BAB IIIUKURAN TENDENSI SENTRAL

3.1. Pengantar

Ukuran tendensi sentral atau sering disebut juga ukuran lokasi merupakan suatu ukuran yang menetapkan letak titik pemusatan dimana terdapat kecenderungan bagi setiap variabel untuk mengarah kepadanya. Suatu ukuran tendensi sentral merupakan suatu bilangan tunggal yang dipergunakan untuk mewakili suatu kelompok data (Matre & Gilbreath, 1983:28). Karena kelompok-kelompok data yang berbeda-beda memiliki sifat-sifat numerical yang berlainan, maka suatu ukuran tendensi sentral dapat lebih baik dalam menggambarkan sekelompok data tertentu dari yang lain.

Berikut ini akan diuraikan tentang empat buah ukuran dasar dari tendensi sentral, yaitu rata-rata hitung, median, mode, dan rata-rata geometrik.

3.2. Rata-rata hitung (arithmetic mean)

Rata-rata hitung (atau sering disebut dengan rata-rata) merupakan suatu bilangan tunggal yang dipergunakan untuk mewakili nilai sentral dari sebuah distribusi. Dalam pemakaian sehari-hari orang awam lebih mempergunakan istilah rata-rata dari istilah rata-rata hitung. Bagi sekelompok data, rata-rata adalah nilai rata-rata dari data itu. Secara teknis dapat dikatakan bahwa rata-rata dari sekelompok variabel adalah jumlah nilai pengamatan dibagi dengan banyaknya pengamatan.

Sesuai dengan kondisi datanya, rata-rata hitung dapat dihitung dengan 4 macam cara, yaitu: 1. Untuk data yang tidak tersusun (ungrouped data) dapat dihitung dengan:

a. Metode tidak ditimbang (unweighted)

b. Metode ditimbang (weighted)

2. Untuk data yang tersusun (grouped data) dapat dihitung dengan:

a. Metode penunjang (long method)

b. Metode pendek (short cut method)

Perumusan yang lazim dipergunakan untuk menghitung nilai rata-rata adalah sebagai berikut :

Bentuk dataData yang berasal dari

PopulasiSampel

1. Tidak tersusun (ungrouped)

a. Tidak ditimbang

b. Ditimbang

2. Tersusun (grouped)

a. Metode panjang

b. Metode pendek

3.2.1. Rata-rata ditimbang Dalam perhitungan rata-rata tidak ditimbang, setiap variabel di dalam kelompok diberikan timbangan yang sama. Artinya, tidak ada perbedaan tingkat kepentingan antara masing-masing variabel. Dalam kenyataannya tidaklah demikian halnya. Misalkan keberhasilan seseorang di dalam pekerjaan tentu dipengaruhi oleh beberapa faktor seperti keterampilan, kemampuan, pengalaman kerja pada bidangnya, dan lain-lain. karenanya, angka rata-rata tidak ditimbang sangat kasar (crude) dan lemah. Untuk mengatasi hal ini setiap perhitungan angka rata-rata hendaknya disertakan faktor penimbang yang menunjukkan tingkat kepentingan dari masing-masing variabel. Dengan demikian, hasil perhitungannya dapat menjadi lebih akurat.

Contoh No. 3

Sebuah penelitian dilakukan disuatu daerah dengan mengambil 5 daerah survei mengenai hasil produksi rata-rata padi kering per HA memberikan informasi sebagai berikut : Tabel III-1

Hasil Produksi Padi Kering

5 Daerah Survei

Daerah SurveiJumlah DesaProduksi Rata-rata (Kwt/Ha)

1

2

3

4

520

30

10

5

3565,80

62,03

37,00

48,00

46,97

Jumlah100-

Carilah hasil produksi pada kering rata-rata ke-100 buah desa tersebut!

Pemecahan :

Dalam contoh ini desa merupakan faktor penimbangannya yang akan dipakai untuk menghitung rata-rata.

Daerah SurveiJumlah DesaProduksi Rata-rata (Kwt/Ha)

65,80

62,03

37,00

48,00

46,9720

30

10

5

351.316,00

1.860,90

370,00

240,00

1.643,95

= 100

. Jadi hasil produksi pada kering rata-rata untuk ke-100 buah desa tersebut adalah 54,31 Kwt/Ha.

3.2.2. Rata-rata dengan metode panjang Secara teknis pada dasarnya metode ini tidak ada bedanya dengan metode rata-rata ditimbang. Yang membedakan keduanya adalah arti notasi yang dipakai. Pada rata-rata yang ditimbang, X adalah nilai variabel. Sedangkan pada metode panjang X adalah nilai tengah dari interval kelas. Faktor penimbang pada rata-rata ditimbang adalahnilai variabel lain yang mempunyai hubungan dengan variabel yang dihitung. Sedangkan pada metode panjang faktor penimbangnya adalah frekuensi dari masing-masing interval kelas.

Contoh No. 5

Dengan mempergunakan data dalam tabel di bawah, hitunglah rata-rata waktu yang diperlukan untuk memesan tiket pesawat oleh 80 orang penumpang di loket pelayanan Blue Bird Airlines.

Tabel III-3

Waktu pesan Tiket oleh 80 Orang Penumpang pada Blue Bird Airlines

Waktu (menit)Penumpang (f)Nilai Tengah (X)(fX)

2 - < 6

6 - < 10

10 - < 14

14 - < 18

18 - < 22

22 ke atas9

15

28

21

6

1*)4

8

12

16

20

4236

120

336

336

120

42

Jumlah80-900

*) seorang penumpang memerlukan waktu 42 menit

Pemecahan :

Waktu rata-rata yang diperlukan untuk memesan tiket pesawat adalah 12,375 menit

3.2.3. Rata-rata dengan metode pendek Perhitungan rata-rata untuk data tersusun dengan metode panjang secara teknis akan lebih kompleks bila jumlah interval kelasnya besar dan frekuensi kelasnya pun besar pula. Ini disebabkan adanya perkalian langsung antara nilai tengah dengan nilai frekuensi yang bersangkutan. Guna penyederhanaan perhitungan dapat dipergunakan metode pendek sebagai gantinya. Langkah penggunaan metode pendek ini adalah sebagai berikut: 1. Ambillah sembarang nilai tengah untuk dipergunakan sebagai arbitary origin (A). arbitrary origin dapat diambil dari nilai tengah yang berada di sembarang tempat. Namun untuk penyederhanaan perhitungan biasanya dipilih nilai tengah dari salah satu interval kelas yang terletak di tengah-tengah distribusi 2. Kemudian dihitungkan simpangan (deviasi, d`) nilai tengah dari setiap interval kelas dengan arbitrary origin yang dipilih dalam suatu interval. Jadi

