MODUL PERKULIAHAN

Matematika Dasar

Persamaan Kuadrat

FakultasProgram StudiTatap MukaKode MKDisusun Oleh

Ilmu KomputerSistem Informasi 07Kode MKSarwati Rahayu, ST., MMSI

AbstractKompetensi

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah y = ax2 + bx + c dengan a 0 Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari x2, koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Mampu menggambarkan grafik fungsi dan berbagai jenis fungsi kuadrat dan dapat menentukan fungsi kuadrat

Pembahasan

7.1. Pendahuluan

Bentuk umum:ax + bx + c = 0x variabel; a,b,c konstanta ; a 0Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara 1. Memfaktorkan ax + bx + c = 0 ( ax + bx + c = 0

( a (x + p/a) (x + q/a) = 0( x1 = - p/a dan x2 = - q/a

dengan p.q = a.c dan p + q = b

Contoh:

x + 5x + 6=0

a=1; b=5; c= 6

p.q=6; p+q=5

.:. nilai p dan q yang dimungkinkan adalah: 3 dan 2

Maka persamaan x + 5x + 6=0 dapat difaktorkan manjadi: (x+2)(x+3)=0Dan persamaan tersebut memuaskan jika masing-masing faktor mempunyai nilai nol.

.:. x + 7 = 0 atau x + 2 = 0

Sehingga akar-akar persamaan: x = - 7 atau x= -2

2. Melengkapkan bentuk kuadratpersamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi(x + p) = q x + p = qx1 = q - p dan x2 = - q p

Contoh:

x - 6x - 4=0 a= 1; b= -6; c= - 4

b 4ac= 36 - 4.1. (-4) = 36 + 16 = 52. Bukan kuadrat sempurna

.:. Tidak mempunyai faktor

Jadi x - 6x - 4=0 Ditambah 4 di kedua ruasnya x - 6x = 4

Ditambah ke masing-masing ruas kuadrat setengah koefisien dari x (1/2 . b)

x - 6x + (-3) = 4 + (-3) x - 6x + 9 = 4 + 9 = 13

.:. (x 3) = 13.:. x 3 = 13.:. x = 3 13 = 3 + 3,6056

.:.6,606 atau 0,6063. Rumus ABCRumus kuadratis dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

dapat dituliskan menjadi

.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

dan

.

Ilustrasi dapat dilihat pada gambar.

Pembuktian rumus kuadratDari bentuk umum persamaan kuadrat,

bagi kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan ke ruas kanan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.

Pindahkan ke ruas kanan

lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.

Pindahkan ke ruas kanan

sehingga didapat rumus kuadrat

7.2. Jenis Akar

1. D > 0x1 = (-b+D)/2a ; x2 = (-b-D)/2aPK mempunyai dua akar nyata berbeda

2. D = 0x1 = x2 = -b/2aPK mempunyai dua akar nyata yang sama

3. D < 0Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D 0

7.3. Sifat-sifat akar persamaan akar kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+D)/2a dan X2 = (-b-D)/2adidapat hubunganX1 + X2 = -b/aX1.X2 = c/aX1 - X2 = D/a

7.4. Perluasan untuk akar-akar nyata

1. Kedua akar nyata berlawananMaksudnya : X1 = -X2syarat : D > 0 X1 + X2 = 0 b = 0Ket: X1 + X2 = 0 -b/a = 0 b = 0

2. Kedua akar nyata berkebalikanMaksudnya : X1 = 1/X2syarat : D 0X1 . X2 = 1 a = cKet: X1 . X2 = 1 c/a = 1 a = c

3. Kedua akar nyata positifMaksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0syarat : D 0X1 + X2 > 0X1 . X2 > 0

4. Kedua akar nyata negatifmaksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0 syarat:D 0X1 + X2 < 0X1 . X2 > 0

5. Kedua akar nyata berlainan tandaMaksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0syarat : D > 0X1 . X2 < 0Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti

6. Kedua akar rasionalMaksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk syarat : D = bentuk kuadrat D = (0,1,4,9,16,25...)Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda , sehingga X1 dan X2 rasional7.5. Bentuk-Bentuk Simetris Akar-Akar Persamaan KuadratSuatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x + y, jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y + x, maka nilainya sama dengan bentuk semula.Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)1. X1 + X2= (X1 + X2) - 2X1.X2= (-b/a) + 2(c/a)

2. X1 + X2= (X1+X2) - 3X1X2(X1+X2)= (-b/a) - 3(c/a)(-b/a)

3. X14 + X24= (X1+X2) -(X1X2)= [(X1+X2) - 2X1X2] - 2(X1X2)= [(-b/a) - 2(c/a)] - 2(c/a)

4. X1X2 + X1X2= X1X2(X1+X2)= c/a (-b/c)

5. 1/X1 + 1/X2= (X1+X2)/X1+X2= (-b/a)/(c/a) = -b/c

6. X1/X2 + X2/X1= (X1+X2)/X1X2= ((X1+X2)-2X1X2)/X1X2

7. (X1-X2)= (X1+X2) - 4X1X2 atau [D/a] = D/a

8. X1 - X1= (X1+X2)(X1-X2) = (-b/a)(D/a)

7.6. Menyusun Persamaan KuadratKEDUA AKARNYA KUADRATAndaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 02. Menggunakan sifat akar X - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUIAndaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX+bX+c=0 yang diketahui 1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0

2. Hubungan beraturan (hal khusus)Akar-akar baru HubunganPK Baru

p lebihnya(X1+p) dan (X2+p)y = X + p X = y-pa(y-p) + b(y-p) + c =0

p kurangnya(X1-p) dan (X2-p)y = X - p X = y + pa(y+p) + b(y+p) + c = 0

p kalipX1 dan pX2y = pXX = y/pa(y/p)+b(y/p)+c=0

kebalikannya1/X1 dan 1/X2y=1/XX= 1/ya(y/p) + b(1/y) + c = 0ataucy+by+a = 0

kuadratnyaX1 dan X2y = X X = ya(y) + b(y) + c = 0atauay + (2ay-b)y + c = 0

Latihan:1. Selesaikan persamaan di bawah ini menggunakan pemfaktoran!

a. x - 9x + 18 = 0

b. x + 11x + 28 = 0

c. x + 5x - 24 = 0

d. x - 4x - 21 = 0

2. Selesaikan persamaan di bawah ini menggunakan pelengkapan kuadrat:

a. x + 8 x + 5 = 0

b. x + 5x 3.5 =0c. 4 x - 16 x + 3 = 03. Selesaikan persamaan di bawah ini menggunakan rumus ABC

a. 5 x + 12x + 3= 0

b. 3 x - 10x + 4 = 0c. x + 15x 7 = 0d. 6 x - 8x 9 = 0Daftar Pustaka

Cipta Science Team. 1997. Rangkuman Matematika Untuk Siswa SMU. Yustadi, Indonesia

Idel, A dan Hariyono, R. Pintar Matematika SMU. Gitamedia Press, Surabaya

Palouras, J.D. dan Gunawan, W. 1987. Peubah kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur. Erlangga. Jakarta

Stroud, K.A. dan Edwin, S. 1989. Matematika Untuk Teknik. Ed. Ke-3. Erlangga Jakarta.

Tampomas, H. 1999 Seribu Pena Matematika SMU Kelas 3. Erlangga, Jakarta

201311Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan eLearning

Sarwati Rahayu, ST., MMSIhttp://www.mercubuana.ac.id