matematika ekonomi 1 -...

MATEMATIKA EKONOMI 1

Oleh :

Muhammad Imron H

UNIVERSITAS GUNADARMA

2015

BAB IHIMPUNAN

A. Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang

dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan yang

lainnya.

Notasi himpunan biasanya dilambangkan dengan huruf kapital (misal A,B,C,...) dan elemen-

elemennya dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya huruf a,b,c.

Himpunan dituliskan dengan tanda kurung kurawal {}.

Contoh :

Suatu himpunan tiga warna lampu lalu lintas.

K = {merah, kuning, hijau}

B. Cara Penulisan Himpunan

Ada dua cara dalam penulisan himpunan

1. Cara pendaftaran/pendataan (roster method) yaitu menuliskan atau mencantumkan

semua unsur yang menjadi anggota suatu himpunan

Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}C = {2, 5, 8, 11, 14, 17}

2. Cara Pencirian (Rule Method) yaitu menuliskan atau menyebutkan karakteristik tertentu

(syarat) dari obyek yang menjadi anggota himpunan tersebut.

Contoh : Ganjil }B = {x | x <18, x Prima}C = {x | x = 3n – 1, n asli <7 }

Latihan :

1) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pendaftaran :

a. A = {x|x <7, x bilangan asli}b. G = {x| 0 < x < 16, x bilangan ganjil}c. W = {x| x2 – 1 = 0 }d. Z = {nama binatang bertaring}e. K = {x| 2 < x 4, x bilangan riil}

2) Tuliskan himpunan berikut dengan cara pencirian :

a. D = {1, 3, 5, 7, 9}b. G = {1, 4, 9, 16}c. F = {2, 3, 5, 7,11}d. H = {2, 4, 9, 12, 35}

Universitas Gunadarma

Matematika Ekonomi 1 1

C. Beberapa Istilah dalam Himpunan

1. Anggota ( ) dan Bukan anggota ( )

Setiap obyek dalam suatu himpunan adalah merupakan anggota dari himpunan tersebut

Contoh : x A dibaca “x anggota himpunan A”

“x unsur himpunan A”

“x elemen himpunan A”

x B dibaca “x bukan elemen himpunan B”

2. Bilangan Cardinal (Banyaknya Anggota Himpunan)

Menyatakan banyaknya anggota himpunan yang termasuk kedalam himpunan tersebut.

Bilangan cardinal dari himpuna A dinotasikan dengan n(A).

Contoh : A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} maka n(A) = 7

B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} maka n(B) = 8

3. Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota.

Notasi untuk himpunan kosong biasanya dilambangkan dengan tanda kurung saja { }

atau .

Contoh : Himpunan siswa Sekolah Dasar yang berusia dibawah 3 tahun.

4. Himpunan Berhingga dan Tak berhingga

Himpunan berhingga adalah himpunan yang banyaknya anggota himpunan berhingga.

Jika tidak demikian dikatakan himpunan tersebut tak berhingga.

Contoh : A={q, w, e, r, d} B={1, 2, 3, 4} himpunan berhingga

C={2, 4, 6, 8, ...} D={..., 5, 7, 9, ...} himpunan takberhingga

5. Himpunan Sederajat

Dua himpunan A dan B dikatakan sederajat jika n(A) = n(B).

6. Himpunan Sama

Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan mempunyai anggota yang sama.

Walaupun urutannya berbeda. (elemen-elemennya sama dan banyaknya anggota sama)

7. Himpunan Semesta / HIMPUNAN UNIVERSAL / HIMPUNAN BESAR

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua elemen yang dibicarakan.

Notasi dari himpunan semesta adalah S atau U.



8. Disjoin (Himpunan yang saling lepas) adalah pasangan dua himpunan yang tidak

mempunyai anggota sekutu.

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (A//B), jika elemen A tidak termuat di B

dan elemen B tidak termuat di A.

9. Sub Set / Sub Himpunan / Himpunan Bagian

A adalah sub himpunan B (ditulis A B) jika setiap elemen A merupakan elemen B

Contoh : A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, dan C = {1, 3, 5}

Dikatakan B A, C B, dan C A

Beberapa sifat himpunan bagian :

a. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

b. Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari dirinya sendiri

c. Jika A B, dan B A maka A = B.

d. Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati dari B (A B) jika A adalah

himpunan bagian dari B dan ada unsur B yang tidak termuat dalam A.

e. Himpunan semua himpunan bagian dari A disebut Himpunan Kuasa dari A

Contoh himpunan kuasa :

Jika A = {2,3} maka himpunan kuasa dari A yaitu : { , {2}, {3}, {2,3}}

Jika B = {a, b, c} maka himpunan kuasa dari B yaitu :

{ , {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}

Latihan :

1) Tentukan himpunan kuasa dari C = {1, 3, 5, 7}

2) Tentukan himpunan kuasa dari D = {a, b, c, d, e}

Banyaknya anggota Himpunan kuasa dari suatu himpunan yang memiliki n anggota

adalah sebanyak 2n.

A B

A // B



D. Operasi Antar Himpunan

1. Union adalah gabungan dari dua himpunan atau lebih yang hasilnya merupakan seluruh

anggota kedua himpunan tersebut.

Notasi dari union ini adalah (huruf u lepas)

Misalnya :

A = {1,2,3} dan B ={3,4,5}

Maka, A B adalah {1,2,3,4,5}, atau A B = {x; x A atau x B}

Diagram vennnya adalah sebagai berikut :

A B adalah terlihat pada bagian yang diarsir

2. Irisan adalah bagian yang serentak menjadi anggota kedua himpunan tersebut atau

dengan kata lain Irisan adalah himpunan semua elemen dari kedua himpunan yang

mempunyai unsur yang sama.

Notasi dari Irisan ini adalah (huruf en lepas).

Misalnya :

A = {1,2,3} dan B = {3,4,5}

Maka, A B = {x; x A dan x B}

Diagram vennnya adalah sebagai berikut :

A B adalah terlihat pada bagian yang diarsir

3. Set Pengurangan/set difference adalah selisih himpunan yang satu dengan

himpunan yang lainnya.

Notasi dari set difference ini adalah – (tanda minus)

Misalnya A = {3,4,5,6,7} dan B = {6,7,8,9,0}

Maka, A – B = {3,4,5}, yang diarsir kiri Dan B – A = {8,9,0}, yang diarsisr kanan

Dimana, A – B = {x; x A dan x B} Dimana, B – A = {x; x A dan x B}

y alahhhhhhhhhhhhhhhhhh s

A B

A – B

A B

B – A



4. Komplemen adalah penyisihan himpunan yang objeknya tidak merupakan unsur

himpunan tersebut, tetapi masih anggota himpunan universalnya.

Notasi komplemen dari himpunan A adalah : A’ atau Ac atau

Misalnya :

S = {a,b,c,d,e,f,g} A = {a,b,c,d} B = {d,e,f,g}

Maka, A’ = {e,f,g} dan B’ = {a,b,c}

5. Perkalian Himpunan (Cartesian Product)

Hasil kali himpunan A dan B (ditulis A x B) adalah suatu haimpunan yang elemennya

terdiri dari pasangan berurutan (a, b) dengan a A dan b B.

A x B = {(a,b) | a A dan b B }

Contoh :

a. A = {1, 2, 3} dan B = {4, 5}

Maka A x B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

b. A = {x | 1 < x 3, x R}

B = {y | 2 y < 5, y R}

Maka A x B = {(x, y) | 1 < x 3 dan 2 y < 5 }

Latihan :

1. Diketahui himpunan A, B, C. Manakah dari pernyataan berikut ini benar ?a. Jika A B dan A C = , maka B C = b. Jika A B dan B C = , maka A C = c. Jika A B, maka A B = Bd. Jika A B, maka A B = A

2. Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {1, 3, 5, 7, 9}C = {6, 8}

Tentukan :a. A Bb. A (B – C)c. (A B)’ – Cd. C (A – B)e. (A B)’ (A C)’

2

5

1 3



3. Tentukan irisan dari pasangan himpunan berikut :a. {x | –1 < x 5, x R} {x | 0 < x 7, x R}b. {x | 2 x < 4, x R} {x | 3 x < 8, x R}

4. Suatu asrama dihuni 50 mahasiswa dengan perincian 30 orang menguasai bahasa inggris, 25 orang menguasai bahasa Jerman, dan 10 orang menguasai bahasa Inggris dan Jerman. Berapa orang yang tidak menguasai bahasa Inggris dan Jerman?

5. Suatu kelompok dengan data sebagai berikut :Nama Jenis kelamin Asal daerah PendidikanAmir L Bekasi SMKAgus L Bekasi SMABambang L Bogor SMACici P Bekasi SMACarla P Bogor SMADarsono L Bogor SMAGendis P Bekasi SMAHaris L Bogor SMKImbi L Bogor SMKJeriko L Bekasi SMAKurnia P Bekasi SMAListiana P Bogor SMAMurtadho L Bekasi SMAZaki L Bogor SMK

Tuliskan Himpunan :

a. A = Mahasiswa berasal dari Bekasib. B = Mahasiswa berasal dari Bogor c. C = Mahasiswa Laki-lakid. D = Mahasiswa Perempuane. E = Mahasiswa berpendidikan SMAf. F = Mahasiswa berpendidikan SMKg. (C A) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bekasih. (D F) = Mahasiswa perempuan dan berpendidikan SMKi. (E B) = Mahasiswa berpendidikan SMA dan berasal dari Bogorj. (A F) = Mahasiswa berasal dari Bekasi dan berpendidikan SMKk. (C B E) = Mahasiswa laki-laki dan berasal dari Bogor dan berpendidikan SMAl. (C A) = Mahasiswa Laki-laki atau yang berasal dari Bekasim. (D E) = Mahasiswa Perempuan atau berpendidikan SMAn. (B E) = Mahasiswa berasal dari Bogor atau berpendidikan SMAo. (D A F) = Mahasiswa Perempuan atau yang berasal dari Bekasi atau

berpendidikan SMK



E. Hukum – hukum Teori Himpunan

1. Hukum Komutatif adalah penggantian daripada himpunan yang satu dengan himpunan

yang lainnya, akan memberikan penghasilan yang sama. Hukum komutatif

dikelompokkan atas dua yaitu :

a. Komutatif untuk union ;

