FIELD: Ruang vektor V atas field skalar K adalah himpunan takkosong dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalianskalar.
Himpunan tak kosong V disebut ruang vektor jika memenuhi
1. Untuk sebarang u,vV berlaku u+v V
2. u+v = v+u [sifat Komutatif]
3. u+(v+w) = (u+v)+w [sifat Asosiatif]
4. Terdapat 0V (vektor nol) sehingga untuk setiap uVberlaku 0+u=u+0 V
5. Untuk sebarang uV terdapat -uV sehingga
u+(-u)= (-u)+u = 0 [invers aditif]
6. Jika k adalah sebarang skalar dan uV, makakuV
7. k(u+v) = ku+kv
8. (k+l)u = ku+lu
9. k(lu) = (kl)u
10. 1u = u
FIELD
Jika S = {v1, v2, … , vr} adalah suatu himpunan vektor-vektortak kosong, maka persamaan vektor
k1v1 + k2v2 + … + krvr = 0
Mempunyai paling tidak satu penyelesaian (trivial), yaitu
k1 = 0, k2 = 0, . . . , kr = 0
Jika ini adalah satu-satunya penyelesaian, maka S disebut suatuhimpunan yang bebas secara linear. Jika ada penyelesaian-penyelesaian lainnya, maka S disebut himpunan yang tak bebassecara linear.
Vektor Bebas Linier
2,3,1u 1,1,1 a
021
akuk
0
0
0
12
13
11-
2
1
k
k
Diketahui dan
Apakah saling bebas linear di R3
Tulis
atau
Contoh 1:
Jawab :
~
0
0
0
12
13
11-
~
0
0
0
10
40
11
3
2
1
0
0
0
00
10
01
k
k
k
dapat diperoleh :
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
2
3
1
a
1
1
1
b
4
6
2
c
ckbkak 3210
412
613
211
3
2
1
k
k
k
0
0
0
,
,
Jawab :
atau
=
Tulis :
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Contoh 2 :
Misalkan
~
010
040
211
0
0
0
3
2
1
000
010
211
k
k
k
cba ,,
diperoleh :
Ini menunjukan bahwa
k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
Jadi
Misalkan diketahui R3 ruang vektor dengan u = [3,1,2] ,v = [1,2,1] dan w = [2,-1,1] € R3 . Selidiki apakah ketiga vektor tersebut bebas linier ataubergantung linier ?
Jawab:
k1u + k2v + k3w = 0k1 [3,1,2] + k2 [1,2,1] + k3 [2,-1,1] =0
Terdapat skalar yang tidak nol yaitu k1 =-1 , dan k2=1 serta k3=1 Yang memenuhi persamaan tersebutJadi ketiga vektor bergantung linier.
Contoh 3 :
Misalkan diketahui vektor u= [2,3] dan v= [1,3] Selidikiapakah kedua vektor tersebut bebas linier ataubergantung linier :
Jawab:k1[2,3] + k2[1,3]
2k1 + k2 = 03k1 + 3k2 = 0 >>> k1 = k2 = 0Jadi kedua vektor bebas linier.
Contoh 4:
Teorema :Jika sebagian himpunan n vektor [u1,u2 ,..,..,…,un] bergantung linier, Maka keseluruhan n vektor tersebutadalah bergantung linier.
Contoh :
a = [ 2,3,1,4], b = [ 6,9,3,12] , c = [ 2,0,3,1] ,d = [ 0,0,1,4]
Maka karena a dan b kelipatan mereka bergantunglinier sehingga vektor-vektor a,b,c, d bergantunglinier
Kebebasan linear mempunyai suatu interpretasi geometrik yang
berguna dalam R2 dan R3 :
Dalam R2 atau R3, suatu himpunan dua vektor bebas secara
linear jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak
pada garis yang sama jika keduanya ditempatkan dengan titik-
titik pangkalnya di tititk asal (Gambar 1).
Dalam R3, suatu himpunan tiga vektor bebas secara linear jika
dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada
bidang yang sama jika ketiganya ditempatkan dengan titik-titik
pangkalnya pada titik asal (Gambar 2).
Gambar 1
Tak bebas secara
linear
Tak bebas secara
linearBebas secara
linear
z
v2
v1
y
x
z
v1
v2 y
x
z
v1
v2
y
x
Gambar 2
Tak bebas secara
linear
Tak bebas secara
linear
Bebas secara
linear
z
v3
v2
y
v1
x
z
v3
v2
y
v1
x
z v1
v2
y
v3
x
JumlahVektor
Bebas secara linier(Jika dan hanya jika)
Bebas secara Geometri(Jika dan hanya jika)
2 buahvektor
tidak satupun dari vektor tersebut yang merupakan penggandaan skalar dari vektor lainnya
tidak terletak pada garis yang sama jika diposisikan dengan titik-titik pangkalnya di titik asal
3 buahvektor
tidak satupun dari vektor tersebut yang merupakan kombinasi linear dari dua vektor lainnya
ketiga vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama jika ketiganya diletakkan dengan titik-titik pangkalnya pada titik asal
Kombinasi Linear Suatu vektor w disebut kombinasi linear
dari v1, v2, …, vn jika bisa dinyatakan dalam bentuk
w = k1v1 + k2v2 + … + knvn
dengan k1, k2, …, kn skalar
CONTOH 1Diketahui u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3. Apakahw=(9,2,7) merupakan kombinasi linear dari u dan v?
