Slide 1

MATRIKSOleh: Muhammad Yossi Hadiyoso & Hanifah FauziahXII Science LNJenis jenis matriks

Matriks barisMatriks kolomMatriks persegiMatriks segitiga atas dan matriks segitiga bawahMatriks diagonalMatriks skalarMatriks identitasMatriks nolMatriks sebarang

Nama matriks adalah matriks A Ordo suatu matriks ditulis sebagai perkalian dua buah bilangan bulat positifdengan bilangan pertama menyatakan benyaknya baris, dan bilangankedua menyatakan banyaknya kolom.Untuk matriks A di atas ordonya 3x2 atau dinotasikan A3x2. Elemen elemen pada :baris pertama : 2 dan -1baris kedua : 10 dan 6baris ketiga :7 dan -3kolom pertama : 2, 10 dan 7kolom kedua : -1, 6, dan -3 a11 menyatakan elemen matriks A pada baris pertama kolom pertama,a12 menyatakan elemen matriks A pada baris pertama kolom kedua,aij menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i kolom ke-j, maka : a11 = 2, a12 = -1, a21 = 10, a22 = 6, a31 = 7, dan a32 =-3 Berikut contoh sebuah matriks :Pada matriks berikut ini, buatlah keterangan keterangan seperti contoh tadi !

Latihan

4LEMBAR KERJA SISWA IMatriks baris : matriks yang hanya mempunyai satu baris saja, sedangkan banyaknya kolom adalah bebas.

Contoh Matriks Baris :

b. Matriks kolom : matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja, banyaknya baris adalah bebas .

Contoh matriks kolom :

c. Matriks persegi: matriks yang mempunyai jumlah baris dan kolomnya sama . Contoh matriks persegi :

d. Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah :

Matriks segitiga atas : elemen di atas diagonal utama adalah bebas,di bawah diagonal utama adalah nol.Matriks segitiga bawah :elemen di bawah diagonal utama adalahbebas, di atas diagonal utama adalah nol. Contoh :

e. Matriks diagonal : matriks persegi dengan elemen pada diagonal utama adalah bebas, sedangkan yang lainnya adalah nol.

Contoh :

f. Matriks Skalar : elemen pada diagonal utama adalah bilangan yang sama, yang lainnya adalah nol .

Contoh :

g. Matriks Identitas :matriks persegi dengan elemen padadiagonal utama adalah 1 dan yang lain adalah nol .

Contoh contoh :

h. Matriks nol :semua elemennya nol .

Contoh contoh :

Matriks sebarang :matriks yang tidak punya aturan aturan khusus seperti di atas (seluruh elemennya adalah bebas).

contoh contoh :

Tentukan jenis jenis matriks berikut dan sebutkan ordonya !

Latihan . . .15LEMBAR KERJA SISWA ITranspose MatriksTranspose matriks A adalah matriks baru yang diperoleh dengan mengubahbaris menjadi kolom matriks mula mula, atau sebaliknya.Transpose matriks A dinotasikan AT atau At . Contoh contoh :

Tentukan transpose dari matriks matriks berikut !

Latihan . . .

17LEMBAR KERJA SISWA ILawan matriks (Invers)Lawan matriks A dinotasikan A adalah matriks yang elemennya lawan/ negatif dari matriks A.

contoh :

Kesamaan matriks :Dua buah matriks sama jika elemen yang bersesuaian mempunyai nilai yang sama .

Contoh :

Jawab :

y-1 = 2 y = 3x+3=7-y x+3=7-3=4 x=4-3 x=1

Nilai x+y = 3+1 = 4

Operasi aljabar pada matriks

Penjumlahan matriks Pengurangan matriks Perkalian matriks dengan skalar Perkalian matriksPenjumlahan matriksPenjumlahan dua buah matriks akan mendapatkan matriks baru yang elemen elemennya adalah jumlah dari elemen elemen yang barsesuaian dari matrikssebelumnya.Dua buah matriks dapat dijumlahkan syaratnya harus mempunyai ordo yang sama .Contoh penjumlahan matriks :

Pengurangan matriksPengurangan dua buah matriks akan menghasilkan metriks lain yang elemen elemenya merupakan selisih elemen elemen yang bersesuaian dari matriks sebelumnya. Dua buah matriks dapat dikurangkan syaratnya mempuntai ordo yang sama .

Contoh pengurangan matriks :

3. Perkalian matriks dengan scalarPerkalian matriks A dengan skalar k dinotasikan kA akan menghasilkan matriks baru yang elemen elemennya merupakan hasil perkalian semua elemen elemen Adengan skalar k .

Contoh perkalian matriks dengan skalar :

4. Perkalian matriks Perkalian dua buah matriks akan menghasilkan matriks baru yang elemen elemennya merupakan jumlah dari perkalian setiap elemen baris matriks matriks pertama dengan setiap elemen kolom matriks kedua .