A B = B A

b. Komutatif untuk irisan ;

A B = B A

2. Hukum assosiatif adalah penggantian penggabungan himpunan dari tiga himpunan yang

diajukan pada suatu persoalan. Hukum assosiatif dikelompokkan atas dua yaitu :

a. Assosiatif untuk union :

(A B) C = A (B C)

b. Assosiatif untuk irisan

(A B) C = A (B C)

3. Hukum Distributif adalah pembagian pengelompokkan dua himpunan dari tiga himpunan

yang mempunyai cara berbeda dan hasil yang berbeda. Hukum distributif dikelompokkan

atas dua yaitu :

a. Distributif Irisan terhadap Union ;

1. A (B C) = (A B) (A C)

2. (A B) C = (A C ) (B C)

b. Distributif union terhadap Irisan ;

1. (A B) C = (A C) (B C)

2. A (B C) = (A B) (A C)

4. Hukum identitas adalah pasangan suatu himpunan dengan himpunan kosong. Hukum

identitas dikelompokkan atas dua yaitu :

a. Identitas untuk union

A = A = A

b. Identitas untuk irisan ;

A = A =



5. Hukum Idempoten adalah penggabungan dua himpunan yang sama dan akan

menghasilkan himpunan yang sama pula. Hukum idempoten ada dua yaitu :

a. Idempoten untuk Union :

A A = A

b. Idempoten untuk irisan :

A A = A

6. Hukum De Morgan yang dikelompokkan atas dua yaitu ;

a. De Morgan untuk Union :

(A B)’ = A’ B’ Komplemen dari gabungan dua himpunan merupakan

irisan dari komplemen masing-masing himpunan

b. De Morgan untuk Irisan :

(A B)’ = A’ B’ Komplemen dari irisan dua himpunan merupakan

gabungan dari komplemen masing-masing himpunan

7. Hukum kelengkapan adalah pengoperasian sebuah himpunan dengan komplemennya.

Hukum kelengkapan dikelompokkan atas dua yaitu :

a. Kelengkapan untuk Union ;

A A’ = S

b. Kelengkapan untuk Irisan ;

A A’ = Ø

8. Hukum Absorbsi

A (A B) = A

A (A B) = A

9. Hukum Dominasi

A S = S

A Ø = Ø



BAB IISistem Bilangan dan Pertidaksamaan

A. Sistem Bilangan

Macam himpunan bilangan adalah sebagai berikut :

1. Bilangan asli

Sistem dasar dari bilangan adalah himpunan bilangan asli

Himpunan bilangan asli A = {1, 2, 3, 4, 5, ... }

2. Bilangan cacah

bilangan asli ditambah nol

Himpunan bilangan cacah C = {0, 1, 2, 3, 4, ... }

3. Bilangan Bulat

bilangan cacah ditambah negatif dari bilangan asli

Himpunan bilangan Bulat B = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

4. Bilangan prima,

bilangan asli yang tepat mempunyai dua faktor yaitu 1 dan dirinya sendiri.

Himpunan bilangan Prima P = {2, 3, 5, 7, 11, ... }

5. Bilangan Komposit,

Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 (satu) yang bukan

termasuk bilangan prima.

Himpunan bilangan Komposit K = {4, 6, 8, 9, 10, ...}

6. Bilangan rasional (Q)bilangan yang dapat dinyatakan sebagai

ba dimana a dan b Bulat, dimana b 0

(a : pembilang dan b : penyebut )

Contoh bilangan rasional adalah bilangan bulat, pecahan biasa, pecahan campuran,

bilangan pecahan desimal terbatas dan pecahan desimal berulang.

Misalnya :a. Bilangan bulat 6 =

212

16

b. Bilangan pecahan 34

c. Bilangan pecahan campuran 517

523

d. Bilangan pecahan desimal terbatas 2,345 = 10002345

e. Bilangan pecahan desimal berulang 1,333... = 34



7. Bilangan Irrasional, bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai ba (a, b Bulat)

Misalnya : - bentuk akar : 2 , 3

- = 3,1415926535897932384626433832795...

- bilangan desimal takterbatas takberulang 2,36543455......

8. Bilangan riil (R),

bilangan yang dibentuk oleh bilangan rasional dan bilangan irrasional.

9. Bilangan imajiner,

bilangan yang apabila dikuadratkan menghasilkan bilangan negatif. Satuan bilangan

imajiner dinyatakan dengan huruf i = 1

Misalnya : 5 = i 5

10. Bilangan Kompleks, bilangan yang digabung antara bilangan riil dengan bilangan

imajiner.

Misalnya : 1 + 2 = 1 + i 2

4 – 3 1= 4 – 3i

Skema Himpunan Bilangan

Garis bilangan (Bilangan Real)

Pada garis bilangan, semua bilangan diletakkan berurutan dengan skala rapi. Bilangan yang

lebih kecil disebelah kiri dan bilangan yang lebih besar di sebelah kanan.

a < b atau b > a

a b

Bilangan

BilanganRiil

BilanganImajiner

BilanganIrrasional

BilanganRasional

BilanganPecahan

BilanganBulat

BilanganBulat Negatif

BilanganBulat PositifNol



Interval Terbuka dan Tertutup

Perhatikan semua bilangan antara a dan b. Himpunan semua bilangan yang terletak antara a

dan b disebut Interval dengan a merupakan batas bawah terbesar dan b merupakan batas atas terkecil.Interval dapat dituliskan dengan tanda <, >, , atau dengan tanda kurung (), dan [].

a. Interval terbuka

a < x < b dapat ditulis dengan (a, b) ( )

b. Interval tertutup

a x b dapat ditulis dengan [a, b] [ ]

c. Interval terbuka kiri (interval tertutup kanan)

a < x b dapat ditulis dengan (a, b] ( ]

d. Interval terbuka kanan (interval tertutuk kiri)

a x < b dapat ditulis dengan [a, b) [ )

e. Interval takberhingga

{x | x R } dapat ditulis dengan (– , )

Contoh :

1. {x | –1 < x < 3 } = (–1, 3)

2. {x | –1 x < 3 } = [–1, 3)

3. {x | –1 < x 3 } = (–1, 3]

4. {x | –1 x 3 } = [–1, 3]

5. {x | x < 3 } = (– , 3)

6. {x | x –2 } = [–2, )

7. (–1, 5) (0, 7] = (–1, 7]

8. (–1, 5) (0, 7] = (0, 5)

Latihan :

Diketahui interval-interval A = (–2, 6], B = (0, 8], C = [2, 4), D = [3, 9)

Tentukan :

a. A B c. A C e. A D g. B – D

b. A B d. A C f. A – D h. A – C

a b

a b

a b

a b



B. Pertidaksamaan

Sebelum membahas pertidaksamaan, perlu diketahui hal-hal sebagai berikut :

Kalimat tertutup merupakan kalimat yang sudah dapat diketahui nilai kebenarannya.

Contoh : 2 + 4 = 6 benar8 – 3 = 4 salahJakarta adalah ibu kota Indonesia benarGunung merapi terletak di jawatimur salah

Kalimat terbuka merupakan kalimat yang belum dapat diketahui nilai kebenarannya.

Contoh : Buah jeruk itu manisYogyakarta ada di pulau x3x = 129 – x = 4

Kesamaan : kalimat tertutup yang menggunakan tanda hubung sama dengan (=)

Ketidaksamaan : kalimat tertutup yang menggunakan tanda hubung >, <, , .

Persamaan : kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung sama dengan (=)

Pertidaksamaan : kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung >, <, , .

Pada kalimat terbuka 3x = 12 bernilai benar jika x diganti dengan 4 dan bernilai salah jika diganti dengan selain 4. Selanjutnya x disebut dengan VVariabel, sedangkan 3 dan 12 disebut konstanta dan 4 disebut dengan penyelesaian dari kalimat terbuka tersebut.

Pada kalimat x2 = 25. Jika variabel x diganti dengan –5 atau 5 maka kalimat x2 = 25 akan bernilai benar. Dalam hal ini x = –5 atau x = 5 adalah penyelesaian dari kalimat terbuka x2 = 25. Jadi, himpunan penyelesaian dari kalimat x2 = 25 adalah {–5, 5}.

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar

Penulisan pertidaksamaan dan interpretasinya dapat dilihat pada tabel berikut :

Ketidaksamaanatau

PertidaksamaanInterpretasi

2 < 7 2 kurang dari 7

x > 99 Nilai x lebih besar dari 99

2 < x < 21 Nilai x lebih besar dari 2 dan kurang dari 21

6x 18 6x lebih besar atau sama dengan 18

5 + x 23 5 + x kurang dari atau sama dengan 23

merupakan kalimat tertutup

belum dapat diketahui nilai kebenarannya



Sifat-sifat pertidaksamaan :1. a < b b > a

2. Jika a > b maka : Jika a < b maka :

a c > b c a c < b c

ac > bc jika c > 0 ac < bc jika c > 0

ac < bc jika c < 0 ac > bc jika c < 0

3. Jika a > b dan b > c maka a > c

4. Jika a > b dan c > d maka a + c > b + d

5. Jika a > b > 0 dan c > d > 0 maka ac > bd

6. Jika a > b > 0 maka :

a2 > b2

1/a < 1/b

7. Jika a/b < 0 dimana b 0 maka ab < 0

8. Jika a/b > 0 dimana b 0 maka ab > 0

Penyelesaian pertidaksamaan

Menemukan jawaban pertidaksamaan adalah menentukan daerah yang memenuhi hubunganpertidaksamaan yang dinyatakan. Penulisan himpunan jawaban pertidaksamaan dapat dalambentuk interval yang telah didefenisikan di atas.

