matematika diskrit - 02 pengantar logika (2013)

Download Matematika Diskrit - 02 pengantar logika (2013)

Post on 30-Jun-2015

400 views

Category:

Engineering

10 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Pengantar Logika pada matematika diskrit

TRANSCRIPT

  • 1. Pengantar LogikaBekerjasama DenganRinaldi Munir1

2. PendahuluanLogikaPerhatikan argumen di bawah ini:Jika anda mahasiswa Informatika maka anda tidak sulit belajar Bahasa Java. Jika anda tidak suka begadang maka anda bukan mahasiswa Informatika. Tetapi, anda sulit belajar Bahasa Java dan anda tidak suka begadang. Jadi, kalau begitu anda bukan mahasiswa Informatika.Apakah kesimpulan dari argumen di atas valid?Alat bantu untuk memahami argumen tsb adalah Logika2 3. Banyak teorema dalam Ilmu Komputer/Informatika yang membutuhkan pemahaman logika.Contoh:1. Syarat cukup graf dengan n simpul mempunyai sirkuit Hamilton adalah derajat tiap simpul n/2.2. T(n) = (f(n)) jika dan hanya jika O(f(n)) = (f(n)).3 4. Bahkan, logika adalah jantung dari algoritma dan pemrograman.Contoh:if x mod 2 = 0 thenx:=x + 1else x:=x 14 5. 5Aristoteles, peletak dasar-dasar logika 6. Logika berhubungan dengan benar (true) dan salah (false).Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning) di dalam ilmu pengetahuan.Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements).Ilmu pengetahuan apa pun dapat dipahami karena penalarannya sesuai dengan logika manusia. 7. Di dalam logika, kita hanya meninjau kalimat yang dapat ditentukan benar atau salah proposisi.Proposisi: kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya.Contoh 1. Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:(a) 13 adalah bilangan ganjil(b) Soekarno adalah alumnus UGM.(c) 1 + 1 = 2(d) 8 akar kuadrat dari 8 + 8(e) Ada monyet di bulan(f) Hari ini adalah hari Rabu(g) Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka 2n adalah genap(h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan riil7 8. Contoh 2. Semua pernyataan di bawah ini bukan proposisi(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? kalimat tanya(b) Isilah gelas tersebut dengan air! kalimat perintah(c) x + 3 = 8 kalimat terbuka (tergantung pada nilai x)(d) x > 3 kalimat terbuka (tergantung pada nilai x)Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita8 9. Pernyataan yang melibatkan peubah (variable) disebut predikat, kalimat terbuka, atau fungsi proposisiContoh: x > 3, y = x + 10Notasi: P(x), misalnya P(x): x > 3Predikat dengan quantifier: x P(x)Kalkulus proposisi: bidang logika yang berkaitan dengan proposisiKalkulus predikat: bidang logika yang berkaitan dengan predikatr dan quantifier Keduanya dipelajari secara lebih mendalam pada kuliah IF2121 Logika Matematika.9 10. Sebuah proposisi bisa berbentuk:a. atomik (tunggal)Contoh: Pemuda itu tinggib. majemuk (konektor: dan, atau, tidak)Contoh: - Pemuda itu tinggi dan tampan- Ia dihukum 5 tahun atau didenda 10 juta- Hari ini tidak liburc. bersyaratContoh: - Jika nilai UAS bagus maka nilai akhir A- Jika suhu mencapai 80C, maka alarm berbunyi- Hujan turun jika dan hanya kelembaban udara tinggi10 11. 11Jika proposisi dilambangkan dengan p, q, r, , maka tabel kebenaran (truth table) proposisi majemuk dan proposisi bersyarat adalah: Tabel Kebenaran p q p q p q p q p q T T T T T T T F T F F T F T F T F T F F T T F F F F F F 12. 12Tabel kebenaran implikasip q p qT T TT F FF T TF F TTabel kebenaran biimplikasi:p q p qT T TT F FF T FF F TTabel di samping adalahtabel kebeneran daridua proposisi yaituImplikasi dan Biimplikasi 13. Aksioma, Teorema, Lemma, Corollary13Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar. Aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi. Contoh-contoh aksioma: (a) Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan). (b) Jika diberikan dua buah titik yang berbeda, maka hanya ada satu garis lurus yang melalui dua buah titik tersebut. Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Bentuk khusus dari teorema adalah lemma dan corolarry. 14. Lemma: teorema sederhana yang digunakan untuk pembuktian teorema lainCorollary: teorema yang dapat dibentuk langsung dari teorema yang telah dibuktikan.atau, corollary adalah teorema yang mengikuti teorema lain.14 15. 15Contoh-contoh teorema: a. Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar. b. Untuk semua bilangan real x, y, dan z, jika x y dan y z, maka x z (hukum transitif). Contoh corollary: Jika sebuah segitiga adalah sama sisi, maka segitiga tersebut sama sudut. Corollary ini mengikuti teorema (a) di atas. Contoh lemma: Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n 1 bilangan positif atau n 1 = 0. 16. Contoh lainnya (dalam kalkulus)Teorema: |x| < a jika dan hanya jika a < x < a, dumana a > 0Corollary: |x| a jika dan hanya jika a x a, dumana a > 016