3. Selanjutnya kalikanlah d` tersebut dengan frekuensi masing-masing interval kelas Jadi : f x d` = fd`

Hasilnya kemudian dijumlahkan

Jadi (fd`

4. Jumlah tersebut selanjutnya dibagi dengan total frekuensi dan dikalikan interval

Jadi :

5. Untuk memperoleh angka rata-rata, hasil perhitungan di atas ditambahkan pada arbitraty origin (A)

3.3. Median

Median merupakan nilai yang membagi serangkaian nilai variabel (data) sedemikian rupa sehingga setengah dari rangkaian itu mempunyai nilai yang lebih kecil dari atau sama dengan nilai media. Sedangkan setengahnya lagi memiliki nilai yang sama dengan atau lebih besar dari nilai median. Median dapat juga disebut rata-rata karena yang menjadi dasar adalah letak variabel bukan nilainya. 3.3.1. Median untuk data tidak tersusun

3.3.1.1. Jumlah variabel

Langkah yang harus dilalui adalah :

1. Susunlah data mentah dalam sebuah array 2. Ambillah nilai variabel yang terletak ditengah sebagai nilai median

Contoh No. 10

Carilah nilai median dari kelompok nilai variabel 1, 4, 10, 8 dan 10 yang menggambarkan jumlah kilometer yang ditempuh oleh 5 orang mahasiswa.

Pemecahan :

Nilai-nilai tersebut disusun dalam bentuk array sebagai berikut:

Nomor urut Jarak Tempuh (km)

Nomor UrutJarak Tempuh (km)

1

2

3

4

51

4

8

10

10Median = 8

Nomor urut ketiga terletak di tengah-tengah, jadi Median = 8 km. median ini membagi kelompok variabel dalam 2 bagian yang sama, dimana 2 buah variabel (masing-masing no. 1 dan No. 2) terletak di bawah median, dan 2 buah yang lain (masing-masing No. 4 dan No. 5) terletak di atas median. 3.3.1.2. Jumlah variabel genap Langkah yang harus dilalui:

1. Susunlah data mentah dalam sebuah array;

2. Ambillah 2 buah nilai variabel yang terletak ditengah;

3. Jumlah kedua nilai tersebut dan bagilah dengan 2

Hasilnya merupakan angka rata-rata dan itu merupakan nilai median.

Contoh No. 11.

Carilah median dari kelompok nilai berikut (dalam rupiah) 9, 6, 2, 5, 18 dan 12.

Pemecahan

Nomor UrutJarak Tempuh (km)

1

2

3

4

5

62

5

6

9

12

18Median = Rp. 7.50

Dua buah nilai ditengah adalah Rp. 6,- dan Rp. 9,- (nomor urut 3 dan 4). Kedua angka tersebut dijumlahkan dan hasilnya dibagi 2 sehingga diperoleh median = (Rp. 6,- + Rp. 9,-) 2 + Rp 7,50.

Dari perhitungan tersebut terlihat bahwa median Rp. 7,50 membagi kelompok variabel dalam 2 bagian, dimana 3 bulan variabel berada di bawah median dengan nilai dibawah nilai median dan 3 buah variabel lainnya berada di atas median dengan nilai di atas nilai median.

3.3.2. Median untuk data tersusun Langkah perhitungan median untuk data yang tersusun dalam tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

1. Carilah setengah dari total frekuensi (N/2);

2. Jumlahkan frekuensi mulai dari interval kelas pertama dan seterusnya hingga mencapai jumlah yang mendekati N/2. jumlah ini merupakan jumlah frekuensi kumulatif dari interval kelas yang berada di bawah kelas yang berisi median (disebut; median kelas) (fLMd) fLMd ini harus lebih kecil atau sama dengan N/2.

3. Bila perhitungan fLMd telah berhenti, maka kelas yang terletak sesudah kelas terakhir dimana perhitungan fLMd dihentikan merupakan kelas yang berisi median. Batas bawah dari kelas tersebut merupakan batas bawah kelas yang berisi median (LmD) dan frekuensinya merupakan frekuensi kelas yang berisi median (fmd)4. Setelah proses (1) sampai dengan (3) selesai, maka median dapat dicari dengan rumus sebagai berikut:

Contoh No. 12

Bila data pada tabel: III-4 dalam contoh no. 6 dihitung mediannya, maka prosesnya adalah sebagai berikut :

1. Jumlah frekuensi, N = 80. Jadi N/2 = 80/2 = 40

2. fLmD = 6 + 12 + 19 = 37. Di sini fLMD = 37 < N/2 = 40 3. Dengan sendirinya fmd = 20 dan Lmd = Rp. 2.000,-

4. Dengan interval Rp. 500,-, maka median adalah

3.4. Mode Mode atau modus adalah nilai variabel (atribut) yang memiliki frekuensi tertinggi. Mode dapat dipakai terhadap data kuantitatif dan data kualitatif. 3.4.1. Mode untuk data Tidak tersusun

Contoh No. 14 Carilah mode dari kelompok nilai variabel berikut :

812171821dan25

Pemecahan : Di sini masing-masing nilai variabel hanya terdiri dari 1 (satu) frekuensi. Karenanya, disini tidak ada mode atau modenya nol.

3.4.2. Mode untuk data tersusun Untuk menentukan besarnya mode bagi data tersusun ikutilah langkah-langkah berikut ini:

1. Carilah kelas dengan frekuensi yang terbesar (fmo)

2. Tentukan batas bawah dari kelas dengan frekuensi terbesar (kelas modal) (Lmo)

3. Carilah simpangan (deviasi) antara frekuensi terbesar (fmo) dengan frekuensi kelas yang ada dibawahnya (f1) dan yang ada diatasnya (f,); d1 = fmo f1 dan d2 = fmo f2 4. Tentukan besarnya interval (i)

5. Dengan demikian, perumusan untuk menghitung mode adalah;

Mode =

Contoh No. 17

Tabel : III 9

Rasio Harga Pendapatan untuk 25 Saham Umum

RasioSaham Umum (f)

5.0 8.9

9.0 12.9

13.0 16.9

17.0 20.9

21.0 24.9

25.0 28.93

5

7

6

3

1

Carilah nilai mode dari data di atas!