Contoh 1 –5

Jawab: –5–5 –3

– 4; jadi himpunan penyelesaiannya {x|x – 4} = [–4, )

Contoh 2 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x < 3

Jawab :2x < 3

2x . 2 < 3 . 2

x < 6 jadi himpunan penyelesaiannya {x|x< 6} = (– , 6)

Contoh 3 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3

x < 4

Jawab :3

x < 4

3x . (–3) > 4 . (–3)

x > –12 jadi himpunan penyelesaiannya {x|x>–12} = (–12, )



Contoh 4 : tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan –3 < x – 2 < 2,

Jawab: –3 < x – 2 < 2 –3 + 2 < x < 2 + 2 (masing-masing ruas ditambah 2)

–1 < x < 4; jadi penyelesaiannya dalam interval (–1,4)

Contoh 5 : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1

2x

– 4

Jawab :1

2x

– 4 bermakna x + 1 < 0

12

x. (x + 1) – 4 . (x + 1) dan x + 1 < 0

2 – 4x – 4 x < –1

4x – 4 – 2

4x – 6

x 23 jadi penyelesaiannya dalam interval [

23 , –1)

Contoh 6: tentukan himpunan jawaban pertidaksamaan (x – 2)(x –

Jawab: (x – 2)(x –memiliki titik nol; (x – 2) = 0, atau (x – 3) = 0

x = 2, x = 3

Daerah yang memenuhi adalah negatif “–“ sehingga penyelesaiannya dalam interval [2, 3]

Latihan :

Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut :1. x – 3 < 6 6.

23x > 7 – 2x

2. x +5 2 7. 4x – 5 6

3. 6x – 5 > 7 – 2x 8. 2

13

32 xx

4. 8 + 5x 7x – 6 9. x2 – 3x < 10

5.5

2x < 8 10. x2 – 4x – 3

2 3+ – +



FUNGSI A. Pengertian

Kita sudah pelajari tentang perkalian cartesius dua buah himpunan A dan B (ditulis A x B)

yang merupakan himpunan yang elemennya terdiri dari pasangan berurutan (a,b)

dengan a ∈A dan b ∈ B atau

A x B = {(a,b) | a ∈A dan b ∈ B }

Contoh :

Jika himpunan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c, d} maka

A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (1,d), (2,a), (2,b), (2,c), (2,d), (3,a), (3,b), (3,c), (3,d)} A : Himpunan asal (domain) B : Himpunan tujuan (kodomain)

Relasi dua himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari AxB dan dinotasikan

dengan R. Lebih jelasnya, Relasi himpunan A dan B merupakan hubungan antara 2

himpunan tersebut dengan cara memasangkan setiap anggota himpunan asal A dengan

anggota himpunan tujuan B. Jika x∈A dan y∈B dan x berelasi dengan y ditulis xRy.

Himpunan bagian dari B yang mengakibatkan xRy disebut dengan Range/Rentang.

Contoh :

1. Diketahui A = {1, 2, 3} dan B = {2, 4, 5, 6, 10}

Suatu relasi (x,y)∈R : y adalah dua kali x.

Dengan diagram panah

Domain = {1, 2, 3}

Kodomain = {2, 4, 5, 6, 10}

Range = {2, 4, 6}

Anggota Relasi = (1,2), (2,4), (3,6)

2. Suatu relasi (x,y)∈R memenuhi 2x ≤ y, dimana x∈A dan y∈B dengan A={1, 2} dan

B={2, 3, 4} maka

(1, 2) ∈ R

(1, 3) ∈ R

(1, 4) ∈ R

(2, 2) ∉ R

(2, 3) ∉ R

(2, 4) ∈ R

1

2

3

2 4 5 6

10

1

2

2 3 4



B. Fungsi

Fungsi f dari himpunan A ke himpinan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap

unsur/elemen pada A ke tepat satu unsur/elemen pada B.

f : A → B dibaca ”f memetakan himpunan A ke himpunan B”

Suatu kaidah atau aturan yang memasangkan unsur pada A dan B ditulis dengan

y → f(x) atau y = f(x)

Daerah definisi (Wilayah) f adalah himpunan A dengan notasi Df atau D(f).

Daerah nilai f adalah himpunan peta dari semua unsur A dengan notasi Rf atau R(f)

Suatu fungsi dapat ditunjukkan dengan cara :

1. Diagram panah 2. Himpunan pasangan berurutan {(x,y) | y = f(x), x∈A, y∈B} 3. Tabel 4. Grafik Cartesius

Contoh : A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Untuk fungsi f : 2x – 1 dapat dinyatakan dengan

a. Diagram panah

b. Himpunan pasangan berurutan {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)}

c. Tabel

x 1 2 3 4

y = f(x) = 2x – 1 1 3 5 7

d. Grafik Cartesius

7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5

1

2

3

4

1 2 3 4 5 6 7 8



Fungsi dapat dituliskan dalam berbagai cara. Misal fungsi f yang kaidahnya ditentukan

oleh persamaan y = x2 – 4 dimana x,y∈Real, dapat dituliskan dengan salah satu cara

berikut :

1. y = x2 – 4 2. f(x) = x2 – 4 3. f : x → y ialah fungsi yang harganya diberikan oleh f(x) = x2 – 4 4. f : (x,y) ialah fungsi pasangan urutnya (x, x2 – 4) 5. {(x,y) | y = x2 – 4}

Latihan

1. Manakah yang merupakan fungsi

a. {(1,2), (2,3), (2,4), (3,5)}

b. {(–1,2), (1,5)}

c. {(–2,2), (–3,3), (2,2), (3,3)}

2. Misal f suatu fungsi dengan Df = {–1, 2, 3} dan f(x) = 2x + 3. Tentukan Rf.

3. Gambarkan grafik fungsi dari f(x) = 2x – 2

4. Tentukan daerah definisi dari fungsi berikut

a. f(x) = 3x + 5

b. g(x) = 2−x

c. h(x) = 2Log x

5. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 2x + 3. Tentukan f(–2), f(0), f(3), f(4) dan f(8)

C. Jenis-jenis Fungsi 1. Berdasar bentuk operator dalam persamaan

a. Fungsi Aljabar • Fungsi Rasional Bulat (Fungsi Polinom)

Bentuk umum : f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... anxn Contoh : Fungsi Linier f(x) = ax + b (polinom berderajat 1) Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c (polinom berderajat 2) Fungsi pangkat tiga f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (polinom berderajat 3)

• Fungsi Rasional Pecahan

rqxpxcbxax)x(f 2

2

++

++=

• Fungsi Irrasional

Contoh : f(x) = 32 +x atau ditulis f(x) = (2x +3)1/2



b. Fungsi Transenden • Fungsi Trigonometri contoh : f(x) = 3 Sin 2x • Fungsi Logaritma contoh : f(x) = 2log 5x • Fungsi Eksponen contoh : f(x) = 5x

2. Berdasar Letak variabelnya a. Fungsi Eksplisit : Fungsi yang variabelnya dipisahkan dengan tanda ”=”

Contoh : y = 3x2 – 10 b. Fungsi Implisit : Fungsi yang variabel-variabelnya berada dalam ruas yang sama.

Contoh : y – 3x2 = 10 3. Fungsi Komposisi (Fungsi Majemuk) : Fungsi yang didapatkan dengan substitusi suatu

fungsi lain dalam fungsi tersebut. Jika y = f(x) sedangkan x merupakan suatu fungsi g(z), maka fungsi komposisi y = f(g(z)) Contoh : Jika f(x) = 2x2 + x – 3 dan g(x) = x + 1 maka fungsi komposisi f(g(x)) = 2(g(x))2 + (g(x)) – 3

= 2(x+1)2 + (x+1) – 3 = 2(x2 + 2x + 1) + (x+1) – 3 = 2x2 + 4x + 2 + x + 1 – 3 = 2x2 + 5x

4. Fungsi Invers Jika fungsi asal adalah y = f(x) maka fungsi inversnya adalah x = f

–1(y) Contoh : Jika fungsi asal diketahui sebagai f(x) = y = 3x + 2 maka y = 3x + 2 3x = 2 – y

x = 3

)2( y−

f –1(y) = 3

)2( y−

D. Grafik Fungsi

1. Fungsi Linier Grafik fungsi linier berbentuk garis lurus Misal : y = f(x) = 2x y = f(x) = 2x + 3 y = f(x) = ½ x



2. Fungsi Kuadrat

Contoh : y = f(x) = x2 y = f(x) = x2 + 2 y = f(x) = –x2 + 4 y = f(x) = x2 – 2x – 3

3. Fungsi Logaritma

Contoh : y = f(x) = 2 log x y = f(x) = –2 log x

4. Fungsi Trigonometri Contoh : y = f(x) = 2 sin x y = g(x) = 2 cos x

5. Fungsi Eksponen Contoh : y = f(x) = 2x

y = f(x) = –2x y = f(x) = (½)x y = f(x) = –(½)x



E. Fungsi Linear

1. Persamaan dan Grafik fungsi linier

Fungsi Linier merupakan fungsi polinom berderajat satu (pangkat tertinggi dari variabel bebasnya adalah satu). Bentuk umum fungsi liner adalah :

y = ax + b atau secara implisit px + qy + r = 0

Keterangan : y : variabel terikat x : variabel bebas

Contoh : a. Fungsi y = 3x + 4 dapat ditulis menjadi 3x – y + 4 = 0 b. Fungsi y = ½ x – 5 dapat dituliskan menjadi 2y = x – 10 atau x – 2y – 10 = 0

Grafik fungsi linier berupa garis lurus Contoh : Di bawah ini grafik fungsi linier y = 2x + 1

Pada grafik fungsi linier dikenal istilah : a. Lereng / Kemiringan / Scope / Gradien (m)

Mencerminkan perbandingan perubahan nilai y terhadap perubahan nilai x.

