matematika diskrit
DESCRIPTION
Matematika Diskrit. 6. GRAF. Kuliah 9. Dr.-Ing. Erwin Sitompul. http://zitompul.wordpress.com. Pekerjaan Rumah (PR7). - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Matematika Diskrit
6. GRAF
Kuliah 9
Dr.-Ing. Erwin Sitompulhttp://zitompul.wordpress.com
9/2Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Pekerjaan Rumah (PR7)
Seorang ketua dan seorang bendahara dari Himpunan Mahasiswa IT, Extension Program, PU, akan dipilih dari 50 orang anggotanya. Berapa banyak cara yang mungkin untuk memilih ketua dan bendahara, apabila:(a) Tidak ada pembatasan khusus.(b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua.(c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau
tidak sama sekali.(d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama.
• Posisi ketua himpunan berbeda dengan posisi bendahara himpunan.
• Urutan penentuan posisi dalam hal ini diperhatikan.
• Permasalahan pada PR ini berhubungan dengan permutasi.
9/3Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Solusi Pekerjaan Rumah (PR7)
(a) Tidak ada pembatasan khusus.
(50,2)P 50 49 2450 cara
(b) Amir hanya mau bertugas bila dipilih sebagai ketua.
(49,1) (49,2) P P 49 2352 2401 cara
Amir terpilih sebagai ketua, dengan 49 pilihan untuk mengisi posisi bendahara
Amir tidak terpilih sebagai ketua dan tidak mau bertugas, akibatnya dari 49 anggota lain akan dipilih ketua dan bendahara
9/4Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Solusi Pekerjaan Rumah (PR7)
(c) Budi dan Cora hanya mau bertugas bersama-sama, atau tidak sama sekali.
(2,2) (48,2)P P 2 2256 2258 cara
Budi dan Cora terpilih untuk bertugas bersama-sama, terdapat 2 cara
Keinginan Budi dan Cora tidak tercapai, dari 48 orang akan dipilih 2 orang untuk mengisi posisi yang tersedia
9/5Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Solusi Pekerjaan Rumah (PR7)
(d) Dudi dan Encep tidak mau bekerja bersama-sama.
(48,1) (48,1) (48,1) (48,1) (48,2)P P P P P 2248 cara
Dudi sebagai ketua, Encep tidak sebagai bendahara
Dudi dan Encep sama-sama tidak terpilih, baik sebagai ketua maupun bendahara
(50,2) 2P 2448 cara
Keseluruhan cara yang mungkin
Kejadian dimana Dudi dan Encep bekerja bersama-sama
Dudi sebagai bendahara, Encep tidak sebagai ketua
Encep sebagai ketua, Dudi tidak sebagai bendahara
Encep sebagai bendahara, Dudi tidak sebagai ketua
9/6Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Definisi Graf
Graf digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antara obyek-obyek tersebut.
Gambar di bawah ini adalah sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.
9/7Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Jembatan Königsberg (1736)
Bisakah orang melalui setiap jembatan tepat satu kali dan kembali lagi ke tempat semula?
Sebuah graf dapat merepresentasikan rangkaian jembatan Königsberg:
Simpul (vertex) menyatakan daratan Busur (arc) atau sisi (edge) menyatakan jembatan
9/8Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Representasi Graf
Graf G = (V,E) dimana:V = Himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (vertices)
= { v1,v2,...,vn } E = Himpunan sisi (edges) yang menghubungkan sepasang
simpul = { e1,e2,...,en }
9/9Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Representasi Graf
G1
G1 adalah graf denganV = { 1,2,3,4 } E = { (1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,4) }
Graf sederhana
9/10Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Representasi Graf
G2 Graf ganda
G2 adalah graf denganV = { 1,2,3,4 }E = { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4) }
= { e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7 }
9/11Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Representasi Graf
G3 Graf semu
G3 adalah graf denganV = { 1,2,3,4 }E = { (1,2),(2,3),(1,3),(1,3),(2,4),(3,4),(3,4),(3,3) }
= { e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8 }
9/12Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Klasifikasi Graf
Berdasarkan ada tidaknya gelang (loop) atau sisi ganda (double edge) pada suatu graf, maka graf diklasifikasikan atas 2 jenis:1. Graf sederhana (simple graph), yaitu graf yang tidak mempunyai gelang maupun sisi ganda.2. Graf tak-sederhana (unsimple graph), yaitu graf mempunyai sisi ganda atau gelang.
9/13Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Klasifikasi Graf
Berdasarkan orientasi arah pada sisinya, maka secara umum graf diklasifikasikan atas 2 jenis:1. Graf tak-berarah (undirected graph), yaitu graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah.2. Graf berarah (directed graph atau digraph), yaitu graf yang setiap sisinya mempunyai orientasi arah.
