Matematika (Peminatan)

Matematika (Peminatan)

Matematika (Peminatan)

Kelas: X - IPA 2

Muhamad Dzaki Albiruni

Daftar isi:

Daftar Isi................................................................................2

Materi:Fungsi Eksponen dan Logaritma...........................................3Sistem Persamaan Linear Dua/Tiga Variabel.......................8Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.......................13Persamaan Kuadrat..............................................................15Pertidaksamaan Kuadrat.......................................................16Pertidaksamaan Pecahan.....................................................20

Sumber..................................................................................22

Fungsi eksponen dan logaritma

1. Fungsi Eksponen

a. Konsep:Suatu pemetaan daerah asal ke daerah hasil (fungsi) dengan domain tidak boleh lebih dari satu, dengan nilai berpangkat tinggi.

b. Bentuk Umum:y = dimana a 0 dan a 1.

c. Grafik fungsi konstan dibedakan menjadi 2, yaitu untuk 0 < a < 1, dan a > 1.

Grafik y = untuk 0 < a < 1.

Sifat - sifat: Terdefinisi untuk semua x merupakan bilangan riil. Apabila x adalah 0, maka y = 1. Jika x bernilai kecil dan bertanda negatif, maka y bernilai besar dan bertanda positif. Jika x bernilai besar dan bertanda positif, maka y mendekati nol dengan tanda negatif. (Grafik menurun).

Grafik y = untuk a > 1.

Sifat sifat: Terdefinisi untuk semua x merupakan bilangan riil. Jika x bernilai kecil dan bertanda negatif, maka y mendekati 0 dan bertanda positif. Jika x bernilai besar dan bertanda positif, maka y bernilai besar dengan tanda positif. (Grafik naik). Untuk x = 0, maka y = 1.

d. Persamaan fungsi eksponen. Jika , maka f(x) = g(x) Jika , maka f(x) = p. Jika A + B { maka dapat diselesaikan dengan cara persamaan kuadrat.

2. Fungsi Logaritma

a. Konsep:Suatu pemetaan daerah asal ke daerah hasil (fungsi) dengan domain tidak boleh lebih dari satu, dengan menggunakan sistem logaritma.

b. Bentuk Umum:Jika = x, dengan a 0, dan a 1,Maka berlaku: y

c. Monoton:

Turun

Sifat sifat: Berlaku untuk 0 < a < 1. Terdefinisi untuk semua x > 0. Jika x mendekati nol, y semakin besar dan bertanda positif. Untuk x = 1, y = 0. Untuk x > 1, y bertanda negatif. Jika x semakin besar, y semakin kecil. (Monoton Turun).

Naik

Sifat sifat: Berlaku untuk a > 1. Terdefinisi untuk setiap x > 0. Jika x mendekati nol, nilai y semakin kecil dan bertanda negatif. Untuk x = 1, maka y = 0. Untuk x > 1, y bertanda positif. Semakin besar x, maka y juga semakin besar (Monoton naik).

d. Contoh soal dan Pembahasan:

1.

(a 8) (a - 1). X1 = 8. X2 = 1.

2.

( a 8 ) ( a 4 )A1 = 8. A2 = 4.

x1.x2 = 3x2 = 6. (jawaban b).

3. Jawab: (selesaikan dengan persamaan kuadrat).(2x + 3) (x - 3).X1 = -3/2. X2 = 3.4 x -3/2 x 3 = -18 (jawaban b).

e. Kesimpulan:

Fungsi adalah suatu aturan yang menghubungkan daerah satu dengan daerah lain, secara tepat satu. Dari kedua fungsi yang telah dipelajari (Eksponen dan Logaritma), dapat disimpulkan bahwa fungsi eksponen dapat diselesaikan dengan menggunakan metode grafik, dan diselesaikan menurut aturan eksponen (bilangan berpangkat tinggi). Sedangkan fungsi logaritma, diselesaikan menggunakan metode grafik dan mengikuti aturan logaritma (invers nilai).