Sehingga m = xy

∆∆

Pada grafik di samping

212

==∆∆

a

a

xy

224

==∆∆

b

b

xy

Jika suatu garis melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) maka lereng/gradien garis

tersebut dapat ditentukan dengan rumus m = 12

12

xxyy

−−

b. Penggal (Titik potong dengan sumbu koordinat)

Penggal pada sumbu x didapat pada saat nilai y = 0 Penggal pada sumbu y didapat pada saat nilai x = 0 Pada grafik di atas didapat :

• Penggal pada sumbu x (saat y = 0) y = 2x + 1 0 = 2x + 1 2x = –1 x = – ½ Jadi penggal pada sumbu x adalah (-½,0)

∆xa

∆xb ∆ya

∆yb

m = 2



• Penggal pada sumbu y (saat x = 0) y = 2x + 1 y = 2(0) + 1 y = 1 Jadi penggal pada sumbu y adalah (0,1)

Latihan : Tentukan gradien dan penggal dari garis-garis berikut : 1. y = 9x + 3 2. y = –7x + 14 3. 2x + 6y – 21 = 0 4. 5x – 3y + 15 = 0

2. Menyususn Persamaan Garis

Membentuk / Menyusun Persamaan Garis (fungsi linier) dapat dilakukan dengan : a. Cara dwi-koordinat

Jika diketahui dua buah titik yang dilalui suatu garis yaitu titik A(x1, y1) dan B(x2, y2), maka persamaan garis tersebut dapat dibentuk dengan persamaan :

12

12

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−−

Contoh : Persamaan garis yang melalui A(2, 7) dan B(6, 1) dapat ditentukan dengan

12

12

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−−

2671

27

−−

=−−

xy

46

27 −

=−−

xy

4(y – 7) = – 6(x – 2) 4y – 28 = –6x + 12 6x + 4y – 40 = 0

3x + 2y – 20 = 0 dalam bentuk eksplisit menjadi y = 23

− x + 10

Latihan : Tentukan persamaan garis melalui pasangan titik-titik berikut : a. (3, 1) dan (8, 2) b. (– 4, 5) dan (5, 23) c. (2, –3) dan (–1, 3)



b. Cara koordinat-lereng Jika suatu garis diketahui melalui titik A(x1, y1) dengan gradien m, maka

persamaan garis tersebut 12

12

1

1

xxyy

xxyy

−−

=−−

dengan m = 12

12

xxyy

−− menjadi :

mxxyy

=−−

1

1

y – y1 = m(x – x1)

Contoh : Suatu garis melalui titik (5, 1) dengan gradien m = 2 maka persamaan garis tersebut adalah y – y1 = m(x – x1)

y – 1 = 2 (x – 5) y – 1 = 2x – 10 y = 2x – 9 atau 2x – y – 9 = 0

Latihan : Tentukan persamaan garis : a. Melalui (6, 2) dengan gradien –2 b. Melalui (–3, 5) dengan gradien ¼ c. Melalui (–2, –1) dengan gradien – ½

c. Cara penggal-lereng

Jika suatu garis dengan gradien m = a dan melalui penggal pada sumbu y di

(0, b), maka persamaan garisnya y = ax + b

Contoh : Suatu garis dengan gradien m = 3 dan melalui titik (0, 5) maka persamaan garisnya adalah y = ax + b

y = 3x + 5

Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (0, 6) dengan gradien 3 b. Melalui (0, –1) dengan gradien ½ c. Melalui (0, 4) dengan gradien – ¾

d. Cara dwi-penggal

Jika suatu garis melalui dua penggal yaitu pada sumbu y di (0, p) dan pada sumbu x di (q, 0) maka persamaan garis tersebut

px + qy = pq atau y = –qp x + p

Contoh : Garis di samping mempunyai persamaan : 5x + 6y = 5(6)

5x + 6y = 30 atau y = – 65 x + 5

6

5

x

y



Latihan : Tentukan persamaan garis

a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, –1) dan (4, 0) c.

3. Hubungan dua buah garis

Letak dua buah garis y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 dalam satu bidang ada 3 kemungkinan : a. Sejajar jika m1 = m2 dan c1 ≠ c2 b. Berimpit jika m1 = m2 dan c1 = c2 c. Berpotongan jika m1 ≠ m2 d. Berpotongan tegak lurus (⊥) jika m1 ≠ m2 dengan m1.m2 = –1

Pada gambar di samping, manakah garis-garis yang sejajar, berimpit, berpotongan, dan berpotongan tegak lurus ?

Contoh : 1. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan

x + 2y – 5 = 0 dan y = – ½ x + 2

Penyelesaian : Persamaan garis x + 2y – 5 = 0 2y = –x + 5 y = – ½ x + 2½ → m1 = –½ Persamaan garis y = – ½ x + 2 → m2 = –½ Karena m1 = m2 maka kedua garis sejajar

–9

–3 x

y



2. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan 3x + 5y – 4 = 0 dan 5x – 3y + 2 = 0

Penyelesaian : Persamaan garis 3x + 5y – 4 = 0 5y = –3x + 4

y = – 35 x + 4

5 → m1 = – 3

5

Persamaan garis 5x – 3y + 2 = 0 3y = 5x + 2

y = 53x + 2

3 → m2 = 5

3

m1 ≠ m2 dan m1 x m2 = – 35 x 5

3 = –1

Jadi kedua garis berpotongan tegak lurus Latihan :

1. Selidiki hubungan pasangan garis-garis dengan persamaan berikut : a) y = 3x + 7 dan y = –x + 4 b) 3x + 6y – 1 = 0 dan x + 2y + 10 = 0 c) 4x – 2y = 8 dan y = 2x – 4 d) 5x – 2y + 3 = 0 dan 2x – 5y + 3 = 0 e) x – 3y = 6 dan 6x + 2y – 5 = 0

2. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, –3) dan sejajar dengan garis dengan persamaan 2x – 3y + 1 = 0

3. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, –3) dan tegak lurus dengan garis dengan persamaan 2x – 3y + 1 = 0

4. Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier terdiri dari beberapa persamaan linier. Contoh : 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Dua buah persamaan linier diatas membentuk sebuah sistem yaitu Sistem Persamaan Linier (SPL). Sistem Persamaan Linier di atas juga dapat dituliskan dengan cara lain yaitu : 2x + 3y = 21

x + 4y = 23 Menyelesaikan suatu SPL berarti menentukan nilai variabel-variabelnya (pada contoh di atas adalah variabel x dan y) sehingga memenuhi kedua persamaan. Atau dengan kata lain mencari nilai variabel-variabelnya sehingga kedua persamaan bernilai benar. Secara grafis, menyelesaikan sistem persamaan linier berarti menentukan titik potong kedua garis.



Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linier, diantaranya : a. Substitusi

Langkah ini dilakukan dengan menyelesaikan salah satu variabel dari satu persamaan kemudian disubstitusikan ke persamaan yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara substitusi

2x + 3y = 21 x + 4y = 23

Penyelesaian : Pada persamaan kedua yaitu x + 4y = 23, kita peroleh x = 23 – 4y Nilai x ini kita substitusikan ke persamaan pertama sehingga kita peroleh :

2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 – 5y = 21 – 46 – 5y = – 25 y = 5

Nilai y ini kita substitusikan ke salah satu persamaan semula akan diperoleh : 2x + 3y = 21 atau x + 4y = 23 2x + 3(5) = 21 x + 4(5) = 23 2x + 15 = 21 x + 20 = 23 2x = 6 x = 3 x = 3 Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5

b. Eliminasi

Cara ini dilakukan dengan cara menghilangkan(mengeliminasi) sementara salah satu variabel sehingga dapat ditentukan nilai variabel yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara eliminasi

2x + 3y = 21 x + 4y = 23

Penyelesaian : Misal kita eliminasi variabel x, maka kita kalikan masing-masing persamaan dengan suatu bilangan (yang berbeda) sehingga koefisien variabel x sama.

2x + 3y = 21 x 1 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 x 2 2x + 8y = 46

–5y = – 25 y = 5 Substitusikan ke salah satu persamaan seperti cara sebelumnya dan diperoleh nilai x = 3. Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5.

Pilih salah satu persamaan saja

Agar variabel x hilang, kita kurangkan kedua persamaan

(kadang kita lakukan penjumlahan tergantung bentuk persamaan)



c. Determinan

Jika suatu SPL terdiri dari n persamaan dengan n variabel, maka dengan kedua cara di atas, pekerjaan akan menjadi lebih komplek. Untuk itu ada cara menyelesaikan SPL yaitu dengan determinan. Di bawah ini akan dijabarkan cara penyelesaian SPL untuk dua variabel.

Apa Itu Determinan ?