Pemecahan : fmo = 7; f1 = 5: f2 = 6: Lmo = 13,0

d1 = 7 5 = 2 ; d2 = 7 6 = 1

jadi Mo = 13,0 + 4,0 = 13,0 + 2,7 = 15.73.4.3. Empirical Mode (mg)Pada umumnya bilamana distribusi sekelompok data itu tidak simetris tetapi mendekati simetris, diperkirakan median terletak pada sepertiga jarak antara rata-rata dan mode. Karenanya, bila telah diketahui besarnya nilai rata-rata dan nilai median, maka empirical mode dapat dicari dengan perumusan berikut:

Contoh No. 19

Atas dasar informasi berikut, carilah besarnya nilai empirical mode dengan perumusan di atas!

Diketahui : (a) = 75 dan Md = 70; (b) = 105 dan Md = 120;

Pemecahan : (a) MoE = 75 3 (75-70) = 75 - 15 = 60;

(b) MoE = 105 3 (105 120) = 105 (-45) = 150

3.5. Hubungan antara rata-rata, median, dan mode Apabila distribusi dari sekelompok data adalah simetris, maka rata-rata, median dan mode akan berada pada satu titik dibawah titik puncak dari kurva. Tetapi bilamana distribusinya menceng (skewed), negatif atau positif, maka ketiganya akan terpencar. Mode tetap berada di bawah titik puncak, rata-rata ditarik ke arah nilai ekstrim, dan median berada diantaranya.

Untuk jelasnya perhatikan gambar berikut:

a. Simetris

b. Asimetris negatif

c. Asimetris positif

Mode jarang diterapkan untuk bisnis disebabkan di dalam sekelompok data kemungkinan tidak terdapat mode atau terdapat bi-mode atau multi-mode. Tetapi, mode sering dipergunakan dalam statistik apabila untuk menggambarkan distribusi frekuensi.

Rata-rata merupakan ukuran tendensi sentral yang sangat umum dipergunakan karena: (1) sekelompok data selalu memiliki semata-mata hanya sebuah rata-rata, dan (2) rata-rata memiliki persyaratan. Bagi distribusi-distribusi yang menceng (skewed) median merupakan ukuran tendensi sentral yang lebih baik dari rata-rata, sebab rata-rata didesak dari wilayah tengah ke arah kemencengan. Selanjutnya, median memiliki persyaratan 50-50 yang tidak ada pada rata-rata. 3.6. Rata-rata geometrikRata-rata geometrik dari sekelompok nilai n adalah akar ke n dari hasil kali nilai-nilai dalam kelompok itu. Jika terdapat 2 buah nilai, akar dari hasil nilai itu merupakan rata-rata geometrik. 3.6.1. Data tidak tersusun

Rata-rata geometrik untuk data tidak tersusun dapat dinyatakan sebagai berikut:

Rata-rata geometrik (G) =

Misalkan nilai-nilai n dinyatakan dengan X1, X2, X3, Xa, maka:

(G) =

Jika dipakai logaritma untuk menghitung nilai G, maka rumus di atas ditulis:

Log G =

Atau kalau disederhanakan menjadi : log G = ( log X/n. nilai G merupakan anti log dari pecahan pada sisi kanan rumus.

3.6.2. Data tersusun Bila data tersusun dalam sebuah tabel distribusi frekuensi, maka rumus rata-rata geometrik yang dipakai adalah :

Log G =

Atau singkatnya log G = ( log X/n3.6.3. Faktor pertumbuhan (Growth factor) Faktor pertumbuhan (growth factor) merupakan rasio dari suatu jumlah pada suatu periode tertentu terhadap jumlah yang berkaitan pada periode yang terdahulu. Misalnya : tahun 1992 harga satu unit barang X adalah Rp. 2000, dan pada tahun 1991 harga barang tersebut hanya Rp. 1.750, faktor pertumbuhan (FP) harga barang tersebut pada tahun 1992 adalah Rp. 2000,/Rp. 1.750 = 1,14. ini menunjukkan terdapat kenaikan harga barang sebesar 1, 14-1,00 = 0.14 atau 14%

FP dapat juga dicari melalui besarnya persentase perubahan yang terjadi ditambah dengan 1. misalkan, pada tahun 1992 terjadi kenaikan harga barang X sebesar 35% dari harganya pada tahun 1991. FP atas harga barang tersebut adalah 0,35 + 1.00 = 1.35 Pada tahun 1992 terjadi penurunan harga barang Y" sebesar 5% dari harga tahun 1991. FP atas harga barang tersebut adalah -0,05 + 1,00 = 0,95.

Bilamana hendak menghitung rata-rata persentase perubahan dari waktu ke waktu, maka langkah yang harus ditempuh adalah :

1. Mengubah persentase perubahan ke faktor pertumbuhan (FP)

2. Mencari rata-rata geometrik dari FP; 3. Mengubah rata-rata geometrik FP ke dalam persentase perubahan

3.6.4. Perumusan compound interest Dari contoh no. 22 diperoleh hasil berikut 2,525436 = 1,2036.

Kalau kedua sisi dipangkatkan dengan 5, maka hasil di atas berubah menjadi :

2.525436 = (1,2036) atau 2.525436 = (1+0.2036) kalau P5 = 2.525436, Po = 1, dan n = 5, maka perumusan diatas dapat ditulis sebagai berikut:

P5 = P0 (1+0.2036)

Persamaan di atas dapat ditulis secara umum sebagai berikut:

Pn = P0 (1+r)

Dan ini dikenal dengan nama; perumusan compound-interest

Untuk berbagai tujuan, persamaan tersebut dimanipulasikan dengan berbagai cara, seperti:

a. r = b.

diketahui bahwa pada tahun 1992 jumlah penduduk suatu wilayah adalah 200.000 jiwa. Jika tingkat pertumbuhan rata-rata tahun selama periode 1987 1992 sebesar 2,72%, berapakah perkiraan jumlah penduduk pada tahun 2000? Pemecahan :

Diketahui r = 2,72% = 0,0272 ; P0 = P1992 = 200.000 jiwa

n = 2000 1992 = 8 ; Pn = P. 2.000 = ?

P2000 = P1992 (1+0.0272)8

= 200.000 (1+0.0272)8

= 200.000 (1.2394816)

= 247.896.32

= 247.896

Jadi penduduk tahun 2000 diperkirakan berjumlah 247.896 jiwa. BAB IVUKURAN-UKURAN DISPERSE, KEMENCENGAN DAN PERUNCINGAN

4.1. Pengantar

Ukuran disperse merupakan ukuran tentang derajat pemencaran (degree of scatter) dimana terdapat kecenderungan bagi setiap nilai variabel untuk berpencar di sekitar nilai rata-rata. Disperse merupakan suatu karakteristik yang selalu harus diperhitungkan di dalam menganalisis data dalam sebuah frekuensi distribusi. Dengan ukuran disperse dimaksud, untuk mengetahui apakah pemencaran dari nilai-nilai variabel di sekitar rata-rata itu sifatnya kompak atau menyebar.