Sistem persamaan linear dua dan tiga variabel (SPLDV dan SPLTV)

a. Konsep:

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah Sistem persamaan yang memiliki 2 variabel dan 1 konstanta, dan diselesaikan secara garis lurus (linear).

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah Sistem persamaan yang memiliki 3 variabel dan 1 konstanta, dan diselesaikan secara garis lurus (linear).

b. Bentuk Umum:ax + by + c = 0 2 Variabel.ax + by + cz = 0 3 Variabel.

c. Metode Penyelesaian:

1. Metode Grafik:

Yaitu merupakan salah satu teknik dalam penyelesaian sistem persamaan linear, yang menitik beratkan pada sistem koordinat atau grafik. (sumbu x, sumbu y).

Langkah: Tuangkan permasalahan linear ke dalam bentuk model matematika. (diketahui). Tentukan titik potong x dan y di garis koordinat. Buatlah garis koordinat yang sesuai dengan permasalahan. Titik potong tersebut, merupakan penyelesaian dari metode grafik, berbentuk (x,y).

2. Metode Subtitusi:

Merupakan salahsatu metode penyelesaian, dengan cara men-subtitusikan (mengganti) suatu variabel, ke dalam variabel lain.

Langkah: Susun suatu pernyataan sistem persamaan linear dua / tiga variabel secara lurus. Nyatakan suatu variabel yang akan diubah kedalam variabel lain. Subtitusikan Nilai variabel yang telah ditemukan, ke dalam suatu persamaan linear lainnya.

3. Metode Eliminasi:

Merupakan salahsatu metode penyelesaian dengan cara mengeliminasi salahsatu variabelnya.

Langkah: Susun suatu pernyataan sistem persamaan linear dua / tiga variabel secara lurus. Salahsatu atau kedua persamaan yang dipilih, dikalikan agar salahsatu koefisien dari variabelnya sama. Eliminasi variabel tersebut dengan cara menggunakan operasi penjumlahan atau pengurangan. Lakukan hal tersebut hingga seluruh variabel ditemukan hasilnya.

4. Metode Campuran:

Menggunakan perpaduan antara metode eliminasi dan subtitusi.

Langkah: Gunakan eliminasi terlebih dahulu. Setelah salah satu variabel diketahui, subtitusikan variabel tersebut ke dalam salahsatu persamaan.Selain ke-empat metode diatas, kita juga bisa menggunakan beberapa metode lainnya, yaitu: Invers Matriks. Determinan Sarrus (untuk 3 Variabel). Eliminasi Gaus Jordan.

d. Contoh Soal dan Pembahasan:Masalah yang berkaitan dengan penerapan SPLDV:Di dalam sebuah gedung pertunjukkan, terdapat 200 penonton. Harga karcis untuk anak anak Rp. 2.000, dan dewasa Rp. 3000. Apabila total hasil penjualan karcis tersebut adalah Rp. 510.000, maka berapa banyak penonton untuk anak anak dan dewasa?Jawab:Misalkan:Anak anak:xOrang Dewasa:y

Diketahui:Persamaan 1:x + y = 200.Persamaan 2:2000x + 3000y = 510.000(Disederhanakan):2x + 3y = 510.

Kali ini, saya akan menggunakan metode campuran.Pertama, eliminasi terlebih dahulu kedua persamaan tersebut.x + y = 200 x22x + 2y = 4002x + 3y = 510 x12x + 3y = 510---------------------------------- --y = 110 orang.Kemudian, subtitusikan y ke salahsatu persamaan.x + y = 200. x + 110 = 200. x = 200 110 x = 90 orang

Jadi, penonton dalam bioskop tersebut terdiri atas 90 orang anak anak, dan 110 orang Dewasa.