Untuk matriks A = �a bc d� maka determinan dari A yaitu |A| = ad – bc

Untuk matriks A = �a b cd e fg h i

� maka :

�a b cd e fg h i

� a bd eg h

(tambahkan dua kolom pertama)

|A| = (aei + bfg + cdh) – (ceg + afh + bdi)

Cobalah mencari nilai determinan-determinan berikut :

1) |A| = �3 52 4� 3) |C| = �

1 2 34 5 67 8 9

�

2) |B| = � 2 6−3 4� 4) |D| = �

3 2 01 −1 4−2 5 0

�

Bagaimana penyelesaian SPL dengan Determinan ? Suatu SPL dapat diubah menjadi bentuk matriks menjadi :

�a bp q� �

xy� = �cr� disingkat menjadi D.�̅�𝑣 = �̅�𝑠

Jika D = �a bp q� maka cari nilai |D|

Jika Dx = �c br q� maka cari nilai |Dx|

Ganti kolom pertama matriks D dengan �̅�𝑠

Jika Dy = �a cp r� maka tentukan nilai |Dy|

Ganti kolom kedua matriks D dengan �̅�𝑠

Nilai x = |𝐷𝐷𝑥𝑥 ||𝐷𝐷|

dan nilai y = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|

ax + by = c px + qy = r



Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara determinan

2x + 3y = 21 x + 4y = 23

Penyelesaian :

D = �2 31 4� sehingga |D| = 2(4) – 3(1) = 8 – 3 = 5

Dx = �21 323 4� sehingga |Dx| = 21(4) – 3(23) = 84 – 69 = 15

Dy = �2 211 23� sehingga |Dy| = 2(23) – 21(1) = 46 – 21 = 25

nilai x = |𝐷𝐷𝑥𝑥 ||𝐷𝐷|

= 155

= 3

nilai y = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|

= 255

= 5

Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5 Catatan :

SPL berbentuk �𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑒𝑒𝑦𝑦 + 𝑓𝑓𝑐𝑐 = 𝑙𝑙𝑔𝑔𝑥𝑥 + ℎ𝑦𝑦 + 𝑖𝑖𝑐𝑐 = 𝑚𝑚

� diubah menjadi matriks D�̅�𝑣 = �̅�𝑠

yaitu �𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒 𝑓𝑓𝑔𝑔 ℎ 𝑖𝑖

� �𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦𝑦� = �

𝑘𝑘𝑙𝑙𝑚𝑚�

Langkah selanjutnya : Tentukan |D| Tentukan |Dx| (ganti kolom pertama matriks D dengan �̅�𝑠 ) Tentukan |Dy| (ganti kolom kedua matriks D dengan �̅�𝑠 ) Tentukan |Dz| (ganti kolom ketiga matriks D dengan �̅�𝑠 )

Nilai x = |𝐷𝐷𝑥𝑥 ||𝐷𝐷|

nilai y = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|

dan nilai z = |𝐷𝐷𝑦𝑦 ||𝐷𝐷|



F. Kungsi Kuadrat

1. Pengertian Fungsi kuadrat merupakan fungsi polinom berderajat dua. Bentuk Umum fungsi kuadrat adalah : y = ax2 + bx + c atau dalam bentuk persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax2 + bx + c = 0

2. Akar-akar Persamaan Kuadrat

Akar-akar PK ax2 + bx + c = 0 merupakan nilai variabel x sehingga PK bernilai benar. Akar-akar suatu PK maskimal ada dua. Pada grafik fungsi kuadrat, jika x1 dan x2 adalah akar-akar PK, maka titik-titik dengan koordinat (x1, 0) dan (x2, 0) merupakan titik potong kurva PK dengan sumbu x. Menentukan akar-akar PK ax2 + bx + c = 0 dapat dilakukan dengan 3 cara : a. Pemfaktoran

Contoh : Tentukan akar-akar PK x2 – 6x + 8 = 0 Penyelesaian :

x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x – 2 = 0 atau x – 4 = 0 x = 2 x = 4 Jadi akar-akar PK x2 – 6x + 8 = 0 adalah x1 = 2 dan x2 = 4

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

Contoh : Tentukan akar-akar PK x2 – 6x + 8 = 0 Penyelesaian : x2 – 6x + 8 = 0 x2 – 6x = –8 x2 – 6x +... = –8 + ... x2 – 6x + 9 = –8 + 9 → angka 9 diperoleh dari (½(6))2 (x – 3)2 = 1 (x – 3) = ±1 Jika x – 3 = –1 dan jika x – 3 = 1 x = –1 + 3 x = 1 + 3 x = 2 x = 4 Jadi akar-akar PK x2 – 6x + 8 = 0 adalah x1 = 2 dan x2 = 4

c. Rumus abc

Akar-akar PK ax2 + bx + c = 0 adalah x1.2 = -b ± �b2 - 4ac

2a

Bentuk b2 – 4ac dinamakan dengan Diskriminan (D)



Contoh : Tentukan akar-akar PK x2 – 6x + 8 = 0 Penyelesaian : Diketahui a = 1, b = –6, c = 8

x1.2 = -b ± �b2 - 4ac

2a =

-(-6) ± �(-6)2 – 4(1)(8)

2(1)

= 6 ± �36 – 32

2

= 6 ± √4

2= 6 ± 2

2

Diperoleh x1 = 6 + 2

2= 8

2 atau x2 =

6 – 22

= 42

x1 = 4 x2 = 2

Jadi akar-akar PK x2 – 6x + 8 = 0 adalah x1 = 4 dan x2 = 2

Latihan Tentukan Himpunan Penyelesaian dari persamaan kuadrat berikut !

1. x2 + 4x + 3 = 0 2. x2 + 3x – 10 = 0 3. x2 – 2x – 48 = 0 4. 2x2 + 13x + 6 = 0 5. 3x2 + 16x – 12 = 0

3. Sifat-sifat fungsi/persamaan kuadrat

Pada fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dengan D = b2 – 4ac maka :

a. Sifat fungsi pada nilai a (koefisien variabel x2) : • Jika a > 0 maka grafik membuka ke atas (nilai ekstrim minimum) • Jika a < 0 maka grafik membuka ke bawah (nilai ekstrim maksimum)

b. Diskriminan (D) : • Jika D > 0 ada 2 akar nyata (grafik memotong sumbu x di 2 titik) • Jika D = 0 ada 1 akar kembar (grafik menyinggung sumbu x di 1 titik) • Jika D < 0 tidak ada akar nyata (grafik tidak menyentuh sumbu x)

c. Persamaan sumbu simetri x = -b2a

d. nilai ekstrim y = –D4a

e. Titik ekstim mempunyai koordinat �–b2a

, –D4a�

Sumbu simetri

Titik ekstrim

y = ax2 + bx + c

sb x

sb y



Lebih jelasnya lihat tabel berikut : D > 0 D = 0 D < 0

a > 0

a < 0

4. Menggambar Grafik fungsi kuadrat

Menggambar grafik Fungsi kuadrat y = ax2 + bx + c dapat dilakukan dengan 2 cara : a. Tracing Process Curve yaitu dengan menentukan beberapa nilai x kemudian

menentukan nilai y yang sesuai dengan bentuk fungsi. Cara ini memerlukan paling tidak 8 pasangan nilai x dan y. Contoh : Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x2 – 6x + 8 Kita siapkan tebel pasangan nilai x dan y sebagai berikut :

x –1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 15 8 3 0 –1 0 3 8 15

Dari hasil tabel di atas maka grafiknya sebagai berikut :

x x x

x x

x



b. Menggunakan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat Langkah-langkah menggambar grafiknya sebagai berikut : 1) Menentukan titik potong grafik dengan sumbu simetri (sumbu-x dan sumbu-y)

- Titik potong dengan sumbu y (yaitu jika x = 0) - Titik potong dengan sumbu x (lihat bahasan akar-akar PK)

2) Tentukan sumbu simetri dan titik ekstrim 3) Jika perlu tambahkan beberapa titik lain sebagai bantuan Contoh : Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x2 – 6x + 8

• Titik potong dengan sumbu y Untuk x = 0 maka y = x2 – 6x + 8 y = 02 – 6(0) + 8 = 8 Diperoleh titik potong dengan sumbu y di (0, 8)

• Titik potong dengan sumbu x D = b2 – 4ac = (–6)2 – 4(1)(8) = 36 – 32 = 4 Karena D > 0 maka ada 2 titik potong dengan sumbu x Untuk y = 0 maka

x2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0 x – 2 = 0 dan x – 4 = 0 x = 2 x = 4 Diperoleh titik potong dengan sumbu x di (2, 0) dan (4, 0)

• Sumbu simetri

Sumbu simetri grafik adalah x = ab

2− =

)1(2)6(−− =

26 = 3

Diperoleh sumbu simetrinya adalah x = 3

• Titik Ekstrim

Nilai ekstrim y = aD

4− =

)1(44 − =

44− = –1

Diperoleh titik ekstrim di (3, –1) dan titik ekstrimnya minimum (a > 0)



Latihan : Gambarkan grafik fungsi dari persamaan kuadrat berikut : 1. y = x2 + 4x – 12 2. y = –x2 + 4x + 5

Sumbu simetri x = 3

y = x2 – 6x + 8

Titik Ekstrim (3, –1)



Latihan :

1. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut : a. (–1, 4) dan (1, 0) c. (0,0) dan (1, 5) b. (–1, –2) dan (–5, –2) d. (1, 4) dan (2, 3)

2. Bentuklah persamaan linier yang garisnya : a. Melalui (–1, 3) dengan lereng sebesar 2 b. Melalui (0, 4) dengan scope sebesar –3 c. Melalui (2, –5) dengan kemiringan sebesar ½ d. Melalui (3, –1) dengan koefisien arah sebesar 0

3. Diketahui f(x) = 8 – 2x. Hitunglah : a. f(–1) c. f(2) e. f(5) b. f(0) d. f(4)

4. Tentukan scope dan penggal garis (pada sumbu y) dari persamaan-persamaan : a. y = –x c. 3x – y – 7 = 0 b. y = –3 –4x d. –2x + 8y – 3 = 0

5. Tentukan titik potong dari pasangan garis-garis berikut : a. y = –2 + 4x dan y = 2x + 2 c. y = 8 dan y = 2x – 10 b. y = 4x – 2 dan y = 6 d. 2x + y – 10 = 0 dan 2x – y + 2 = 0

6. Selesaikan determinan-determinan berikut :

a. �7 3 24 8 56 4 9

� b. �1 12 −3

10 7 6−5 4 3

� c. �1 2 34 5 67 8 9

�

7. Diketahui sistem persamaan 8x = 4 + 4y 2x + 3y – 21 = 0

Selesaikan SPL di atas dengan cara determinan 8. Carilah nilai-nilai a, b, dan c dengan cara determinan jika :

a + b + c = 3 5a – 9b – 2c = 8 3a + 5b – 3c = 45



Imron

Cross-Out

Imron

Cross-Out

G. Aplikasi Fungsi dalam Bisnis dan Ekonomi

1. Permintaan (Demand) dan Penawaran (Supply)

Permintaan : Sejumlah barang yang diminta konsumen pada tingkat harga tertentu.

