Dengan meredekusi matriks ini menjadi bentuk eselon baris, kita

dapatkan (buktikan):

Vektor-vektor baris taknol pada matriks ini adalah

w1 = (1,-2,0,0,3), w2 = (0,1,3,2,0) w3 = (0,0,1,1,0)

iii

Vektor-vektor ini membentuk basis bagi ruang baris tersebut dan

sebagai konsekuensinya maka akan membentuk basis untuk

ruang yang direntang oleh v1, v2, v3 dan v4

Teorema 14. Jika A adalah sebarang matriks, maka ruang baris

dan ruang kolom A mempunyai dimensi yang sama.

Contoh

Mempunyai ruang kolom berdimensi dua. Jadi teorema 14

menyatakan bahwa ruang baris tersebut juga berdimensi dua.

Untuk melihat bahwa kasusnya memang demikian, maka kita

reduksi A terhadap bentuk eselon baris, yang menghasilkan

(buktikan).

Karena matriks ini mempunyai dua baris taknol, maka ruang

baris A berdimensi dua. Definisi. Dimensi ruang baris dan ruang

kolom matriks A dinamakan rank A dan ditanyakan dengan rank

(A)

Teorema

Jika A adalah matriks n x n, maka pertanyaan-pertanyaan berikut

ekivalen satu sama lain.

(a)A dapat dibalik

(b)Ax = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial

(c) A ekivalen baris dengan In

(d)Ax = b konsisten untuk tiap-tiap matriks b yang berukuran n x

1

iii

(e)Det (A) 0

(f) A mempunyai rank n

(g)Vektor-vektor baris A bebas linear

(h)Vektor-vektor kolom A bebas linear

Bukti. Kita akan perlihatkan bahwa (c), (f), (g) dan (h)

ekivalen satu sama lain membuktikan urutan implikasi (c) => (f)

=> (g) => (c). ini akan melengkapkan bukti tersebut karena kita

sudah mengetahui bahwa (c) ekivalen dengan (a), (b), (d) dan

(e).

(c) => (f) karena A ekivalen baris dengan In, dan In baris taknol,

maka ruang baris dari A berdimensi n menurut Teorema 13. jadi,

A mempunyai rank n.

(f) => (g) karena A mempunyai rank n, maka ruang baris dari A,

maka jelaslah dari teorema 11 dalam bagian 4.5 bahwa vektor-

vektor baris A bebas linear.

(g) => (h) anggaplah vektor-vektor baris A bebas linear. Jadi,

ruang baris A berdimensi n. Menurut teorema 14 maka ruang

kolom. A juga berdimensi n. karena vektor-vektor kolom A

merentang ruang kolom, maka vektor-vektor kolom A bebas

linear menurut teorema 11 pada bagian 4.5.

(h) => (c) anggapalah vektor-vektor kolom A bebas linear. Jadi,

ruang kolom A berdimensi n dan sebagai konsekuensinya, maka

menurut Teorema 14 ruang baris A berdimensi n. ini berarti

bahwa bentuk eselon baris tereduksi A mempunyai n baris

taknol, yakni bahwa semua barisnya taknol. Seperti yang

disajikan pada contoh 24 bagian 2.3 maka ini berarti bahwa

bentuk eselon baris tereduksi A adalah In. jadi, A ekivalen baris

dengan In.

iii

Teorema 16. Sebuah sistem persamaan linear Ax = b adalah

konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom A

Contoh 44.

Misalkan Ax = b adalah sistem linear

Pecahkan sistem tersebut dan gunakan hasil untuk menyatakan

b sebagai kombinasi linear dari vektor kolom A.

Pemecahan. Dengan memecahkan sistem menggunakan

eliminasi Gauss akan menghasilkan ( buktikan ):

x1 = 2 x2 = 1 x3 = 3

Jadi, dari persamaan ( 4. 16,

Teorema 18 jika Ax= b adalah sistem linear konsisten dari

m persamaan n bilangan tak diketahui dan A mempunyai rank r,

maka pemecahan sistem tersebut mengandung n-r parameter.

Jika A adalah mertiks 5x7 dengan rank 4, dan jika Ax=b

adalah sistem linear konsisten maka pemecahan tersebut

mengandung sistem 7-4=3 parameter.

iii

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan ini

adalah :

1. Subhimpunan w dari sebuah ruang vektor dinamakan

subruang (subspace) v jika w itu sendiri adalah ruang vektor

di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan

pada v

2. Kebebasan linear jika s (v1, v2, ….v5) adalah himpunan

vektor, maka persamaan vektor kiv1 + kiv2 + ……… + krvr = 0

Mempunyai paling sedikit satu pemecahan yakni :

Ki = 0, K2 = 0, Kr = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan maka, s kita namakan

himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada

pemecahan lain maka S kita namakan himpunan tak bebas

linear (linearly dependent)

3. Ke basis dan dimensi dimana jika v adalah sebarang ruang

vektor dan s = (v1, v2………vr) merupakan himpunan

sehingga dari vektor-vektor pada v maka s dinamakan basis

untuk v jika:

(i) S bebas linear

(ii) S merentang v

4. Ruang garis dan kolom matriks, rank, penerapan terhadap

pemecahan basis

Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan

rank A dan dinyatakan dengan rank (A)

iii

B. Saran

Dalam menentukan ruang-ruang dalam vektor diperlukan

ketelitian yang tinggi dan dilandaskan dengan definisi-definisi

yang telat ada, sehingga mendapatkan hasil yang maximal.

iii

DAFTAR PUSTAKA

Anton Howard, 1987. Aljabar Linear Erlementer, Edisi Ketiga Jakarta.

Erlangga.

iii