9/14Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Analisa Program
Contoh Terapan Graf
t:=0;read(x);while x <> 1945 do begin if x < 0 then writeln(‘Tahun tidak boleh negatif.’); else
t:=t+1; read(x); end;writeln(‘Tertebak sesudah’,t,’kali coba.’);
1 : t:=02 : read(x)3 : x <> 1945 4 : x < 05 : writeln(‘Tahun...’)6 : t:=t+17 : read(x)8 : writeln(‘Tertebak ...)
9/15Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Teori Automata pada Mesin Penjaja(Vending Machine)
Contoh Terapan Graf
D : Dime (10 cent)Q : Quarter (25 cent)
Harga 1 botol minuman 45 cent
9/16Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
1. Ketetanggaan (Adjacency) Dua buah simpul dikatakan bertetangga bila keduanya
terhubung langsung. Tinjau graf G1:
Simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan 3. Simpul 1 tidak bertetangga dengan simpul 4.
G1
9/17Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
2. Bersisian (Incidency) Untuk sembarang sisi e = (vj,vk) dikatakan e bersisian dengan simpul vj , dan
e bersisian dengan simpul vk . Tinjau graf G1:
Sisi (2,3) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3. Sisi (2,4) bersisian dengan simpul 2 dan simpul 4.Sisi (1,2) tidak bersisiandengan simpul 4.
G1
9/18Erwin Sitompul Matematika Diskrit
3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Simpul terpencil ialah simpul yang tidak mempunyai sisi
yang bersisian dengannya. Tinjau graf G4:
Simpul 5 adalah simpul terpencil.
Terminologi Graf
G4
9/19Erwin Sitompul Matematika Diskrit
4. Graf Kosong (Empty Graph, Null Graph) Graf kosong adalah graf yang himpunan sisinya
merupakan himpunan kosong. Tinjau graf G5:
merupakan graf kosong.
Terminologi Graf
G5
9/20Erwin Sitompul Matematika Diskrit
5. Derajat Simpul (Degree of Vertex) Derajat suatu simpul adalah jumlah sisi yang bersisian
dengan simpul tersebut. Notasi: d(v). Tinjau graf G1:
d(1) = d(4) = 2.d(2) = d(3) = 3.
G1
Terminologi Graf
9/21Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Tinjau graf G4:d(5) = 0 simpul terpencild(4) = 1 simpul gantung (pendant vertex)
Tinjau graf G6:d(1) = 3 bersisian dengan sisi gandad(3) = 4 bersisian dengan sisi gelang (loop)
G4 G6
Terminologi Graf
9/22Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi GrafPada graf berarah:
din(v) = derajat-masuk (in-degree)= jumlah busur yang masuk ke simpul
dout(v) = derajat-keluar (out-degree)= jumlah busur yang keluar dari simpul v
d(v) = din(v) + dout(v)
9/23Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
G7
Tinjau graf G7:din(1) = 2 dout(1) = 1din(2) = 2 dout(2) = 3 din(3) = 2 dout(3) = 1din(4) = 1 dout(4) = 2
9/24Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
Lemma Jabat Tangan (Handshake Lemma) Jumlah derajat semua simpul pada suatu graf adalah
genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka
( ) 2v V
d v E
G1
Tinjau graf G1:d(1) + d(2) + d(3) + d(4) =
= 2 + 3 + 3 + 2= 2 jumlah sisi= 2 5
9/25Erwin Sitompul Matematika Diskrit
G4 G6
Tinjau graf G4:d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5)
= 2 + 2 + 3 + 1 + 0= 2 jumlah sisi= 2 4
Terminologi Graf
Tinjau graf G6:d(1) + d(2) + d(3)
= 3 + 3 + 4= 2 jumlah sisi= 2 5
9/26Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Contoh:Diketahui bahwa sebuah graf memiliki lima buah simpul. Dapatkah kita menggambar graf tersebut jika derajat masing-masing simpulnya adalah:(a) 2, 3, 1, 1, 2 ?(b) 2, 3, 3, 4, 4 ?
Terminologi Graf
Solusi:(a) Tidak dapat,
karena 2 + 3 + 1 + 1 + 2 = 9 adalah ganjil.
(b) Dapat, karena 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16 adalah genap.
9/27Erwin Sitompul Matematika Diskrit
G1
Terminologi Graf
6. Lintasan (Path) Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v0 ke simpul
tujuan vn di dalam graf G ialah urutan berselang-seling antara simpul dan sisi yang berbentuk v0, e1, v1, e2, v2, ..., vn
–1, en, vn sedemikian sehingga e1 = (v0, v1), e2 = (v1, v2), ..., en = (vn–1, vn) adalah sisi-sisi dari graf G.
Panjang lintasan ditentukan oleh jumlah sisi dalam lintasan tersebut.