Hukum Permintaan (Demand):

”Apabila harga naik maka jumlah barang yang diminta akan turun dan sebaliknya, apabila harga turun maka jumlah barang yang diminta akan naik”

(Jumlah barang yang diminta berbanding terbalik dengan harga barang)

Jika Q = Variabel jumlah barang (Quantity) P = Variabel harga barang (Price)

Fungsi Permintaan menunjukkan hubungan jumlah produk yang diminta konsumen dan harga

Bentuk Umum Fungsi Permintaan :

Qd = a – bP

atau

Qb1

ba

Pd −=

Penawaran : Jumlah barang yang ditawarkan pada tingkat harga tertentu

Hukum Penawaran (Supply):

”Apabila harga naik maka jumlah barang yang ditawarkan akan naik dan apabila harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan akan turun”

(Jumlah barang yang ditawarkan berbanding lurus terhadap harga barang)

Fungsi Penawaran menunjukkan hubungan jumlah produk yang ditawarkan produsen dan harga

Bentuk Umum Fungsi Penawaran :

Qs = – a + bP

atau

Qb1

ba

Ps +=

P

Q a

ab

P

Q – a

ab



Contoh : 1. Suatu produk jika harganya Rp 1000,- akan terjual 10 unit, dan jika hargnay turun

menjadi Rp 750,- akan terjual 20 unit. Tentukan fungsi permintaan dan gambarkan grafiknya. Penyelesaian : Diketahui P1 = 1000 Q1 = 10 P2 = 750 Q2 = 20

Cara I (Dengan rumus 12

12

1

1

PPQQ

PPQQ

−−

=−−

)

10007501020

100010

−−

=−

−PQ

25010

100010

−=

−−

PQ

251

100010

−=−

−PQ

(Q – 10) = 251

− (P – 1000)

Q – 10 = 251

− P + 40

Qd = 50 251

− P atau 251 P = 50 – Q

Pd = 1250 – 25Q Cara II (dengan rumus Q = a – bP )

Q1 = a – bP1 Q2 = a – bP2

a – b(1000) = 10 .....(1) a – b(750) = 20 .....(2) – 250 b = –10

b = 251

Diperoleh Fungsi Permintaan Qd = 50 – 251 P

atau Pd = Pb1

ba

− Pd = 1250 – 25Q

Grafiknya :

Substitusi ke salah satu persamaan : Misal ke persamaan (1) :

a – b(1000) = 10

a –

251 (1000) = 10

a – 40 = 10 a 50

P

Q



2. Jika harga suatu produk Rp 500,- maka produsen menawarkan sebanyak 60 unit. Bila harga meningkat menjadi Rp 700,- maka produsen menawarkan 100 unit. Tentukan fungsi penawaran dan gambarkan grafiknya ! Penyelesaian : Diketahui P1 = 500 Q1 = 60 P2 = 700 Q2 = 100

Cara I (Dengan rumus 12

12

1

1

PPQQ

PPQQ

−−

=−−

)

50070060100

50060

−−

=−−

PQ

20040

50060

=−−

PQ

51

50060

=−−

PQ

(Q – 60) = 51 (P – 500)

Q – 60 = 51 P – 100

Qs = – 40 + 51 P atau

51 P = 40 + Q

Ps = 200 + 5Q Cara II (dengan rumus Q = – a + bP )

Q1 = –a + bP1 Q2 = –a + bP2

–a + b(500) = 60 .....(1) –a + b(700) = 100 .....(2) – 200 b = – 40

b = 51

Diperoleh Fungsi Permintaan Qs = – 40 + 51 P

atau Ps = Pb1

ba

+ Ps = 200 + 5Q

Grafiknya :

Substitusi ke salah satu persamaan : Misal ke persamaan (1) :

– a + b(500) = 60

– a +

51 (500) = 60

– a + 100 = 60 a 40

P

Q



Latihan : 1. Fungsi permintaan produk pensil merk ”2B” ditunjukkan sebagai berikut :

Jika dijual seharga Rp 4.000,-/batang maka akan laku 2500 batang dan jika dijual dengan harga Rp 3.000,-/batang akan laku 3500 batang. a. Rumuskan bentuk fungsi permintaan tersebut b. Gambar grafik fungsi tersebut c. Berapa harga pensil jika ternyata tidak laku (tidak ada yang terjual)

2. Fungsi penawaran suatu produk ditunjukkan sebagai berikut :

Jika harga Rp 30.000,- maka produsen menawarkan 1000 unit, dan setiap kenaikan harga Rp 5.000,- produsen akan menambah jumlah barangnya 200 unit. a. Rumuskan bentuk fungsi penawaran tersebut b. Gambarkan grafiknya c. Tentukan jumlah barang yang ditawarkan jika harga Rp 50.000,-

2. Titik Keseimbangan Pasar (Equilibrium)

Harga dan kuantitas keseimbangan pasar merupakan hasil kesepakatan antara pembeli (konsumen) dan penjual (produsen) dimana kuantitas dan harga yang diminta dan yang ditawarkan sama besarnya.

Titik keseimbangan terbentuk pada titik pertemuan kurva permintaan dan kurva penawaran.

Titik keseimbangan Pasar (Equilibrium) pada koordinat E (Qe, Pe)

E = Equilibrium Qe = Jumlah keseimbangan Pe = Harga keseimbangan

Syarat terjadi keseimbangan :

Qd = Qs atau

Pd = Ps

P

Q

Pe

Qe

E(Qe,

Qs

Qd



Contoh : 1. Diketahui fungsi permintaan dan penawaran sebagai berikut :

Qd = 6 – ¾ P Qs = – 5 + 2P Tentukan : a. Harga dan kuantitas pada keseimbangan pasar b. Grafik

Penyelesaian : a. Syarat keseimbangan pasar

Qd = Qs 6 – ¾ P = –5 + 2P 6 + 5 = 2P + ¾ P

11 = 411

P

Pe = 4 Diperoleh : - Harga keseimbangan pasar adalah 4 - Kuantitas keseimbangan adalah 3 unit

b. Gambar grafik Untuk Qd = 6 – ¾ P Jika P = 0 Q = 6 – ¾(0) = 6 Jika Q = 0 0 = 6 – ¾ P ¾ P = 6 P = 8 Untuk Qs = –5 + 2P Jika P = 0 Q = –5 + 2(0) = –5 Jika Q = 0 0 = –5 + 2P 2P = 5 P = 2½

2. Diketahui fungsi permintaan (Pd) dan fungsi penawaran (Ps) sebagai berikut : Pd = 24 – 3Q2 Ps = Q2 + 2Q + 4 a. Tentukan Harga dan Jumlah keseimbangan b. Tunjukkan secara geometris (Gambar grafiknya)

Penyelesaian : a. Syarat keseimbangan

Pd = Ps 24 – 3Q2 = Q2 + 2Q + 4 4Q2 + 2Q – 20 = 0 2Q2 + Q – 10 = 0 (2Q + 5)(Q – 2) = 0 2Q + 5 = 0 Q – 2 = 0 2Q = –5 Q = 2 Q = – 5/2 (Q dipilih yang positif) Diperoleh jumlah keseimbangan 2 dan harga keseimbangan 12 atau Titik keseimbangan pasar di E(2, 12)

Substitusi nilai Pe ke salah satu persamaan. Misal ke persamaan Qs Q = –5 + 2P Q = –5 + 2(4) Q = –5 + 8 Q = 3

E(3,4)

P

Q

Untuk Q = 2 maka P = 24 – 3Q2 P = 24 – 3(2)2 P = 24 – 12 P = 12



b. Gambar grafik

Latihan : Tentukan Jumlah dan harga keseimbangan pasar jika diketahui 1. Fungsi Permintaannya P = 15 – Q dan fungsi penawarannya P = 3 + 0,5Q 2. Fungsi permintaan dan penawaranya berturut-turut P = 11 – Q2 dan P = Q2 + 3

3. Pajak dan Subsidi

Pemberlakuan pajak dan pemberian subsidi sangat berpengaruh bagi keseimbangan pasar. Pajak akan menaikkan harga penjualan sedangkan subsidi akan menurunkan harga penjualan. a. Pajak

Jika pemerintah mengenakan pajak penjualan pada suatu barang maka harga jual barang tersebut akan naik. 1) Pajak Spesifik

Pajak yang dikenakan kepada barang yang dihasilkan oleh produsen, misalnya sebesar t per unit produksi, pada awalnya merupakan biaya bagi produsen, tetapi karena produsen pada umumnya tidak bersedia mengurangi laba yang akan diterimanya, maka beban pajak tersebut berusaha untuk dibebankan kepada konsumen.

Fungsi penawaran sebelum ada pajak : Ps = f(Q) Fungsi penawaran setelah ada pajak : P’ = f(Q) + t

E(2,12)

Ps

Pd



Jumlah pajak yang diterima pemerintah : T = t . Q’ Pajak yang ditanggung konsumen per unit barang : tkons = (P’ – Pe) Pajak yang ditanggung produsen per unit barang : tprod = t – (P’ – Pe) Total pajak ditanggung konsumen : Tkons = (P’ – Pe).Q’ Total pajak ditanggung produsen : Tprod = (t – (P’ – Pe)).Q’ = T – Tkons Contoh :

1) Fungsi permintaan suatu produk P = 15 – Q dan fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. Bila pemerintah memberlakukan pajak penjualan sebesar Rp 3/unit tentukan : a. Keseimbangan pasar sebelum pajak b. Keseimbangan pasar setelah pajak c. Penerimaan pajak total pemerintah d. Pajak yang ditanggung konsumen dan produsen per unit barang

Penyelesaian : a. Keseimbangan sebelum pajak

Pd = 15 – Q dan Ps = 0,5Q + 3 Syarat keseimbangan :

Pd = Ps P = 15 – Q 15 – Q = 0,5Q + 3 P = 15 – 8 – 1,5Q = –12 P = 7

Q = 8 Jadi keseimbangan sebelum pajak E(8, 7)

b. Keseimbangan setelah pajak Pd = 15 – Q dan P’ = Ps + t

P’ = 0,5Q + 3 + 3 P’ = 0,5Q + 6

Keseimbangan Pd = P’ P’ = 15 – Q 15 – Q = 0,5Q + 6 P’ = 15 – 6 – 1,5Q = – 9 P’ = 9 Q’ = 6