PENYELESAIAN (1)
w=k1u+k2v
(9,2,7)=k1(1,2,-1)+k2(6,4,2)
(9,2,7)=(k1,2k1,-k1)+(6k2,4k2,2k2)
(9,2,7)=(k1+6k2,2k1+4k2,-k1+2k2)
k1+6k2=9
2k1+4k2=2
-k1+2k2=7
Didapat k1=-3, k2=2Jadi w=-3u+2v
000
210
961
240
210
961
721
210
961
721
210
961
721
210
961
721
1680
961
721
242
961
721
242
961
Operasi Eliminasi GaussPersamaan linier
PENYELESAIAN (2):I
II
III
STEP
X + 6 y =9Y =2Y=k2=2
X + 6 (2) =9X +12 = 9X = -3X=k1=-3
Didapat k1=-3, k2=2Jadi w=-3u+2v
IV
Contoh: u v
a
Misal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
= (4, 2, 6)
adalah vektor-vektor di R3.
= (1, –1, 3)
6
2
4
3
1-
1
0
4
2
21 kk
6
2
4
3 0
1- 4
1 2
2
1
k
k
a. Tulis
akan diperiksa apakah ada k1, k2,
sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapat ditulis menjadi:
Jawab :
avkuk 21
0 0 0
2 1 0
2 1
~
6 3 0
6- 3- 1
2 1 21
21
a u
vua
2
dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian,
merupakan kombinasi linear dari vektor dan
atau
v
Baris ketigabernilai nol, berarti terdapatpenyelesaian
bvkuk
21
6
5
1
3
1-
1
0
4
2
21 kk
6
5
1
3 0
1- 4
1 2
2
1
k
k
ini dapat ditulis menjadi:
b = (1, 5, 6)
u vMisal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
adalah vektor-vektor di R3.
= (1, –1, 3)
Jawab
3 0 0
2 1 0
1
~
6 3 0
3 3- 0
0 1
~
6 3 0
5 1- 4
1 1 2 21
21
21
dapat diperoleh :
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyaisolusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi
b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v
Baris ketigatidak nol, sehinggapenyelesaiantidak konsisten
Contoh :
Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasilinier dari u dan v.
Jawab
Perhatikan kombinasi linier x = k1u+k2v
[8,1,5] = k1[2,-1,3] + k2[1,2,-2]
Dari kesamaan vektor diperoleh
2k1 + k2 = 8
-k1 + 2k2 = 1
3k1 – 2k2 = 5
k1 = 3
k2 = 2
523
121
812
840
1050
121
x = 3u + 2v
26
BasisAndaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {v1,v2,…,vn} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V,S dikatakan basis untuk ruang V jika :
S bebas linier
S membangun V
DimensiSebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jikaruang vektor V mengandung sebuah himpunan berhinggavektor S = {v1, v2,…,un} yang membentuk basis. Dimensisebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikansebagai banyaknya vektor pada basis V.
BASIS DAN DIMENSIBASIS DAN DIMENSI
Contoh
Misalkan S = {u1, u2,u3} dimana u1=[1,2,2], u2=[2,1,2] danu3=[1,3,3]. Apakah S basis untuk R3.
Jawab
Misalkan x=[x1,x2,x3] vektor di R3, bentuk kombinasi linier :
k1u1 + k2u2 + k3u3 = x
k1 [1,2,1] + k2[2,1,2] + k3 [1,3,4] = [x1,x2,x3]
Dari kesamaan vektor dihasilkan sistem persamaan linier
k1 + 2k2 + k3 = x1
2k1 + k2 + 3k3 = x2
2k1 + 2k2 + 3k3 = x3
1
322
312
121
det(u)
Karena mempunyai determinan minus ~ 0= bebas linier,
jadi S adalah basis untuk R3.
Selidikilah bebas linier atau bergantung linier himpunan vektor-vektor berikut :
1. Diketahui 2 vector, u =[2,1,1] , v = [ 2,1,3]. Apakah bebaslinier
2. Diketahui R3 ruang vektor dengan u = [6,2,4] , v = [ 1,2,1] dan w = [ 4,-2,2] € R3.
3. Selidiki apakah keempat vektor di bawah ini bebas linier ataubergantung linier. a = [ 2,3,1,4], b = [ 6,9,3,12] , c = [3,0,8,1] , d = [ 0,5,7,4].
4. 2,3,1u 1,1,1 aDiketahui dan
Apakah saling bebas linear di R3
5. Diketahui u=(1,2,-1) dan v=(6,4,2) dalam R3. Apakah w=(4,-1,8) merupakan kombinasi linear dariu dan v?
6. Misalkan, u = [2,-1,3], v = [1,2,-2], apakah x = [8,1,5] kombinasi linier dari u dan v.
u v
a b
c
7. Misal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear
dari vektor – vektor di atas
= (4, 2, 6)
c. = (0, 0, 0)
adalah vektor-vektor di R3.
= (1, –1, 3)
b. = (1, 5, 6)a.