Turunan Numerik dengan Metode

Newton-Gregory Backward (NGB)

Oleh: Kelompok 5

Fahrul Hakim(103174092)Ganang Wahyu H(103174213)M. Sigit Widodo(103174216)Alvita Wulansari(103174221)Eviana Budiarti(103174232)

2010 E

A. Pendahuluan

Aplikasi matematika pada bidang-bidang fisika, biologi, kimia ataupun sosial

seringkali memerlukan perhitungan diferensial atau derivatif dari suatu fungsi.

Dua situasi mendasar apabila suatu proses memerlukan

turunan numerik:

1. Apabila fungsi f dinyatakan hanya dengan sekumpulan titik-

titik data (x0, f0 ), (x1, f1 ), (x3, f3 ), …, (xn, fn ) dan nilai-nilai fungsi

tersebut tidak diketahui.

2. Apabila fungsi f terlalu rumit dan diferensiasi secara analitik.

Oleh karena itu, kita dapat menggunakan metode numerik untuk

memperoleh penyelesaiannya.

B. Turunan Numerik Newton-Gregory Backward (NGB)

1. Dengan hampiran polinom interpolasi

2. Dengan bantuan deret Taylor

1. PenurunanRumusTurunanNumerikdenganPolinomInterpolasi

Misalkandiberikantitik-titik data berjaraksama, xi= x0 + ih, i = 0, 1, 2, ..., n, danx = xo

+ sh, s∈Radalahtitik yang akandicarinilaiinterpolasinya. Polinom Newton-Gregory

yang menginterpolasiseluruhtitik data tersebutadalah:

 

Andaikanfungsifteraproksimasisecarabaikdengansuatuinterpolasi

polinom, makakitadapatberharapbahwaderivatifdarif; yaitu,

teraproksimasijugadenganderivatifdaripolinomtersebut, misalkan

Dengan: e = galataproksimasi

Polinomderajat n denganvariabel.

diperolehdari Newton-Gregory mundur, maka

Diperoleh

𝑓 ′ (𝑥𝑠 ) ≈ (𝑥𝑠 )= 𝑑𝑑𝑠

¿Sehingga

Catatan

Dengandemikian

jikasemakinbesar,

makaderivatifdarifungsiakansemakinrumitditemukansehinggakitaperlumenyederhan

akan, denganmemisalkanbahwa

Sehinggamakadipe

roleh

 

PerkiraanGalat

Dapatditunjukkanbahwagalatdariperhitungandiatasadalah

dengan

Contoh 1:

Denganmenggunakan data padatabel di

bawahini, hitungnilaipendekatandari’ di = 2,1

dengan h = 0,2.

1,3

 

1,5

 

1,7

 

1,9

 

2,1

 

2,3

 

2,5

3,669

 

4,482

 

5,474

 

6,686

 

8,166

 

9,974

 

12,182

 

0,813

 

0,992

 

1,212

 

1,480

 

1,808

 

2,208

 

 

0,179

 

0,220

 

0,268

 

0,326

 

0,400

 

 

 

0,041

 

0,048

 

0,060

 

0,072

 

 

 

 

0,007

 

0,012

 

0,012

Penyelesaian:

(Jawabanbenar:

)

Derivatif yang Lebih Tinggi

diperoleh...

(

𝑓 ′ ′ (𝑥𝑠 )≃𝑃 ′ ′𝑛 (𝑥𝑠 )= 1

h2

𝑑2

𝑑𝑠2 𝑃𝑛(𝑥𝑠)

𝑓 ′ (𝑥𝑠 )≅ 1h [𝛻 𝑓 𝑜+

12

[𝑠+(𝑠+1 ) ]𝛻2 𝑓 𝑜+16

[ (𝑠+2 ) (𝑠+1 )+𝑠 (𝑠+2 )+𝑠 (𝑠+1 ) ] 3 𝑓 𝑜+… ]Sebelumnya...

𝑓 ′ ′ (𝑥𝑠 )≃ 1

h2 ( 12

.2𝛻2 𝑓 𝑜+16

[ (𝑠+1 )+ (𝑠+2 )+𝑠+ (𝑠+2 )+𝑠+(𝑠+1)]𝛻3 𝑓 𝑜+…)

𝑓 ′ ′ (𝑥𝑠 )≃ 1

h2 ( 12

.2𝛻2 𝑓 𝑜+16

[ (𝑠+1 )+ (𝑠+2 )+𝑠+ (𝑠+2 )+𝑠+(𝑠+1)]𝛻3 𝑓 𝑜+…)Apabila s = 0, maka

 Dan  

Agar mudah, gunakan persamaan:

Sehingga

Dan jikamaka

Didefinisikan:  

Maka:   

𝐷2=1

h2 𝑙𝑛2(1−𝛻)

𝐷3=1

h3 𝑙𝑛3(1 −𝛻)

𝐷𝑛=1

h𝑛𝑙𝑛𝑛 (1−𝛻)

Dengan demikian:

Sehingga...