Jadi keseimbangan setelah pajak adalah E’ (6, 9)

Pd

Ps

P’

E E’

Tkons

TProd



c. Pajak yang diterima pemerintah

T = t . Q’ T = Rp 3 x 6 = Rp 18 Jadi pajak yang diterima pemerintah adalah Rp 18,-

d. Pajak yg ditanggung konsumen

tkons = (P’ – Pe) tkons = (9 – 7) tkons = 2 (Pajak yang ditanggung konsumen Rp 2,- per unit barang)

Pajak yang ditanggung produsen tprod = t – tkons tprod = 3 – 2 tprod = 1 (Pajak yang ditanggung produsen Rp 1,- per unit barang)

2) Fungsi permintaan suatu barang Pd = –0,5Q + 150 dan fungsi penawaran

Ps = 0,25Q. Setelah barang tersebut dikenakan pajak Rp.75,- per unit, berapakah : a. Titik keseimbangan setelah dikenakan pajak b. Total pajak yang akan diterima pemerintah c. Total pajak yang harus ditanggung konsumen dan produsen

Penyelesaian : Diketahui : Pd = –0,5Q + 150

Ps = 0,25Q t = 75

a. Titik keseimbangan setelah dikenakan pajak P’ = Ps + t P’ = 0,25Q + 75 Syarat keseimbangan

P’ = Pd P’ = 0,25(100) + 75 0,25Q + 75 = –0,5Q + 150 P’ = 25 + 75

0,75Q = 75 P’ = 100 Q’ = 100

Jadi titik keseimbangan setelah kena pajak Et = (100, 100)

b. Total pajak yg diterima pemerintah

T = t . Q’ T = 75 . 100 = 7.500

Jadi pemerintah memperoleh penerimaan pajak sebesar Rp 7.500



c. Untuk menghitung pajak yang dibayarkan konsumen harus ditentukan harga keseimbangan sebelum pajak Pd = –0,5Q + 150 Qd = 300 – 2Pd Ps = 0,25Q Qs = 4Ps

Syarat keseimbangan Qs = Qd 4P = 300 – 2P 6P = 300 Pe = 50

Sehingga beban pajak yang ditanggung konsumen per unit tkons = (P’ – Pe) tkons = (100 – 50) = 50

Sehingga total pajak yang ditanggung konsumen Tkons = tkons x Q’ = 50 x 100 = 5.000 Pajak yang ditanggung produsen tprod = t – tkons tprod = 75 – 50 = 25

Sehingga total pajak yang ditanggung produsen Tprod = tprod x Q’ = 25 x 100 = 2.500

2) Pajak Proporsional

Selain pajak per unit yang jumlahnya atau besarnya tetap, pemerintah juga dapat mengenakan pajak proporsional terhadap harga barang yang ditetapkan oleh produsen. Jumlah pajak yang akan diterima pemerintah adalah sejumlah tertentu dari harga. Dengan demikian semakin tinggi harga yang ditetapkan oleh produsen, maka semakin tinggi pula pajak yang diterima oleh pemerintah. Jika Penawaran sebelum pajak P = f(Q) maka Penawaran sesudah pajak P = f(Q) + t.P dengan t = pajak proporsional (dalam %)

Contoh : 1) Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 15 – Q,

sedangkan fungsi penawarannya P = 3 + 0,5Q. Jika pemerintah mengenakan pajak sebesar 25% dari harga jual, tentukan : a. Harga dan jumlah keseimbangan sebelum dan sesudah pajak. b. Beban pajak yang ditanggung konsumen dan produsen per unit

barang. c. Jumlah pajak yang diterima pemerintah.



Penyelesaian : Diketahui Pd = 15 – Q Ps = 3 + 0,5Q t = 25% = 0,25 = ¼

a. Keseimbangan sebelum pajak Syarat keseimbangan sebelum pajak Ps = Pd sehingga P = 15 – Q 3 + 0,5Q = 15 – Q P = 15 – 8 1,5Q = 12 P = 7 Q = 8 Jadi sebelum pajak : Jumlah keseimbangan Qe = 8 Harga keseimbangan Pe = 7

Keseimbangan setelah pajak : Fungsi penawaran setelah pajak :

P = f(Q) + t.P P = 3 + 0,5Q + ¼ P ¾ P = 3 + 0,5Q P = (3 + 0,5Q). 4

3

P’ = 4 + 23 Q

Syarat keseimbangan : P’ = Pd sehingga P = 4 + 2

3 . 33

5

4 + 23Q = 15 – Q P = 4 + 22

5

53Q = 11 P = 8,4

Q = 335

= 6,6

Jadi sesudah terkena pajak, harga keseimbangan P’ = 8,4 jumlah keseimbangan Q’ = 6,6 Perlu dicatat bahwa besarnya pajak yang diterima pemerintah dari setiap unit barang adalah 0,25 x 8,4 = 2,1

b. Beban pajak yang ditanggung konsumen per unit barang

tkons = P’ – Pe = 8,4 – 7 = 1,4 atau 1,42,1

x 100% = 67%

Beban pajak yang ditanggung produsen per unit barang tprod = t – tkons = 2,1 – 1,4 = 0,7 atau 0,7

2,1 x 100% = 33%

c. Jumlah pajak yang diterima pemerintah

T = 6,6 x 2,1 = 13,86



Latihan :

1. Dari fungsi penawaran P = 0,25Q dan fungsi permintaan P = -0,50Q + 150 seperti pada Contoh 3.14 pemerintah mengenakan pajak sebesar 20% dari harga penawaran produsen. Tentukanlah keseimbangan sesudah pajak dan total pajak yang dibayarkan konsumen dan produsen. serta total pajak yang akan diterima pemerintah.

2. Diketahui fungsi permintaan sepeda motor adalah Q = -2P + 240, sedangkan fungsi penawarannya adalah P = 4Q + 7,5. Jika pemerintah memungut pajak sebesar 10% dari tingkat harga penawaran, hitunglah : a. Keseimbangan pasar sebelum pajak b. Keseimbangan pasar sesudah pajak c. Total Pajak yang diterima pemerintah d. Total Pajak yang dibayar konsumen e. Total Pajak yang dibayar produsen

b. Subsidi

Kebijaksanaan pemberian subsidi atas suatu barang oleh pemerintah dimaksudkan agar produsen dapat menjual barangnya dengan harga yang lebih rendah dari yang seharusnya, sehingga konsumen dapat memenuhi kebutuhan barang tersebut dengan harga yang terjangkau.

Subsidi yang berfungsi sebagai pengurang biaya poduksi akan membuat harga barang menjadi lebih murah. Hal itu akan mengakibatkan fungsi penawaran bergeser ke kanan bawah, sehingga dengan jumlah barang yang sama produsen mampu mengenakan harga baru yang lebih rendah dari yang sebelumnya. Jika Ps = fungsi penawaran sebelum subsidi s = besarnya subsidi per unit barang P’ = fungsi penawaran setelah subsidi

Maka P’ = Ps – s

Subsidi yang dinikmati konsumen per unit barang skons = Pe – Pe’ Subsidi yang dinikmati konsumen per unit barang sprod = s – skons Total subsidi dari pemerintah S = s x Qe’ Total subsidi yg dinikmati konsumen Skons = skons x Qe’ Total subsidi yg dinikmati produsen Sprod = sprod x Qe’ = S – Skons

Qe Qe’

Pe’ Pe

Ps

Pd

P’

Q

P

Subsidi yg dinikmati produsen

Subsidi yg dinikmati konsumen



Contoh : Diketahui fungsi penawaran Q = 4P dan fungsi permintaan Q = –2P + 300, pemerintah memberikan subsidi sebesar Rp. 37,50. Tentukanlah harga dan jumlah keseimbangan pasar yang baru, subsidi yang akan dinikmati konsumen dan produsen serta subsidi yang harus diberikan oleh pemerintah

Penyelesaian : - Fungsi penawaran sebelum subsidi: Q = 4P

menjadi: P = 0,25Q - Fungsi penawaran sesudah subsidi: P’ = 0,25Q – 37,5 - Fungsi permintaan: Q = –2P + 300

menjadi: P = –0,5Q + 150 Harga Keseimbangan sebelum subsidi ditentukan dengan : Q = 4P Q = –2P + 300 0 = 6P – 300 6P = 300 Pe = 300

6 = 50

Keseimbangan setelah subsidi : P’ = 0,25Q – 37,5 P = –0,5Q + 150 0 = 0,75Q – 187,5 0,75Q = 187,5

Qe’ = 187,50,75

= 250

Sehingga P = – 0,5(250) + 150 P = – 125 + 150 Pe’ = 25

Jadi keseimbangan setelah diberikan subsidi tercapai pada jumlah barang 250 unit pada harga Rp 25,- per unit.

Subsidi yang dinikmati konsumen per unit barang skons = Pe – Pe’ = 50 – 25 = 25 Subsidi yang dinikmati produsen per unit barang sprod = s – skons = 37,5 – 25 = 12,5



4. Fungsi Biaya dan Fungsi Penerimaan

Fungsi Biaya Biaya terbagi menjadi Biaya Total, Biaya Tetap, dan Biaya Variabel. Biaya Total / Total Cost (TC) adalah seluruh dana yang harus dikeluarkan perusahaan untuk melaksanakan operasinya. Biaya total terdiri dari : a. Biaya Variabel/Variable Cost (VC) yaitu biaya yang dipengaruhi oleh jumlah

barang yang diproduksi. (Biaya untuk memproduksi 1 unit produksi). Contoh : biaya bahan baku, upah tenaga kerja.

b. Biaya Tetap/Fix Cost (FC) yaitu biaya yang besarnya tetap tanpa terpengaruh jumlah barang yang diproduksi. Contoh : biaya mandor, biaya administrasi, biaya pemasaran.