Ukuran kemencengan (skewness) yang diberi notasi Sk, merupakan ukuran tentang derajat kesimetrisan dari sebuah sebaran (distribusi). Dapat pula dikatakan sebagai ukuran keseimbangan atau ketidakseimbangan pada kedua sisi nilai sentral. Keadaan inidisebut juga; asimetris.

Ukuran kemencangan dibedakan antara yang positif dengan yang negatif. Sebuah sebaran dikatakan menceng positif (positive skewed) apabila kemencengan itu memberat ke arah kanan, atau ekornya berada di sebelah kanan. Sebaliknya, sebuah sebaran dikatakan menceng negatif apabila kemencengan itu memberat ke arah kiri, atau ekornya terletak di sebelah kiri. Ukuran peruncingan (Kurtosis), yang diberi notasi Kt, merupakan ukuran tentang derajat peruncingan dari sebuah sebaran. Dua buah sebaran dapat memiliki rata-rata yang sama, tetapi yang satu dapat lebih runcing dibandingkan yang lain.

Derajat peruncingan sebuah sebaran dapat dibedakan dalam 3 jenis, yaitu:

1. Leptokurtic; apabila puncak sebaran adalah runcing

2. Mesokutric; apabila puncak sebaran adalah normal

3. Playkurtic; apabila puncak sebaran adalah datar.

4.2. Ukuran Dispersi Ukuran disperse dibedakan dalam : 1. Ukuran disperse mutlak, yang terdiri dari

a. Simpang rata-rata (mean deviation)

b. Simpang kuartal (quartile deviation)

c. Simpang baku (standard deviation)

2. Ukuran disperse relatif, yang terdiri dari :

Koefisien variasi (coefficient of variation)

Simpang baku dan simpang kuartal lebih umum dipergunakan sebagai alat pengukur variasi, sedangkan simpang rata-rata dipergunakan secara insidental.

Masing-masing ukuran memuat suatu konsepsi yang berbeda satu sama lain dan memberikan hasil yang berbeda-beda. Akibatnya, setiap ukuran memiliki kegunaan khusus sendiri yang dapat dimengerti dengan lebih baik setelah metode-metode itu diuji.

Koefisien variasi biasanya dipergunakan apabila hendak membandingkan derajat pemencaran dua buah sampel yang mempunyai satuan ukuran yang berlainan satu sama lain, misalnya sampel pertama dalam kilogram dan sampel kedua meter.

4.2.1. Simpangan rata-rata

Simpangan rata-rata (mean deviation), dengan notasi SR, biasanya mempergunakan rata-rata hitung atau median sebagai dasar pengukurannya. Simpang rata-rata dihitung dengan jalan menjumlahkan simpangan masing-masing nilai variabel dengan nilai rata-ratanya (atau median) dan kemudian membaginya dengan jumlah seluruh variabel, tanpa memperhatikan tanda jabar. Artinya, simpangan-simpangan itu harus dirata-ratakan seolah-olah kesemuanya itu adalah positif.

Oleh karena, jumlah simpangan-simpangan itu merupakan suatu minimum bila diambil disekitar median, maka kadang-kadang simpang rata-rata hitung atas dasar median. Namun dalam praktek umumnya dipakai rata-rata hitung dan jika rangkaian data itu simetris, memberikan hasil yang sama.

Simpang rata-rata merupakan sebuah ukuran variabilitas yang ringkas dan sederhana. Ukuran ini merangkum seluruh variabel yang ada dan tidak dipengaruhi oleh simpangan-simpangan ekstrim seperti di dalam simpangan baku.

4.2.2. Simpang kuartal Simpang kuartal (quartile deviation) dengan notasi SK merupakan suatu ukuran disperse yang didasarkan atas nilai kuartal, yaitu kuartal pertama (K1) dan kuartal ketiga (K3). Ukuran ini juga disebut; semi interquartile range, yang berarti setengah jarak antara kuartal pertama hingga kuartal ketiga. Perumusan yang dipergunakan adalah :

SK =

Kuartal adalah tiga buah titik yang secara kasar membagi sebuah urutan atau sebaran frekuensi ke dalam empat bagian yang sama. Kuartal pertama (K1) memisahkan seperempat pertama dari sejumlah nilai dengan seperempat kedua; kuartal kedua (K2) (selamanya disebut; median) memisahkan seperempat kedua dengan seperempat ketiga; dan kuartal ketiga (K3) memisahkan seperempat ketiga dengan seperempat keempat. Karenanya, quartile range K3 K1, meliputi pertengahan setengah bagian itu. Simpang kuartal merupakan setengah dari range ini.

4.2.1. Simpang baku

Simpang baku (standar deviation), dengan notasi s. merupakan bentuk simpangan rata-rata yang diperbarui dan juga merupakan dipergunakan. Dalam kenyataan, simpang baku adalah demikian pentingnya sehingga menjadi standar ukuran disperse. Kuadrat dari simpang baku disebut : varian (s)2

4.2.1. Koefisien Variasi Disperse mutlak seperti yang telah diuraikan umumnya dinyatakan dalam bentuk satuan original, misalnya; dalam rupiah, kilogram, liter dan sebagainya. Apabila diinginkan untuk membandingkan dispersi dari dua buah rangkaian atau lebih dengan mempergunakan ukuran mutlak akan sulit dilakukan manakala rangkaian-rangkaian itu memiliki satuan ukuran atau ukuran rata-rata yang berbeda satu dengan yang lain. misalkan, kita ingin membandingkan disperse antara gaji pegawai negeri yang dibayar secara bulanan dengan upah mempunyai ukuran rata-rata yang berlainan, gaji diukur atas dasar harian. Demikian pula kita tidak dapat membandingkan secara mutlak disperse antara gula pasir yang mempunyai satuan pajang meter.Untuk mengatasi kesulitan ini Karl Pearson (1957-1936) telah menciptakan ukuran lain yang disebut; Koefisien variasi (V). Ukuran ini merupakan yang relatif sifatnya karena diperoleh dengan cara yang tidak langsung. Rumusan yang dipergunakan adalah

V = (s/) x 100 4.3. Ukuran Kemencengan Oleh karena kemencengan itu mempengaruhi letak nilai rata-rata hitung, median, dan mode, maka untuk dapat mengukur sampai dimana besarnya derajat kemencengan itu oleh Karl Pearson dipergunakan ketiga ukuran tendensi tersebut bersama-sama dengan simpang baku. Di sini terdapat dua buah perumusan Pearson dan keduanya disebut: Pearson Coefficient of Skewness. a) b)

rumusan (a) tidak begitu lazim dipergunakan, karena adanya kenyataan bahwa ada kebanyakan sebaran frekuensi mode hanyalah merupakan suatu prakiraan. Di samping itu, bila sebaran sampling bermode dua (bi-mode). Pengukuran mode pada umumnya dilakukan dengan asumsi-asumsi yang tertentu. Karenanya rumusan (b) lebih lazim dipergunakan.