Contoh soal...• Dengan menggunakan Tabel pada contoh 1, hitung nilai 

pendekatan dari  y’’ (2,1)

• Penyelesaian:

(Jawabanbenar: 

)

Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor

• Kurva Pendekatan Penghitungan Turunan Numerik Dengan 

Pendekatan selisih mundur 

f0

f-1

y = f(x)

x-1 x0

h

h

ff

h

hxfxfxf 1000

0

)()()('

Pendekatan Turunan Pertama Selisih – Mundur

Uraikan f(xi-1) disekitar xi: 

)('

''2

'

...''2

'

...''2

'

...)(''!2

)()('

!1

)()()(

1

1

2

1

2

1

211

1

hOh

fff

fh

h

fff

fh

ffhfi

fh

hfff

xfxx

xfxx

xfxf

iii

iii

i

iii

iiii

iii

iii

ii

• yang dalam hal ini galat berupaO(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi

• Untuk nilai-nilai f di x0 dan x1 persamaan rumusnya:

 )(' 10

0 hOh

fff

dalam hal ini, O(h) = h/2 f’’(t), xi-1<t<xi

Pendekatan Turunan Kedua Selisih – Mundur

• Dengan cara yang sama seperti di atas, diperoleh

• Untuk nilai-nilai f di x-2, x0 dan x1 persamaan rumusnya:

 )(

2''

212 hO

h

ffff iii

i

 )(

2''

2012

0 hOh

ffff i

dalam hal ini, O(h) = h f’’(t), xi-2<t<xi

dalam hal ini, O(h) = hf’’(t), xi-2<t<xi

• Contoh:1.Backward difference (dua titik)

Diketahui data sebagai berikut

x f(x) = e-x Sin (x)

0.4 0.261035

0.6 0.309882

0.8 0.322329

1 0.309560

1.2 0.280725

1.4 0.243009

1.6 0.201810

f’(1)= - 0.110794 (eksak)Hitung nilai pendekatan f’(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 !

𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔∶ 𝒇′ሺ𝒙ሻ= 𝒇ሺ𝒙ሻ− 𝒇(𝒙− 𝒉)𝒉

Penyelesaian:

𝑓′ሺ𝑥ሻ≈ 𝑓ሺ𝑥ሻ− 𝑓(𝑥− ℎ)ℎ

𝑓′ሺ1ሻ≈ 𝑓ሺ1ሻ− 𝑓ሺ1− 0.2ሻ0.2

≈ 0.309560− 0.3223290.2

≈ −0.063845

Error = Selisih nilai pertama dan kedua

=|−0.063845−ሺ−0.110794ሻ| = 0.046948797

2.Backward difference (tiga titik)

𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔∶ 𝒇′ሺ𝒙ሻ≈ 𝟑 𝒇ሺ𝒙ሻ− 𝟒𝒇ሺ𝒙− 𝒉ሻ+ 𝒇ሺ𝒙− 𝟐𝒉ሻ𝟐𝒉

Diketahui data sebagai berikut:

x f(x) = e-x Sin (x)

0.4 0.261035

0.6 0.309882

0.8 0.322329

1 0.309560

1.2 0.280725

1.4 0.243009

1.6 0.201810

𝑓′ሺ1ሻ= −0.110794 (𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘) Hitung nilai pendekatan f’(1) dan galat dengan selisih h = 0.2 !

Penyelesaian:

𝑓′(𝑥) ≈ 3 × 0.309560− 4𝑓ሺ𝑥− ℎሻ+ 𝑓(𝑥− 2ℎ)2ℎ

𝑓′(1) ≈ 3 𝑓ሺ𝑥ሻ− 4× 0.322329+ 0.3098820.4

≈ −0.1268837

Error = Selisih nilai pertama dan kedua

=|−0.1268837−ሺ−0.110794ሻ| =0.0160897

3. Backward difference (turunan kedua)

0.4 0.261035

0.6 0.309882

0.8 0.322329

1 0.309560

1.2 0.280725

1.4 0.243009

1.6 0.201810

𝑹𝒖𝒎𝒖𝒔 : 𝒇 ( )≈ { left ( right ) − left ( − right ) + ( − )} over {{ } ^ { }𝒙 𝒇 𝒙 𝟐 𝒇 𝒙 𝒉 𝒇 𝒙 𝟐 𝒉 𝒉 𝟐𝑓 } left (1 right ) =−0.397532 ( 𝑒𝑘𝑠𝑎𝑘 ¿

Hitung nilai pendekatan f”(1) dan galat dengan selisih h = 0,2 !

(tigatitik)

Error=|

Contoh soal pemilihan rumus NGB

Diberikan data dalam bentuk tabel berikut.

Rumus apa yang digunakan untuk menghitung f '(2.5)?Penyelesaian:untuk menghitung nilai f '(2.5) digunakan rumus hampiran selisih-mundur,sebab x = 2.5 hanya mempunyai titik-titik sebelumnya (mundur).Hampiran selisih-mundur:

Ringkasan Rumus Turunan dengan Metode Newton-

Gregory Mundur

Rumus untuk Data Tanpa Diketahui Fungsi

Rumusuntukturunanpertamaselisihmundur

Rumusuntukturunankeduaselisihmundur

Rumus untuk Data dengan Diketahui Fungsi

Rumusuntukturunanpertamaselisihmundur (dengan dua titik)

Rumusuntukturunanpertamaselisihmundur (dengan tiga titik)

Rumusuntukturunankeduaselisihmundur (dengan tiga titik) 

Rumusuntukturunankeduaselisihmundur (dengan empat titik)

Sekian, terima kasih . . .. . . . . .