Secara matematis dapat dinyatakan dengan TC = FC + VC Jika biaya tetap (FC) = k Biaya variabel (VC) setiap memproduksi 1 unit barang adalah = a (dengan Q = kuantitas/ jumlah produksi) maka biaya total (TC) dapat dinyatakan sebagai :

TC = k + aQ

Secara grafis, a merupakan lereng kurva linier

Contoh : 1. Biaya tetap yang dikeluarkan perusahaan sebesar Rp 20.000,- sedangkan biaya

variabelnya ditunjukkan oleh persamaan VC = 100 Q. Tentukan : a. persamaan biaya total

b. biaya total jika perusahaan memproduksi 500 unit barang Penyelesaian : Diketahui FC = 20.000 VC = 100 Q a. TC = FC + VC = 20.000 + 100 Q b. Jika Q = 500

TC = 20.000 + 100 (500) = 20.000 + 50.000 = 70.000 2. Kalkulasi biaya di perusahaan yang menghasilkan batako adalah biaya tetap

sebesar Rp. 300.000,- dan biaya variabel per unit sebesar Rp. 500,- Dari data tersebut, tentukanlah : a. Fungsi biaya totalnya b. Biaya totalnya jika diproduksi batako 4.000 unit c. Jumlah yang diproduksi jika biaya totalnya sebesar Rp. 5.000.000,-

TC

Q

FC = k k

VC = aQ

TC = k + aQ

0



Penyelesaian : Diketahui : FC = k = 250.000 a = 500 a. Fungsi biaya total TC = k + aQ

TC = 250.000 + 500 Q

b. Jika Q = 4.000 maka TC = 250.000 + 500 (4.000) TC = 250.000 + 2.000.000 TC = 2.250.000

Jadi Jika diproduksi 4.000 unit batako maka biaya totalnya Rp 2.250.000,-

c. Jika TC = 5.000.000 maka TC = 250.000 + 500 Q

5.000.000 = 250.000 + 500 Q 500 Q = 5.000.000 – 250.000 = 4.750.000

Q = 4.750.000

500 = 9.500

Jadi jika biaya total Rp 5.000.000,- maka produksinya sejumlah 9.500 unit.

Selain fungsi biaya di atas, ada juga beberapa hal berikut :

Biaya rata-rata/Average Cost (AC) Merupakan biaya yang dikeluarkan untuk menghasilkan tiap unit produk Diperoleh dari hasil bagi Biata Total (TC) dengan jumlah barang terjual

AC = TCQ

Biaya tetap rata-rata/Average Fix Cost (AFC)

AFC = FCQ

Biaya variabel rata-rata/Average Variable Cost (AVC)

AVC = VCQ

Biaya Marjinal/Marginal Cost Merupakan biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan 1 unit produk tambahan.

MC = ∆C∆Q

Pada fungsi biaya berbentuk fungsi kuadrat : Fungsi biaya total TC = aQ2 – bQ + c

VC FC

Sehingga diperoleh AC = TCQ

= aQ – b + c/Q

AVC = VCQ

= aQ – b

AFC = 𝑐𝑐Q



Contoh : Biaya total yang dikeluarkan oleh sebuah perusahaan ditunjukkan oleh persamaan TC = 2Q2 – 24Q + 102. Tentukan : a. Pada tingkat produksi berapa unit, biaya total ini minimum b. Besarnya biaya total minimum tersebut c. Besar biaya Tetap, biaya variabel, biaya rata-rata, biaya tetap rata-rata, biaya

variabel rata-rata pada tingkat produksi tadi . d. Jika dari kedudukan ini produksi ditambah 1 unit, berapa besar biaya marjinal Penyelesaian : Diketahui TC = 2Q2 – 24Q + 102

a. TC minimum pada saat Q = -b 2a

= 244

= 6

Jadi Biata total minimum pada saat jumlah barang yang diproduksi 6 unit b. TC minimum TC = 2Q2 – 24Q + 102

TC = 2(6)2 – 24(6) + 102 TC = 72 – 144 + 102 TC = 30

Jadi Biaya Total minimumnya 30 c. Pada saat Q = 6 unit diperoleh :

FC = 102 VC = 2Q2 – 24Q = 2(6)2 – 24(6) = 72 – 144 = – 72

AC = TCQ

= 306

= 5

AFC = FCQ

= 1026

= 17

AVC = VCQ

= -726

= –12

d. Jika Q bertambah 1 unit menjadi 7 unit maka

TC = 2Q2 – 24Q + 102 = 2(7)2 – 24(7) + 102 = 98 – 168 + 102 = 32

MC = ∆C∆Q

= 32 - 307 - 6

= 2

Fungsi Penerimaan

Penerimaan (Revenue) merupakan hasil kali jumlah (Q) produksi yang berhasil dijual dengan harga (P) jual produk tersebut. Secara matematis dapat dituliskan :

TR = P . Q

Contoh : Perusahaan batako berhasil menjual produknya seharga Rp 4.000,-/unit. Tentukan : a. Fungsi Penerimaan b. Jumlah penerimaan saat penjualan mencapai 1000 unit c. Jumlah produk yang terjual jika diinginkan penerimaan sebesar Rp 2.400.000,-



Penyelesaian : a. Fungsi penerimaan TR = P . Q

TR = 4.000 Q b. Jika Q = 1000 unit maka TR = 4.000 (1000)

TR = 4.000.000 Jadi, jika terjual 1000 unit maka perusahaan menerima Rp 4.000.000,-

c. TR = Rp 2.400.000,- maka 2.400.000 = 4.000 Q

Q = 2.400.000

4000 = 600

Jadi agar penerimaan Rp 2.400.000,- maka harus diproduksi 600 unit

Penerimaan Rata-rata dan Penerimaan Marjinal

1. Penerimaan Rata-rata/Average Revenue (AR)

Merupakan penerimaan yang diperoleh tiap unit barang. Diperoleh dari hasil bagi penerimaan total (TR) terhadap jumlah barang

AR = TRQ

2. Penerimaan Marjinal/Marginal Revenue (MR)

Merupakan penerimaan tambahan yang diperoleh dari setiap tambahan satu unit barang yang diproduksi/terjual.

MR = ∆R∆Q

Mengingat TR = P.Q atau P = TRQ = AR

Hal ini berarti penerimaan rata-rata sama dengan harga barang per unit (P). Contoh : Fungsi permintaan suatu perusahaan ditunjukkan oleh P = 900 – 1,5Q. a. Tentukan fungsi penerimaan total b. Berapa besar penerimaan bila terjual sebanyak 200 unit dan berapa harga jual

per unitnya c. Berapa penerimaan marjinal dari penjualan 200 unit menjadi 250 unit. d. Berapa tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total maksimum e. Berapa besar penerimaan total maksimum Penyelesaian : a. TR = P. Q = (900 – 1,5Q).Q

TR = 900 Q – 1,5 Q2 b. Bila Q = 200 unit maka

TR = 900 (200) – 1,5 (200)2 TR = 180.000 – 60.000 TR = 120.000

Harga jual per unit P = 900 – 1,5 P P = 900 – 1,5(200) P = 900 – 300 P = 300



c. Jika Q = 250 maka TR = 900 (250) – 1,5(250)2 TR = 225.000 – 93.750 TR = 131.250

Sehingga MR = ∆R∆Q

= 131.250 – 120.000

250 - 200 = 225

d. TR = 900 Q – 1,5Q2

Penerimaan total maksimum pada saat Q = -b2a

= -900

-3 = 300 unit

e. Penerimaan total maksimum

TRmax = 900Q – 1,5Q2 atau gunakan rumus TRmax = −𝐷𝐷4𝑎𝑎

TRmax = 900(300) – 1,5(300)2 TRmax = -D4a

=

TRmax = 270.000 – 135.000 TRmax = 135.000

Atau gunakan rumus TRmax = −𝐷𝐷4𝑎𝑎

= −(9002−4∙(−1,5)∙0)

4(−1,5) =

−810.000−6

= 135.000

5. Analisis Laba-Rugi

Penerimaan dan biaya merupakan variabel-variabel penting untuk mengetahui kondisi bisnis suatu perusahaan. Dengan diketahuinya penerimaan total (TR) dan biaya total (TC) yang dikeluarkan, dapat dianalisis apakah perusahaan mendapat keuntungan atau kerugian.

- Keuntungan (profit positif, π > 0) didapat jika TR > TC - Kerugian (profit negatif, π < 0) didapat jika TR < TC - Keseimbangan (profit not, π =0) didapat jika TR = TC

Jika laba/rugi (profit) dilambangkan dengan π maka π = TR – TC Contoh : Andaikan biaya total yang dikeluarkan perusahaan ditunjukkan oleh persamaan TC = 20.000 + 100 Q dan penerimaan toalnya TR = 200 Q, tentukan : a. Pada tingkat produksi berapa unit perusahaan berada dalam posisi seimbang b. Apa yang terjadi jika perusahaan memproduksi 150 dan 300 unit Penyelesaian : Diketahui TC = 20.000 + 100 Q TR = 200 Q a. Perusahaan dalam posisi keseimbangan jika TR = TC

TR = TC 200 Q = 20.000 + 100 Q 100 Q = 20.000 Q = 200

Jadi perusahaan berada pada posisi profit not saat memproduksi 200 unit.



b. Pada saat produksi 150 unit TC = 20.000 + 100 Q = 20.000 + 100(150)

= 20.000 + 15.000 = 35.000

TR = 200 Q = 200 (150) = 30.000 Profit π = TR – TC

= 30.000 – 35.000 = – 5.000 Jadi pada saat produksi 150 unit perusahaan mengalami kerugian Rp 5.000,- Pada saat produksi 300 unit

TC = 20.000 + 100 Q = 20.000 + 100 (300) = 20.000 + 30.000 = 50.000

TR = 200 Q = 200 (300) = 60.000 Profit π = TR – TC

= 60.000 – 50.000 = 10.000 Jadi saat produksi 300 unit perusahaan mengalami keuntungan Rp 10.000,-



matematika ekonomi 1 -...

Documents