Koefisien kemencengan pearson akan positif apabila rata-rata hitung lebih besar dari median dan mode; dan akan negatif apabila rata-rata hitung lebih kecil dari median dan mode. Metode perhitungan berikutnya adalah yang dikemukakan oleh A.L Bowley yaitu:

1. Koefisien kemencengan Kuartil, dengan perumusan sebagai berikut :

2. Koefisien kemencengan persentil, dengan perumusan sebagai berikut:

Nilai P (persentil) dicari dengan perumusan yang sama dengan yang dipakai untuk menghitung kuartal; hanya saja sekarang N dibagi dengan 100. Menurut Bowley bahwa Sk = + 0,10 menggambarkan sebaran kemencengan tidak berarti (not significant). Sebaliknya, Sk > + 0.30 menggambarkan sebaran yang kemencengannya sangat berarti (significant) Sedangkan menurut Croxton & Cowden ukuran kemencengan bergerak dalam batas-batas + 3. Namun perlu ditambahkan bahwa besarnya ukuran jarang yang melampaui batas + 1 4.4. Ukuran Peruncingan Untuk menghitung koefisien peruncingan dapat dipergunakan perumusan percentile coefficient of kurtosis yaitu:

Contoh

Diketahui :

K1 = Rp 6.825,- ; K3 = Rp. 9.075,-

P10 = Rp. 5.812. ; P90 = Rp. 10.100,-

BAB VANGKA INDEKS5.1. Pengantar

Angka indeks merupakan rasio antara dua buah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk persen. Tujuan angka indeks adalah untuk mengukur perbedaan besaran dari sekelompok variabel yang saling berhubungan. Perbedaan-perbedaan ini dapat terjadi pada harga barang-barang, jumlah fisik barang yang diproduksikan, dipasarkan, atau dikonsumsikan. Jenis-jenis angka indeks yang lazim dipergunakan antara lain: indeks harga, indeks jumlah, dan indeks nilai.

Indeks harga bertujuan untuk mengetahui perubahan-perubahan yang terjadi pada harga atau harga-harga selama dua periode waktu atau lebih.

Indeks jumlah bertujuan untuk membandingkan perubahan-perubahan yang terjadi atas sejumlah barang-barang yang diproduksikan, diperdagangkan, atau dikonsumsikan selama dua periode waktu atau lebih.

Indeks nilai merupakan hasil perkalian antara indeks harga dengan indeks jumlah. Tujuannya adalah untuk mengukur perubahan-perubahan yang terjadi atas nilai sesuatu barang atau sekelompok barang selama dua periode waktu atau lebih.

Metode perhitungan angka indeks terdiri dari:

1. Metode tidak ditimbang

a. Metode indeks sederhana b. Metode indeks gabungan sederhana

c. Metode indeks rata-rata relatif sederhana

d. Metode indeks bernilai

2. Metode ditimbang a. Metode indeks laspeyres

b. Metode indeks paasche

c. Metode indeks fisher

Di dalam menghitung angka indeks data yang dipergunakan adalah data deret berkala (time series data). Jadi, disini data terlebih dahulu diklasifikasikan secara kronologi menurut urutan waktu kejadiannya. Dalam melakukan perbandingan antara dua periode waktu atau lebih, terlebih dahulu ditetapkan apa yang disebut; tahun dasar (base year) atau periode dasar (base period). Sebagai tahun dasar lazimnya dipilih tahun yang tertua, tahun yang pertama dalam deretan tahun. Sedangkan sebagai periode dasar dipilih beberapa tahun pertama dalam deretan perbandingan, yang secara teknis merupakan penyebut (pembagi). Tahun yang diperbandingkan disebut tahun tertentu (given year), yang secara teknis merupakan pembilang (yang dibagi). 5.2. Angka indeks tidak ditimbang 5.2.1. Notasi ( = sigma = jumlah, total ; h = harga 0 = tahun dasar atau periode dasar ; j = jumlah (kuantitas)

n= tahun tertentu, dimana ;v=nilai

n=1, 2 . ., k ; I= indeks

I0= indeks tahun dasar atau indeks periode dasar I0= indeks tahun tertentu.h0= harga pada tahun dasar atau periode dasar.hn= harga pada tahun tertentu.

J0= jumlah pada tahun dasar atau perioe dasar

Jn= jumlah pada tahun tertentu.

Iho= indeks harga pada tahun dasar atau periode dasar.Ihn= indeks harga pada tahun tertentu.Ijo= indeks jumlah pada tahun dasar atau periode dasar.

Ijn= indeks jumlah pada tahun tertentu.

Iv0= indeks nilai pada tahun dasar atau periode dasar.

Ivn= indeks nilai pada tahun tertentu.

5.2.2 perumusan1. Indeks sederhana:

a. Indeksa harga: Iho = (ho/ho) x 100 %

Ihn = (ha/ho) x 100 %

b. Indeks jumlah : Ijo = (jo/jo) x 100 %

Ijn = (ja/jo) x 100 %

c. Indeks Nilai : Ivo = (ho/ho) x 100 %

Ivn = (va/vo) x 100 %

2. Indeks gabungan sederhana

a. Indeks harga: Iho = ((ho/(ho) x 100 %

Ihn = ((ha/(ho) x 100 %

b. Indeks jumlah : Ijo = ((jo/(jo) x 100 %

Ijn = ((ja/(jo) x 100 %

c. Indeks Nilai : Ivo = ((ho/(ho) x 100 %

Ivn = ((va/(vo) x 100 %

3. Indeks rata-rata relatif sederhana

a. Indeks harga: Iho = (((ho/(ho) x 100 %) /k

Ihn = (((ha/(ho) x 100 % ) /k

b. Indeks jumlah : Ijo = (((jo/(jo) x 100 %)/k

Ijn = (((ja/(jo) x 100 %)/k

c. Indeks Nilai : Ivo = (((ho/(ho) x 100 %)/k

Ivn = (((va/(vo) x 100 %/k

4. Indeks Berantai Perumusan untuk indeks berantai sama dengan perumusan untuk indeks sederhana, hanya saja tahun dasarnya bergerak mengikuti gerak tahun tertentu.