Masalah yang berkaitan dengan penerapan SPLTV:

e. Kesimpulan:Setelah mempelajari SPLDV dan SPLTV, dapat disimpulkan bahwa 2 materi tersebut sangat berguna di kehidupan sehari hari. Contohnya untuk menghitung harga barang, jumlah penonton, penghasilan dan lain lain. Untuk menyelesaikannya, dapat menggunakan berbagai metode seperti Grafik, Eliminasi, Subtitusi, Campuran, Determinan Sarrus, Matriks dan Eliminasi Gaus Jordan.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel

a. Konsep:Suatu pertidaksamaan yang terdiri atas 2 variabel dan 1 konstanta, dan diselesaikan secara garis lurus (linear).

b. Bentuk Umum:ax+by>cax+bycax+by0(ii) ax + bx + c 0(iii) ax +bx+c 0 grafik fungsi terbuka ketas, dan sebaliknya jika a0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik.2. D=0 maka parabola menyinggung sumbu x.3. D 0 dan D < 0 maka termasuk definit positif, dan jika a < 0 dan D < 0 disebut definit negatif.

Langkah-langkah menyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat :1.Ubahlah pertidaksamaan kuadrat menjadi persamaan kuadrat2.Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut.3.Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat pada garis bilangan.4.Tentukan mana yang termasuk daerah positif, dan mana yang termasuk daerah negatif.5.Tuliskan Himpunan Penyelesaian sesuai soal yang diminta.d.Contoh soal dan pembahasan: Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x 24 < 0Jawab: 2x 24 < 0( x - 6 ) ( x + 4 ) < 0x1 = 6 x2 = -4Apabila diletakkan ke garis bilangan, daerah yang berharga negatif adalah -4 < x < 6 sehingga daerah tersebut merupakan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan 2x 24 < 0.

Tentukan himpunan penyelesaianx2 2x 3 0Jawab :

Bentuk menjadi persamaan x2 2x 3= 0 Difaktorkan (x 3) (x + 1) = 0, maka x = 3 atau x=-1

Berdasarkan soal daerah yang diminta 0 berarti yang bertanda -, sehingga berdasarkan gambar:HP { x -1 x 3 }.

e. Kesimpulan:

Setelah mempelajari Pertidaksamaan kuadrat, maka dapat disimpulkan bahwa persoalan di materi ini dapat diselesaikan dengan difaktorkan (cara persamaan kuadrat) atau menggunakan rumus abc. Kemudian, ditentukan daerah penyelesaiannya melalui Interval (garis bilangan) dan dibuat Himpunan Penyelesaiannya.Pertidaksamaan pecahan

a.Konsep:Pertidaksamaan yang memiliki pembilang dan penyebut.

b. Bentuk Umum:

c. Metode penyelesaian dari pertidaksamaan pecahan adalah:1. Ruas kanan dijadikan nol.2. Samakan penyebut di ruas kiri.3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa).4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut).5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4.Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).6. Tentukan tanda (+) atau () pada masing-masing interval.

d. Contoh soal dan pembahasan :1.

Harga nol pembilang: 5x + 20 = 05x = 20 x = 4Harga nol penyebut: x 3 = 0 x = 3

Garis bilangan: x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x 4}.

2.

Harga nol pembilang: x 2 = 0 atau x + 1 = 0x = 2 atau x = 1Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya:D = b2 4.a.c=>12 4.1.1=>1 4 = 3

Nilai Diskriminannya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real.(Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya)

Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x 1 atau x 2}

e. KesimpulanPertidaksamaan pecahan adalah suatu pertidaksamaan yang memiliki pembilang dan penyebut. Metode penyelesaiannya adalah dengan menjadikan 0 ruas kanan, menyamakan penyebut ruas kiri, memfaktorkan pembilang dan penyebut jika bisa, lalu mencari nilai x. Setelah itu, masukkan nilai x dari pembilang dan penyebut ke dalam garis bilangan, dan tentukan intervalnya.

Sumber:rumus-matematika.comLKS Matematika PeminatanBank Soal Matematika.Muhamad Dzaki Albiruni. | Kelas: X IPA 2. | SMAN 68 Jakarta |