Tinjau graf G1: Lintasan 1, 2, 4, 3 adalah lintasan
dengan urutan sisi (1,2), (2,4), dan (4,3).Panjang lintasan 1, 2, 4, 3 adalah 3.
9/28Erwin Sitompul Matematika Diskrit
G1
Terminologi Graf
7. Sirkuit (Circuit) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang
sama disebut sirkuit. Tinjau graf G1:
Lintasan 1, 2, 3, 1 adalah sebuah sirkuit.Panjang sirkuit 1, 2, 3, 1 adalah 3.
9/29Erwin Sitompul Matematika Diskrit
8. Keterhubungan (Connectivity) Dua buah simpul v1 dan simpul v2 disebut terhubung jika
terdapat lintasan dari v1 ke v2. Suatu graf G disebut graf terhubung (connected graph)
jika untuk setiap pasang simpul vi dan vj dalam himpunan V terdapat lintasan dari vi ke vj.
Jika tidak, maka G disebut graf tak-terhubung (disconnected graph).
Contoh graf tak-terhubung:
Terminologi Graf
9/30Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf Graf berarah G dikatakan terhubung jika graf tak-
berarahnya terhubung (graf tak-berarah dari G diperoleh dengan menghilangkan semua arah/kepala panah).
Dua simpul, u dan v, pada graf berarah G disebut simpul terhubung kuat (strongly connected vertex) jika terdapat lintasan berarah dari u ke v dan juga lintasan berarah dari v ke u.
Jika u dan v tidak terhubung kuat tetapi graf tak-berarahnya terhubung, maka u dan v dikatakan simpul terhubung lemah (weakly connected vertex).
9/31Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf Graf berarah G disebut graf terhubung kuat (strongly
connected graph) apabila sembarang pasangan simpul u dan v di G terhubung kuat.
Bila tidak, G disebut graf terhubung lemah.
Graf terhubung lemah Graf terhubung kuat
9/32Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
9. Subgraf (Subgraph) dan Komplemen Subgraf Misalkan G = (V,E) adalah sebuah graf,
maka G1 = (V1,E1) merupakan subgraf (subgraph) dari G jika V1 V dan E1 E.
Komplemen dari subgraf G1 terhadap graf G adalah graf G2 = (V2,E2) sedemikian sehingga E2 = E – E1 dan V2 adalah himpunan simpul-simpul dengan mana anggota-anggota E2 bersisian.
G8 Sebuah subgraf
dari G8
Komplemen subgraf
9/33Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
10. Subgraf Rentang (Spanning Subgraph) Subgraf G1 = (V1,E1) dari G = (V,E) dikatakan subgraf
rentang jika V1 = V, yaitu bila G1 mengandung semua simpul dari G.
G9 Subgraf rentang
dari G9
Bukan subgraf rentang dari G9
9/34Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
11. Himpunan Potong (Cut Set) Himpunan potong (cut-set) dari graf terhubung G adalah
himpunan sisi yang bila dibuang dari G akan menyebabkan G tidak terhubung.
Pada graf di bawah, { (1,2),(1,5),(3,5),(3,4) } adalah cut-set.
G10 G10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung
9/35Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
Cut-set dari sebuah graf terhubung dapat saja berjumlah lebih dari satu.
Misalnya, himpunan { (1,2),(2,5) }, { (1,3),(1,5),(1,2) } dan { (2,6) } adalah juga cut-set dari G10.
{ (1,2),(2,5),(4,5) } bukan cut-set sebab himpunan bagiannya, { (1,2),(2,5) } adalah cut-set.
G10 G10 tanpa cut set, menjadi graf tak terhubung
9/36Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Terminologi Graf
12. Graf Berbobot (Weighted Graph) Graf berbobot adalah graf yang setiap sisinya diberi
bilangan pembobot.
9/37Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Pekerjaan Rumah (PR9)
Graf G adalah sebuah graf seperti ditunjukkan pada gambar dibawah ini.(a) Tuliskan semua lintasan yang mungkin dari A ke C.(b) Tuliskan semua sirkuit yang ada.(c) Tuliskan minimal 4 himpunan potong (cut-set) yang ada.(d) Gambarkan subgraf G1 = { B,C,X,Y }.(e) Gambarkan komplemen dari subgraf G1.
Graf G
9/38Erwin Sitompul Matematika Diskrit
Pekerjaan Rumah (PR9)
Perhatikan graf H dibawah ini.(a) Tuliskan paling tidak 4 lintasan dari b ke c.(b) Tuliskan paling tidak 4 sirkuit.(c) Tuliskan paling tidak 4 himpunan potong dari graf H.(d) Gambar komplemen dari subgraf H1 terhadap H.(e) Gambar satu graf rentang dari H.
Graf H
New
Graf H1