5.2.2. Contoh-contoh

Pada tahun 1989 harga beras berkualitas sedang rata-rata Rp. 1.150,- per kg. Pada tahun 1990 untuk beras yang sama harganya Rp. 1.250 per kg. Dengan dasar harga tahun 1989, carilah indeks harga besar tahun 1990!

Tentukan pula indeks dasarnya!

Di sini tahun dasarnya adalah tahun 189 dan tahun tertentunya adalah 1990

h0 = h1998 = Rp. 1.150 dan hn = h1990 = Rp. 1.250

jadi, Ihn = Ih1998 = (Rp. 1.250/Rp. 1.150) x 100% = 108,7%

Ihn = Ih1989 = (Rp. 1.150/Rp. 1.150) x 100% = 100,0%

5.2.3. Angka indeks ditimbang Dalam bagian ini akan dijelaskan 3 buah metode indeks ditimbang yang lazim dipergunakan, yaitu: indeks laspeyres, indeks paasche, dan indeks filter (ideal indeks).

Perumusan yang dipergunakan adalah sebagai berikut:

a. Laspeyres

1. Indeks harga : Lhn = ((hojo/(hojo) x 100 %2. Indeks jumlah : Ljn = ((joho/(joho) x 100 %

3. Indeks harga : Lvn = ((hnjn/(hnjn) x 100 %

b. Paasche 1. Indeks harga : Phn = ((hnjn/(hojn) x 100 %

2. Indeks jumlah : Pjn = ((jnhn/(john) x 100 %

3. Indeks harga : Pvn = ((hnjn/(hojo) x 100 %

c. Fisher 1. Indeks harga : Fhn = x 100 %

2. Indeks jumlah : Fhn =

3. Indeks harga : Fvhn = ((hnjn/(hnjn) x 100 %

Catatan : h = harga ; j = jumlah (kuantitas) ; o = tahun dasar

n = tahun tertentu ; ( = jumlah (total) ; v = nilai

h0j0 = joho ; hnjo = johnh0jn = jnho ; hnjn = jnhnContoh No. 5 Jenis perabot1989 (0)1990 (n)

Harga/unit (Rp. 1000) (h0)Jumlah

(unit)

(h0)Harga/unit (Rp. 1000) (hn)Jumlah

(unit)

(jn)

1. Almari

2. Tempat tidur

3. Sice 470350

525108

5485380

5401511

7

Sumber : Hipotesis Hitunglah : Angka indeks tahun 1990 dengan dasar tahun 1989, dengan metode-metode Laspeyres, Paasche, dan fisher

Pemecahan :

(hojo = [(475x10) + (350x8) + (525x5)] x 1.000 = 10.175.000.

(hnjn = [(475x15) + (350x11) + (525x7)] x 1.000 = 14.650.000.

(hnjo = [(485x10) + (380x8) + (540x5)] x 1.000 = 10.175.000.

(hnjn = [(485x15) + (380x11) + (540x7)] x 1.000 = 15.235.000.

5.2.4. Pemakaian Angka Indeks Angka indeks dapat dipergunakan untuk berbagai pengukuran, seperti; indeks perdagangan untuk mengukur hasil penjualan barang yang riil (nyata), indeks harga konsumen untuk mengukur taraf hidup (standar of living) dari para penerima pendapatan tetap melalui pengukuran pendapatan nyata, upah nyata dan juga untuk mengukur kekuatan beli uang (purchasing power of money).

Di samping itu, angka indeks memiliki beberapa kegunaan yang lain, misalnya:

1. Memudahkan, membandingkan dan menganalisis rangkaian dengan menetapkan suatu periode dasar dan mencakup berbagai kumpulan angka

2. Merupakan cara yang mudah untuk mengekspresikan suatu perubahan jumlah dari sekelompok bagian-bagian yang heterogen

3. Mengubah data menjadi angka indeks juga memudahkan untuk membandingkan trend dalam suatu rangkaian yang terdiri dari jumlah-jumlah yang sangat besar

4. Angka indeks merupakan salah satu peralatan statistik yang ditunjuk guna mengembangkan pengetahuan tentang aspek-aspek dari perekonomian, seperti; pasar modal, produksi pertanian, produksi industri, harga konsumen, harga-harga perdagangan besar, dan perdagangan internasional. Dari sudut pandangan ini, angka indeks dapat dibanding sebagai bagian dari statistik deskriptif. Mereka selalu menggambarkan perubahan-perubahan yang terjadi pada pasar modal, di dalam sektor produksi dari perekonomian dan lain-lain. 5.3. Pengujian angka indeksUntuk mengetahui sampai di mana kebenaran suatu angka indeks diperlukan adanya suatu pengujian terhadap angka indeks tersebut. Sebuah angka indeks yang berhasil lolos dari pengujian dinyatakan sebagai angka indeks yang baik. Irving Fisher mengemukakan dua buah kriteria untuk menguji apakah suatu angka indeks itu baik, yaitu; time reversal test dan factor reversal test.

Sebuah angka indeks dikatakan baik bila ia memenuhi kriteria;

I0n x Ino = I

Dimana

I0n = indeks tahun n dengan dasar tahun o

Ino = indeks tahun o dengan dasar tahun n Factor Reversal Test

Bila kita ingin menguji kebenaran indeks harga dengan mempergunakan faktor reversal test, maka perlu adanya pengetahuan tentang indeks jumlah. Demikian pula sebaliknya. Bila indeks harga (Ih) memperlihatkan perubahan harga-harga dari tahun dasar ke tahun n, dan indeks jumlah (Ij) memperlihatkan perubahan jumlah-jumlah dari tahun dasar ke tahun n, maka (harga) x (jumlah) = nilai.

Faktor reversal test menghendaki bahwa h x j akan memperlihatkan perubahan nilai dari tahun dasar ke tahun n.

Jadi,

h x j = (hnjn /(hojo dimana (hojo memperlihatkan jumlah pengeluaran dalam tahun dasar dan (hnjn memperlihatkan jumlah pengeluaran dalam tahun n. karena perumusan ini memperlihatkan perubahan nilai, ia disebut indeks nilai.