Dua buah matriks dapat dikalikan syaratnya banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua atau secara matematis Akxl . Blxm = C kxm Contoh perkalian matriks :

ordo A 2x2ordo B 2x3banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks keduaordo matriks hasil2x3Sedangkan perkalian BA tidak dapat dilaksanakan, mengapa ?

Latihan . . .

Tentukan hasil A+B dan B+A, apa kesimpulan anda?Tentukan hasil A-B dan B-ATentukan hasil AB dan BA, apa kesimpulan anda?

Tentukan hasil A+BTTentukan hasil AT-BTentukan hasil AB dan BA jika dapat dilaksanakan !Menentukan determinan matriks

Determinan matriks ordo 2x2

Di bawah ini contoh menghitung determinan matriks :LEMBAR KERJA SISWA I27

Determinan matriks ordo-3Menghitung determinan matriks menggunakan metode Sarrus :

Jawab :

= [1.(-2).6 + 2.4.2 + (-3).5.(-2)] [ 2.(-2).(-3) + (-2).4.1 + 6.5.2 ]= [-12+16+30] [ 12-8+60]= 34 - 64= - 30Tentukan determinan matriks matriks :

Menghitung determinan matriks dengan ekspansi baris atau kolom

Jawab :Koefisien dan tanda

Misalkan akan diekspansikan baris pertamaMaka :

Hasil ini akan sama jika kita mengeskpansikan baris ke-2, baris ke-3, kolom ke-1, kolom ke-2 atau kolom ke-3 .Latihan . . .Tentukan determinan matriks matriks :

INVERS MATRIKS ORDO-3p e n g a y a a nLangkah langkah menentukan invers matriks ordo-3Langkah 1Langkah 2Langkah 3Langkah 4Determinan Matriks Ordo 3x3 dimana A =

36Pengertian Minor, Kofaktor, dan Adjoin

Jika , maka minor dari matriks A dapat

dinyatakan dalam oleh aij atau Mij, didefinisikan sebagai determinan submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j pada matriks A dihilangkan

Minor dari matriks A diatas antara lain: Baris ke 1 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh M11= jadi a11 = = e.h - g.f

Baris k-1 dan kolom ke-2 dihilangkan sehingga diperoleh M12= jadi a12 = = d.i - g.f

37Baris ke 1 dan kolom ke 1 dihilangkan sehingga diperoleh M13= jadi a13 = = d.h - g.e

Baris k-2 dan kolom ke-1 dihilangkan sehingga diperoleh M12= jadi a12 = = b.i c.h

dan seterusnya sampai M3,3Jika minor aij menyatakan minor ke-ij dari matriks A, maka kofaktor ke-ij dari matriks A, dinyatakan dengan Cij, didefinisikan sebagai berikut

38Adjoin A adalah transpos dari matriks Kofaktor

39Invers Matriks ordo 3x3 dimana adalah

dengan syarat 0

40Contoh Tentukan invers dari matriks

Jawab : Dari rumus sebelumnya , kita dapatkan Det (A) = -48

41Invers A =

42INVERS MATRIKS ORDO-2Menentukan invers matriksTujuan Pembelajaran :Siswa dapat menentukan invers matriksordo 2x2

Invers matriks ordo-2

Hitung determinan ATentukan Adj. ATentukan A-1Tentukan hasil perkalian AA-1 dan A-1ABuatlah kesimpulan dari hasil d .Jawab :

E. Menyelesaikan persamaan matriks menggunakan invers matriks

Sifat sifat penting :

AI = I A = APerkalian suatu matriks dengan matriks Identitas atau sebaliknyaperkalian matriks identitas dengan sebarang matriks akan menghasilkan matriks itu sendiri . AA-1 = A-1A = IPerkalian suatu matriks dengan inversnya atau sebaliknya perkalian invers suatu matriks dengan matriks mula mula akan menghasilkan matriks identitas .Yang biasa muncul dalam soalPersoalan bentuk AX = BDiselesaikan dengan langkah langkah :AX = B A-1 A X = A-1`B I X = A-1 B X = A-1 B

Ingat !!!Bentuk:AI = IA = IdanAA-1=A-1A=i

Berikut konsep cara penyelesaiannya :

AB

Latihan . . .

Menyelesaikan persamaan linier menggunakan matriks

SKEMA CARA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER:CARA MATRIKSMenyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan determinanUntuk sebarang persamaan linier dua vareabel :a x + b y = cp x + q y = r, maka penyelesaian persamaan tersebut adalah :

Contoh :Tentukan himpunan penyelesaian sistempersamaan :2x + 3y = 45x + 7y = 2 Jawab :2 x + 3 y = 45 x + 7 y = 2

Menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan persamaanmatriksUntuk sebarang persamaan linier dua vareabel :a x + b y = cp x + q y = r,maka persamaan tesebut dapat ditulis dalam bentuk matriks :

Matriks koefisienAX = B, penyelesaiannya :

Latihan . . .

Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan :2x+3y=4b. 5x+8y=15x+7y=2 -x -2y =6menggunakan persamaan matriks !