5.4. Indeks harga konsumen (IHK) Masson (1974, 148) mengatakan bahwa indeks harga konsumen merupakan indeks perubahan harga barang dan jasa yang dibeli oleh keluarga-keluarga, penerima-penerima upah dan pekerja-pekerja kantor di kota untuk memelihara tingkat hidup mereka.

Tujuannya adalah untuk mengukur perubahan-perubahan harga barang dan jasa yang dibeli oleh penerimaan upah dan pekerja-pekerja kantor di kota selama suatu periode tertentu. Jadi, bukan peruntukan bagi keluarga petani atau keluarga kaya.

Indeks harga konsumen pada lazimnya selalu mengalami perubahan dasar perbandingan dikarenakan alasan-alasan berikut ini:

1. Adanya perubahan secara drastis dari pola konsumsi

Hal ini disebabkan adanya perubahan jenis barang konsumsi, misalnya penggantian alat-alat transportasi dari sepeda ke sepeda motor, alat angkut gerobak yang ditarik oleh hewan diganti dengan mobil gerobak (pick up, truck). Adanya kebutuhan baru sebagai akibat adanya penemuan-penemuan baru, seperti TV, Video cassette, dan lain-lain

Perkembangan dunia pendidikan yang begitu pesat, mendorong pesatnya perubahan pola konsumsi, seperti adanya pengeluaran tambahan buku-buku, uang SPP, uang ujian, dan lain-lain. orang akan mengubah pola hidupnya setelah menganyam pendidikan yang lebih baik.

2. Adanya perubahan kebiasaan berbelanja. Hal ini tampak beraneka ragamnya jenis pengeluaran keluarga-keluarga. Komposisi pembagian telah mengalami penggesearan-penggeseran akibat kemajuan teknologi yang makin meningkat.indeks harga konsumaen antara dua buah kata atau lebih tidak dapat di perbandingkan. Sebagai contoh, indeks harga konsumen sektor makanan tahun 1991 di Jakarta 118,63 dan di Banda Aceh 114,55 dengan dasar April 1977 Maret 1978 = 100. kita tidak dapat mengatakan bahwa indeks harga konsumen di Jakarta lebih tinggi dari pada indeks harga konsumen di Banda Aceh. Yang dapat dikatakan adalah bahwa di Jakarta terdapat kenaikan indeks sebesar 18,63% dan di Banda Aceh kenaikan itu sebesar 14,55%. Ini menunjukkan bahwa kenaikan indeks di Jakarta lebih cepat dari kenaikan di Banda Aceh.Kegunaan indeks harga konsumen antara lain untuk mengukur pendapatan nyata dan kekuatan beli uang, di samping juga untuk pendeflasian harga uang.

BAB VI

DASAR-DASAR TEORI

KEMUNGKINAN

6.2 PengantarTujuan statistik adalah melakukan penafsiran (inferensif) mengenai sebuah populasi berdasarkan pada informasi yang terkandung di dalam sebuah sampel. Karena sampel tersebut hanya memberikan sebagian informasi mengenai populasi, kita memerlukan suatu meakanisme yang akan menyelesaikan tujuan itu.Kemungkinan (pobality) merupakan mekanisme yang dimaksud, yang memungkinkan kita mempergunakan sebagian ainformasi yang terkandung di dalam sekelompok sampel untuk menaksir sifat dari sekelompok data yang lebih besar, yaitu populasi.

6.3 Percobaan, peristiwa, dan ruang sampel data dapat diperoleh baik dengan jalan pengamatan atas peristiwa-peristiwa alam yang tidak teratasi (uncontrolled events nature) maupun dengan jalan percobaan yang diawasi di dalam laboratorium (controlled experimentation).

Percobaan (experiment) merupakan suatu proses di mana suatu pengamatan (pengukuran) dicatat. Perlu diingat bahwa pengamatan tidak perlu harus menghasilkan suatu nilai dalam bentuk angka (numerical value). Beberapa contoh mengenai percobaan antara lain:

1. Pencatatan mengenai penghasilan seorang pekerja pabrik

2. Mewawancarai seorang pembeli untuk merek kegemaran atas suatu produk tertentu

3. Pencatatan harga sebuah jaminan pada suatu waktu tertentu.

4. Pemeriksaan suatu jalur perakitan untuk menentukan apakah telah dihasilkan sejumlah kerusakan yang melebihi jumlah yang diizinkan.

Setiap percobaan dapat menghasilkan satu hasil (outcome) atau lebih, yang disebut peristiwa (event) atau peristiwa-peristiwa (events), dan diberi notasi E. Satu percobaan hanya akan menghasilkan satu peristiwa sederhana (simple event). Suatu peristiwa sederhana merupakan suatu peristiwa yang tidak dapat diurai. Simbl dari peristiwa sederhana adalah huruf E dengan dibubuhi sebuah sub script. Jadi seperti ini E; untuk setiap peristiwa sederhana dapat ditandai dengan sebuah titik, yang disebut titik sampel (sample point).

Kumpulan dari beberapa peristiwa sederhana disebut; ruang sampel (sample space) dan diberi notasi; S. jadi ruang sampel merupakan himpunan dari seluruh titik sampel bagi suatu percobaan. Dapat dikatakan bahwa S merupakan totalitas dari semua titik-titik sampel.

Contoh No. 1.

Sebuah mata uang dilemparkan sebanyak satu kali. Peristiwa-peristiwa sederhana yang dihasilkan adalah :

Peristiwa E1 = sebuah kepala (head = H) dan

Peristiwa E2 = sebuah ekor (tali = T)

E1 dan E2 merupakan titik-titik cuplikan dalam sebuah ruang sampel S. perhatikan diagram Venn berikut ini :

6.4 Kemungkinan (probability)Pada dasarnya kemungkinan (probability) dari suatu peristiwa merupakan sebuah frekuensi relatif dari banyaknya peristiwa itu terjadi terhadap seluruh percobaan yang di lakukan. Secara umum dapat dikatakan bahwa, apabila suatu percobaan (experiment) diulang-ulang sebanyak N kali dan peristiwa A diamati sebanyak nA kali, maka kemungkinan terjadi peristiwa A adalah P(A) = nA /N.Contoh No. 7.

Sebuah mata uang dilempar sebanyak satu kali dan hasilnya adalah kepala (H) atau ekor (T). disini kita lihat bahwa kemungkinan hasil yang diperoleh adalah 2, jadi N = 2, yaitu sebuah ekor (T). disini kita lihat bahwa kemungkinan hasil yang diperoleh adalah 2, jadi N = 2, yaitu sebuah kepala (H) dan sebuah ekor (T). Dengan demikian bila kita melemparkan sebuah mata uang, kemungkinan untuk memperoleh kepala adalah atau 0,5 dan kemungkinan untuk memperoleh ekor juga atau 0,5 Jadi :

Pr(E1) = Pr(H) = nH / N = = 0,5

Pr(E2) = Pr(T) = nT / N = = 0,5

Pr(H) = nH / N = 0,5

Pr(T) = nT / N = 0,5

Nilai kemungkinan berada antara 0 dan 1

Jadi, 0 ( Pr (E1) (( 1, untuk semua nilai i.

Pr (E1) = 0. berarti kemungkinan itu hilang atau tidak menjadi kenyataan.

Pr (E1) = 1 berarti kemungkinan itu berubah menjadi kenyataan.

Kemungkinan dari suatu peristiwa A adalah sama dengan jumlah kemungkinan dari titik sampel di dalam A itu. 6.5 Penggabungan Peristiwa-peristiwaYang dimaksud dengan penggabungan peristiwa-peristiwa adalah menyatukan beberapa peristiwa gabungan ke dalam suatu gabungan.

Caranya ada 2 macam, yaitu :

1. Union, dengan notasi : U

2. Intersection, dengan notasi : (Di dalam penggabungan yang mempergunakan cara union semua titik sampel yang terdapat didalam peristiwa-peristiwa yang digabung berubah menjadi titik sampel dari peristiwa baru yang merupakan hasil penggabungan. Misalkan kita menggabungkan peristiwa A dengan peristiwa B, maka semua titik sampel, baik yang ada pada A atau B atau kedua-duanya, merupakan titik-titik sampel peristiwa gabungan, penulisan cara penggabungan ini adalah sebagai berikut :

A U B = A atau B = A + B

6.6 Dalil-dalil Kemungkinan Di muak telah dijelaskan perbedaan antara peristiwa-peristiwa tidak bebas, dan saling asing. Dengan cara lain peristiwa-peristiwa tidak bebas dan bebas dapat digolongkan ke dalam kelompok peristiwa-peristiwa tidak saling asing (non-mutually exclusive). Dalil-dalil kemungkinan (probability laws) mengatur dan membuktikan kebenaran cara pelaksanaan penggabungan itu.

Dalil-dalil tersebut terdiri dari

1. Dalil penjumlahan (additive laws);

Dengan menggabungkan beberapa peristiwa dapat diketahui apakah hubungan antara satu peristiwa dengan peristiwa yang lain itu sifatnya saling asing atau bukan saling asing. Kalau sifatnya saling asing tidak ada masalah lagi, tetapi kalau sifatnya bukan saling asing masih perlu dipertanyakan apakah hubungan itu bebas (independent) atau tidak bebas (depend) yang berarti bersyarat (condisional) Secara umum dapat dinyatakan bahwa sebagai dalil pertama dari dalil pertambahan (additive laws)

Bila A dan B adalah saling asing, maka

Pr (A (B) = Pr (A) + Pr (B)

2. Dalil perkalian (multiplication laws)

Penggabungan dengan mempergunakan cara intersection (() hanya dapat dilakukan apabila peristiwa-peristiwa yang akan digabungkan itu bukan saling asing. Pelaksanaan penggabungan dipengaruhi oleh kondisi apakah peristiwa-peristiwa yang akan digabungkan itu merupakan peristiwa-peristiwa bebas (independt). Bagi peristiwa-peristiwa yang tidak bebas (depent) penggabunganya akan merupakan yang bersyarat (conditional). Dalil pertama (dalil khusus) dari dalil perkalian menyatakan bahwa:

Bila A dan B adalah peristiwa-peristiwa bebas , maka

Pr (A ( B) = Pr (A) x Pr (B)

6.7 Kemungkinan teoretis dan kemungkinan empiris Kemungkinan teoretis (kemungkinan matematis) adalah kemungkinan yang diperoleh dengan menggunakan cara-cara yang berlainan serta asumsi bahwa semua cara yang mungkin akan terjadi atas dasar kemungkinan yang sama (equally likely basis). Apa yang telah diuraikan terdahulu merupakan contoh dari proses terjadinya kemungkinan teoretis tadi.

Kemungkinan empiris (kemungkinan statistik) adalah kemungkinan tentang terjadinya suatu peristiwa yang dihitung atas dasar pengalaman-pengalaman atau percobaan-percobaan tentang apa yang terjadi pada saat-saat yang sama di masa yang lalu atau dasar catatan statistik. Karena pengalaman-pengalaman dan hasil dari berbagai percobaan itu berlainan, maka nilai dari kemungkinan empiris dari suatu peristiwa dapat berlainan.

Sebagai contoh misalnya, bahwa berdasarkan catatan statistik 12 orang dari 325 orang yang meninggal pada tahun 1992 dikarenakan sakit jantung. Berapakah kemungkinannya bahwa seseorang pada tahun 1993 ini akan meninggal karena sakit jantung? Jawabnya : 12/325 x 100% = 3,69%6.8 Permutasi Pengaturan atau penyusunan dari r objek yang diambil dari suatu set yang terdiri dari n objek, secara matematis dinamakan: permutasi dari n objek yang diambil sekaligus sebanyak r, di mana r ( n. secara simbolis permutasi di atas dinyatakan dengan nPrJumlah permutasi dari suatu set yang terdiri dari n objek yang berjalinan dan yang diambil sekaligus sebanyak r serta tanpa pengulangan (non repetitive) adalah :

Apabila pengulangan (repetitive) diperbolehkan, maka jumlah permutasi adalah :

6.9 Kombinasi Dalam metode statistik, kombinasi mempunyai fungsi yang lebih penting dari permutasi. Perbedaan antara permutasi dengan kombinasi terletak pada persoalan urutan atau susunan (order). Permutasi menekankan pada urutan, sedangkan kombinasi tidak menghiraukan order, artinya order tidak penting di sini. Jadi, kalau kita ambil contoh di atas maka urutan AB sama dengan urutan BA. Sebuah set yang berisi r objek yang dipilih dari suatu set yang berisi n objek yang berlainan, tanpa menghiraukan susunan pemilihannya, secara matematis dinamakan kombinasi n objek yang berlainan dan yang sekaligus diambil sebanyak r objek dengan ketentuan C